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Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit

Spickzettel
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Wenn zwei Vektoren linear abhängig sind, bedeutet dies, dass sie parallel zueinander liegen. In Formeln ausgedrückt sind zwei Vektoren $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$ genau dann linear abhängig, wenn ein Skalar $a \in \mathbb{R}$ existiert, sodass folgende Gleichung erfüllt ist:
$a\cdot\overrightarrow{u} = \overrightarrow{v}$
$a\cdot\overrightarrow{u} = \overrightarrow{v}$
Gibt es keine solche Zahl, so heißen $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$ linear unabhängig.

Rechnerische Überprüfung

Du kannst zwei Vektoren auf lineare Unabhängigkeit prüfen, indem du aus der oberen Gleichung ein lineares Gleichungssystem aufstellst, in dem nur die Unbekannte $a$ vorkommt. Ist dieses lösbar, so sind die beiden Vektoren linear abhängig, ansonsten linear unabhängig.

Beispiel

$\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix}-1\\2\\3 \end{pmatrix}$ und $\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix}2\\-4\\-6 \end{pmatrix} $ sind linear abhängig, denn es gilt $-2\cdot\overrightarrow{u} = \overrightarrow{v}$, aber:
$\overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}1\\2\\3 \end{pmatrix}$ und $\overrightarrow{b} = \begin{pmatrix}2\\5\\-6 \end{pmatrix} $ sind linear unabhängig, denn:
Wären sie linear abhängig, gäbe es ein $a\in \mathbb{R}$, sodass $a\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\5\\-6 \end{pmatrix}$ gilt.
Es ergibt sich folgendes lineares Gleichungssystem:
$\begin{array}{} \text{I}\quad&1\cdot a&=&2\quad\\ \text{II}\quad&2\cdot a&=&5\quad\\ \text{III}\quad&3\cdot a&=&-6\quad\\ \end{array}$
Aus $\text{I}$ ergibt sich $a=2$, setzt man dies aber widerum in $\text{II}$ ein, erhält man $2\cdot 2 = 5$, was falsch ist. Daher sind beide Vektoren linear unabhängig und nicht parallel.
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Aufgaben
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1.
Prüfe, ob die beiden Vektoren jeweils linear abhängig sind.
a)
$\vec{a}=\begin{pmatrix}{1}\\{2}\\{3}\end{pmatrix};\ \vec{b}=\begin{pmatrix}{4}\\{5}\\{6}\end{pmatrix}$
b)
$\vec{a}=\begin{pmatrix}{1}\\{0}\\{0}\end{pmatrix};\ \vec{b}=\begin{pmatrix}{0}\\{0}\\{1}\end{pmatrix}$
c)
$\vec{a}=\begin{pmatrix}{3}\\{2}\\{4}\end{pmatrix};\ \vec{b}=\begin{pmatrix}{\frac{1}{4}}\\{\frac{1}{6}}\\{\frac{1}{3}}\end{pmatrix}$
d)
$\vec{a}=\begin{pmatrix}{1}\\{0}\\{2}\end{pmatrix};\ \vec{b}=\begin{pmatrix}{2}\\{0}\\{4}\end{pmatrix}$
e)
$\vec{a}=\begin{pmatrix}{2}\\{0}\\{1}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}{1}\\{1}\\{0}\end{pmatrix}; $ $ \vec{b}=\begin{pmatrix}{-3}\\{2}\\{1}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}{0}\\{1}\\{2}\end{pmatrix}$
f)
$\vec{a}=\begin{pmatrix}{2}\\{-1}\\{3}\end{pmatrix};\ \vec{b}=\begin{pmatrix}{1}\\{\frac{1}{2}}\\{\frac{3}{2}}\end{pmatrix}$.
Sind $\vec{a}$ und $\vec{b}$ sowie $\vec{a}+\vec{b}$ und $\vec{a}-\vec{b}$ linear abhängig?
g)
$\vec{a}=\begin{pmatrix}{0}\\{0}\\{0}\end{pmatrix};\ \vec{b}=\begin{pmatrix}{1}\\{1}\\{1}\end{pmatrix}$
h)
$\vec{a}=\begin{pmatrix}{35}\\{19}\\{11}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}{14}\\{2}\\{3}\end{pmatrix}; $ $ \vec{b}=\begin{pmatrix}{-8}\\{5}\\{-4}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}{15}\\{-2}\\{6}\end{pmatrix}$
2.
Prüfe, ob die drei Vektoren jeweils linear abhängig sind. Wenn das der Fall ist, stelle $\vec{a}$ als Linearkombination von $\vec{b}$ und $\vec{c}$ dar.
a)
$\vec{a}=\begin{pmatrix}{1}\\{0}\\{0}\end{pmatrix};\ \vec{b}=\begin{pmatrix}{0}\\{1}\\{0}\end{pmatrix};\ \vec{c}=\begin{pmatrix}{100}\\{-3}\\{0}\end{pmatrix}$
b)
$\vec{a}=\begin{pmatrix}{1}\\{2}\\{3}\end{pmatrix};\ \vec{b}$=$\begin{pmatrix}{4}\\{5}\\{6}\end{pmatrix};\ \vec{c}$=$\begin{pmatrix}{5}\\{7}\\{9}\end{pmatrix}$
c)
$\vec{a}=\begin{pmatrix}{-2}\\{3}\\{1}\end{pmatrix};\ \vec{b}=\begin{pmatrix}{1}\\{5}\\{1}\end{pmatrix}; $ $ \vec{c}=\begin{pmatrix}{-11}\\{-3}\\{1}\end{pmatrix}$
d)
$\vec{a}=\begin{pmatrix}{3}\\{2}\\{7}\end{pmatrix};\ \vec{b}$=$\begin{pmatrix}{1}\\{1}\\{1}\end{pmatrix};\ \vec{c}$=$\begin{pmatrix}{9}\\{8}\\{17}\end{pmatrix}$
e)
$\vec{a}=\begin{pmatrix}{-4}\\{12}\\{16}\end{pmatrix};\ \vec{b}=\begin{pmatrix}{1}\\{-3}\\{-4}\end{pmatrix};\ \vec{c}=\begin{pmatrix}{1}\\{3}\\{4}\end{pmatrix}$
f)
$\vec{a}=\begin{pmatrix}{5}\\{-3}\\{7}\end{pmatrix};\ \vec{b}=\begin{pmatrix}{20}\\{0}\\{1}\end{pmatrix}; $ $ \vec{c}=\begin{pmatrix}{100}\\{-12}\\{32}\end{pmatrix}$
g)
$\vec{a}$=$\begin{pmatrix}{4}\\{4}\\{-11}\end{pmatrix};\ \vec{b}$=$\begin{pmatrix}{1}\\{1}\\{-3}\end{pmatrix}; $ $ \vec{c}$=$\begin{pmatrix}{0}\\{0}\\{\frac{1}{2}}\end{pmatrix}$
h)
$\vec{a}$=$\begin{pmatrix}{2}\\{3}\\{1}\end{pmatrix};\ \vec{b}$=$\begin{pmatrix}{3}\\{1}\\{2}\end{pmatrix};\ \vec{c}$=$\begin{pmatrix}{1}\\{2}\\{3}\end{pmatrix}$
i)
$\vec{a}=\begin{pmatrix}{9}\\{4}\\{1}\end{pmatrix};\ \vec{b}=\begin{pmatrix}{3}\\{2}\\{1}\end{pmatrix};\ \vec{c}=\begin{pmatrix}{18}\\{10}\\{3}\end{pmatrix}$
j)
$\vec{a}$=$\begin{pmatrix}{-2}\\{4}\\{3}\end{pmatrix};\ \vec{b}$=$\begin{pmatrix}{1}\\{1}\\{0}\end{pmatrix}; $ $ \vec{c}=\begin{pmatrix}{-99}\\{501}\\{300}\end{pmatrix}$
3.
In einem Skigebiet in den Alpen wurde ein neuer $1{,}3$km langer Sessellift gebaut, der die Touristen zur Bergstation befördert. 300m nach der Talstation kreuzt die Bahn des Lifts zum ersten Mal die Talabfahrts-Skipiste, die an dieser Stelle durch die Richtungsvektoren
$\vec{u}=\begin{pmatrix}{1}\\{2}\\{-2}\end{pmatrix}$ und $\vec{v}=\begin{pmatrix}{2}\\{5.5}\\{-5}\end{pmatrix}$
beschrieben werden kann. Verläuft der Lift, der sich in Richtung des Vektors
$\vec{s}=\begin{pmatrix}{-3}\\{0}\\{2}\end{pmatrix}$
bewegt, hier parallel zur Skipiste?
4.
Ein Vogel fliegt durch ein Wohngebiet entlang des Vektors
$\vec{v}=\begin{pmatrix}{\frac{1}{2}}\\{5}\\{\frac{1}{4}}\end{pmatrix}$.
Die Dachfläche eines der Häuser wird durch die Richtungsvektoren
$\vec{a}=\begin{pmatrix}{1}\\{3}\\{-2}\end{pmatrix}$ und $\vec{b}=\begin{pmatrix}{-1}\\{3}\\{-2}\end{pmatrix}$
beschrieben. Fliegt er parallel zu dieser Dachfläche?
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Lösungen
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1.
Abhängigkeit zweier Vektoren
a)
$\left(\begin{array}{r} 1\\ 2\\ 3\\ \end{array}\right)\cdot k=\left(\begin{array}{r} 4\\ 5\\ 6\\ \end{array}\right)$ $\quad$ $\Longrightarrow\begin{array}{r} k=4\\ 2k=5\\ 3k=6\\ \end{array}\;\begin{array}{l} \Longrightarrow k=4\\ \Longrightarrow\;k=2,5\\ \Longrightarrow\;k=2\\ \end{array}\; $$ \Longrightarrow$ l.u.
b)
$\left(\begin{array}{r} 1\\ 0\\ 0\\ \end{array}\right)\cdot k=\left(\begin{array}{r} 0\\ 0\\ 1\\ \end{array}\right)$ $\quad$ $\Longrightarrow\begin{array}{r} k=0\\ 0=0\\ 0=1\\ \end{array}\;\Longrightarrow\text{l.u.}$
c)
$\begin{pmatrix}3\\2\\4\end{pmatrix}\cdot\frac{1}{12}=\begin{pmatrix}\frac{1}{4}\\ \frac{1}{6}\\ \frac{1}{3}\end{pmatrix} $$\quad$$ \Rightarrow$ l.a.
d)
$\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}\cdot 2=\begin{pmatrix}2\\0\\4\end{pmatrix} $$\quad$$ \Rightarrow$ l.a.
e)
$\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{r} 1\\ -1\\ 1\\ \end{array}\right)$; $\overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{r} -3\\ 3\\ 3\\ \end{array}\right)$;
$\left(\begin{array}{r} 1\\ -1\\ 1\\ \end{array}\right)\cdot k=\left(\begin{array}{r} -3\\ 3\\ 3\\ \end{array}\right) $$\quad$$ \begin{array}{l} \Longrightarrow k=-3\\ \Longrightarrow k=-3\;\\ \Longrightarrow k=3\\ \end{array}\Longrightarrow\;\text{l.u.}$
f)
durch $2k=1 \Longrightarrow $ 1.Lösung $k=\frac{1}{2}$
$\vec{a}=\left(\begin{array}{r} 2\\ -1\\ 3\\ \end{array}\right)\cdot \frac{1}{2} $ $ =\left(\begin{array}{r} 1\\ -\frac{1}{2}\\ \frac{3}{2}\\ \end{array}\right) \neq\begin{pmatrix}1\\ \frac{1}{2}\\ \frac{3}{2}\end{pmatrix}=\vec{b}$
$\Rightarrow \vec{a}$ und $\vec{b}$ sind l.u.
$(\vec{a}+\vec{b})\cdot\frac{1}{3} $ $ =\left(\begin{array}{r} 3\\ -\frac{1}{2}\\ \frac{9}{2}\\ \end{array}\right)\cdot\frac{1}{3}=\left(\begin{array}{r} 1\\ -\frac{1}{6}\\ \frac{3}{2}\\ \end{array}\right) $ $ \neq\left( \begin{array}{r} 1\\ -\frac{3}{2}\\ \frac{3}{2}\\ \end{array}\right) =\vec{a}-\vec{b}$
$\Rightarrow \vec{a}+\vec{b}$ und $\vec{a}-\vec{b}$ sind l.u.
g)
Der Nullvektor ist zu jedem Vektor linear unabhängig.$\overrightarrow{a}$ entspricht einem Nullvektor
h)
$\vec{a}=\begin{pmatrix}35\\19\\11\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}14\\2\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}49\\21\\14\end{pmatrix}$ $=7\cdot \begin{pmatrix}7\\3\\2\end{pmatrix}$
$\vec{b}=\left(\begin{array}{r} -8\\ 5\\ -4\\ \end{array}\right)+\left(\begin{array}{r} 15\\ -2\\ 6\\ \end{array}\right)=\begin{pmatrix}7\\3\\2\end{pmatrix}$
$\Rightarrow \vec{a}=7\cdot \vec{b} \Rightarrow$ l.a.
2.
Abhängigkeit dreier Vektoren
Allgemein gilt: gesucht sind $r$ und $s$ sodass gilt: $r\cdot\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}c_1\\c_2\\c_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}$.
$r$ und $s$ existieren genau dann, wenn das lineare Gleichungssystem
$\begin{array}{*{20}c}{b_1r + c_1s = a_1}\\{b_2r + c_2s = a_2}\\{b_3r + c_3s = a_3}\end{array}$
eine Lösung besitzt.
Vorgehensweise: zwei der drei Gleichungen genügen, um $r$ und $s$ zu bestimmen. Die erhaltenen Werte in die übrige Gleichung einsetzen. Ergibt sich eine wahre Aussage, so hat das LGS eine Lösung und die Vektoren sind linear abhängig. Ansonsten sind sie linear unabhängig.
Hat das LGS genau eine Lösung, dann liegen die drei Vektoren in einer Ebene. Hat das LGS unendlich viele Lösungen, so liegen sie sogar in einer Geraden.
a)
Es ergibt sich das LGS:
$\begin{array}{*{20}c}{} & & {100s} & = & 1\\{r} & - & {3s} & = & 0\\{}& & {0}& = & 0\end{array}$
Löst man die erste Gleichung nach s auf, so erhält man: $s=\frac{1}{100}$
Eingesetzt in Gleichung 2: $r=\frac{3}{100}$
Da 0=0 sind die Vektoren linear abhängig und es gilt:
$\vec{a}=\frac{3}{100}\cdot\vec{b}+\frac{1}{100}\cdot\vec{c}$
b)
Es ergibt sich das LGS:
$\begin{array}{*{20}c}{4r} & + & {5s} & = & 1 \\ {5r} & + & {7s} & = & 2 \\ {6r} & + & {9s} & = & 3 \end{array}$
Löst man die ersten beiden Gleichungen nach r auf und setzt sie gleich, so erhält man:
$\frac{1-5s}{4}=\frac{2-7s}{5}\ |\cdot 20$
$\Rightarrow$ $5-25s=8-28s\ |+28s-5$
$\Rightarrow$ $3s=3$
$\Rightarrow$ $s=1$
Eingesetzt in Gleichung 1: $r=\frac{1-5}{4}=-1$
Setzt man $r$ und $s$ in die dritte Gleichung ein, so ergibt das: $6\cdot(-1)+9\cdot1=3$. Also sind die Vektoren linear abhängig und es gilt:
$\vec{a}=(-1)\cdot\vec{b}+1\cdot\vec{c}$
$\vec{a}=(-1)\cdot\vec{b}+1\cdot\vec{c}$
c)
Es ergibt sich das LGS:
$\begin{array}{*{20}c}{r} & {-} & {11s} & {=} & {-2}\\{5r} & {-} & {3s} & = & {3}\\{r} & {+} & {s} & = & {1}\end{array}$
Löst man die ersten beiden Gleichungen nach r auf und setzt sie gleich, so erhält man:
$r=\frac{3}{4}$ und $s=\frac{1}{4}$.
Die letzte Gleichung ist mit diesen Werten auch erfüllt. Die Vektoren sind also linear abhängig und es gilt:
$\vec{a}=\frac{3}{4}\cdot\vec{b}+\frac{1}{4}\cdot\vec{c}$
d)
Stellt man das LGS auf, und löst die ersten beiden Gleichungen, so erhält man:
$s=1$ und $r=-6$.
Setzt man diese Werte in die letzte Gleichung ein, ergibt sich:
$r\cdot1+s\cdot17$$=-6+17$$=11\neq 7$
Also ist die letzte Gleichung nicht erfüllt, das LGS hat keine Lösung.
$\Rightarrow$ Die Vektoren sind l.u.
e)
Die Vektoren sind l.a. und es gilt: $\vec{a}=(-4)\cdot\vec{b}+0\cdot\vec{c}$
f)
Die Vektoren sind l.a. und es gilt: $\vec{a}=(-1)\cdot\vec{b}+\frac{1}{4}\cdot\vec{c}$
g)
Die Vektoren sind l.a. und es gilt: $\vec{a}=4\cdot\vec{b}+2\cdot\vec{c}$
h)
Die Vektoren sind l.u.
i)
Die Vektoren sind l.u.
j)
Die Vektoren sind l.a. und es gilt: $\vec{a}=(-\frac{101}{100})\cdot\vec{b}+\frac{1}{100}\cdot\vec{c}$
3.
Der Lift ist dann parallel zur Piste, wenn gilt: $\vec{s}$ ist linear abhängig von $\vec{u}$ und $\vec{v}$.
Dies ist dann der Fall, wenn es $a$ und $b$ gibt, so dass die Gleichung $\vec{s}=a\cdot\vec{u}+b\cdot\vec{v}$ erfüllt ist.
Das zugehörige Lineare Gleichungssystem sieht so aus:
$\begin{array}{*{20}c}{a} & {+} & {2b} & {=} & {-3}\\{2a} & {+} & {5.5b} & = & {0}\\{-2a} & {-} & {5b} & = & {2}\end{array}$
Löst man die ersten beiden Gleichungen nach $a$ auf, setzt sie gleich und löst die entstandene Gleichung nach $b$ auf, dann erhält man: $b=4$. Setzt man $b$ nun in die erste oder zweite Gleichung ein, so erhält man $a=-11$. Die dritte Gleichung ist erfüllt, wenn man $a=-11$ und $b=4$ einsetzt. Also ist $\vec{s}$ linear abhängig von $\vec{u}$ und $\vec{v}$.
Der Lift verläuft demnach an dieser Stelle parallel zur Piste.
4.
Der Vogel fliegt dann parallel zu der Dachfläche, wenn gilt: $\vec{v}$ ist linear abhängig von $\vec{a}$ und $\vec{b}$. Dies ist dann der Fall, wenn es $r$ und $s$ gibt, so dass die Gleichung $\vec{v}=r\cdot\vec{a}+s\cdot\vec{b}$ erfüllt ist. Das zugehörige Lineare Gleichungssystem sieht so aus:
$\begin{array}{*{20}c}{r} & {-} & {s} & {=} & {\frac{1}{2}}\\{3r} & {+} & {3s} & = & {5}\\{-2r} & {-} & {2s} & = & {\frac{1}{4}}\end{array}$
Löst man die ersten beiden Gleichungen nach $r$ auf, setzt sie gleich und löst die entstandene Gleichung nach $s$ auf, dann erhält man: $s=\frac{7}{12}$. Setzt man $s$ nun in die erste oder zweite Gleichung ein, so erhält man $r=\frac{13}{12}$.
Die dritte Gleichung ist mit diesen Werten allerdings nicht erfüllt. Also ist $v$ nicht linear abhängig von $\vec{a}$ und $\vec{b}$. Der Vogel fliegt also nicht parallel zur Dachfläche.
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