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Hypergeometrische Verteilung

Spickzettel
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Die hypergeometrische Verteilung kann für eine Zufallsgröße $X$ verwendet werden, wenn das zugehörige Zufallsexperiment wie folgt beschrieben werden kann:
Aus einer Menge mit $N$ Objekten, unter denen sich $M$ Objekte mit einer bestimmten Eigenschaft befinden, werden $n$ Objekte ohne zurücklegen gezogen. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich darunter $k$ Objekte mit der genannten Eigenschaft befinden, kann mit folgender Formel berechnet werden.
$P(X=k) = \dfrac{\binom{M}{k}\cdot \binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}}$
$P(X=k) = \dfrac{\binom{M}{k}\cdot \binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}}$
Für den Erwartungswert und die Standardabweichung gilt:
$\mu = n\cdot \frac{M}{N}$
$\sigma^2 = n\cdot \frac{M}{N}\cdot \left(1-\frac{M}{N}\right)\cdot \frac{N-n}{N-1}$
$\mu = n\cdot \frac{M}{N}$
$\sigma^2 = n\cdot \frac{M}{N}\cdot \left(1-\frac{M}{N}\right)\cdot \frac{N-n}{N-1}$
#hypergeometrischeverteilung
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Aufgaben
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Aufgabe 1

In einer Lostrommel befinden sich $20$ Gewinnlose und $50$ Nieten. Jemand zieht $15$ Lose aus der Trommel.
a)
Berechne die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
Keines der gezogenen Lose ist ein Gewinn.
Nur $5$ der gezogenen Lose sind Gewinne.
Höchstens $13$ der gezogenen Lose sind Nieten.
b)
Wie viele Gewinne können unter den gezogenen Losen erwartet werden?
c)
Statt $15$ werden nun doch nur $5$ Lose gezogen. Berechne mithilfe der hypergeometrischen Verteilung die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich keine Niete darunter befindet.
Gibt es einen anderen Rechenweg, der vielleicht sogar einfacher ist? Wenn ja, gib ihn an.

Aufgabe 2

An deiner Schule wird für die Oberstufenschüler eine neue AG angeboten. Da es dabei einmal in der Woche zum nächstgelegenen See zum Waveboarden geht, möchten natürlich viele Schüler teilnehmen. Die Plätze sind aber auf $30$ begrenzt. Unter den $150$ Interessenten wird also ausgelost.
a)
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass du für die AG ausgelost wirst.
Gibt es einen anderen Rechenweg, der vielleicht sogar einfacher ist? Wenn ja, gib ihn an.
b)
Dein Sportkurs besteht mit dir zusammen aus $22$ Schülern. Ihr habt euch alle für die AG angemeldet. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ihr ausgelost werdet?
c)
Du hast dich gemeinsam mit $11$ Freunden angemeldet. Wir groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Hälfte von euch ausgelost wird?

Aufgabe 3

a)
Du willst dir gemeinsam mit fünf weiteren Freunden einen Film im Kino ansehen. Der Saal hat $250$ Sitzplätze, die letzte Reihe hat $16$ Sitzplätze. Es sind bereits $150$ Karten verkauft. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass noch genügend Plätze für euch in der letzten Reihe verfügbar sind?
b)
Ihr habt zu lange gebraucht um euch zu entscheiden, ob ihr die Karten kaufen sollt. Die Vorstellung ist nun ausgebucht. Es gibt noch eine spätere Vorstellung im gleichen Saal, bei der erst $80$ Karten verkauft sind. Einer eurer Freunde kann zu der Uhrzeit aber nicht und sagt ab.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in dieser Vorstellung genug Plätze in der letzten Reihe verfügbar sind?
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Lösungen
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Aufgabe 1

a)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten berechnen
Betrachtet wird die Zufallsgröße $X,$ die die Anzahl der Gewinnlose unter den $15$ gezogenen Losen beschreibt. Diese ist hypergeometrisch verteilt mit
  • $N= 20 +50 = 70$
  • $M= 20$
  • $n = 15$
Die gesuchten Wahrscheinlichkeiten ergeben sich mithilfe der zugehörigen Formel:
$\begin{array}[t]{rll} P(A)&=& P(X=0) \\[5pt] &=& \dfrac{\binom{20}{0}\cdot \binom{70-20}{15-0}}{\binom{70}{15}} \\[5pt] &\approx& 0,0031\\[5pt] &=& 0,31\,\%\\[10pt] P(B)&=& P(X=5) \\[5pt] &=& \dfrac{\binom{20}{5}\cdot \binom{70-20}{15-5}}{\binom{70}{15}} \\[5pt] &\approx& 0,2207\\[5pt] &=& 22,07\,\%\\[10pt] P(C)&=& P(X\geq 2) \\[5pt] &=&1- P(X\leq 1) \\[5pt] &=&1- P(X= 0)-P(X=1) \\[5pt] &\approx& 1-0,0031-\dfrac{\binom{20}{1}\cdot \binom{70-20}{15-1}}{\binom{70}{15}} \\[5pt] &\approx& 1-0,0031-0,0260 \\[5pt] &=& 0,9709\\[5pt] &=& 97,09\,\%\\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(A)&=& P(X=0) \\[5pt] &\approx& 0,0031\\[5pt] &=& 0,31\,\%\\[10pt] P(B)&=& P(X=5) \\[5pt] &\approx& 0,2207\\[5pt] &=& 22,07\,\%\\[10pt] P(C)&=& P(X\geq 2) \\[5pt] &\approx& 0,9709\\[5pt] &=& 97,09\,\%\\[10pt] \end{array}$
b)
$\blacktriangleright$  Anzahl erwarteter Gewinne ermitteln
Mithilfe der Formel für den Erwartungswert von $X$ ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} \mu&=&15\cdot \frac{20}{70} \\[5pt] &\approx& 4,3 \end{array}$
Es können $4$ bis $5$ Gewinnlos erwartet werden.
c)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit mithilfe der hypergeometrischen Verteilung berechnen
Betrachtet wird die Zufallsgröße $Y,$ die die Anzahl der Gewinnlose unter den $5$ gezogenen Losen beschreibt. Diese ist hypergeometrisch verteilt mit
  • $N= 20 +50 = 70$
  • $M= 20$
  • $n = 5$
Mithilfe der Formel ergibt sich dann:
$\begin{array}[t]{rll} P(Y=5)&=& \dfrac{\binom{20}{5}\cdot \binom{70-20}{5-5}}{\binom{70}{5}} \\[5pt] &\approx& 0,0013 \\[5pt] &=& 0,13\,\% \end{array}$
$\blacktriangleright$  Alternativen Lösungsweg angeben
Mithilfe der Pfadmultiplikationsregel kann man die Wahrscheinlichkeit ebenfalls berechnen:
$\frac{20}{70}\cdot\frac{19}{69}\cdot\frac{18}{68}\cdot \frac{17}{67}\cdot \frac{16}{66}\approx 0,0013 =0,13\,\%$
$ \frac{20}{70}\cdot\frac{19}{69}\cdot … $
Da es für dieses Ereignis nur einen geeigneten Pfad gibt, der zudem noch recht kurz ist, ist die Berechnung mithilfe der Pfadregeln ebenfalls sehr übersichtlich und unter Umständen leichter zu berechnen, vor allem wenn gegebenenfalls kein Taschenrechner zur Verfügung steht um die Binomialkoeffizienten zu berechnen.
#pfadregeln#erwartungswert

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Betrachtet wird die Zufallsgröße $Z,$ die angibt, ob du ausgelost wirst oder nicht. Diese ist hypergeometrisch verteilt mit
  • $N = 150$
  • $M = 1$
  • $n=30$
Mit der zugehörigen Formel ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} P(Z=1)&=& \dfrac{\binom{1}{1}\cdot \binom{150-1}{30-1}}{\binom{150}{30}} \\[5pt] &=& 0,2 \\[5pt] &=& 20\,\% \\[5pt] \end{array}$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $20\,\%$ kannst du an der AG teilnehmen.
$\blacktriangleright$  Alternativen Lösungsweg angeben
Betrachte das Zufallsexperiment andersherum:
Jeder der $150$ Interessenten zieht ein Los aus einer Lostrommel ohne zurücklegen. In dieser Lostrommel liegen $30$ Gewinnlose und $120$ Nieten.
Wenn du dein Los ziehst, ziehst du also mit einer Wahrscheinlichkeit von $p = \frac{30}{150} = 0,2$ einen Gewinn.
Mit diesem Rechenweg kannst du dir einige umständliche Rechnungen ersparen und senkst das Risiko, dich im Taschenrechner zu vertippen.
b)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Betrachtet wird die Zufallsgröße $Z_b,$ die angibt, wie viele aus eurem Sportkurs an der AG teilnehmen können. Diese ist hypergeometrisch verteilt mit
  • $N = 150$
  • $M = 22$
  • $n=30$
Mit der zugehörigen Formel ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} P(Z_b=22)&=& \dfrac{\binom{22}{22}\cdot \binom{150-22}{30-22}}{\binom{150}{30}} \\[5pt] &\approx& 4,4\cdot 10^{-20} \\[5pt] &\approx& 0\,\% \\[5pt] \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit, dass der gesamte Sportkurs an der AG teilnehmen kann, ist also nahezu $0\,\%.$
c)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Betrachtet wird die Zufallsgröße $Z_c,$ die angibt, wie viele aus deinem Freundeskreis an der AG teilnehmen können. Diese ist hypergeometrisch verteilt mit
  • $N = 150$
  • $M = 12$
  • $n=30$
Mit der zugehörigen Formel ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} P(Z_c=6)&=& \dfrac{\binom{12}{6}\cdot \binom{150-12}{30-6}}{\binom{150}{30}} \\[5pt] &\approx& 0,0126 \\[5pt] &\approx& 1,26\,\% \\[5pt] \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Hälfte von euch an der AG teilnehmen kann, beträgt ca. $1,26\,\%.$

Aufgabe 3

a)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Betrachtet wird die Zufallsgröße $X_a,$ die angibt, wie viele der freien Plätze in der letzten Reihe sind. Diese ist hypergeometrisch verteilt mit
  • $N = 250$
  • $M = 16$
  • $n=100$
Mit der zugehörigen Formel ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} P(x_a=6)&=& \dfrac{\binom{16}{6}\cdot \binom{250-16}{100-6}}{\binom{250}{100}} \\[5pt] &\approx& 0,2046 \\[5pt] &=& 20,46\,\% \\[5pt] \end{array}$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $20,46\,\%$ sind noch genau $6$ Plätze in der letzten Reihe frei.
b)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Betrachtet wird die Zufallsgröße $X_b,$ die angibt, wie viele Plätze in der letzten Reihe noch frei sind. Diese ist hypergeometrisch verteilt mit
  • $N = 250$
  • $M = 16$
  • $n=170$
Mit der zugehörigen Formel ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} P(x_a=5)&=& \dfrac{\binom{16}{5}\cdot \binom{250-16}{170-5}}{\binom{250}{170}} \\[5pt] &\approx& 0,0017 \\[5pt] &=& 0,17\,\% \\[5pt] \end{array}$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $0,17\,\%$ sind noch genau $5$ Plätze in der letzten Reihe frei.
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