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Punkt - Gerade

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Mit dem Abstand zwischen einem Punkt $P$ und einer Gerade $g$ ist der kürzeste Abstand gemeint. Es gibt zwei mögliche Vorgehensweisen, um diesen kürzesten Abstand zu bestimmen.

Vorgehen – mit Hilfsebene

  1. Stelle eine Hilfsebene in Normalenform auf, die senkrecht auf der Geraden $g$ steht und den Punkt $P$ enthält. Der Richtungsvektor von $g$ stellt somit einen Normalenvektor der Ebene dar, der Stützpunkt der Ebene ist $P$.
  2. Wandle die Normalenform in die Koordinatenform um.
  3. Berechne den Schnittpunkt $S$ der Gerade und der Hilfsebene.
  4. Berechne den Abstand zwischen dem Schnittpunkt $S(s_1\mid s_2 \mid s_3)$ und dem Punkt $P(p_1\mid p_2 \mid p_3)$.

  5. $d = \sqrt{(s_1-p_1)^2 + (s_2-p_2)^2 + (s_3-p_3)^2}$

    $d = $ $\scriptsize{\sqrt{(s_1-p_1)^2 + (s_2-p_2)^2 + (s_3-p_3)^2}}$

Alternatives Vorgehen

  1. Bestimme die allgemeinen Koordinaten der Punkte $G$, die auf der Geraden liegen.
  2. Berechne den Parameter, sodass der Richtungsvektor der Gerade senkrecht zum Verbindungsvektor $\overrightarrow{PG}$ verläuft.
  3. Bestimme die Koordinaten des Punktes $Q$ mit dem geringsten Abstand zum Punkt $P$.
  4. Berechne den Abstand zwischen $Q$ und $P$.
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