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Exponentielles Wachstum

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Beim exponentiellen Wachstum handelt es sich um ein mathematisches Modell, welches oft für Wachstumsprozesse bei Bakterien angewendet wird. Ebenso oft kommt der exponentielle Zerfall vor, bei dem es sich um das gleiche Modell handelt, allerdings nimmt die betrachtete Größe ab. Dies kommt oft in Verbindung mit dem Zerfall radioaktiver Stoffe vor.

Modell

Eine exponentielle Wachstumsfunktion hat allgemein folgende Gleichung:
$B(t)= B(0) \cdot b^t$
$B(t)= B(0) \cdot b^t$
Dabei gilt folgendes für die Parameter:
  • t: Zeit
  • B(0): Anfangsbestand
  • B(t): Bestandsgröße nach $t$ Zeitschritten
  • b: Wachstumsfaktor

Weitere Darstellungsweisen

Mit Hilfe der Wachstumsrate:

$B(t)= B(0) \cdot (1+p)^t$
$B(t)= B(0) \cdot (1+p)^t$
Dabei beschreibt $|p| \in (0,1)$ die prozentuale Zunahme bzw. Abnahme der Bestandsgröße pro Zeitschritt und wird als Wachstumsrate bezeichnet. Handelt es sich um exponentiellen Zerfall, so ist $p$ negativ, ansonsten positiv. Es gilt der Zusammenhang $b = 1+p$

Mit Hilfe der $\mathrm e$-Funktion:

$B(t)= B(0) \cdot \mathrm e^{λ\cdot t}$
$B(t)= B(0) \cdot \mathrm e^{λ\cdot t}$
Dabei wird $λ$ als Wachstumskonstante bezeichnet und steht in folgendem Zusammenhang: $λ = \ln(b) = \ln(1+p)$

Beispiel 1

Der Zerfall von 8g Iod$_{131}$ wird durch die folgende Gleichung beschrieben, wobei $t$ in Tagen und $B(t)$ in Gramm gemessen wird:
$B(t) = 8\cdot 0,9170^t$ Wir können nun die Halbwertszeit von Iod$_{131}$ berechnen, also die Zeit nach der sich die radioaktive Masse halbiert hat. Dazu setzen wir den Funktionsterm mit $0,5 \cdot 8= 4$ gleich und lösen nach $t$ auf:
\begin{array}{rll} 4 =&8\cdot 0,9170^t& \mid\; :8 \\ 0,5 =&0,9170^t& \ln \\ \ln(0,5) = &\ln(0,9170^t)& \\ \ln(0,5) =&t\cdot\ln(0,9170)& \mid\; : \ln(0,9170)\\ \dfrac{\ln(0,5)}{\ln(0,9170)} =&t& \\ t \approx&8& \\ \end{array}
\begin{array}{rll} t \approx&8& \\ \end{array}
Das radioaktive Isotop 131 von Iod hat also eine Halbwertszeit von ca. 8 Tagen.

Beispiel 2

Von einer Bakterienkultur sind zu Beginn der Messung 100 Bakterien vorhanden. Jede Minute verdoppelt sich jedes Bakterium durch Zellteilung. Mit $t$ in Minuten und $B(t)$ in der Anzahl der Bakterien, wird das Wachstum der Bakterienkultur mit folgender Gleichung beschrieben:
$p = 1 \\\Rightarrow b = 1+1 = 2 \\\Rightarrow λ = \ln(2) \approx0,6931 \qquad$ $ B(0) = 100$
$\Rightarrow B(t) = 100 \cdot 2^t = 100\cdot \mathrm e ^{0,6931\cdot t}$

Tipp

Im Beispiel hast du bereits einige Rechenregeln für den Logarithmus verwendet. Es ist also hilfreich, dir noch einmal alle Rechenregeln für Exponential- und Logarithmusfunktionen ins Gedächtnis zu rufen, um mit Wachstumsfunktionen umgehen zu können.
#wachstum
Beim exponentiellen Wachstum handelt es sich um ein mathematisches Modell, welches oft für Wachstumsprozesse bei Bakterien angewendet wird. Ebenso oft kommt der exponentielle Zerfall vor, bei dem es sich um das gleiche Modell handelt, allerdings nimmt die betrachtete Größe ab. Dies kommt oft in Verbindung mit dem Zerfall radioaktiver Stoffe vor.

Modell

Eine exponentielle Wachstumsfunktion hat allgemein folgende Gleichung:
$B(t)= B(0) \cdot b^t$
$B(t)= B(0) \cdot b^t$
Dabei gilt folgendes für die Parameter:
  • t: Zeit
  • B(0): Anfangsbestand
  • B(t): Bestandsgröße nach $t$ Zeitschritten
  • b: Wachstumsfaktor

Weitere Darstellungsweisen

Mit Hilfe der Wachstumsrate:

$B(t)= B(0) \cdot (1+p)^t$
$B(t)= B(0) \cdot (1+p)^t$
Dabei beschreibt $|p| \in (0,1)$ die prozentuale Zunahme bzw. Abnahme der Bestandsgröße pro Zeitschritt und wird als Wachstumsrate bezeichnet. Handelt es sich um exponentiellen Zerfall, so ist $p$ negativ, ansonsten positiv. Es gilt der Zusammenhang $b = 1+p$

Mit Hilfe der $\mathrm e$-Funktion:

$B(t)= B(0) \cdot \mathrm e^{λ\cdot t}$
$B(t)= B(0) \cdot \mathrm e^{λ\cdot t}$
Dabei wird $λ$ als Wachstumskonstante bezeichnet und steht in folgendem Zusammenhang: $λ = \ln(b) = \ln(1+p)$

Beispiel 1

Der Zerfall von 8g Iod$_{131}$ wird durch die folgende Gleichung beschrieben, wobei $t$ in Tagen und $B(t)$ in Gramm gemessen wird:
$B(t) = 8\cdot 0,9170^t$ Wir können nun die Halbwertszeit von Iod$_{131}$ berechnen, also die Zeit nach der sich die radioaktive Masse halbiert hat. Dazu setzen wir den Funktionsterm mit $0,5 \cdot 8= 4$ gleich und lösen nach $t$ auf:
\begin{array}{rll} 4 =&8\cdot 0,9170^t& \mid\; :8 \\ 0,5 =&0,9170^t& \ln \\ \ln(0,5) = &\ln(0,9170^t)& \\ \ln(0,5) =&t\cdot\ln(0,9170)& \mid\; : \ln(0,9170)\\ \dfrac{\ln(0,5)}{\ln(0,9170)} =&t& \\ t \approx&8& \\ \end{array}
\begin{array}{rll} t \approx&8& \\ \end{array}
Das radioaktive Isotop 131 von Iod hat also eine Halbwertszeit von ca. 8 Tagen.

Beispiel 2

Von einer Bakterienkultur sind zu Beginn der Messung 100 Bakterien vorhanden. Jede Minute verdoppelt sich jedes Bakterium durch Zellteilung. Mit $t$ in Minuten und $B(t)$ in der Anzahl der Bakterien, wird das Wachstum der Bakterienkultur mit folgender Gleichung beschrieben:
$p = 1 \\\Rightarrow b = 1+1 = 2 \\\Rightarrow λ = \ln(2) \approx0,6931 \qquad$ $ B(0) = 100$
$\Rightarrow B(t) = 100 \cdot 2^t = 100\cdot \mathrm e ^{0,6931\cdot t}$

Tipp

Im Beispiel hast du bereits einige Rechenregeln für den Logarithmus verwendet. Es ist also hilfreich, dir noch einmal alle Rechenregeln für Exponential- und Logarithmusfunktionen ins Gedächtnis zu rufen, um mit Wachstumsfunktionen umgehen zu können.
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