Inhalt
Smarter Learning!
Inhalt
Bundesland, Schulart & Klasse
Bundesland, Schulart & Klasse
BW, Gymnasium (G9)
Baden-Württemberg
Berufl. Gymnasium (AG)
Berufl. Gymnasium (BTG)
Berufl. Gymnasium (EG)
Berufl. Gymnasium (SGG)
Berufl. Gymnasium (TG)
Berufl. Gymnasium (WG)
Berufskolleg - FH
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Hauptschule
Realschule
Werkrealschule
Bayern
Fachoberschule
Gymnasium
Mittelschule
Realschule
Berlin
Gymnasium
Integrierte Sekundarschule
Brandenburg
Gesamtschule
Gymnasium
Oberschule
Bremen
Gymnasium (G8)
Oberschule (G9)
Hamburg
Gymnasium
Stadtteilschule
Hessen
Berufl. Gymnasium
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Haupt- und Realschule
Hauptschule
Realschule
Mecklenburg-Vorpommern
Gesamtschule
Gymnasium
Niedersachsen
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Integrierte Gesamtschule
Kooperative Gesamtschule
Oberschule
Realschule
NRW
Gesamtschule
Gymnasium
Hauptschule
Realschule
Sekundarschule
Rheinland-Pfalz
Gesamtschule
Gymnasium
Saarland
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Realschule
Sachsen
Gymnasium
Oberschule
Sachsen-Anhalt
Fachgymnasium
Gesamtschule
Gymnasium
Sekundarschule
Schleswig-Holstein
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Thüringen
Berufl. Gymnasium
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Regelschule
Klasse 13
Klasse 13
Klasse 12
Klasse 11
Klasse 10
Klasse 9
Klasse 8
Klasse 7
Klasse 6
Klasse 5
Fach & Lernbereich
Fachauswahl: Mathe
Mathe
Deutsch
Englisch
Bio
Chemie
Physik
Geschichte
Geo
Lernbereich
Digitales Schulbuch
Abitur (GTR)
Abitur (CAS)
Abitur (GTR)
Prüfung
wechseln
Abitur (GTR)
Abitur (CAS)
Smarter Learning!
Schneller lernen mit deinem SchulLV-Zugang
  • Zugang zu über 1.000 Original-Prüfungsaufgaben mit Lösungen von 2004-2019
  • Alle Bundesländer und Schularten, empfohlen von über 2.300 Schulen in Deutschland
  • Digitales Schulbuch: Über 1.700 Themen mit Aufgaben und Lösungen
  • Monatlich kündbar, lerne solange du möchtest
Jetzt Zugang freischalten!
Inhaltsverzeichnis
Lernbereich Digitales Schulbuch
Analysis
Schaubilder von Funkt...
Ganzrationale Funktio...
Exponentialfunktionen
Gebrochenrationale Fu...
Logarithmusfunktionen
Wurzelfunktionen
Trigonometrische Funk...
Funktionsgleichungen ...
Kurve gegeben
Ganzrationale Funktio...
Gebrochenrationale Fu...
Exponentialfunktionen
Trigonometrische Funk...
Vermischte Aufgaben
Randbedingungen gegeb...
Ganzrationale Funktio...
Gebrochenrationale Fu...
Exponentialfunktionen
Trigonometrische Funk...
Differenzieren (Ablei...
Nach Funktionstyp
Ganzrationale Funktio...
Gebrochenrationale Fu...
Logarithmische Funkti...
Exponentialfunktionen
Wurzelfunktionen
Trigonometrische Funk...
Gebrochene Funktionen
Vermischte Aufgaben
Nach Ableitungsregeln
Faktor- und Summenreg...
Kettenregel
Produktregel
Quotientenregel
Eigenschaften von Kur...
Aussagen bewerten
Ableitung gegeben
Funktion gegeben
Graphisches Ableiten
Interpretation von Ku...
Gleichungslehre
Gleichungen
Lineares Gleichungssy...
Exponentialgleichunge...
Polynomdivision
Trigonometrische Glei...
Kurvendiskussion
Nullstellen und Schni...
Extrem- und Wendepunk...
Symmetrie und Grenzwe...
Funktionen mit Parame...
Ortskurven
Berührpunkte zweier K...
Vollständige Kurvendi...
Ganzrationale Funktio...
Gebrochenrationale Fu...
Exponentialfunktionen
Trigonometrische Funk...
Vermischte Aufgaben
Tangente und Normale
Tangente
Normale
Vermischte Aufgaben
Integralrechnung
Stammfunktionen
Flächeninhalt zwische...
Flächeninhalt zwische...
Mittelwert von Funkti...
Partielle Integration
Lineare Substitution
Uneigentliches Integr...
Rotationskörper
Angewandte Integrale
Vermischte Aufgaben
Weiterführende Übungs...
Zahlenfolgen und Gren...
Einführung
Arithmetrische und ge...
Monotonie und Grenzwe...
Vollständige Induktio...
Vermischte Aufgaben
Extremwertaufgaben
Maximaler Umfang
Maximaler Flächeninha...
Maximales Volumen
Minimaler Abstand Pun...
Vermischte Aufgaben
Allgemeine Fragen zu ...
Definitions- und Wert...
Gebrochenrationale Fu...
Wurzelfunktionen
Logarithmusfunktionen
Stetigkeit und Differ...
Stetigkeit
Differenzierbarkeit
Wachstum
Exponentielles Wachst...
Beschränktes Wachstum
Logistisches Wachstum
Näherungsverfahren
Keplersche Fassregel
Newtonsches Verfahren
Vermischte Aufgaben
Weiterführende Übungs...
Ganzrationale Funktio...
Gebrochenrationale Fu...
Exponentialfunktionen
Analytische Geometrie
Vektoren
Rechnen mit Vektoren
Lineare Abhängigkeit ...
Vektorprodukt
Ortsvektoren und Verb...
Teilverhältnisse
Länge eines Vektors
Vermischte Aufgaben
Geraden
Geraden
Punktprobe
Geraden im Raum
Spurpunkte
Vermischte Aufgaben
Ebenen
Parameterform
Normalenform
Koordinatenform
Umrechnen von Ebeneng...
Ebenen im Raum
Ebenen in Körpern
Spurpunkte
Spurgerade
Vermischte Aufgaben
Gegenseitige Lage
Gerade - Gerade
Gerade - Ebene
Ebene - Ebene
Vermischte Aufgaben
Abstände
Punkt - Gerade
Gerade - Gerade
Gerade - Ebene
Punkt - Ebene
Ebene - Ebene
Vermischte Aufgaben
Schnittwinkel
Zwischen Vektoren
Gerade - Gerade
Gerade - Ebene
Ebene - Ebene
Vermischte Aufgaben
Spiegelungen
Punkt, Gerade und Ebe...
Vermischte Aufgaben
Lineare Gleichungssys...
Interpretation von LG...
Gaußsches Eliminierun...
Matrizen
Rechnen mit Matrizen
Addition und skalare ...
Matrizenmultiplikatio...
Determinante berechne...
Matrix invertieren
Eigenwerte und Eigenv...
Übergangsmatrizen
Übergangsgraphen
Übergangsmatrix
Verteilungen berechne...
Wirtschaftliche Verfl...
Leontief-Modell
Input-Output-Tabelle
Verflechtungsdiagramm
Stochastik
Zufallsexperimente un...
Einstufige Zufallsexp...
Mehrstufige Zufallsex...
Ereignisse
Wahrscheinlichkeiten
Relative und absolute...
Laplace-Experiment
Additionssatz und Vie...
Baumdiagramme und Pfa...
Abhängigkeit und Unab...
Bedingte Wahrscheinli...
Kombinatorik
Geordnete Stichprobe ...
Geordnete Stichprobe ...
Ungeordnete Stichprob...
Wahrscheinlichkeitsve...
Erwartungswert
Varianz und Standarda...
Binomialverteilung
Mit Formel und Tasche...
Mit Tabelle
Erwartungswert und St...
Konfidenzintervalle
Normalverteilung
Hypergeometrische Ver...
Signifikanztest
Einseitiger Test
Zweiseitiger Test

Exponentielles Wachstum

Spickzettel
Download als Dokument:PDF
Beim exponentiellen Wachstum handelt es sich um ein mathematisches Modell, welches oft für Wachstumsprozesse bei Bakterien angewendet wird. Ebenso oft kommt der exponentielle Zerfall vor, bei dem es sich um das gleiche Modell handelt, allerdings nimmt die betrachtete Größe ab. Dies kommt oft in Verbindung mit dem Zerfall radioaktiver Stoffe vor.

Modell

Eine exponentielle Wachstumsfunktion hat allgemein folgende Gleichung:
$B(t)= B(0) \cdot b^t$
$B(t)= B(0) \cdot b^t$
Dabei gilt folgendes für die Parameter:
  • t: Zeit
  • B(0): Anfangsbestand
  • B(t): Bestandsgröße nach $t$ Zeitschritten
  • b: Wachstumsfaktor

Weitere Darstellungsweisen

Mit Hilfe der Wachstumsrate:

$B(t)= B(0) \cdot (1+p)^t$
$B(t)= B(0) \cdot (1+p)^t$
Dabei beschreibt $|p| \in (0,1)$ die prozentuale Zunahme bzw. Abnahme der Bestandsgröße pro Zeitschritt und wird als Wachstumsrate bezeichnet. Handelt es sich um exponentiellen Zerfall, so ist $p$ negativ, ansonsten positiv. Es gilt der Zusammenhang $b = 1+p$

Mit Hilfe der $\mathrm e$-Funktion:

$B(t)= B(0) \cdot \mathrm e^{λ\cdot t}$
$B(t)= B(0) \cdot \mathrm e^{λ\cdot t}$
Dabei wird $λ$ als Wachstumskonstante bezeichnet und steht in folgendem Zusammenhang: $λ = \ln(b) = \ln(1+p)$

Beispiel 1

Der Zerfall von 8g Iod$_{131}$ wird durch die folgende Gleichung beschrieben, wobei $t$ in Tagen und $B(t)$ in Gramm gemessen wird:
$B(t) = 8\cdot 0,9170^t$ Wir können nun die Halbwertszeit von Iod$_{131}$ berechnen, also die Zeit nach der sich die radioaktive Masse halbiert hat. Dazu setzen wir den Funktionsterm mit $0,5 \cdot 8= 4$ gleich und lösen nach $t$ auf:
\begin{array}{rll} 4 =&8\cdot 0,9170^t& \mid\; :8 \\ 0,5 =&0,9170^t& \ln \\ \ln(0,5) = &\ln(0,9170^t)& \\ \ln(0,5) =&t\cdot\ln(0,9170)& \mid\; : \ln(0,9170)\\ \dfrac{\ln(0,5)}{\ln(0,9170)} =&t& \\ t \approx&8& \\ \end{array}
\begin{array}{rll} t \approx&8& \\ \end{array}
Das radioaktive Isotop 131 von Iod hat also eine Halbwertszeit von ca. 8 Tagen.

Beispiel 2

Von einer Bakterienkultur sind zu Beginn der Messung 100 Bakterien vorhanden. Jede Minute verdoppelt sich jedes Bakterium durch Zellteilung. Mit $t$ in Minuten und $B(t)$ in der Anzahl der Bakterien, wird das Wachstum der Bakterienkultur mit folgender Gleichung beschrieben:
$p = 1 \\\Rightarrow b = 1+1 = 2 \\\Rightarrow λ = \ln(2) \approx0,6931 \qquad$ $ B(0) = 100$
$\Rightarrow B(t) = 100 \cdot 2^t = 100\cdot \mathrm e ^{0,6931\cdot t}$

Tipp

Im Beispiel hast du bereits einige Rechenregeln für den Logarithmus verwendet. Es ist also hilfreich, dir noch einmal alle Rechenregeln für Exponential- und Logarithmusfunktionen ins Gedächtnis zu rufen, um mit Wachstumsfunktionen umgehen zu können.
#wachstum
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Aufgaben
Download als Dokument:PDF
1.
In einem Labor wird das Wachstum einer Bakterienkultur beobachtet. Das Experiment wurde mit einem Stamm von 5000 Bakterien gestartet. Nach einer Stunde hatte sich die Anzahl um die Hälfte vergrößert.
a)
Stelle eine Funktionsgleichung auf, mit der das Wachstum des Bakterienstammes beschrieben werden kann.
b)
Wie viele Bakterien sind nach 4 Stunden vorhanden?
c)
Wann hat sich die Anzahl der Bakterien verzehnfacht?
d)
Zeitgleich zu diesem Experiment wurde ein anderes begonnen, allerdings mit einem Stamm von nur 3000 Bakterien. Nach einer Stunde konnte beobachtet werden, dass der Bestand um 70% gestiegen war. Bestimme den Zeitpunkt, zu dem beide Stämme gleich viele Bakterien aufweisen.
2.
1965 gab es etwa 3,34 Milliarden Menschen auf der Erde, 1975 waren es 4,08 Miliarden.
a)
Ermittle anhand dieser Daten eine Funktionsgleichung, mit der sich das Bevölkerungswachstum beschreiben lässt. Trage auf der $t$-Achse die Zeit in 10-Jahres-Schritten ab. Eine Einheit auf der $B(t)$-Achse soll für 1 Milliarde Menschen stehen.
Wähle außerdem das Jahr 1965 als Zeitpunkt $t=0$.
b)
Wann würde es 12 Milliarden Menschen auf der Erde geben, wenn die Bevölkerung mit dieser Geschwindigkeit weiter wächst?
c)
In welchem Jahr würde die Wachstumsrate 1 betragen? Was sagt diese Wachstumsrate genau aus?
d)
Angesichts der Tatsache, dass die Erde nur begrenzt Platz für Menschen bietet, wäre ein anderes Wachstumsmodell in diesem Kontext angebrachter. Welches wäre dies und warum?
3.
Der radioaktive Stoff Radium besitzt eine Halbwertszeit von 1620 Jahren. In einem Lager werden immer wieder Proben durchgeführt, wieviel Radium noch vorhanden ist. Nach 25 Jahren existieren noch 7,5g des Stoffs.
a)
Ermittle anhand dieser Daten eine Wachstumsgleichung, mit der sich der radioaktive Zerfall von Radium beschreiben lässt.
b)
Wieviel Radium war ursprünglich eingelagert worden?
c)
Marie Curie entdeckte 1898 das Radium und stellte knapp 1g davon her. Wieviel dieses Gramms war im Jahr 1950 noch vorhanden? Wie lange würde es dauern, bis nur noch 0,1g dieses Radiums vorhanden ist?
4.
Das Wachstum einer Bakterienkultur lässt sich in den ersten 6 Stunden exponentiell beschreiben. Das tatsächliche Wachstum der Bakterien ist abhängig von der Außentemperatur, je höher diese ist, desto schneller vermehren sie sich. Dieses Wachstum kann beschrieben werden durch $B\left(t\right)=10.000\cdot b^t$.
a)
Bei einer Außentemperatur von 30°C sind nach 2 Stunden 17160 Bakterien vorhanden. Bestimme den Wert für $b$ und interpretiere ihn im Sachzusammenhang hinsichtlich der prozentualen Zunahme der Bakterien.
b)
Wann sind bei der Außentemperatur von 30°C genau 25.000 Bakterien vorhanden?
c)
Bei einer Außentemperatur von 50°C hat sich die Anzahl der Bakterien in 3 Stunden vervierfacht. Berechne ausgehend von der Funktionsgleichung $B(t)=10.000\cdot b^t$ einen Wert für $b$.
Begründe: Die "Vervierfachungszeit" von 3 Stunden hängt nicht vom Anfangsbestand ab.
5.
Die Temperatur einer Flüssigkeit beträgt 120°C. Nach 2 Stunden hat sie sich auf 90°C abgekühlt.
a)
Ermittle anhand der gegebenen Werte eine Wachstumsgleichung, wenn von exponentiellem Wachstum ausgegangen wird.
b)
Wann beträgt die Temperatur der Flüssigkeit 20°C?
c)
Gibt es einen Punkt, an dem die Temperatur am stärksten fällt?
6.
Im Weltall wird ein Spaceshuttle abgeschossen. Es ist unbemannt und kann daher sehr schnell fliegen. Seine Energie bezieht es mit Hilfe von Solarzellen.
Die Zunahme seiner Geschwindigkeit lässt sich mit der Differenzialgleichung $f'\left(t\right)=0,4\cdot f\left(t\right)$ beschreiben. Eine Einheit auf der $t$-Achse soll dabei 1 Woche darstellen.
a)
Gib die Lösung dieser Differenzialgleichung an; dabei soll $f(4)=10$ sein. Es wird von exponentiellem Wachstum ausgegangen.
b)
Eine Einheit auf der $f(t)$-Achse steht für 100 $\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$. Wann hat das Spaceshuttle eine Geschwindigkeit von $1100 \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$ erreicht?
c)
Wann hat das Spaceshuttle Lichtgeschwindigkeit erreicht $\left(300.000.000 \dfrac{\text{m}}{\text{s}}\right)$?
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen
Download als Dokument:PDF
1.
Die Wachstumsfunktion für exponentielles Wachstum hat allgemein die Gleichung $B(t)=a\cdot b^t$. Dabei ist $b$ der Wachstumsfaktor. Eine alternative Schreibweise wäre $B(t)=a\cdot\mathrm e^{\ln(b)\cdot t}$. Dabei wird $\ln(b)=k$ gesetzt.
a)
Funktionsgleichung bestimmen
Aus der Aufgabenstellung gehen hervor:
  • $B(0)=5.000$
  • Vergrößerung um 50%, d.h. Wachstumsfaktor $b=1{,}5$
Die vorläufige Funktionsgleichung lautet somit $B(t)=a\cdot 1{,}5^t$. Mit dem Startwert 5.000 folgt:
$B(0)=5.000=a\cdot1{,}5^0\;\\\Leftrightarrow\;5.000=a\cdot 1$
Also ist $B(t)=5.000\cdot1{,}5^t$.
b)
Anzahl der Bakterien bestimmen
Setze $t=4$ ein und berechne $B(4)$:
$B(4)=5.000\cdot1{,}5^4\\=5.000\cdot5{,}0625\\=25.312{,}5$
Nach 4 Stunden sind etwa 25.313 Bakterien vorhanden.
c)
Zeitpunkt bestimmen
Die Anzahl der Bakterien hat sich verzehnfacht, wenn $50.000$ Bakterien vorhanden sind. Setze $B(t)=50.000$ ein und löse nach $t$ auf:
$\begin{array}[t]{rlllllll} B(t)&=50.000\\[5pt] 5.000\cdot1{,}5^t&=50.000&\mid\;:5.000\\[5pt] 1{,}5^t&=10&\mid\;\log(\;)\\[5pt] \log(1{,}5^t)&=\log(10)&\mid\; Logarithmusgesetze\\[5pt] t\cdot\log(1{,}5)&=\log(10)&\mid\;:\log(1{,}5)\\[5pt] t&=\dfrac{\log(10)}{\log(1{,}5)}\\[5pt] t&=5{,}67887 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rlllllll} t&=5{,}67887 \end{array}$
Nach etwa 5,7 Stunden hat sich die Anzahl der Bakterien verzehnfacht.
d)
1. Schritt: Funktionsgleichung aufstellen
Sei $B_2(t)$ der Funktionsterm, der das Wachstum des zweiten Stammes beschreibt. Bei einer Wachstumsrate von 70% folgt der Wachstumsfaktor $b=1{,}7$:
$B_2(t)=a\cdot1{,}7^t$. Einsetzen des Anfangsbestandes von $3.000$ liefert:
$B_2(0)=3.000=a\cdot1{,}7^0\;\\\Leftrightarrow\;3.000=a\cdot1$
Damit folgt $B_2(t)=3.000\cdot1{,}7^t$.
2. Schritt: Zeitpunkt bestimmen
Gesucht ist der Zeitpunkt, zu dem beide Stämme gleich viele Bakterien aufweisen. Dies ist dann der Fall, wenn gilt:
$B(t)=B_2(t)$.
Löse diese Gleichung:
$\begin{array}[t]{rlllllll} 5.000\cdot1{,}5^t&=3.000\cdot1{,}7^t&\mid\;:\log(\;)\\[5pt] \log(5.000\cdot1{,}5^t)&=\log(3.000\cdot1{,}7^t)&\mid\;Logarithmusgesetze\\[5pt] \log(5.000)+\log(1{,}5^t)&=\log(3.000)+\log(1{,}7)^t\\[5pt] \log(5.000)+t\cdot\log(1{,}5)&=\log(3.000)+t\cdot\log(1{,}7)&\mid\;-\log(3.000)-t\cdot\log(1{,}5)\\[5pt] \log(5.000)-\log(3.000)&=t\cdot\log(1{,}7)-t\cdot\log(1{,}5)&\mid\;Logarithmusgesetze, \;t\;ausklammern\\[5pt] \log\left(\dfrac{5.000}{3.000}\right)&=t\cdot\left(\log(1{,}7)-\log(1{,}5)\right)\\[5pt] \log\left(\dfrac{5}{3}\right)&=t\cdot\log\left(\dfrac{1{,}7}{1{,}5}\right)&\mid\;:\log\left(\dfrac{1{,}7}{1{,}5}\right)\\[5pt] \dfrac{\log(\frac{5}{3}}{\log\left(\frac{1{,}7}{1{,}5}\right)}&=t\\[5pt] 4{,}08&=t \end{array}$
$\begin{array}[t]{rlllllll} 4{,}08&=t \end{array}$
Nach etwa 4 Stunden besitzen beide Stämme gleich viele Bakterien.
2.
a)
Funktionsgleichung ermitteln
Aus der Aufgabenstellung folgt:
  • $B(0)=3{,}34$
  • $B(1)=4{,}08$
Aus $B(0)=3{,}34$ folgt direkt:
$B(0)=3{,}34=a\cdot b^0\;\Leftrightarrow\;3{,}34=a$
Die Funktionsgleichung hat vorläufig die Form $B(t)=3{,}34\cdot b^t$. Mit der zweiten Bedingung folgt:
$\begin{array}[t]{rlllllll} B(1)=4{,}08&=3{,}34\cdot b^1&\mid\;:3{,}34\\[5pt] \dfrac{4{,}08}{3{,}34}&=b\\[5pt] 1{,}22&=b \end{array}$
Der Wachstumsvorgang wird durch die Funktionsgleichung $B(t)=3{,}34\cdot1{,}22^t$ beschrieben.
b)
Zeitpunkt bestimmen
Setze $B(t)=12$ und löse nach $t$ auf.
$\begin{array}[t]{rlllllll} B(t)=3{,}34\cdot1{,}22^t&=12&\mid\;:3{,}34\\[5pt] 1{,}22^t&=3{,}5928&\mid\;\log(\;)\\[5pt] \log(1{,}22)^t&=\log(3{,}5928)&\mid\;Logarithmusgesetze\\[5pt] t\cdot\log(1{,}22)&=\log(3{,}5928)&\mid\;:\log(1{,}22)\\[5pt] t&=\dfrac{\log(3{,}5928)}{\log(1{,}22)}\\[5pt] t&=6{,}43 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rlllllll} B(t)=3{,}34\cdot1{,}22^t&=12\\[5pt] \end{array}$
Nach etwa 64 Jahren, also im Jahr 2029, würde es 12 Milliarden Menschen geben.
c)
Gesucht ist der Zeitpunkt, zu dem die jährliche Wachstumsrate 1 beträgt. Die Wachstumsrate wird dir durch die erste Ableitung $B'$ gegeben.
1. Schritt: Ableitung bilden
$\begin{array}[t]{rlllllll} B(t)&=3{,}34\cdot1{,}22^t\\[5pt] B'(t)&=3{,}34\cdot\ln(1{,}22)\cdot1{,}22^t\\[5pt] B'(t)&=0{,}6642\cdot1{,}22^t \end{array}$
2. Schritt: Zeitpunkt bestimmen
$\begin{array}[t]{rlllllll} B'(t)=0{,}6642\cdot1{,}22^t&=1&\mid\;:0{,}6642\\[5pt] 1{,}22^t&=1,506&\mid\;\log(\;)\\[5pt] \log(1{,}22^t)&=\log(1,506)\\[5pt] t\cdot\log(1{,}22)&=\log(1,506)&\mid\;:\log(1{,}22)\\[5pt] t&=\dfrac{\log(1,506)}{\log(1{,}22)}\\[5pt] t&=2,06 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rlllllll} t&=2,06 \end{array}$
Etwa im 21. Jahr, d.h. im Jahr 1986, beträgt die Wachstumsrate 1. In diesem 10-Jahres-Schritt nimmt die Anzahl der Menschen also um 1 Milliarde zu.
d)
Anderes Modell vorschlagen
Das logistische Wachstum wäre hier ein besseres Modell. Dies berücksichtigt eine Ressource, die sich mit dem Wachstum verbraucht, in diesem Fall die Erdoberfläche. Jedes Stück der Fläche, das schon besiedelt ist, steht anderen nicht mehr zur Verfügung.
3.
a)
Funktionsgleichung ermitteln
Die Halbwertszeit ist die Zeit, in der die Hälfte des vorhandenen Stoffs zerfallen ist. Aus der Aufgabenstellung ist bekannt:
  • Die Halbwertszeit ist 1620 Jahre.
  • Nach 25 Jahren gibt es noch 7,5 g Radium.
Die Halbwertszeit sagt uns, dass $B(1620)=0{,}5\cdot B(0)$ ist:
$\begin{array}[t]{rlllllll} B(1620)&=0{,}5\cdot B(0)\\[5pt] a\cdot b^{1620}&=0{,}5\cdot a\cdot b^0\\[5pt] a\cdot b^{1620}&=0{,}5\cdot a&\mid\;:a\\[5pt] b^{1620}&=0{,}5&\mid\;\sqrt{\;}\\[3pt] b&=0{,}999572 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rlllllll} B(1620)&=0{,}5\cdot B(0)\\[5pt] \end{array}$
Mit $B(25)=7{,}5$ folgt weiter
$\begin{array}[t]{rlllllll} B(25)=7{,}5&=a\cdot0{,}999572^{25}\\[5pt] 7{,}5&=a\cdot0{,}989355&\mid\;:0{,}989355\\[5pt] 7{,}5807&=a \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} B(25)&=&7{,}5\\&=&a\cdot0{,}999572^{25}\end{array}$
Wir erhalten die Funktionsgleichung $B(t)=7{,}5807\cdot0{,}999572^t$.
b)
Anfangsbestand berechnen
"Ursprünglich" bezieht sich auf den Zeitpunkt $t=0$. Berechne also $B(0)$:
$\begin{array}[t]{rlllllll} B(0)&=7{,}5807\cdot0{,}999572^0\\[3pt] B(0)&=7{,}5807\cdot1 \end{array}$
Ursprünglich waren etwa 7,58 g Radium eingelagert worden.
c)
$\blacktriangleright$ Vorhandene Menge berechnen
1. Schritt: Funktionsgleichung bestimmen
Da die Halbwertszeit des Radiums immer noch die gleiche ist, können wir auch $b=0{,}999572$ für die neue Funktionsgleichung verwenden. Allerdings ist dieses Mal die Bedingung $B(0)=1$ gegeben. Der Wert für $a$ verändert sich also:
$\begin{array}[t]{rlllllll} B_2(0)=1&=a\cdot0{,}999572^0\\ 1&=a \end{array}$
Die neue Funktionsgleichung lautet $B_2=1\cdot0{,}999572^t$.
2. Schritt: Noch vorhandene Menge berechnen
Bis 1950 waren 52 Jahre vergangen. Berechne also $B(52)$.
$\begin{array}[t]{rlllllll} B(52)&=1\cdot0{,}999572^{52}\\ B(52)&=0{,}977985 \end{array}$
Im Jahr 1950 waren noch etwa 0,978 g des Radiums vorhanden.
$\blacktriangleright$ Wartezeit berechnen
Setze $B(t)=0{,}1$ und löse nach $t$ auf.
$\begin{array}[t]{rlllllll} 0{,}999572^t&=0{,}1&\mid\;\log(\;)\\[5pt] \log(0{,}999572^t)&=\log(0{,}1)\\[5pt] t\cdot\log(0{,}999572)&=\log(0{,}1)&\mid\;:\log(0{,}999572)\\[5pt] t&=\dfrac{\log(0{,}1)}{\log(0{,}999572)}\\[5pt] t&=5378{,}72 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rlllllll} 0{,}999572^t&=0{,}1\\[5pt] \end{array}$
Es würde etwa 5.379 Jahre dauern, bis noch 0,1 g des Radiums vorhanden sind.
4.
a)
Wert für b bestimmen
Setze $B(2)=17.160$ in die Gleichung ein und löse nach $b$ auf.
$\begin{array}[t]{rlllllll} B(2)=17.160&=10.000\cdot b^2&\mid\;:10.000\\[5pt] 1{,}716&=b^2&\mid\;\sqrt{\;}\\[5pt] 1{,}30996&=b \end{array}$
$\begin{array}[t]{rlllllll} B(2)=17.160=10.000\cdot b^2&\\[5pt] \end{array}$
Bei einer Außentemperatur von 30°C wächst die Bakterienkultur pro Stunde um etwa 30% an.
b)
Zeitpunkt bestimmen
Setze $B(t)=25.000$ und löse nach $t$ auf.
$\begin{array}[t]{rlllllll} B(t)=25.000&=10.000\cdot1{,}30996^t&\mid\;:10.000\\[5pt] 2{,}5&=1{,}30996^t&\mid\;\log(\;)\\[5pt] \log(2{,}5)&=\log(1{,}30996^t)\\[5pt] \log(2{,}5)&=t\cdot\log(1{,}30996)&\mid\;:\log(1{,}30996)\\[5pt] \dfrac{\log(2{,}5)}{\log(1{,}30996)}&=t\\[5pt] 3{,}39&=t \end{array}$
$\begin{array}[t]{rlllllll} 3{,}39&=t \end{array}$
Bei einer Außentemperatur von 30°C sind nach etwa 3,4 Stunden 25.000 Bakterien vorhanden.
c)
$\blacktriangleright$ Wert für b berechnen
Im Fall $B(t)=10.000\cdot b^t$ ist der Anfangsbestand mit $B(0)=10.000$ gegeben. Nach 3 Stunden hat sich dieser Anfangsbestand vervierfacht, es gilt also: $B(3)=40.000$. Setze diese Werte ein und löse nach $b$ auf:
$\begin{array}[t]{rlllllll} B(3)=40.000&=10.000\cdot b^3&\mid\;:10.000\\[3pt] 4&=b^3&\mid\;\sqrt[3]{\;}\\[3pt] 1{,}5874&=b \end{array}$
$\begin{array}[t]{rlllllll} 1{,}5874&=b \end{array}$
$\blacktriangleright$ Aussage begründen
Die Vervierfachungszeit sagt im Grunde: $B(3)=4\cdot B(0)$. Dabei bleibt $B(0)$ variabel. Genau wie bei der Halbwertszeit und bei der Verdopplungszeit kommt es auch hier nicht auf einen festen Anfangsbestand an.
5.
a)
Funktionsgleichung aufstellen
Aus der Aufgabenstellung folgt:
  • $B(0)=120$
  • $B(2)=90$
Wegen $B(0)=120=a\cdot b^0\;\Leftrightarrow\;120=a$ hat die Funktionsgleichung zunächst die Form $B(t)=120\cdot b^t$.
Die zweite Bedingung liefert:
$\begin{array}[t]{rlllllll} B(2)=90&=120\cdot b^2&\mid\;:120\\[3pt] 0{,}75&=b^2&\mid\;\sqrt{\;}\\[3pt] 0{,}866&=b \end{array}$
Also ist $B(t)=120\cdot0{,}866^t$.
b)
Zeitpunkt bestimmen
Setze $B(t)=20$ und löse nach $t$ auf.
$\begin{array}[t]{rlllllll} B(t)=20&=120\cdot0{,}866^t&\mid\;:120\\[5pt] \frac{1}{6}&=0{,}866^t&\mid\;\log(\;)\\[5pt] \log(\frac{1}{6})&=\log(0{,}866^t)\\[5pt] \log(\frac{1}{6})&=t\cdot\log(0{,}866)&\mid\;:\log(0{,}866)\\[5pt] \dfrac{\log(\frac{1}{6})}{\log(0{,}866)}&=t\\[5pt] 12{,}454&=t \end{array}$
$\begin{array}[t]{rlllllll} 12{,}454&=t \end{array}$
Nach etwa 12,5 Stunden ist die Flüssigkeit auf 20°C abgekühlt.
c)
Aussage beurteilen
Hier liegt exponentieller Zerfall vor. Das bedeutet: Je größer die Temperatur der Flüssigkeit, desto schneller kühlt sie ab. Je geringer die Temperatur der Flüssigkeit, desto langsamer kühlt sie ab.
Der Zeitpunkt mit stärkster Temperaturabnahme liegt also direkt zu Beginn vor, da die Flüssigkeit hier noch am heißesten ist.
6.
Hinweis: Es bietet sich an, diese Aufgabe mit dem Ansatz $f(t)=a\cdot \mathrm e^{kt}$ zu lösen.
a)
Wir wissen, dass die Differenzialgleichung $f'\left(t\right)=0,4\cdot f\left(t\right)$ lautet. Außerdem wissen wir, dass es sich um exponentielles Wachstum handelt.
Die Differenzialgleichung ist beim exponentiellen Wachstum immer folgendermaßen aufgebaut:
$f'\left(t\right)=k\cdot f\left(t\right)$.
Somit muss $k=0,4$ sein.
Die allgemeine Wachstumsgleichung lautet beim exponentiellen Wachstum:
$f\left(t\right)=a\cdot\mathrm e^{kt}$
Es bleibt also noch eine Unbekannte, nämlich das $a$, das wir noch bestimmen müssen. Aus der Bedingung $f(4)=10$ folgt:
Wachstumsgleichung aufstellen: Koordinaten von P einsetzen
$\begin{array}[t]{rlllllll} 10&=a\cdot\mathrm e^{4\cdot 0,4}\\[3pt] 10&=a\cdot\mathrm e^{1,6}&\mid :\mathrm e^{1,6}\\[3pt] \dfrac{10}{\mathrm e^{1,6}}&=a\\[3pt] 2,02&=a \end{array}$
Daraus folgt die Wachstumsgleichung
$f\left(t\right)=2,02\cdot\mathrm e^{0,4t}$
b)
Wenn 1 LE für $100\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$ steht, entsprechen $1100\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$ 11 LE.
Wir setzen also $f\left(t\right)=11$ und lösen nach $t$ auf.
$\begin{array}[t]{rlllllll} 11&=2,02\cdot\mathrm e^{0,4t}&\mid\;:2,02\\[5pt] \dfrac{11}{2,02}&=\mathrm e^{0,4t}&\mid\;\ln{\left(\;\right)}\\[5pt] \ln{\left(\dfrac{11}{2,02}\right)}&=\ln{\left(\mathrm e^{0,4t}\right)}\\[5pt] \ln{\left(\dfrac{11}{2,02}\right)}&=0,4t&\mid\;:0,4\\[5pt] \dfrac{\ln{\left(\frac{11}{2,02}\right)}}{0,4}&=t&\mid\;:0,4\\[5pt] 4,24&\approx t \end{array}$
$\begin{array}[t]{rlllllll} 4,24&\approx t \end{array}$
Nach etwas mehr als 4 Wochen fliegt das Spaceshuttle $1100\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
c)
$300.000.000 \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$ entsprechen 3.000.000 LE.
Wir setzen also $f\left(t\right)=3.000.000$ und lösen nach $t$ auf.
$\begin{array}[t]{rlllllll} 3.000.000&=2,02\mathrm e^{0,4t}&\mid\;:2,02\\[5pt] \dfrac{3.000.000}{2,02}&=\mathrm e^{0,4t}&\mid \ln{\left(\;\right)}\\[5pt] \ln{\left(\dfrac{3.000.000}{2,02}\right)}&=0,4t&\mid\;:0,4\\[5pt] \dfrac{\ln{\left(\frac{3.000.000}{2,02}\right)}}{0,4}&=t\\[5pt] 35,528&\approx t \end{array}$
$\begin{array}[t]{rlllllll} 35,528&\approx t \end{array}$
Nach etwa 35 Wochen hat das Spaceshuttle Lichtgeschwindigkeit erreicht.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lernvideos
Download als Dokument:
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Folge uns auf
SchulLV als App