JSP Page
3.Vernetze dich mit deiner Klasse
Deine Klasse ist nicht dabei?
 
Einloggen
Eingeloggt bleiben
Eingeloggt bleiben
Neu bei SchulLV?
Schalte dir deinen PLUS-Zugang frei, damit du Zugriff
auf alle PLUS-Inhalte hast!
PLUS-Zugang freischalten
SchulLV ist Deutschlands marktführendes Portal für die digitale Prüfungsvorbereitung sowie für digitale Schulbücher in über 8 Fächern.
NEU: Testzugänge für Schulleiter und Lehrer
1) Testzugang anfordern: Absenden
2) Termin für kostenfreies Webinar vereinbaren:
Absenden
Info schließen
Um Ihren Testzugang bereitzustellen, benötigen wir noch folgende Angaben:
Absenden

Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit

Spickzettel
Aufgaben
Lösungen PLUS
Lernvideos
Download als Dokument:
Wenn zwei Vektoren linear abhängig sind, bedeutet dies, dass sie parallel zueinander liegen. In Formeln ausgedrückt sind zwei Vektoren $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$ genau dann linear abhängig, wenn ein Skalar $a \in \mathbb{R}$ existiert, sodass folgende Gleichung erfüllt ist:
$a\cdot\overrightarrow{u} = \overrightarrow{v}$
$a\cdot\overrightarrow{u} = \overrightarrow{v}$
Gibt es keine solche Zahl, so heißen $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$ linear unabhängig.

Rechnerische Überprüfung

Du kannst zwei Vektoren auf lineare Unabhängigkeit prüfen, indem du aus der oberen Gleichung ein lineares Gleichungssystem aufstellst, in dem nur die Unbekannte $a$ vorkommt. Ist dieses lösbar, so sind die beiden Vektoren linear abhängig, ansonsten linear unabhängig.

Beispiel

$\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix}-1\\2\\3 \end{pmatrix}$ und $\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix}2\\-4\\-6 \end{pmatrix} $ sind linear abhängig, denn es gilt $-2\cdot\overrightarrow{u} = \overrightarrow{v}$, aber:
$\overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}1\\2\\3 \end{pmatrix}$ und $\overrightarrow{b} = \begin{pmatrix}2\\5\\-6 \end{pmatrix} $ sind linear unabhängig, denn:
Wären sie linear abhängig, gäbe es ein $a\in \mathbb{R}$, sodass $a\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\5\\-6 \end{pmatrix}$ gilt.
Es ergibt sich folgendes lineares Gleichungssystem:
$\begin{array}{} \text{I}\quad&1\cdot a&=&2\quad\\ \text{II}\quad&2\cdot a&=&5\quad\\ \text{III}\quad&3\cdot a&=&-6\quad\\ \end{array}$
Aus $\text{I}$ ergibt sich $a=2$, setzt man dies aber widerum in $\text{II}$ ein, erhält man $2\cdot 2 = 5$, was falsch ist. Daher sind beide Vektoren linear unabhängig und nicht parallel.
Noch kein Content verknüpft: Verfügbaren Content anzeigen!
Verfügbarer Content
Alle verknüpfen
Mein SchulLV
Bundesland, Schulart & Klasse
BW, Berufskolleg - FH
Oberstufe
Fach & Lernbereich
Fachauswahl: Mathe
Digitales Schulbuch
Inhaltsverzeichnis
Lernbereich Digitales Schulbuch
Analysis
Schaubilder von Funk …
Funktionsgleichungen …
Kurve gegeben
Randbedingungen gege …
Differenzieren (Able …
Nach Funktionstyp
Nach Ableitungsregeln
Eigenschaften von Ku …
Aussagen bewerten
Gleichungslehre
Kurvendiskussion
Vollständige Kurvend …
Tangente und Normale
Integralrechnung
Zahlenfolgen und Gre …
Extremwertaufgaben
Allgemeine Fragen zu …
Definitions- und Wer …
Stetigkeit und Diffe …
Wachstum
Näherungsverfahren
Weiterführende Übung …
Analytische Geometrie
Vektoren
Geraden
Ebenen
Ebenen im Raum
Gegenseitige Lage
Abstände
Schnittwinkel
Spiegelungen
Lineare Gleichungssy …
Matrizen
Rechnen mit Matrizen
Übergangsmatrizen
Leontief-Modell
Stochastik
Zufallsexperimente u …
Wahrscheinlichkeiten
Kombinatorik
Wahrscheinlichkeitsv …
Binomialverteilung
Signifikanztest