Exponentielles Wachstum

Beim exponentiellen Wachstum handelt es sich um ein mathematisches Modell, welches oft für Wachstumsprozesse bei Bakterien angewendet wird. Ebenso oft kommt der exponentielle Zerfall vor, bei dem es sich um das gleiche Modell handelt, allerdings nimmt die betrachtete Größe ab. Dies kommt oft in Verbindung mit dem Zerfall radioaktiver Stoffe vor.

Modell

Eine exponentielle Wachstumsfunktion hat allgemein folgende Gleichung:

$B(t)= B(0) \cdot b^t$

Dabei gilt folgendes für die Parameter:

t: Zeit
B(0): Anfangsbestand
B(t): Bestandsgröße nach $t$ Zeitschritten
b: Wachstumsfaktor

Weitere Darstellungsweisen

Mit Hilfe der Wachstumsrate:

$B(t)= B(0) \cdot (1+p)^t$

Dabei beschreibt $|p| \in (0,1)$ die prozentuale Zunahme bzw. Abnahme der Bestandsgröße pro Zeitschritt und wird als Wachstumsrate bezeichnet. Handelt es sich um exponentiellen Zerfall, so ist $p$ negativ, ansonsten positiv. Es gilt der Zusammenhang $b = 1+p$

Mit Hilfe der $\mathrm e$ -Funktion:

$B(t)= B(0) \cdot \mathrm e^{\lambda\cdot t}$

Dabei wird $\lambda$ als Wachstumskonstante bezeichnet und steht in folgendem Zusammenhang: $\lambda = \ln(b) = \ln(1+p)$

Beispiel 1

Der Zerfall von 8g Iod $_{131}$ wird durch die folgende Gleichung beschrieben, wobei $t$ in Tagen und $B(t)$ in Gramm gemessen wird:

$B(t) = 8\cdot 0,9170^t$ Wir können nun die Halbwertszeit von Iod $_{131}$ berechnen, also die Zeit nach der sich die radioaktive Masse halbiert hat. Dazu setzen wir den Funktionsterm mit $0,5 \cdot 8= 4$ gleich und lösen nach $t$ auf:

\begin{array}{rll} t \approx&8& \\ \end{array}

Vollständige Lösung anzeigen

Das radioaktive Isotop 131 von Iod hat also eine Halbwertszeit von ca. 8 Tagen.

Beispiel 2

Von einer Bakterienkultur sind zu Beginn der Messung 100 Bakterien vorhanden. Jede Minute verdoppelt sich jedes Bakterium durch Zellteilung. Mit $t$ in Minuten und $B(t)$ in der Anzahl der Bakterien, wird das Wachstum der Bakterienkultur mit folgender Gleichung beschrieben:

$p = 1 \\\Rightarrow b = 1+1 = 2 \\\Rightarrow \lambda = \ln(2) \approx0,6931 \qquad$ $B(0) = 100$

$\Rightarrow B(t) = 100 \cdot 2^t = 100\cdot \mathrm e ^{0,6931\cdot t}$

Tipp

Im Beispiel hast du bereits einige Rechenregeln für den Logarithmus verwendet. Es ist also hilfreich, dir noch einmal alle Rechenregeln für Exponential- und Logarithmusfunktionen ins Gedächtnis zu rufen, um mit Wachstumsfunktionen umgehen zu können.

In einem Labor wird das Wachstum einer Bakterienkultur beobachtet. Das Experiment wurde mit einem Stamm von 5000 Bakterien gestartet. Nach einer Stunde hatte sich die Anzahl um die Hälfte vergrößert.

Stelle eine Funktionsgleichung auf, mit der das Wachstum des Bakterienstammes beschrieben werden kann.

Wie viele Bakterien sind nach 4 Stunden vorhanden?

Wann hat sich die Anzahl der Bakterien verzehnfacht?

Zeitgleich zu diesem Experiment wurde ein anderes begonnen, allerdings mit einem Stamm von nur 3000 Bakterien. Nach einer Stunde konnte beobachtet werden, dass der Bestand um 70% gestiegen war. Bestimme den Zeitpunkt, zu dem beide Stämme gleich viele Bakterien aufweisen.

1965 gab es etwa 3,34 Milliarden Menschen auf der Erde, 1975 waren es 4,08 Miliarden.

Ermittle anhand dieser Daten eine Funktionsgleichung, mit der sich das Bevölkerungswachstum beschreiben lässt. Trage auf der $t$ -Achse die Zeit in 10-Jahres-Schritten ab. Eine Einheit auf der $B(t)$ -Achse soll für 1 Milliarde Menschen stehen.
Wähle außerdem das Jahr 1965 als Zeitpunkt $t=0$ .

Wann würde es 12 Milliarden Menschen auf der Erde geben, wenn die Bevölkerung mit dieser Geschwindigkeit weiter wächst?

In welchem Jahr würde die Wachstumsrate 1 betragen? Was sagt diese Wachstumsrate genau aus?

Angesichts der Tatsache, dass die Erde nur begrenzt Platz für Menschen bietet, wäre ein anderes Wachstumsmodell in diesem Kontext angebrachter. Welches wäre dies und warum?

Der radioaktive Stoff Radium besitzt eine Halbwertszeit von 1620 Jahren. In einem Lager werden immer wieder Proben durchgeführt, wieviel Radium noch vorhanden ist. Nach 25 Jahren existieren noch 7,5g des Stoffs.

Ermittle anhand dieser Daten eine Wachstumsgleichung, mit der sich der radioaktive Zerfall von Radium beschreiben lässt.

Wieviel Radium war ursprünglich eingelagert worden?

Marie Curie entdeckte 1898 das Radium und stellte knapp 1g davon her. Wieviel dieses Gramms war im Jahr 1950 noch vorhanden? Wie lange würde es dauern, bis nur noch 0,1g dieses Radiums vorhanden ist?

Das Wachstum einer Bakterienkultur lässt sich in den ersten 6 Stunden exponentiell beschreiben. Das tatsächliche Wachstum der Bakterien ist abhängig von der Außentemperatur, je höher diese ist, desto schneller vermehren sie sich. Dieses Wachstum kann beschrieben werden durch $B\left(t\right)=10.000\cdot b^t$ .

Bei einer Außentemperatur von 30°C sind nach 2 Stunden 17160 Bakterien vorhanden. Bestimme den Wert für $b$ und interpretiere ihn im Sachzusammenhang hinsichtlich der prozentualen Zunahme der Bakterien.

Wann sind bei der Außentemperatur von 30°C genau 25.000 Bakterien vorhanden?

Bei einer Außentemperatur von 50°C hat sich die Anzahl der Bakterien in 3 Stunden vervierfacht. Berechne ausgehend von der Funktionsgleichung $B(t)=10.000\cdot b^t$ einen Wert für $b$ .

Begründe: Die "Vervierfachungszeit" von 3 Stunden hängt nicht vom Anfangsbestand ab.

Die Temperatur einer Flüssigkeit beträgt 120°C. Nach 2 Stunden hat sie sich auf 90°C abgekühlt.

Ermittle anhand der gegebenen Werte eine Wachstumsgleichung, wenn von exponentiellem Wachstum ausgegangen wird.

Wann beträgt die Temperatur der Flüssigkeit 20°C?

Gibt es einen Punkt, an dem die Temperatur am stärksten fällt?

Im Weltall wird ein Spaceshuttle abgeschossen. Es ist unbemannt und kann daher sehr schnell fliegen. Seine Energie bezieht es mit Hilfe von Solarzellen.
Die Zunahme seiner Geschwindigkeit lässt sich mit der Differenzialgleichung $f‘\left(t\right)=0,4\cdot f\left(t\right)$ beschreiben. Eine Einheit auf der $t$ -Achse soll dabei 1 Woche darstellen.

Gib die Lösung dieser Differenzialgleichung an; dabei soll $f(4)=10$ sein. Es wird von exponentiellem Wachstum ausgegangen.

Eine Einheit auf der $f(t)$ -Achse steht für 100 $\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$ . Wann hat das Spaceshuttle eine Geschwindigkeit von $1100 \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$ erreicht?

Wann hat das Spaceshuttle Lichtgeschwindigkeit erreicht $\left(300.000.000 \dfrac{\text{m}}{\text{s}}\right)$ ?

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Die Wachstumsfunktion für exponentielles Wachstum hat allgemein die Gleichung $B(t)=a\cdot b^t$ . Dabei ist $b$ der Wachstumsfaktor. Eine alternative Schreibweise wäre $B(t)=a\cdot\mathrm e^{\ln(b)\cdot t}$ . Dabei wird $\ln(b)=k$ gesetzt.

Funktionsgleichung bestimmen

Aus der Aufgabenstellung gehen hervor:

$B(0)=5.000$
Vergrößerung um 50%, d.h. Wachstumsfaktor $b=1{,}5$

Die vorläufige Funktionsgleichung lautet somit $B(t)=a\cdot 1{,}5^t$ . Mit dem Startwert 5.000 folgt:

$B(0)=5.000=a\cdot1{,}5^0\;\\\Leftrightarrow\;5.000=a\cdot 1$

Also ist $B(t)=5.000\cdot1{,}5^t$ .

Anzahl der Bakterien bestimmen

Setze $t=4$ ein und berechne $B(4)$ :

$B(4)=5.000\cdot1{,}5^4\\=5.000\cdot5{,}0625\\=25.312{,}5$

Nach 4 Stunden sind etwa 25.313 Bakterien vorhanden.

Zeitpunkt bestimmen

Die Anzahl der Bakterien hat sich verzehnfacht, wenn $50.000$ Bakterien vorhanden sind. Setze $B(t)=50.000$ ein und löse nach $t$ auf:

$\begin{array}[t]{rlllllll} t&=5{,}67887 \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Nach etwa 5,7 Stunden hat sich die Anzahl der Bakterien verzehnfacht.

1. Schritt: Funktionsgleichung aufstellen

Sei $B_2(t)$ der Funktionsterm, der das Wachstum des zweiten Stammes beschreibt. Bei einer Wachstumsrate von 70% folgt der Wachstumsfaktor $b=1{,}7$ :

$B_2(t)=a\cdot1{,}7^t$ . Einsetzen des Anfangsbestandes von $3.000$ liefert:

$B_2(0)=3.000=a\cdot1{,}7^0\;\\\Leftrightarrow\;3.000=a\cdot1$

Damit folgt $B_2(t)=3.000\cdot1{,}7^t$ .

2. Schritt: Zeitpunkt bestimmen

Gesucht ist der Zeitpunkt, zu dem beide Stämme gleich viele Bakterien aufweisen. Dies ist dann der Fall, wenn gilt:
$B(t)=B_2(t)$ .
Löse diese Gleichung:

$\begin{array}[t]{rlllllll} 4{,}08&=t \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Nach etwa 4 Stunden besitzen beide Stämme gleich viele Bakterien.

Funktionsgleichung ermitteln

Aus der Aufgabenstellung folgt:

$B(0)=3{,}34$
$B(1)=4{,}08$

Aus $B(0)=3{,}34$ folgt direkt:

$B(0)=3{,}34=a\cdot b^0\;\Leftrightarrow\;3{,}34=a$

Die Funktionsgleichung hat vorläufig die Form $B(t)=3{,}34\cdot b^t$ . Mit der zweiten Bedingung folgt:

$\begin{array}[t]{rlllllll} B(1)=4{,}08&=3{,}34\cdot b^1&\mid\;:3{,}34\\[5pt] \dfrac{4{,}08}{3{,}34}&=b\\[5pt] 1{,}22&=b \end{array}$

Der Wachstumsvorgang wird durch die Funktionsgleichung $B(t)=3{,}34\cdot1{,}22^t$ beschrieben.

Zeitpunkt bestimmen

Setze $B(t)=12$ und löse nach $t$ auf.

$\begin{array}[t]{rlllllll} B(t)=3{,}34\cdot1{,}22^t&=12\\[5pt] \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Nach etwa 64 Jahren, also im Jahr 2029, würde es 12 Milliarden Menschen geben.

Gesucht ist der Zeitpunkt, zu dem die jährliche Wachstumsrate 1 beträgt. Die Wachstumsrate wird dir durch die erste Ableitung $B‘$ gegeben.

1. Schritt: Ableitung bilden

$\begin{array}[t]{rlllllll} B(t)&=3{,}34\cdot1{,}22^t\\[5pt] B‘(t)&=3{,}34\cdot\ln(1{,}22)\cdot1{,}22^t\\[5pt] B‘(t)&=0{,}6642\cdot1{,}22^t \end{array}$

2. Schritt: Zeitpunkt bestimmen

$\begin{array}[t]{rlllllll} t&=2,06 \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Etwa im 21. Jahr, d.h. im Jahr 1986, beträgt die Wachstumsrate 1. In diesem 10-Jahres-Schritt nimmt die Anzahl der Menschen also um 1 Milliarde zu.

Anderes Modell vorschlagen

Das logistische Wachstum wäre hier ein besseres Modell. Dies berücksichtigt eine Ressource, die sich mit dem Wachstum verbraucht, in diesem Fall die Erdoberfläche. Jedes Stück der Fläche, das schon besiedelt ist, steht anderen nicht mehr zur Verfügung.

Funktionsgleichung ermitteln

Die Halbwertszeit ist die Zeit, in der die Hälfte des vorhandenen Stoffs zerfallen ist. Aus der Aufgabenstellung ist bekannt:

Die Halbwertszeit ist 1620 Jahre.
Nach 25 Jahren gibt es noch 7,5 g Radium.

Die Halbwertszeit sagt uns, dass $B(1620)=0{,}5\cdot B(0)$ ist:

$\begin{array}[t]{rlllllll} B(1620)&=0{,}5\cdot B(0)\\[5pt] \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Mit $B(25)=7{,}5$ folgt weiter

$\begin{array}[t]{rll} B(25)&=&7{,}5\\&=&a\cdot0{,}999572^{25}\end{array}$

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Wir erhalten die Funktionsgleichung $B(t)=7{,}5807\cdot0{,}999572^t$ .

Anfangsbestand berechnen

"Ursprünglich" bezieht sich auf den Zeitpunkt $t=0$ . Berechne also $B(0)$ :

$\begin{array}[t]{rlllllll} B(0)&=7{,}5807\cdot0{,}999572^0\\[3pt] B(0)&=7{,}5807\cdot1 \end{array}$

Ursprünglich waren etwa 7,58 g Radium eingelagert worden.

$\blacktriangleright$ Vorhandene Menge berechnen

1. Schritt: Funktionsgleichung bestimmen

Da die Halbwertszeit des Radiums immer noch die gleiche ist, können wir auch $b=0{,}999572$ für die neue Funktionsgleichung verwenden. Allerdings ist dieses Mal die Bedingung $B(0)=1$ gegeben. Der Wert für $a$ verändert sich also:

$\begin{array}[t]{rlllllll} B_2(0)=1&=a\cdot0{,}999572^0\\ 1&=a \end{array}$

Die neue Funktionsgleichung lautet $B_2=1\cdot0{,}999572^t$ .

2. Schritt: Noch vorhandene Menge berechnen

Bis 1950 waren 52 Jahre vergangen. Berechne also $B(52)$ .

$\begin{array}[t]{rlllllll} B(52)&=1\cdot0{,}999572^{52}\\ B(52)&=0{,}977985 \end{array}$

Im Jahr 1950 waren noch etwa 0,978 g des Radiums vorhanden.

$\blacktriangleright$ Wartezeit berechnen

Setze $B(t)=0{,}1$ und löse nach $t$ auf.

$\begin{array}[t]{rlllllll} 0{,}999572^t&=0{,}1\\[5pt] \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Es würde etwa 5.379 Jahre dauern, bis noch 0,1 g des Radiums vorhanden sind.

Wert für b bestimmen

Setze $B(2)=17.160$ in die Gleichung ein und löse nach $b$ auf.

$\begin{array}[t]{rlllllll} B(2)=17.160=10.000\cdot b^2&\\[5pt] \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Bei einer Außentemperatur von 30°C wächst die Bakterienkultur pro Stunde um etwa 30% an.

Zeitpunkt bestimmen

Setze $B(t)=25.000$ und löse nach $t$ auf.

$\begin{array}[t]{rlllllll} 3{,}39&=t \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Bei einer Außentemperatur von 30°C sind nach etwa 3,4 Stunden 25.000 Bakterien vorhanden.

$\blacktriangleright$ Wert für b berechnen

Im Fall $B(t)=10.000\cdot b^t$ ist der Anfangsbestand mit $B(0)=10.000$ gegeben. Nach 3 Stunden hat sich dieser Anfangsbestand vervierfacht, es gilt also: $B(3)=40.000$ . Setze diese Werte ein und löse nach $b$ auf:

$\begin{array}[t]{rlllllll} 1{,}5874&=b \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

$\blacktriangleright$ Aussage begründen

Die Vervierfachungszeit sagt im Grunde: $B(3)=4\cdot B(0)$ . Dabei bleibt $B(0)$ variabel. Genau wie bei der Halbwertszeit und bei der Verdopplungszeit kommt es auch hier nicht auf einen festen Anfangsbestand an.

Funktionsgleichung aufstellen

Aus der Aufgabenstellung folgt:

$B(0)=120$
$B(2)=90$

Wegen $B(0)=120=a\cdot b^0\;\Leftrightarrow\;120=a$ hat die Funktionsgleichung zunächst die Form $B(t)=120\cdot b^t$ .

Die zweite Bedingung liefert:

$\begin{array}[t]{rlllllll} B(2)=90&=120\cdot b^2&\mid\;:120\\[3pt] 0{,}75&=b^2&\mid\;\sqrt{\;}\\[3pt] 0{,}866&=b \end{array}$

Also ist $B(t)=120\cdot0{,}866^t$ .

Zeitpunkt bestimmen

Setze $B(t)=20$ und löse nach $t$ auf.

$\begin{array}[t]{rlllllll} 12{,}454&=t \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Nach etwa 12,5 Stunden ist die Flüssigkeit auf 20°C abgekühlt.

Aussage beurteilen

Hier liegt exponentieller Zerfall vor. Das bedeutet: Je größer die Temperatur der Flüssigkeit, desto schneller kühlt sie ab. Je geringer die Temperatur der Flüssigkeit, desto langsamer kühlt sie ab.

Der Zeitpunkt mit stärkster Temperaturabnahme liegt also direkt zu Beginn vor, da die Flüssigkeit hier noch am heißesten ist.

Hinweis: Es bietet sich an, diese Aufgabe mit dem Ansatz $f(t)=a\cdot \mathrm e^{kt}$ zu lösen.

Wir wissen, dass die Differenzialgleichung $f‘\left(t\right)=0,4\cdot f\left(t\right)$ lautet. Außerdem wissen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handelt.
Die Differenzialgleichung ist beim exponentiellen Wachstum immer folgendermaßen aufgebaut:

$f‘\left(t\right)=k\cdot f\left(t\right)$ .

Somit muss $k=0,4$ sein.

Die allgemeine Wachstumsgleichung lautet beim exponentiellen Wachstum:

$f\left(t\right)=a\cdot\mathrm e^{kt}$

Es bleibt also noch eine Unbekannte, nämlich das $a$ , das wir noch bestimmen müssen. Aus der Bedingung $f(4)=10$ folgt:

Wachstumsgleichung aufstellen: Koordinaten von P einsetzen

$\begin{array}[t]{rlllllll} 10&=a\cdot\mathrm e^{4\cdot 0,4}\\[3pt] 10&=a\cdot\mathrm e^{1,6}&\mid :\mathrm e^{1,6}\\[3pt] \dfrac{10}{\mathrm e^{1,6}}&=a\\[3pt] 2,02&=a \end{array}$

Daraus folgt die Wachstumsgleichung

$f\left(t\right)=2,02\cdot\mathrm e^{0,4t}$