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Inhaltsverzeichnis
Lernbereich Digitales Schulbuch
Analysis
Schaubilder von Funkt...
Ganzrationale Funktio...
Exponentialfunktionen
Gebrochenrationale Fu...
Logarithmusfunktionen
Wurzelfunktionen
Trigonometrische Funk...
Funktionsgleichungen ...
Kurve gegeben
Ganzrationale Funktio...
Gebrochenrationale Fu...
Exponentialfunktionen
Trigonometrische Funk...
Vermischte Aufgaben
Randbedingungen gegeb...
Ganzrationale Funktio...
Gebrochenrationale Fu...
Exponentialfunktionen
Trigonometrische Funk...
Differenzieren (Ablei...
Nach Funktionstyp
Ganzrationale Funktio...
Gebrochenrationale Fu...
Logarithmische Funkti...
Exponentialfunktionen
Wurzelfunktionen
Trigonometrische Funk...
Gebrochene Funktionen
Vermischte Aufgaben
Nach Ableitungsregeln
Faktor- und Summenreg...
Kettenregel
Produktregel
Quotientenregel
Eigenschaften von Kur...
Aussagen bewerten
Ableitung gegeben
Funktion gegeben
Graphisches Ableiten
Interpretation von Ku...
Gleichungslehre
Gleichungen
Lineares Gleichungssy...
Exponentialgleichunge...
Polynomdivision
Trigonometrische Glei...
Kurvendiskussion
Nullstellen und Schni...
Extrem- und Wendepunk...
Symmetrie und Grenzwe...
Funktionen mit Parame...
Ortskurven
Berührpunkte zweier K...
Vollständige Kurvendi...
Ganzrationale Funktio...
Gebrochenrationale Fu...
Exponentialfunktionen
Trigonometrische Funk...
Vermischte Aufgaben
Tangente und Normale
Tangente
Normale
Vermischte Aufgaben
Integralrechnung
Stammfunktionen
Flächeninhalt zwische...
Flächeninhalt zwische...
Mittelwert von Funkti...
Partielle Integration
Lineare Substitution
Uneigentliches Integr...
Rotationskörper
Angewandte Integrale
Vermischte Aufgaben
Weiterführende Übungs...
Zahlenfolgen und Gren...
Einführung
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Monotonie und Grenzwe...
Vollständige Induktio...
Vermischte Aufgaben
Extremwertaufgaben
Maximaler Umfang
Maximaler Flächeninha...
Maximales Volumen
Minimaler Abstand Pun...
Vermischte Aufgaben
Allgemeine Fragen zu ...
Definitions- und Wert...
Gebrochenrationale Fu...
Wurzelfunktionen
Logarithmusfunktionen
Stetigkeit und Differ...
Stetigkeit
Differenzierbarkeit
Wachstum
Exponentielles Wachst...
Beschränktes Wachstum
Logistisches Wachstum
Näherungsverfahren
Keplersche Fassregel
Newtonsches Verfahren
Vermischte Aufgaben
Weiterführende Übungs...
Ganzrationale Funktio...
Gebrochenrationale Fu...
Exponentialfunktionen
Analytische Geometrie
Vektoren
Rechnen mit Vektoren
Lineare Abhängigkeit ...
Vektorprodukt
Ortsvektoren und Verb...
Teilverhältnisse
Länge eines Vektors
Vermischte Aufgaben
Geraden
Geraden
Punktprobe
Geraden im Raum
Spurpunkte
Vermischte Aufgaben
Ebenen
Parameterform
Normalenform
Koordinatenform
Umrechnen von Ebeneng...
Ebenen im Raum
Ebenen in Körpern
Spurpunkte
Spurgerade
Vermischte Aufgaben
Gegenseitige Lage
Gerade - Gerade
Gerade - Ebene
Ebene - Ebene
Vermischte Aufgaben
Abstände
Punkt - Gerade
Gerade - Gerade
Gerade - Ebene
Punkt - Ebene
Ebene - Ebene
Vermischte Aufgaben
Schnittwinkel
Zwischen Vektoren
Gerade - Gerade
Gerade - Ebene
Ebene - Ebene
Vermischte Aufgaben
Spiegelungen
Punkt, Gerade und Ebe...
Vermischte Aufgaben
Lineare Gleichungssys...
Interpretation von LG...
Gaußsches Eliminierun...
Matrizen
Rechnen mit Matrizen
Addition und skalare ...
Matrizenmultiplikatio...
Determinante berechne...
Matrix invertieren
Eigenwerte und Eigenv...
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Übergangsgraphen
Übergangsmatrix
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Wirtschaftliche Verfl...
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Zufallsexperimente un...
Einstufige Zufallsexp...
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Ereignisse
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Additionssatz und Vie...
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Abhängigkeit und Unab...
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Geordnete Stichprobe ...
Geordnete Stichprobe ...
Ungeordnete Stichprob...
Wahrscheinlichkeitsve...
Erwartungswert
Varianz und Standarda...
Binomialverteilung
Mit Formel und Tasche...
Mit Tabelle
Erwartungswert und St...
Konfidenzintervalle
Normalverteilung
Hypergeometrische Ver...
Signifikanztest
Einseitiger Test
Zweiseitiger Test

Trigonometrische Funktionen

Spickzettel
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Du kannst eine Trigonometrische Funktion auf folgende Eigenschaften überprüfen.
Beachte, dass eine trigonometrische Funktion eine periodische Funktion ist und es daher evtl. unendlich viele Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunkte gibt.
EigenschaftMethode
Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen $(x_0\mid y_0)$x-Achse:
Nullstelle bestimmen, d.h. $y_0 = 0$, setze also $f(x_0)=0$ und löse nach $x_0$ auf
y-Achse:
Funktionswert an der Stelle $x_0 = 0$ berechnen, also $y_0 = f(0)$
Extrempunkt $(x_E\mid y_E)$
  • Notwendiges Kriterium: $f'(x_E)=0$
  • Hinreichendes Kriterium:
    • Hochpunkt: $f''(x_E) < 0$ oder Vorzeichenwechsel von $f'(x)$ in $x_E$ von $+$ nach $-$
    • Tiefpunkt: $f''(x_E) > 0$ oder Vorzeichenwechsel von $f'(x)$ in $x_E$ von $-$ nach $+$
Wendepunkt $(x_W\mid y_W)$
  • Notwendiges Kriterium: $f''(x_W)=0$
  • Hinreichendes Kriterium: $f'''(x_W) \neq 0$ oder Vorzeichenwechsel von $f''(x)$ in $x_W$
Graph skizzieren Verwende zum Skizzieren markante Stellen
z.B. Nullstellen, Hochpunkte, usw.
Symmetrie achsensymmetrisch: $f(x)=f(-x)$
punktsymmetrisch: $-f(x)=f(-x)$
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Aufgaben
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1.
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f\left(x\right)=\sin{\left(2x\right)}$. Ihr Schaubild sei $K_f$.
a)
Bestimme die Schnittpunkte von $K_f$ mit den Koordinatenachsen im Intervall von $-\frac{\pi}{2}\leq x\leq\frac{\pi}{2}$.
b)
Bestimme die Extrema im selben Intervall.
c)
Skizziere anhand der bisherigen Ergebnisse den Verlauf von $K_f$ in einem Koordinatensystem.
d)
Weise nach, dass $W\left(0\middle|0\right)$ ein Wendepunkt von $K_f$ ist und dass $K_f$ punktsymmetrisch zu diesem Punkt ist.
e)
Angenommen, du möchtest das Schaubild dieser Funktion in strecken, d.h. die Amplitudenhöhe beeinflussen. Wie würdest du vorgehen?
2.
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f\left(x\right)=3\cos{\left(x-\pi\right)}$. Ihr Schaubild sei $K_f$.
a)
Bestimme die Schnittpunkte von $K_f$ mit den Koordinatenachsen im Intervall von $-\pi\leq x\leq\pi$.
b)
Bestimme die Extrema von $K_f$ im selben Intervall.
c)
Skizziere anhand der bisherigen Ergebnisse den Verlauf von $K_f$ in einem Koordinatensystem.
d)
Welche Gerade könnte als Symmetrieachse in Frage kommen? Weise diese Symmetrie nach.
e)
Angenommen, du möchtest das Schaubild dieser Funktion in $x$- und $y$-Richtung verschieben. Wie würdest du vorgehen?
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Lösungen
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1.
$f\left(x\right)=\sin{\left(2x\right)}$
a)
Schnittpunkte mit der $\boldsymbol{x}$-Achse bestimmen: $\boldsymbol{f\left(x\right)=0}$ setzen und nach $\boldsymbol{x}$ auflösen
$\begin{array}{rllll} \sin{\left(2x\right)}&=0&\scriptsize{\mid\;\text{Substitution}: z=2x}\\[3pt] \sin{\left(z\right)}&=0\\[3pt] z_1&=-\pi\\[3pt] z_2&=0\\[3pt] z_3&=\pi \end{array}$
$\begin{array}{rllll} \sin{\left(2x\right)}&=0& \end{array}$
Resubstitution:
$\begin{array}{rllrllrll} z_1&=-\pi&\scriptsize{\mid\;z=2x}&\hspace{30pt}z_2&=0&\scriptsize{\mid\;z=2x}&\hspace{30pt}z_3&=\pi&\scriptsize{\mid\;z=2x}\\[3pt] 2x&=-\pi&\scriptsize{\mid\;:2}&\hspace{30pt}2x&=0&\scriptsize{\mid\;:2}&\hspace{30pt}2x&=\pi&\scriptsize{\mid\;:2}\\[3pt] x_1&=-\dfrac{\pi}{2}&&\hspace{30pt}x_2&=0&&\hspace{30pt}x_3&=\dfrac{\pi}{2} \end{array}$
$\begin{array}{rllrllrll} z_1&=-\pi&\scriptsize{\mid\;z=2x}\\[3pt] 2x&=-\pi&\scriptsize{\mid\;:2}\\[3pt] x_1&=-\dfrac{\pi}{2} \end{array}$
Daraus ergeben sich die Punkte $N_1\left(-\dfrac{\pi}{2}\middle|0\right)$, $N_2\left(0\middle|0\right)$ und $N_3\left(\dfrac{\pi}{2}\middle|0\right)$.
Schnittpunkte mit der $\boldsymbol{y}$-Achse bestimmen: $\boldsymbol{x=0}$ setzen und ausrechnen:
$\sin{\left(2\cdot0\right)}=0$
Daraus ergibt sich der Punkt $P\left(0\middle|0\right)$.
b)
Extrema bestimmen
Ableitungen bilden
$\begin{array}{rlll} f\left(x\right)&=\sin{\left(2x\right)}\\[3pt] f'\left(x\right)&=2\cos{\left(2x\right)}\\[3pt] f''\left(x\right)&=-4\sin{\left(2x\right)} \end{array}$
$f'\left(x\right)=0$ setzen
$\begin{array}{rllll} 2\cos{\left(2x\right)}&=0&\scriptsize{\mid\;:2}\\[5pt] \cos{\left(2x\right)}&=0&\scriptsize{\mid\;\text{Substitution}: z=2x}\\[5pt] \cos{\left(z\right)}&=0\\[5pt] z_1&=-\dfrac{\pi}{2}\\[5pt] z_2&=\dfrac{\pi}{2} \end{array}$
$\begin{array}{rllll} z_2&=\dfrac{\pi}{2} \end{array}$
Resubstitution:
$\begin{array}{rllrll} z_1&=-\dfrac{\pi}{2}&\scriptsize{\mid\;z=2x}&\hspace{30pt}z_2&=\dfrac{\pi}{2}&\scriptsize{\mid\;z=2x}\\[5pt] 2x&=-\dfrac{\pi}{2}&\scriptsize{\mid\;:2}&\hspace{30pt}2x&=\dfrac{\pi}{2}&\scriptsize{\mid\;:2}\\[5pt] x_1&=-\dfrac{\pi}{4}&&\hspace{30pt}x_2&=\dfrac{\pi}{4} \end{array}$
$\begin{array}{rllrll} z_1&=-\dfrac{\pi}{2}&\scriptsize{\mid\;z=2x}\\[5pt] 2x&=-\dfrac{\pi}{2}&\scriptsize{\mid\;:2}\\[5pt] x_1&=-\dfrac{\pi}{4} \end{array}$
Hochpunkt oder Tiefpunkt?
$x=-\dfrac{\pi}{4}$ und $x=-\dfrac{\pi}{4}$ in $f''\left(x\right)$ einsetzen
$\begin{array}{rllll} f''\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)&=-4\sin{\left(2\cdot\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\right)}\\[5pt] &=-4\sin{\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)}\\[5pt] &=-4\cdot\left(-1\right), \scriptsize{>0: \text{Minimum}}\\[8pt] f''\left(\dfrac{\pi}{4}\right)&=-4\sin{\left(2\cdot\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\right)}\\[5pt] &=-4\sin{\left(\dfrac{\pi}{2}\right)}\\[5pt] &=-4\cdot1, \scriptsize{<0: \text{Maximum}} \end{array}$
$\begin{array}{rllll} f''\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)&=-4\sin\;… \end{array}$
c)
Kurvendiskussion: Trigonometrische Funktionen
Kurvendiskussion: Trigonometrische Funktionen
d)
Nachweisen, dass $\boldsymbol{W}$ ein Wendepunkt ist
Ableitungen bilden
$\begin{array}{rlll} f\left(x\right)&=\sin{\left(2x\right)}\\[3pt] f'\left(x\right)&=2\cos{\left(2x\right)}\\[3pt] f''\left(x\right)&=-4\sin{\left(2x\right)}\\[3pt] f'''\left(x\right)&=-8\cos{\left(2x\right)} \end{array}$
$W$ ist ein Wendepunkt von $K_f$, wenn notwendiges und hinreichendes Kriterium erfüllt sind, d.h. wenn gilt: $f''(0)=0$ und $f'''(0)\neq0$.
$f''\left(0\right)$ und $f'''(0)$ ausrechnen
$\begin{array}{rllll} f''\left(0\right)&=-4\sin{\left(2\cdot0\right)}\\[3pt] &=-4\cdot0\\[3pt] f''\left(0\right)&=0\\[6pt] f'''(0)&=-8\cdot\cos(2\cdot0)\\[3pt] &=-8\cdot1\\[3pt] f'''(0)&=-8\neq0 \end{array}$
Es handelt sich um einen Wendepunkt.
Punktsymmetrie zum Wendepunkt nachweisen
Zu zeigen:
$f\left(x\right)=-f\left(-x\right)$
Beweis:
$\sin{\left(2x\right)}=-\sin{\left(-2x\right)}$
Dies ist eine wahre Aussage, da die Sinus-Funktion generell punktsymmetrisch ist. Die Gleichung, die hier steht, spiegelt diese Punktsymmetrie wieder.
e)
Funktionsgraphen strecken
Um die Amplitudenhöhe zu beeinflussen, wird ein Koeffizient vor den Sinus gestellt:
$a\cdot\sin{\left(2x\right)}$
Für $a>1$ wird die Funktion gestreckt.
Für $0<a<1$ wird die Funktion gestaucht.
2.
$f\left(x\right)=3\cos{\left(x-\pi\right)}$
a)
Schnittpunkte mit der $\boldsymbol{x}$-Achse bestimmen: $\boldsymbol{f\left(x\right)=0}$ setzen und nach $\boldsymbol{x}$ auflösen
$\begin{array}{rllll} 3\cos{\left(x-\pi\right)}&=0&\scriptsize{\mid\;:3}\\[3pt] \cos{\left(x-\pi\right)}&=0&\scriptsize{\mid\;\text{Substitution}: z=x-\pi}\\[3pt] \cos{\left(z\right)}&=0\\[3pt] z_1&=-\dfrac{3}{2}\pi\\[3pt] z_2&=-\dfrac{1}{2}\pi \end{array}$
$\begin{array}{rllll} 3\cos{\left(x-\pi\right)}&=0&\scriptsize{\mid\;:3} \end{array}$
Resubstitution:
$\begin{array}{rllrllrll} z_{1}&=-\dfrac{3}{2}\pi&\scriptsize{\mid\;z=x-\pi}&\hspace{30pt}z_2&=-\dfrac{1}{2}\pi&\scriptsize{\mid\;z=x-\pi}\\[5pt] x-\pi&=-\dfrac{3}{2}\pi&\scriptsize{\mid\;+\pi}&\hspace{30pt}x-\pi&=-\dfrac{1}{2}\pi&\scriptsize{\mid\;+\pi}\\[5pt] x_{1}&=-\dfrac{1}{2}\pi&&\hspace{30pt}x_2&=\dfrac{1}{2}\pi \end{array}$
$\begin{array}{rllrllrll} z_{1}&=-\dfrac{3}{2}\pi&\scriptsize{\mid\;z=x-\pi}\\[5pt] x-\pi&=-\dfrac{3}{2}\pi&\scriptsize{\mid\;+\pi}\\[5pt] x_{1}&=-\dfrac{1}{2}\pi& \end{array}$
Daraus ergeben sich die Punkte $N_1\left(-\dfrac{1}{2}\pi\middle|0\right)$ und $N_2\left(\dfrac{1}{2}\pi\middle|0\right)$.
Schnittpunkte mit der $\boldsymbol{y}$-Achse bestimmen: $\boldsymbol{x=0}$ setzen und ausrechnen:
$\begin{array}{rllll} f\left(0\right)&=3\cos{\left(0-\pi\right)}\\[3pt] f\left(0\right)&=3\cdot\left(-1\right)\\[3pt] f\left(0\right)&=-3 \end{array}$
Daraus ergibt sich der Punkt $P\left(0\middle|-3\right)$.
b)
Extrema bestimmen
Ableitungen bilden
$\begin{array}{rlll} f\left(x\right)&=3\cos{\left(x-\pi\right)}\\[3pt] f'\left(x\right)&=-3\sin{\left(x-\pi\right)}\\[3pt] f''\left(x\right)&=-3\cos{\left(x-\pi\right)} \end{array}$
$f'\left(x\right)=0$ setzen
$\begin{array}{rllll} -3\sin{\left(x-\pi\right)}&=0&\scriptsize{\mid\;\cdot\left(-3\right)}\\[3pt] \sin{\left(x-\pi\right)}&=0&\scriptsize{\mid\;\text{Substitution}: z=x-\pi}\\[3pt] \sin{\left(z\right)}&=0\\[3pt] z_1&=-2\pi\\[3pt] z_2&=-\pi\\[3pt] z_3&=0 \end{array}$
$\begin{array}{rllll} z_1&=-2\pi\\[3pt] z_2&=-\pi\\[3pt] z_3&=0 \end{array}$
Resubstitution:
$\begin{array}{rllrllrll} z_{1}&=-2\pi&\scriptsize{\mid\;z=x-\pi}&\hspace{30pt}z_2&=-\pi&\scriptsize{\mid\;z=x-\pi}&\hspace{30pt}z_3&=0&\scriptsize{\mid\;z=x-\pi}\\[3pt] x-\pi&=-2\pi&\scriptsize{\mid\;+\pi}&\hspace{30pt}x-\pi&=-\pi&\scriptsize{\mid\;+\pi}&\hspace{30pt}x-\pi&=0&\scriptsize{\mid\;+\pi}\\[3pt] x_{1}&=-\pi&&\hspace{30pt}x_2&=0&&\hspace{30pt}x_3&=\pi \end{array}$
$\begin{array}{rllrllrll} z_{1}&=-2\pi&\scriptsize{\mid\;z=x-\pi}&\\[3pt] x-\pi&=-2\pi&\scriptsize{\mid\;+\pi}&\\[3pt] x_{1}&=-\pi& \end{array}$
Hochpunkt oder Tiefpunkt? $x=-\pi$, $x=0$ und $x=\pi$ in $f''\left(x\right)$ einsetzen
$\begin{array}{rllll} f''\left(-\pi\right)&=-3\cos{\left(-\pi-\pi\right)}\\[3pt] &=-3\cos{\left(-2\pi\right)}\\[3pt] &=-3, \scriptsize{<0: \text{Maximum}}\\[6pt] f''\left(0\right)&=-3\cos{\left(0-\pi\right)}\\[3pt] &=-3\left(-1\right)\\[3pt] &=3, \scriptsize{>0, \text{Minimum}}\\[6pt] f''\left(\pi\right)&=-3\cos{\left(\pi-\pi\right)}\\[3pt] &=-3\cos{\left(0\right)}\\[3pt] &=-3, \scriptsize{<0, \text{Maximum}} \end{array}$
c)
Kurvendiskussion: Trigonometrische Funktionen
Kurvendiskussion: Trigonometrische Funktionen
d)
Symmetrieachse finden
Eine mögliche Symmetrieachse wäre die $y$-Achse:
Behauptung:
$K_f$ ist achsensymmetrisch zu $x=0$
Zu zeigen:
$f\left(x\right)=$&$f\left(-x\right)$
Beweis:
$3\cos{\left(x-\pi\right)}=$&$3\cos{\left(-x-\pi\right)}$
Dies ist eine wahre Aussage.
Die Kosinusfunktion verläuft immer regelmäßig und achsensymmetrisch zur $y$-Achse. Somit gilt für den Kosinus immer $f\left(x\right)=f\left(-x\right)$.
Wenn nun, wie in unserem Beispiel, von jeder Zahl das Gleiche abgezogen wird, verändert sich der Abstand der beiden Stellen nicht, weil beide um den gleichen Abstand verschoben werden. Somit stimmen auch die $y$-Werte überein.
e)
Verschiebung in $\boldsymbol{x}$-Richtung
Um das Schaubild der Funktion in $x$-Richtung (also links oder rechts) zu verschieben, muss direkt hinter dem $x$ eingegriffen werden. Dies lässt sich leicht am Beispiel der Normalparabel verdeutlichen:
$ y=x^2\\ \scriptsize{\text{Parabel läuft durch} P\left(0\middle|0\right)}\\[3pt] y=\left(x-1\right)^2\\ \scriptsize{\text{Parabel läuft durch} P\left(1\middle|0\right)\\\text{Verschiebung in pos. x-Richtung}}\\[3pt] y=\left(x+1\right)^2\\ \scriptsize{\text{Parabel läuft durch} P\left(-1\middle|0\right)\\\text{Verschiebung in neg. x-Richtung}} $
Somit lässt sich die Kosinusfunktion wie folgt verschieben:
$f\left(x\right)=3\cos{\left(x-a-\pi\right)}$.
Verschiebung in $\boldsymbol{y}$-Richtung
Um das Schaubild der Funktion in $y$-Richtung (also oben oder unten) zu verschieben, muss hinter dem Term eingegriffen werden. Dies lässt sich auch leicht am Beispiel der Normalparabel verdeutlichen:
$ y=x^2\\\scriptsize{\text{Parabel läuft durch} P\left(0\middle|0\right)}\\[3pt] y=\left(x\right)^2+1\\\scriptsize{\text{Parabel läuft durch} P\left(0\middle|1\right)\\ \text{Verschiebung in pos. y-Richtung}}\\[3pt] y=\left(x\right)^2-1\\\scriptsize{\text{Parabel läuft durch} P\left(0\middle|-1\right)\\ \text{Verschiebung in neg. y-Richtung}} $
Somit lässt sich die Kosinusfunktion wie folgt verschieben:
$f\left(x\right)=3\cos{\left(x-\pi\right)}-a$.
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