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Punkt - Gerade

Spickzettel
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Mit dem Abstand zwischen einem Punkt $P$ und einer Gerade $g$ ist der kürzeste Abstand gemeint. Es gibt zwei mögliche Vorgehensweisen, um diesen kürzesten Abstand zu bestimmen.

Vorgehen – mit Hilfsebene

  1. Stelle eine Hilfsebene in Normalenform auf, die senkrecht auf der Geraden $g$ steht und den Punkt $P$ enthält. Der Richtungsvektor von $g$ stellt somit einen Normalenvektor der Ebene dar, der Stützpunkt der Ebene ist $P$.
  2. Wandle die Normalenform in die Koordinatenform um.
  3. Berechne den Schnittpunkt $S$ der Gerade und der Hilfsebene.
  4. Berechne den Abstand zwischen dem Schnittpunkt $S(s_1\mid s_2 \mid s_3)$ und dem Punkt $P(p_1\mid p_2 \mid p_3)$.

  5. $d = \sqrt{(s_1-p_1)^2 + (s_2-p_2)^2 + (s_3-p_3)^2}$

    $d = $ $\scriptsize{\sqrt{(s_1-p_1)^2 + (s_2-p_2)^2 + (s_3-p_3)^2}}$

Alternatives Vorgehen

  1. Bestimme die allgemeinen Koordinaten der Punkte $G$, die auf der Geraden liegen.
  2. Berechne den Parameter, sodass der Richtungsvektor der Gerade senkrecht zum Verbindungsvektor $\overrightarrow{PG}$ verläuft.
  3. Bestimme die Koordinaten des Punktes $Q$ mit dem geringsten Abstand zum Punkt $P$.
  4. Berechne den Abstand zwischen $Q$ und $P$.
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1.
Berechne den Abstand zwischen dem Punkt $P$ und der Geraden $g$.
a)
$P(1\mid 2\mid 6)$; $g:\;\overrightarrow{x} = \left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 2 \\ 0 \\ \end{array}} \right)+ s\left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ 1 \\ 1\\ \end{array}} \right)$
b)
$P(1\mid 0\mid 3)$; $g:\;\overrightarrow{x} = \left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ 1 \\ 4 \\ \end{array}} \right)+ s\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 1 \\ 0 \\ \end{array}} \right)$
c)
$P(0\mid 2\mid 2)$; $g:\;\overrightarrow{x} = \left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ 0 \\ 4 \\ \end{array}} \right)+ s\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 0 \\ 1 \\ \end{array}} \right)$
d)
$P(1\mid 2\mid 0)$; $g:\;\overrightarrow{x} = \left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 3 \\ 10 \\ \end{array}} \right)+ s\left( {\begin{array}{*{20}r} 3 \\ 0 \\ 1\\ \end{array}} \right)$
e)
$P(1\mid 2\mid 8)$; $g:\;\overrightarrow{x} = \left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 4 \\ 0 \\ \end{array}} \right)+ s\left( {\begin{array}{*{20}r} -1 \\ 1\\ 0 \\ \end{array}} \right)$
f)
$P(1\mid 2\mid 2)$; $g:\;\overrightarrow{x} = \left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 2 \\ -4 \\ \end{array}} \right)+ s\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ -2 \\ -1 \\ \end{array}} \right)$
$P(1\mid 2\mid 2)$;
g)
$P(2\mid 0\mid 3)$; $g:\;\overrightarrow{x} = \left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 0 \\ 1 \\ \end{array}} \right)+ s\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ -2 \\ 1 \\ \end{array}} \right)$
$P(2\mid 0\mid 3)$;
2.
Berechne den Abstand des Punktes $P$ von der Geraden, die durch die Punkte $A$ und $B$ verläuft.
a)
$P\left(2\mid 2\mid 1\right)$,$\quad$$A\left(-1\mid 1\mid 4\right)$,$\,$$B\left(3\mid 1\mid 1\right)$.
b)
$P\left(2\mid 4\mid 1\right)$,$\quad$$A\left(-8\mid 14\mid 1\right)$,$\,$$B\left(4\mid -2\mid 1\right)$
c)
$P\left(1\mid 2\mid 3\right)$,$\quad$$A\left(0\mid 5\mid 7\right)$,$\,$$B\left(3\mid -1\mid 1\right)$
d)
$P\left(0\mid 2\mid -4\right)$,$\quad$$A\left(4\mid 2\mid 8\right)$,$\,$$B\left(4\mid 2\mid -7\right)$
3.
Bestimme die Punkte auf $g$, die vom Punkt $P$ den Abstand $d$ haben.
a)
$g:\overrightarrow{x}=$$\left(\begin{array}{r} 12\\ -6\\ 8\\ \end{array}\right)+r\cdot\left(\begin{array}{r} 4\\ -3\\ 1\\ \end{array}\right)$,$\quad$$P\left(2\mid 1\mid 4\right)$,$\quad$$d=3$
b)
$g:\overrightarrow{x}$$=\left(\begin{array}{r} -11\\ 12\\ -2\\ \end{array}\right)+r\cdot\left(\begin{array}{r} -7\\ 4\\ -3\\ \end{array}\right)$,$\quad$$P\left(-1\mid 4\mid 1\right)$,$\quad$$d=5$
c)
$g:\overrightarrow{x}$$=\left(\begin{array}{r} -12\\ 12\\ 5\\ \end{array}\right)+r\cdot\left(\begin{array}{r} 8\\ -6\\ 2\\ \end{array}\right)$,$\quad$$P\left(0\mid 2\mid 5\right)$,$\quad$$d=6$
4.
Bestimme den Punkt auf $g$, der von den Punkten $A$ und $B$ gleich weit entfernt ist.
a)
$g:\overrightarrow{x}$$=\left(\begin{array}{r} -5\\ 2\\ 6\\ \end{array}\right)+r\cdot\left(\begin{array}{r} -2\\ 0\\ 1\\ \end{array}\right)$,$\quad$$A\left(3\mid 5\mid -3\right)$,$\quad$$B\left(-5\mid 5\mid 1\right)$
b)
$g:\overrightarrow{x}$$=\left(\begin{array}{r} 6\\ -3\\ 12\\ \end{array}\right)+r\cdot\left(\begin{array}{r} 1\\ -1\\ 2\\ \end{array}\right)$,$\quad$$A\left(4\mid -1\mid 5\right)$,$\quad$$B\left(1\mid 3\mid 6\right)$
c)
$g:\overrightarrow{x}$$=\left(\begin{array}{r} 5\\ 4\\ 12\\ \end{array}\right)+r\cdot\left(\begin{array}{r} 1\\ 0\\ 3\\ \end{array}\right)$,$\quad$$A\left(-3\mid 1\mid 0\right)$,$\quad$$B\left(1\mid 1\mid 4\right)$
d)
$g:\overrightarrow{x}$$=\left(\begin{array}{r} 8\\ 1\\ 4\\ \end{array}\right)+r\cdot\left(\begin{array}{r} 1\\ 1\\ 1\\ \end{array}\right)$,$\quad$$A\left(3\mid -4\mid -1\right)$,$\quad$$B\left(-1\mid -2\mid 3\right)$
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1.
a)
$P(1\mid 2\mid 6)$; $\quad g:\,\overrightarrow{x} $$= \left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 2 \\ 0 \\ \end{array}} \right)+ s\left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ 1 \\ 1\\ \end{array}} \right)$
Allgemeiner Punkt auf der Geraden $g$
$F(1+2s\mid 2+s\mid s)$
$\overrightarrow{PF}$$=\left( {\begin{array}{*{20}r} 1+2s \\ 2+s \\ s\\ \end{array}} \right)-\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 2 \\ 6 \\ \end{array}} \right)$$=\left( {\begin{array}{*{20}r} 2s \\ s \\ s-6\\ \end{array}} \right)$
Da der Verbindungsvektor senkrecht zum Richtungsvektor stehen muss, setzen wir deren Skalarprodukt $=0$:
$\overrightarrow{PF}\circ\overrightarrow{v}$$=0\; \Leftrightarrow\; \left( {\begin{array}{*{20}r} 2s \\ s \\ s-6\\ \end{array}} \right)\circ\left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ 1 \\ 1\\ \end{array}} \right)=0$
$4s+s+s-6$=$0 \Leftrightarrow 6s$=$6 \Leftrightarrow s=1$
$s$ in $\overrightarrow{PF}$:$\quad$ $\overrightarrow{PF}$=$\left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ 1 \\ -5\\ \end{array}} \right)$
$d$$=\left|\overrightarrow{PF}\right|$$=\left|\left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ 1 \\ -5\\ \end{array}} \right)\right|$$=\sqrt{2^2+1^2+(-5)^2}$$=\sqrt{30}$
$d$$=\sqrt{30}$
b)
$P(1\mid 0\mid 3)$; $\quad g:\,\overrightarrow{x} $$= \left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ 1 \\ 4 \\ \end{array}} \right)+ s\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 1 \\ 0\\ \end{array}} \right)$
Allgemeiner Punkt auf der Geraden $g$
$F(2+s\mid 1+s\mid 4)$
$\overrightarrow{PF}$$=\left( {\begin{array}{*{20}r} 2+s \\ 1+s \\ 4\\ \end{array}} \right)-\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 0 \\ 3 \\ \end{array}} \right) $$= \left( {\begin{array}{*{20}r} 1+s \\ 1+s \\ 1\\ \end{array}} \right)$
Da der Verbindungsvektor senkrecht zum Richtungsvektor stehen muss, setzen wir deren Skalarprodukt $=0$:
$\overrightarrow{PF}\circ\overrightarrow{v}$$=0\; \Leftrightarrow\; \left( {\begin{array}{*{20}r} 1+s \\ 1+s \\ 1\\ \end{array}} \right)\circ\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 1 \\ 0\\ \end{array}} \right)=0$
$1+s+1+1s$=$0 \Leftrightarrow 2s$=$-2 \Leftrightarrow s$=$-1$
$s$ in $\overrightarrow{PF}$:$\quad$ $\overrightarrow{PF}$$=\left( {\begin{array}{*{20}r} 0 \\ 0 \\ 1\\ \end{array}} \right)$
$d=\left|\overrightarrow{PF}\right|$$=\left|\left( {\begin{array}{*{20}r} 0 \\ 0 \\ 1\\ \end{array}} \right)\right|$$=\sqrt{1^2}=1$
c)
$P(0\mid 2\mid 2)$; $\quad g:\,\overrightarrow{x} $$= \left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ 0 \\ 4 \\ \end{array}} \right)+ s\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 0 \\ 1 \\ \end{array}} \right)$
Allgemeiner Punkt auf der Geraden $g$
$F(2+s\mid 0\mid 4+s)$
$\overrightarrow{PF}$=$\left( {\begin{array}{*{20}r} 2+s \\ 0 \\ 4+s\\ \end{array}} \right)-\left( {\begin{array}{*{20}r} 0 \\ 2 \\ 2 \\ \end{array}} \right)$$=\left( {\begin{array}{*{20}r} 2+s \\ -2 \\ 2+s \\ \end{array}} \right)$
Da der Verbindungsvektor senkrecht zum Richtungsvektor stehen muss, setzen wir deren Skalarprodukt $=0$:
$\overrightarrow{PF}\circ\overrightarrow{v}$$=0\; \Leftrightarrow\; \left( {\begin{array}{*{20}r} 2+s \\ -2 \\ 2+s\\ \end{array}} \right)\circ\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 0 \\ 1\\ \end{array}} \right)=$$0$
$2+s+2+s=0 \Leftrightarrow 2s$=$-4 \Leftrightarrow s$$=-2$
$s$ in $\overrightarrow{PF}$:$\quad$ $\overrightarrow{PF}$$=\left( {\begin{array}{*{20}r} 0 \\ -2 \\ 0 \\ \end{array}} \right)$
$d=\left|\overrightarrow{PF}\right|$$=\left|\left( {\begin{array}{*{20}r} 0 \\ -2 \\ 0 \\ \end{array}} \right)\right|=\sqrt{0^2+2^2+0^2}$$=\sqrt{4}$$=2$
$d=2$
d)
$P(1\mid 2\mid 0)$; $\quad g:\,\overrightarrow{x} $$= \left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 3 \\ 10 \\ \end{array}} \right)+ s\left( {\begin{array}{*{20}r} 3 \\ 0 \\ 1 \\ \end{array}} \right)$
Allgemeiner Punkt auf der Geraden $g$
$F(1+3s\mid 3\mid 10+s)$
$\overrightarrow{PF}$=$\left( {\begin{array}{*{20}r} 1+3s \\ 3 \\ 10+s\\ \end{array}} \right)-\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 2 \\ 0 \\ \end{array}} \right)$=$\left( {\begin{array}{*{20}r} 3s \\ 1 \\ 10+s \\ \end{array}} \right)$
Da der Verbindungsvektor senkrecht zum Richtungsvektor stehen muss, setzen wir deren Skalarprodukt $=0$:
$\overrightarrow{PF}\circ\overrightarrow{v}$$=0\; \Leftrightarrow\; \left( {\begin{array}{*{20}r} 3s \\ 1 \\ 10+s\\ \end{array}} \right)\circ\left( {\begin{array}{*{20}r} 3 \\ 0 \\ 1\\ \end{array}} \right)=0$
$9s+10+s$=$0 \Leftrightarrow 10s$=$-10 \Leftrightarrow s$=$-1$
$s$ in $\overrightarrow{PF}$: $\quad$ $\overrightarrow{PF}$$=\left( {\begin{array}{*{20}r} -3 \\ 1 \\ 9 \\ \end{array}} \right)$
$d=\left|\overrightarrow{PF}\right|$$=\left|\left( {\begin{array}{*{20}r} -3 \\ 1 \\ 9 \\ \end{array}} \right)\right|$=$\sqrt{(-3)^2+1^2+9^2}=\sqrt{91}$
$d$$=\sqrt{91}$
e)
$P(1\mid 2\mid 8)$; $\quad g:\,\overrightarrow{x} $$= \left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 4 \\ 0 \\ \end{array}} \right)+ s\left( {\begin{array}{*{20}r} -1 \\ 1 \\ 0 \\ \end{array}} \right)$
Allgemeiner Punkt auf der Geraden $g$
$F(1-s\mid 4+s\mid 0)$
$\overrightarrow{PF}$$=\left( {\begin{array}{*{20}r} 1-s \\ 4+s \\ 0 \\ \end{array}} \right)-\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 2 \\ 8 \\ \end{array}} \right)$$=\left( {\begin{array}{*{20}r} -s \\ 2+s \\ -8 \\ \end{array}} \right)$
Da der Verbindungsvektor senkrecht zum Richtungsvektor stehen muss, setzen wir deren Skalarprodukt $=0$:
$\overrightarrow{PF}\circ\overrightarrow{v}$=$0\; \Leftrightarrow\; \left( {\begin{array}{*{20}r} -s \\ 2+s \\ -8\\ \end{array}} \right)\circ\left( {\begin{array}{*{20}r} -1 \\ 1\\ 0\\ \end{array}} \right)$=$0$
$s+2+s$=$0 \Leftrightarrow 2s$$=-2 \Leftrightarrow s$=$-1$
$s$ in $\overrightarrow{PF}$:$\quad$ $\overrightarrow{PF}$$=\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 1 \\ -8 \\ \end{array}} \right)$
$d$=$\left|\overrightarrow{PF}\right|$$=\left|\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 1 \\ -8 \\ \end{array}} \right)\right|$=$\sqrt{1^2+1^2+(-8)^2}$=$\sqrt{66}$
$d$$=\sqrt{66}$
f)
$P(1\mid 2\mid 2)$; $\quad g:\,\overrightarrow{x} $$= \left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 2 \\ -4 \\ \end{array}} \right)+ s\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ -2 \\ -1 \\ \end{array}} \right)$
Allgemeiner Punkt auf der Geraden $g$
$F(1+s\mid 2-2s\mid -4-s)$
$\overrightarrow{PF}$$=\left( {\begin{array}{*{20}r} 1+s \\ 2-2s \\ -4-s\\ \end{array}} \right)-\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 2 \\ 2 \\ \end{array}} \right)$$=\left( {\begin{array}{*{20}r} s \\ -2s \\ -6-s \\ \end{array}} \right)$
Da der Verbindungsvektor senkrecht zum Richtungsvektor stehen muss, setzen wir deren Skalarprodukt $=0$:
$\overrightarrow{PF}\circ\overrightarrow{v}$$=0\; \Leftrightarrow\; \left( {\begin{array}{*{20}r} s \\ -2s \\ -6-s\\ \end{array}} \right)\circ\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ -2 \\ -1\\ \end{array}} \right)=0$
$s+4s+6+s=0$
$\Leftrightarrow 6s=-6 \Leftrightarrow s=-1$
$s$ in $\overrightarrow{PF}$:$\quad$ $\overrightarrow{PF}$$=\left( {\begin{array}{*{20}r} -1 \\ 2 \\ -5 \\ \end{array}} \right)$
$d$$=\left|\overrightarrow{PF}\right|$$=\left|\left( {\begin{array}{*{20}r} -1 \\ 2 \\ -5 \\ \end{array}} \right)\right|$$=\sqrt{(-1)^2+2^2+(-5)^2}=\sqrt{30}$
$d$$=\sqrt{30}$
g)
$P(2\mid 0\mid 3)$; $\quad g:\,\overrightarrow{x} $=$ \left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 0 \\ 1 \\ \end{array}} \right)+ s\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ -2 \\ 1 \\ \end{array}} \right)$
Allgemeiner Punkt auf der Geraden $g$
$F(1+s\mid -2s\mid 1+s)$
$\overrightarrow{PF}$=$\left( {\begin{array}{*{20}r} 1+s \\ -2s \\ 1+s\\ \end{array}} \right)-\left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ 0 \\ 3 \\ \end{array}} \right)$=$\left( {\begin{array}{*{20}r} s-1 \\ -2s \\ s-2 \\ \end{array}} \right)$
Da der Verbindungsvektor senkrecht zum Richtungsvektor stehen muss, setzen wir deren Skalarprodukt $=0$:
$\overrightarrow{PF}\circ\overrightarrow{v}$=$0\; \Leftrightarrow\; \left( {\begin{array}{*{20}r} s-1 \\ -2s \\ s-2\\ \end{array}} \right)\circ\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ -2 \\ 1\\ \end{array}} \right)=0$
$s-1+4s+s-2$=$0 \Leftrightarrow 6s$=$3 \Leftrightarrow s$$=\dfrac{1}{2}$
$s$ in $\overrightarrow{PF}$:$\quad$ $\overrightarrow{PF}$$=\left( {\begin{array}{*{20}r} -\frac{1}{2} \\ -1 \\ -\frac{3}{2} \\ \end{array}} \right)$
$d=\left|\overrightarrow{PF}\right|$$=\left|\left( {\begin{array}{*{20}r} -\frac{1}{2} \\ -1 \\ -\frac{3}{2} \\ \end{array}} \right)\right|$$=\sqrt{( -\frac{1}{2})^2+(-1)^2+ (-\frac{3}{2})^2}$$=\sqrt{ \frac{7}{2}}$
$d$$=\sqrt{ \frac{7}{2}}$
2.
a)
Gleichung der Geraden aufstellen
$g:\overrightarrow{x}$$=\overrightarrow{OA}+r\cdot\overrightarrow{AB}$$=\left(\begin{array}{r} -1\\ 1\\ 4\\ \end{array}\right)+r\cdot\left(\begin{array}{r} 4\\ 0\\ -3\\ \end{array}\right)$
Jeder Punkt $Q$ auf der Geraden $g$ kann beschrieben werden als $Q_g\left(-1+4r\mid 1\mid 4-3r\right)$.
Der Vektor $\overrightarrow{PQ}$ ist der Verbindungsvektor von $P$ und $Q$. Da wir den Abstand bestimmen wollen, muss $\overrightarrow{PQ}$ senkrecht auf dem Richtungsvektor von $\overrightarrow{g}$ stehen.
$\overrightarrow{PQ}$=$\left(\begin{array}{r} -1+4r-2\\ 1-2\\ 4-3r-1\\ \end{array}\right)$=$\left(\begin{array}{r} -3+4r\\ -1\\ 3-3r\\ \end{array}\right)$
Wir berechnen das Skalarprodukt des Richtungsvektors und $\overrightarrow{PQ}$. Dieses muss Null ergeben.
$\begin{array}{rll} 0=&\left(\begin{array}{r} -3+4r\\ -1\\ 3-3r\\ \end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{r} 4\\ 0\\ -3\\ \end{array}\right) \\[5pt] 0=&4\cdot\left(-3+4r\right)-3\cdot\left(3-3r\right) \\[5pt] 0=&-12+16r-9+9r\\ 0=&25r-21&\quad\scriptsize\mid +21 \\[5pt] 21=&25r&\quad\scriptsize\mid :25 \\[5pt] 0,84=&r \end{array}$
$\begin{array}{rll} 0=&\left(\begin{array}{r} -3+4r\\ -1\\ 3-3r\\ \end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{r} 4\\ 0\\ -3\\ \end{array}\right) \\[5pt] \end{array}$
Wenn wir $r$ in den Vektor $\overrightarrow{PQ}$ einsetzen, erhalten wir die genauen Koordinaten des Vektors und können seine Länge bestimmen. Diese Länge ist der Abstand von $P$ zur Geraden $g$.
$\left|\overrightarrow{PQ}\right|$=$\left|\left(\begin{array}{r} 0,36\\ -1\\ 0,48\\ \end{array}\right)\right|$=$\sqrt{0,36^2+(-1)^2+0,48^2}\approx1,166$
Der Abstand von $P$ zur Geraden durch $A$ und $B$ ist $\approx1,166$ LE.
b)
Gleichung der Geraden aufstellen
$g:\overrightarrow{x}$=$\overrightarrow{OA}+r\cdot\overrightarrow{AB}$=$\left(\begin{array}{r} -8\\ 14\\ 1\\ \end{array}\right)+r\cdot\left(\begin{array}{r} 12\\ -16\\ 0\\ \end{array}\right)$
Jeder Punkt $Q$ auf der Geraden $g$ kann beschrieben werden als $Q_g\left(-8+12r\mid 14-16r\mid 1\right)$.
Der Vektor $\overrightarrow{PQ}$ ist der Verbindungsvektor von $P$ und $Q$. Da wir den Abstand bestimmen wollen, muss $\overrightarrow{PQ}$ senkrecht auf dem Richtungsvektor von $\overrightarrow{g}$ stehen.
$\overrightarrow{PQ}$=$\left(\begin{array}{r} -8+12r-2\\ 14-16r-4\\ 1-1\\ \end{array}\right)$=$\left(\begin{array}{r} -10+12r\\ 10-16r\\ 0\\ \end{array}\right)$
Wir berechnen das Skalarprodukt des Richtungsvektors und $\overrightarrow{PQ}$. Dieses muss Null ergeben.
$\begin{array}{rll} 0=&\left(\begin{array}{r} -10+12r\\ 10-16r\\ 0\\ \end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{r} 12\\ -16\\ 0\\ \end{array}\right) \\[5pt] 0=&12\cdot\left(-10+12r\right)-16\cdot\left(10-16r\right) \\[5pt] 0=&-120+144r-160+256r \\[5pt] 0=&400r-280&\quad\scriptsize\mid +280 \\[5pt] 280=&400r&\quad\scriptsize\mid :400 \\[5pt] 0,7=&r \end{array}$
$\begin{array}{rll} 0=&\left(\begin{array}{r} -10+12r\\ 10-16r\\ 0\\ \end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{r} 12\\ -16\\ 0\\ \end{array}\right) \\[5pt] \end{array}$
Wenn wir $r$ in den Vektor $\overrightarrow{PQ}$ einsetzen, erhalten wir die genauen Koordinaten des Vektors und können seine Länge bestimmen. Diese Länge ist der Abstand von $P$ zur Geraden $g$.
$\left|\overrightarrow{PQ}\right|$=$\left|\left(\begin{array}{r} -1,6\\ -1,2\\ 0\\ \end{array}\right)\right|$=$\sqrt{(-1,6)^2+(-1,2)^2}=2$
Der Abstand von $P$ zur Geraden durch $A$ und $B$ ist $2$ LE.
c)
Gleichung der Geraden aufstellen
$g:\overrightarrow{x}$=$\overrightarrow{OA}+r\cdot\overrightarrow{AB}$=$\left(\begin{array}{r} 0\\ 5\\ 7\\ \end{array}\right)+r\cdot\left(\begin{array}{r} 3\\ -6\\ -6\\ \end{array}\right)$
Jeder Punkt $Q$ auf der Geraden $g$ kann beschrieben werden als $Q_g\left(3r\mid 5-6r\mid 7-6r\right)$.
Der Vektor $\overrightarrow{PQ}$ ist der Verbindungsvektor von $P$ und $Q$. Da wir den Abstand bestimmen wollen, muss $\overrightarrow{PQ}$ senkrecht auf dem Richtungsvektor von $\overrightarrow{g}$ stehen.
$\overrightarrow{PQ}$=$\left(\begin{array}{r} 3r-1\\ 5-6r-2\\ 7-6r-3\\ \end{array}\right)$=$\left(\begin{array}{r} 3r-1\\ 3-6r\\ 4-6r\\ \end{array}\right)$
Wir berechnen das Skalarprodukt des Richtungsvektors und $\overrightarrow{PQ}$. Dieses muss Null ergeben.
$\begin{array}{rll} 0=&\left(\begin{array}{r} 3r-1\\ 3-6r\\ 4-6r\\ \end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{r} 3\\ -6\\ -6\\ \end{array}\right) \\[5pt] 0=&3\cdot\left(3r-1\right)-6\cdot\left(3-6r\right)-6\cdot\left(4-6r\right) \\[5pt] 0=&9r-3-18+36r-24+36r \\[5pt] 0=&81r-45&\quad\scriptsize\mid +45 \\[5pt] 45=&81r&\quad\scriptsize\mid :81 \\[5pt] \frac{5}{9}=&r \end{array}$
$\begin{array}{rll} 0=&\left(\begin{array}{r} 3r-1\\ 3-6r\\ 4-6r\\ \end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{r} 3\\ -6\\ -6\\ \end{array}\right) \\[5pt] \end{array}$
Wenn wir $r$ in den Vektor $\overrightarrow{PQ}$ einsetzen, erhalten wir die genauen Koordinaten des Vektors und können seine Länge bestimmen. Diese Länge ist der Abstand von $P$ zur Geraden $g$.
$\left|\overrightarrow{PQ}\right|$=$\left|\left(\begin{array}{r} \frac{2}{3}\\ -\frac{1}{3}\\ \frac{2}{3}\\ \end{array}\right)\right|$=$\sqrt{(\frac{2}{3})^2+(-\frac{1}{3})^2+(\frac{2}{3})^2}=1$
Der Abstand von $P$ zur Geraden durch $A$ und $B$ ist $1$ LE.
d)
Gleichung der Geraden aufstellen
$g:\overrightarrow{x}$$=\overrightarrow{OA}+r\cdot\overrightarrow{AB}$$=\left(\begin{array}{r} 4\\ 2\\ 8\\ \end{array}\right)+r\cdot\left(\begin{array}{r} 0\\ 0\\ -15\\ \end{array}\right)$
Jeder Punkt $Q$ auf der Geraden $g$ kann beschrieben werden als $Q_g\left(4\mid 2\mid 8-15r\right)$.
Der Vektor $\overrightarrow{PQ}$ ist der Verbindungsvektor von $P$ und $Q$. Da wir den Abstand bestimmen wollen, muss $\overrightarrow{PQ}$ senkrecht auf dem Richtungsvektor von $\overrightarrow{g}$ stehen.
$\overrightarrow{PQ}$=$\left(\begin{array}{r} 4-0\\ 2-2\\ 8-15r-(-4)\\ \end{array}\right)$=$\left(\begin{array}{r} 4\\ 0\\ 12-15r\\ \end{array}\right)$
Wir berechnen das Skalarprodukt des Richtungsvektors und $\overrightarrow{PQ}$. Dieses muss Null ergeben.
$\begin{array}{rll} 0=&\left(\begin{array}{r} 4\\ 0\\ 12-15r\\ \end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{r} 0\\ 0\\ -15\\ \end{array}\right) \\[5pt] 0=&-15\cdot\left(12-15r\right) \\[5pt] 0=&-180+225r \\[5pt] 180=&225r\quad\scriptsize\mid :225 \\[5pt] \frac{4}{5}=&r \end{array}$
Wenn wir $r$ in den Vektor $\overrightarrow{PQ}$ einsetzen, erhalten wir die genauen Koordinaten des Vektors und können seine Länge bestimmen. Diese Länge ist der Abstand von $P$ zur Geraden $g$.
$\left|\overrightarrow{PQ}\right|$=$\left|\left(\begin{array}{r} 4\\ 0\\ 0\\ \end{array}\right)\right|$=$\sqrt{4^2}=4$
Der Abstand von $P$ zur Geraden durch $A$ und $B$ ist $4$ LE.
3.
a)
Punkt auf $g$ bestimmen
Alle Punkte $Q$ der Geraden $g$ haben die Koordinaten $Q\left(12+4r\mid -6-3r\mid 8+r\right)$. Den Abstand von $P$ zu $Q$ können wir wie den Abstand zweier Punkte berechnen. Dieser Abstand soll $d=3$ sein:
$\left|\overrightarrow{PQ}\right|$=$\left|\left(\begin{array}{r} 12\\ -6\\ 8\\ \end{array}\begin{array}{r} +\\ -\\ +\\ \end{array}\begin{array}{r} 4r\\ 3r\\ r\\ \end{array}\right)-\left(\begin{array}{r} 2\\ 1\\ 4\\ \end{array}\right)\right|$=$d$
$\begin{array}{rll} 3=&\sqrt{\left(12+4r-2\right)^2+\left(-6-3r-1\right)^2+\left(8+r-4\right)^2} \\[5pt] 3=&\sqrt{\left(10+4r\right)^2+\left(-7-3r\right)^2+\left(4+r\right)^2} \\[5pt] 3=&\sqrt{100+80r+16r^2+49+42r+9r^2+16+8r+r^2} \\[5pt] 3=&\sqrt{26r^2+130r+165}&\quad\scriptsize\mid \left(\;\right)^2 \\[5pt] 9=&26r^2+130r+165&\quad\scriptsize\mid -9 \\[5pt] 0=&26r^2+130r+156&\quad\scriptsize\mid :26 \\[5pt] 0=&r^2+5r+6 \end{array}$
$\begin{array}{rll} 0=&r^2+5r+6 \end{array}$
Um die quadratische Gleichung zu lösen benutzen wir die $pq-Formel$:
$\begin{array}{rll} r_{1,2}=&-\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} \\ \\ r_{1,2}=&-\dfrac{5}{2}\pm\sqrt{\dfrac{25}{4}-6} \\[5pt] =&-\dfrac{5}{2}\pm\sqrt{\dfrac{1}{4}} \\ \\ r_1=&-\dfrac{5}{2}+\dfrac{1}{2}=-2 \\[5pt] r_2=&-\dfrac{5}{2}-\dfrac{1}{2}=-3 \end{array}$
Wir setzen $r_1=-2$ bzw. $r_2=-3$ in die Geradengleichung ein und bestimmen so die Punkte:
Für $r_1=-2$:
$g:\overrightarrow{x}$$=\left(\begin{array}{r} 12\\ -6\\ 8\\ \end{array}\right)+(-2)\cdot\left(\begin{array}{r} 4\\ -3\\ 1\\ \end{array}\right)$$=\left(\begin{array}{r} 4\\ 0\\ 6\\ \end{array}\right)$
Für $r_2=-3$:
$g:\overrightarrow{x}$=$\left(\begin{array}{r} 12\\ -6\\ 8\\ \end{array}\right)+(-3)\cdot\left(\begin{array}{r} 4\\ -3\\ 1\\ \end{array}\right)$=$\left(\begin{array}{r} 0\\ 3\\ 5\\ \end{array}\right)$
$S_{r_1}\left(4\mid 0\mid 6\right)$, $S_{r_2}\left(0\mid 3\mid 5\right)$.
b)
Punkt auf $g$ bestimmen
Alle Punkte $Q$ der Geraden $g$ haben die Koordinaten $Q\left(-11-7r\mid 12+4r\mid -2-3r\right)$. Den Abstand von $P$ zu $Q$ können wir wie den Abstand zweier Punkte berechnen. Dieser Abstand soll $d=5$ sein:
$\left|\overrightarrow{PQ}\right|$=$\left|\left(\begin{array}{r} -11\\ 12\\ -2\\ \end{array}\begin{array}{r} -\\ +\\ -\\ \end{array}\begin{array}{r} 7r\\ 4r\\ 3r\\ \end{array}\right)-\left(\begin{array}{r} -1\\ 4\\ 1\\ \end{array}\right)\right|$=$d$
$\begin{array}{rll} 5=&\sqrt{\left(-11-7r+1\right)^2+\left(12+4r-4\right)^2+\left(-2-3r-1\right)^2} \\[5pt] 5=&\sqrt{\left(-10-7r\right)^2+\left(8+4r\right)^2+\left(-3-3r\right)^2} \\[5pt] 5=&\sqrt{100+140r+49r^2+64+64r+16r^2+9+18r+9r^2} \\[5pt] 5=&\sqrt{74r^2+222r+173}&\quad\scriptsize\mid \left(\;\right)^2 \\[5pt] 25=&74r^2+222r+173&\quad\scriptsize\mid -25 \\[5pt] 0=&74r^2+222r+148&\quad\scriptsize\mid :74 \\[5pt] 0=&r^2+3r+2 \end{array}$
$\begin{array}{rll} 0=&r^2+3r+2 \end{array}$
Um die quadratische Gleichung zu lösen benutzen wir die $pq-Formel$:
$\begin{array}{rll} r_{1,2}=&-\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} \\ \\ r_{1,2}=&-\dfrac{3}{2}\pm\sqrt{\dfrac{9}{4}-2} \\[5pt] =&-\dfrac{3}{2}\pm\sqrt{\dfrac{1}{4}} \\ \\ r_1=&-\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{2}=-1 \\[5pt] r_2=&-\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2}=-2 \end{array}$
Wir setzen $r_1=-1$ bzw. $r_2=-2$ in die Geradengleichung ein und bestimmen so die Punkte:
Für $r_1=-1$:
$g$:$\overrightarrow{x}$$=\left(\begin{array}{r} -11\\ 12\\ -2\\ \end{array}\right)+(-1)\cdot\left(\begin{array}{r} -7\\ 4\\ -3\\ \end{array}\right)$$=\left(\begin{array}{r} -4\\ 8\\ 1\\ \end{array}\right)$
Für $r_2=-2$:
$g$:$\overrightarrow{x}$=$\left(\begin{array}{r} -11\\ 12\\ -2\\ \end{array}\right)+(-2)\cdot\left(\begin{array}{r} -7\\ 4\\ -3\\ \end{array}\right)$=$\left(\begin{array}{r} 3\\ 4\\ 4\\ \end{array}\right)$
$S_{r_1}\left(-4\mid 8\mid 1\right)$, $S_{r_2}\left(3\mid 4\mid 4\right)$.
c)
Punkt auf $g$ bestimmen
Alle Punkte $Q$ der Geraden $g$ haben die Koordinaten $Q\left(-12+8r\mid 12-6r\mid 5+2r\right)$. Den Abstand von $P$ zu $Q$ können wir wie den Abstand zweier Punkte berechnen. Dieser Abstand soll $d=6$ sein:
$\left|\overrightarrow{PQ}\right|$=$\left|\left(\begin{array}{r} -12\\ 12\\ 5\\ \end{array}\begin{array}{r} +\\ -\\ +\\ \end{array}\begin{array}{r} 8r\\ 6r\\ 2r\\ \end{array}\right)-\left(\begin{array}{r} 0\\ 2\\ 5\\ \end{array}\right)\right|=d$
$\begin{array}{rll} 6=&\sqrt{\left(-12+8r-0\right)^2+\left(12-6r-2\right)^2+\left(5+2r-5\right)^2} \\[5pt] 6=&\sqrt{\left(-12+8r\right)^2+\left(10-6r\right)^2+\left(2r\right)^2} \\[5pt] 6=&\sqrt{144-192r+64r^2+100-120r+36r^2+4r^2} \\[5pt] 6=&\sqrt{104r^2-312r+244}&\quad\scriptsize\mid \left(\;\right)^2 \\[5pt] 36=&104r^2-312r+244&\quad\scriptsize\mid -36 \\[5pt] 0=&104r^2-312r+208&\quad\scriptsize\mid :104 \\[5pt] 0=&r^2-3r+2 \end{array}$
$\begin{array}{rll} 0=&r^2-3r+2 \end{array}$
Um die quadratische Gleichung zu lösen benutzen wir die $pq-Formel$:
$\begin{array}{rll} r_{1,2}=&-\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} \\ \\ r_{1,2}=&\dfrac{3}{2}\pm\sqrt{\dfrac{9}{4}-2} \\[5pt] =&\dfrac{3}{2}\pm\sqrt{\dfrac{1}{4}} \\ \\ r_1=&\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{2}=2 \\[5pt] r_2=&\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2}=1 \end{array}$
Wir setzen $r_1=2$ bzw. $r_2=1$ in die Geradengleichung ein und bestimmen so die Punkte:
Für $r_1=2$:
$g$:$\overrightarrow{x}$$=\left(\begin{array}{r} -12\\ 12\\ 5\\ \end{array}\right)+2\cdot\left(\begin{array}{r} 8\\ -6\\ 2\\ \end{array}\right)$$=\left(\begin{array}{r} 4\\ 0\\ 9\\ \end{array}\right)$
Für $r_2=1$:
$g$:$\overrightarrow{x}$=$\left(\begin{array}{r} -12\\ 12\\ 5\\ \end{array}\right)+1\cdot\left(\begin{array}{r} 8\\ -6\\ 2\\ \end{array}\right)$=$\left(\begin{array}{r} -4\\ 6\\ 7\\ \end{array}\right)$
$S_{r_1}\left(4\mid 0\mid 9\right)$, $S_{r_2}\left(-4\mid 6\mid 7\right)$.
4.
a)
Punkt $Q$ bestimmen
Jeder Punkt $Q$ auf der Geraden $g$ hat die Koordinaten $Q\left(-5-2r\mid 2\mid 6+r\right)$.
1. Schritt: Abstand von $A$ bzw. $B$
$\blacktriangleright$ Abstand von $Q$ zu $A$ bestimmen
$\left|\overrightarrow{AQ}\right|$=$\left|\left(\begin{array}{r} -5\\ 2\\ 6\\ \end{array}\begin{array}{r} -\\ +\\ +\\ \end{array}\begin{array}{r} 2r\\ 0\\ 1r\\ \end{array}\right)-\left(\begin{array}{r} 3\\ 5\\ -3\\ \end{array}\right)\right|$=$d_{A;Q}$
$\begin{array}{rl} d_{A;Q}=&\sqrt{((-5-2r)-3)^2+(2-5)^2+((6+r)-(-3))^2} \\[5pt] =&\sqrt{(-8-2r)^2+9+(9+r)^2} \\[5pt] =&\sqrt{64+32r+4r^2+9+81+18r+r^2} \\[5pt] =&\sqrt{5r^2+50r+154} \end{array}$
$\begin{array}{rl} d_{A;Q}=&\sqrt{5r^2+50r+154} \end{array}$
$\blacktriangleright$ Abstand von $Q$ nach $B$ bestimmen
$\left|\overrightarrow{BQ}\right|$=$\left|\left(\begin{array}{r} -5\\ 2\\ 6\\ \end{array}\begin{array}{r} -\\ +\\ +\\ \end{array}\begin{array}{r} 2r\\ 0\\ 1r\\ \end{array}\right)-\left(\begin{array}{r} -5\\ 5\\ 1\\ \end{array}\right)\right|$=$d_{B;Q}$
$\begin{array}{rl} d_{B;Q}=&\sqrt{((-5-2r)-(-5))^2+(2-5)^2+((6+r)-1)^2} \\[5pt] =&\sqrt{(-2r)^2+9+(5+r)^2} \\[5pt] =&\sqrt{4r^2+9+25+10r+r^2} \\[5pt] =&\sqrt{5r^2+10r+34} \end{array}$
$\begin{array}{rl} d_{B;Q}=&\sqrt{5r^2+10r+34} \end{array}$
2. Schritt: Abstände gleichsetzen
Da der Abstand von $A$ nach $Q$ genauso groß sein soll, wie der von $B$ nach $Q$, setzen wir die Abstände gleich und lösen nach $r$ auf. Diesen Wert für $r$ können wir dann in die Geradengleichung einsetzen und den Punkt $Q$ bestimmen.
$\begin{array}{rll} \sqrt{5r^2+50r+154}=&\sqrt{5r^2+10r+34}&\quad\scriptsize\mid \left(\;\right)^2 \\[5pt] 5r^2+50r+154=&5r^2+10r+34&\quad\scriptsize\mid -5r^2-10r-154\\ 40r=&-120&\quad\scriptsize\mid :40 \\[5pt] r=&-3 \end{array}$
$\begin{array}{rll} r=&-3 \end{array}$
$r$ in $Q$ einsetzen:
$Q\left(-5-2\cdot(-3)\mid 2\mid 6+(-3)\right)$.
Daraus ergibt sich der Punkt $Q\left(1\mid 2\mid 3\right)$.
b)
Punkt $Q$ bestimmen
Jeder Punkt $Q$ auf der Geraden $g$ hat die Koordinaten $Q\left(6+r\mid -3-r\mid 12+2r\right)$.
1. Schritt: Abstand von $A$ bzw. $B$
$\blacktriangleright$Abstand von $Q$ zu $A$ bestimmen
$\left|\overrightarrow{AQ}\right|$=$\left|\left(\begin{array}{r} 6\\ -3\\ 12\\ \end{array}\begin{array}{r} +\\ -\\ +\\ \end{array}\begin{array}{r} 1r\\ 1r\\ 2r\\ \end{array}\right)-\left(\begin{array}{r} 4\\ -1\\ 5\\ \end{array}\right)\right|$=$d_{A;Q}$
$\begin{array}{rl} d_{A;Q}=&\sqrt{((6+r)-4)^2+((-3-r)-(-1))^2+((12+2r)-5)^2} \\[5pt] =&\sqrt{(2+r)^2+(-2-r)^2+(7+2r)^2} \\[5pt] =&\sqrt{4+4r+r^2+4+4r+r^2+49+28r+4r^2} \\[5pt] =&\sqrt{6r^2+36r+57} \end{array}$
$\begin{array}{rl} d_{A;Q}=&\sqrt{6r^2+36r+57} \end{array}$
$\blacktriangleright$Abstand von $Q$ nach $B$ bestimmen
$\left|\overrightarrow{BQ}\right|$=$\left|\left(\begin{array}{r} 6\\ -3\\ 12\\ \end{array}\begin{array}{r} +\\ -\\ +\\ \end{array}\begin{array}{r} 1r\\ 1r\\ 2r\\ \end{array}\right)-\left(\begin{array}{r} 1\\ 3\\ 6\\ \end{array}\right)\right|$=$d_{B;Q}$
$\begin{array}{rl} d_{B;Q}=&\sqrt{((6+r)-1)^2+((-3-r)-3)^2+((12+2r)-6)^2} \\[5pt] =&\sqrt{(5+r)^2+(-6-r)^2+(6+2r)^2} \\[5pt] =&\sqrt{25+10r+r^2+36+12r+r^2+36+24r+4r^2} \\[5pt] =&\sqrt{6r^2+46r+97} \end{array}$
$\begin{array}{rl} d_{B;Q}=&\sqrt{6r^2+46r+97} \end{array}$
2. Schritt: Abstände gleichsetzen
Da der Abstand von $A$ nach $Q$ genauso groß sein soll, wie der von $B$ nach $Q$, setzen wir die Abstände gleich und lösen nach $r$ auf. Diesen Wert für $r$ können wir dann in die Geradengleichung einsetzen und unseren Punkt $Q$ bestimmen.
$\begin{array}{rll} \sqrt{6r^2+36r+57}=&\sqrt{6r^2+46r+97}&\quad\scriptsize\mid \left(\;\right)^2 \\[5pt] 6r^2+36r+57=&6r^2+46r+97&\quad\scriptsize\mid -6r^2-46r-57 \\[5pt] -10r=&40&\quad\scriptsize\mid :(-10) \\[5pt] r=&-4 \end{array}$
$\begin{array}{rll} r=&-4 \end{array}$
$r$ in $Q$ einsetzen:
$Q\left(6+(-4)\mid -3-(-4)\mid 12+2\cdot(-4)\right)$
$Q$
.
Daraus ergibt sich der Punkt $Q\left(2\mid 1\mid 4\right)$.
c)
Punkt $Q$ bestimmen
Jeder Punkt $Q$ auf der Geraden $g$ hat die Koordinaten $Q\left(5+r\mid 4\mid 12+3r\right)$.
1. Schritt: Abstand von $A$ bzw. $B$
$\blacktriangleright$ Abstand von $Q$ zu $A$ bestimmen
$\left|\overrightarrow{AQ}\right|$=$\left|\left(\begin{array}{r} 5\\ 4\\ 12\\ \end{array}\begin{array}{r} +\\ +\\ +\\ \end{array}\begin{array}{r} 1r\\ 0\\ 3r\\ \end{array}\right)-\left(\begin{array}{r} (-3)\\ 1\\ 0\\ \end{array}\right)\right|$=$d_{A;Q}$
$\begin{array}{rl} d_{A;Q}=&\sqrt{((5+r)-(-3))^2+(4-1)^2+(12+3r)^2} \\[5pt] =&\sqrt{(8+r)^2+9+(12+3r)^2} \\[5pt] =&\sqrt{64+16r+r^2+9+144+72r+9r^2} \\[5pt] =&\sqrt{10r^2+88r+217} \end{array}$
$\begin{array}{rl} d_{A;Q}=&\sqrt{10r^2+88r+217} \end{array}$
$\blacktriangleright$ Abstand von $Q$ nach $B$ bestimmen
$\left|\overrightarrow{BQ}\right|$=$\left|\left(\begin{array}{r} 5\\ 4\\ 12\\ \end{array}\begin{array}{r} +\\ +\\ +\\ \end{array}\begin{array}{r} 1r\\ 0\\ 3r\\ \end{array}\right)-\left(\begin{array}{r} 1\\ 1\\ 4\\ \end{array}\right)\right|$=$d_{B;Q}$
$\begin{array}{rl} d_{B;Q}=&\sqrt{((5+r)-1)^2+(4-1)^2+((12+3r)-4)^2} \\[5pt] =&\sqrt{(4+r)^2+9+(8+3r)^2} \\[5pt] =&\sqrt{16+8r+r^2+9+64+48r+9r^2} \\[5pt] =&\sqrt{10r^2+56r+89} \end{array}$
$\begin{array}{rl} d_{B;Q}=&\sqrt{10r^2+56r+89} \end{array}$
2. Schritt: Abstände gleichsetzen
Da der Abstand von $A$ nach $Q$ genauso groß sein soll, wie der von $B$ nach $Q$, setzen wir die Abstände gleich und lösen nach $r$ auf. Diesen Wert für $r$ können wir dann in die Geradengleichung einsetzen und unseren Punkt $Q$ bestimmen.
$\begin{array}{rll} \sqrt{10r^2+88r+217}=&\sqrt{10r^2+56r+89}&\quad\scriptsize\mid \left(\;\right)^2 \\[5pt] 10r^2+88r+217=&10r^2+56r+89&\quad\scriptsize\mid -10r^2-56r-217 \\[5pt] 32r=&-128&\quad\scriptsize\mid :32 \\[5pt] r=&-4 \end{array}$
$\begin{array}{rll} r=&-4 \end{array}$
$r$ in $Q$ einsetzen:
$Q\left(5+(-4)\mid 4\mid 12+3\cdot(-4)\right)$.
Daraus ergibt sich der Punkt $Q\left(1\mid 4\mid 0\right)$.
d)
Punkt $Q$ bestimmen
Jeder Punkt $Q$ auf der Geraden $g$ hat die Koordinaten $Q\left(8+r\mid 1+r\mid 4+r\right)$.
1. Schritt: Abstand von $A$ bzw. $B$
$\blacktriangleright$ Abstand von $Q$ zu $A$ bestimmen
$\left|\overrightarrow{AQ}\right|$=$\left|\left(\begin{array}{r} 8\\ 1\\ 4\\ \end{array}\begin{array}{r} +\\ +\\ +\\ \end{array}\begin{array}{r} 1r\\ 1r\\ 1r\\ \end{array}\right)-\left(\begin{array}{r} 3\\ -4\\ -1\\ \end{array}\right)\right|$=$d_{A;Q}$
$\begin{array}{rl} d_{A;Q}=&\sqrt{((8+r)-3)^2+((1+r)-(-4))^2+((4+r)-(-1))^2} \\[5pt] =&\sqrt{(5+r)^2+(5+r)^2+(5+r)^2} \\[5pt] =&\sqrt{3\cdot\left(5+r\right)^2} \\[5pt] =&\sqrt{3\cdot\left(25+10r+r^2\right)} \\[5pt] =&\sqrt{75+30r+3r^2} \end{array}$
$\begin{array}{rl} d_{A;Q}=&\sqrt{75+30r+3r^2} \end{array}$
$\blacktriangleright$ Abstand von $Q$ nach $B$ bestimmen
$\left|\overrightarrow{BQ}\right|$=$\left|\left(\begin{array}{r} 8\\ 1\\ 4\\ \end{array}\begin{array}{r} +\\ +\\ +\\ \end{array}\begin{array}{r} 1r\\ 1r\\ 1r\\ \end{array}\right)-\left(\begin{array}{r} -1\\ -2\\ 3\\ \end{array}\right)\right|$=$d_{B;Q}$
$\begin{array}{rl} d_{B;Q}=&\sqrt{((8+r)-(-1))^2+((1+r)-(-2))^2+((4+r)-3)^2} \\[5pt] =&\sqrt{(9+r)^2+(3+r)^2+(1+r)^2} \\[5pt] =&\sqrt{81+18r+r^2+9+6r+r^2+1+2r+r^2} \\[5pt] =&\sqrt{3r^2+26r+91} \end{array}$
$\begin{array}{rl} d_{B;Q}=&\sqrt{3r^2+26r+91} \end{array}$
2. Schritt: Abstände gleichsetzen
Da der Abstand von $A$ nach $Q$ genauso groß sein soll, wie der von $B$ nach $Q$, setzen wir die Abstände gleich und lösen nach $r$ auf. Diesen Wert für $r$ können wir dann in die Geradengleichung einsetzen und unseren Punkt $Q$ bestimmen.
$\begin{array}{rll} \sqrt{75+30r+3r^2}=&\sqrt{3r^2+26r+91}&\quad\scriptsize\mid \left(\;\right)^2 \\[5pt] 75+30r+3r^2=&3r^2+26r+91&\quad\scriptsize\mid -3r^2-26r-75 \\[5pt] 4r=&16&\quad\scriptsize\mid :4 \\[5pt] r=&4 \end{array}$
$\begin{array}{rll} r=&4 \end{array}$
$r$ in $Q$ einsetzen:
$Q\left(8+4\left|1+4\mid 4+4\right)\right)$.
Daraus ergibt sich der Punkt $Q\left(12\mid 5\mid 8\right)$.
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