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Zweiseitiger Test

Vermischte Aufgaben

Aufgaben
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1.
Weisen Sie nach, dass die Schnittwinkel zwischen der Ebene $E:2x_2+x_3=4$ und der Ebene $F:-3x_1+x_2-x_3=9$ genauso groß ist wie der zwischen $E$ und der Ebene
$G:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{r} 1\\ 1\\ 2\\ \end{array}\right)+r\cdot\left(\begin{array}{r} 1\\ 1\\ 4\\ \end{array}\right)+s\cdot\left(\begin{array}{r} 1\\ 0\\ 3\\ \end{array}\right)$
2.
Gegeben ist eine Ebene $E:x_1-x_2+3x_3=4$. Eine zweite Ebene $F$ wird aufgespannt von Geraden mit den Richtungsvektoren
$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{r} 1\\ 1\\ 2\\ \end{array}\right)$ und $\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{r} -1\\ 0\\ 3\\ \end{array}\right)$.
Berechnen Sie den Schnittwinkel von $E$ und $F$.
3.
Gegeben sind die Punkte $A\left(1\mid 2\mid 1\right)$, $B\left(2\mid 1\mid -2\right)$, $C\left(3\mid 0\mid 4\right)$ und $D\left(4\mid 4\mid 2\right)$.
Die Ebene $E$ wird aufgespannt von den Punkten $A$, $B$, $C$, die Ebene $F$ von den Punkten $A$, $B$, $D$.
Bestimmen Sie den Schnittwinkel der beiden Ebenen.
4.
Eine Gerade der Geradenschar
$g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{r} 1\\ 3\\ 2\\ \end{array}\right)+r\cdot\left(\begin{array}{r} 1\\ k\\ 1\\ \end{array}\right)$
schneidet die Ebene $E:x_2+x_3=2$ unter einem Winkel von $60°$.
Welche ist das?
5.
Gegeben ist die Ebene $E:2x_1+2x_2-x_3=4$. Berechnen Sie die Winkel zwischen der Ebene und den einzelnen Koordinatenachsen.
6.
Berechnen Sie den Schnittwinkel der Dachkante $\overline{GS}$ mit der Diagonalen $\overline{EG}$.
Schnittwinkel: Vermischte Aufgaben
Schnittwinkel: Vermischte Aufgaben
7.
Sie sehen zwei sich schneidende Geraden. Beschreiben Sie, wie Sie den Winkel $\beta$ berechnen.
Schnittwinkel: Vermischte Aufgaben
Schnittwinkel: Vermischte Aufgaben
8.
Zwei Strahler sind zum Himmel gerichtet. Strahler $S_1$ beginnt im Punkt $P\left(1\mid 2\mid 0\right)$ und strahlt in Richtung des Vektors
$\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{r} 3\\ 2\\ 3\\ \end{array}\right)$.
Strahler $S_2$ beginnt im Punkt $Q\left(-1\mid 1\mid 0\right)$ und kreuzt den Strahl von $S_1$ im Punkt $T\left(16\mid 12\mid 15\right)$.
Unter welchem Winkel schneiden sich die beiden Strahler?
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Lösungen
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1.
$E$ und $F$ – Normalenvektoren ablesen
$\overrightarrow{n}_E$=$\left(\begin{array}{r} 0\\ 2\\ 1\\ \end{array}\right)$       $\overrightarrow{n}_F$=$\left(\begin{array}{r} -3\\ 1\\ -1\\ \end{array}\right)$
$\begin{array}{rcll} \cos\alpha&=&\dfrac{\left|\left(\begin{array}{r} 0\\ 2\\ 1\\ \end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{r} -3\\ 1\\ -1\\ \end{array}\right)\right|}{\left|\left(\begin{array}{r} 0\\ 2\\ 1\\ \end{array}\right)\right|\cdot\left|\left(\begin{array}{r} -3\\ 1\\ -1\\ \end{array}\right)\right|}\\ &=&\dfrac{\left|2-1\right|}{\sqrt{4+1}\cdot\sqrt{9+1+1}}\\ &=&\dfrac{1}{\sqrt{55}} \end{array}$
$\begin{array}\\cos\alpha&=&\dfrac{1}{\sqrt{55}}\end{array}$
$\cos^{-1}\left(\dfrac{1}{\sqrt{55}}\right)\approx82,25°$
$E$ und $G$ – Normalenvektor bestimmen
$\overrightarrow{n}_G=\left(\begin{array}{r} 1\\ 1\\ 4\\ \end{array}\right)\times\left(\begin{array}{r} 1\\ 0\\ 3\\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{r} 3-0\\ 4-3\\ 0-1\\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{r} 3\\ 1\\ -1\\ \end{array}\right)$
$\overrightarrow{n}_G=\left(\begin{array}{r} 3\\ 1\\ -1\\ \end{array}\right)$
$\begin{array}{rcll} \cos\beta&=&\dfrac{\left|\left(\begin{array}{r} 0\\ 2\\ 1\\ \end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{r} 3\\ 1\\ -1\\ \end{array}\right)\right|}{\left|\left(\begin{array}{r} 0\\ 2\\ 1\\ \end{array}\right)\right|\cdot\left|\left(\begin{array}{r} 3\\ 1\\ -1\\ \end{array}\right)\right|}\\ &=&\dfrac{\left|2-1\right|}{\sqrt{4+1}\cdot\sqrt{9+1+1}}\\ &=&\dfrac{1}{\sqrt{55}} \end{array}$
$\begin{array}\\cos\beta&=&\dfrac{1}{\sqrt{55}}\end{array}$
$\cos^{-1}\left(\dfrac{1}{\sqrt{55}}\right)\approx82,25°$
Damit ist die Gleichheit der Schnittwinkel nachgewiesen.
2.
Normalenvektoren bestimmen – Kreuzprodukt der Richtungsvektoren der Geraden
$\overrightarrow{n}_E$=$\left(\begin{array}{r} 1\\ -1\\ 3\\ \end{array}\right)$
$\overrightarrow{n}_F=\left(\begin{array}{r} 1\\ 1\\ 2\\ \end{array}\right)\times\left(\begin{array}{r} -1\\ 0\\ 3\\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{r} 3-0\\ -2-3\\ 0-(-1)\\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{r} 3\\ -5\\ 1\\ \end{array}\right)$
$\overrightarrow{n}_F=\left(\begin{array}{r} 3\\ -5\\ 1\\ \end{array}\right)$
$\begin{array}{rcll} \cos\alpha&=&\dfrac{\left|\left(\begin{array}{r} 1\\ -1\\ 3\\ \end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{r} 3\\ -5\\ 1\\ \end{array}\right)\right|}{\left|\left(\begin{array}{r} 1\\ -1\\ 3\\ \end{array}\right)\right|\cdot\left|\left(\begin{array}{r} 3\\ -5\\ 1\\ \end{array}\right)\right|}\\ &=&\dfrac{\left|3+5+3\right|}{\sqrt{1+1+9}\cdot\sqrt{9+25+1}}\\ &=&\dfrac{11}{\sqrt{385}} \end{array}$
$\begin{array}{rcll} \cos\alpha=\dfrac{11}{\sqrt{385}} \end{array}$
$\cos^{-1}\left(\dfrac{11}{\sqrt{385}}\right)\approx55,9°$
3.
Ebene $ABC$ – Verbindungsvektoren aufstellen
$\overrightarrow{AB}$=$\left(\begin{array}{r} 2-1\\ 1-2\\ -2-1\\ \end{array}\right)$=$\left(\begin{array}{r} 1\\ -1\\ -3\\ \end{array}\right)$
$\overrightarrow{BC}$=$\left(\begin{array}{r} 3-2\\ 0-1\\ 4-(-2)\\ \end{array}\right)$=$\left(\begin{array}{r} 1\\ -1\\ 6\\ \end{array}\right)$
Ebene $ABC$ – Normalenvektor bestimmen}
$\overrightarrow{n}_{ABC}=\left(\begin{array}{r} 1\\ -1\\ -3\\ \end{array}\right)\times\left(\begin{array}{r} 1\\ -1\\ 6\\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{r} -6-3\\ -3-6\\ -1+1\\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{r} -9\\ -9\\ 0\\ \end{array}\right)$
$\overrightarrow{n}_{ABC}=\left(\begin{array}{r} -9\\ -9\\ 0\\ \end{array}\right)$
Ebene $ABD$ – Verbindungsvektoren aufstellen
$\overrightarrow{AD}$=$\left(\begin{array}{r} 4-1\\ 4-2\\ 2-1\\ \end{array}\right)$=$\left(\begin{array}{r} 3\\ 2\\ 1\\ \end{array}\right)$
Ebene $ABD$ – Normalenvektor bestimmen
$\overrightarrow{n}_{ABD}=\left(\begin{array}{r} 1\\ -1\\ -3\\ \end{array}\right)\times\left(\begin{array}{r} 3\\ 2\\ 1\\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{r} -1-(-6)\\ -9-1\\ 2-(-3)\\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{r} 5\\ -10\\ 5\\ \end{array}\right)$
$\overrightarrow{n}_{ABD}=\left(\begin{array}{r} 5\\ -10\\ 5\\ \end{array}\right)$
$\begin{array}{rcll} \cos\alpha&=&\dfrac{\left|\left(\begin{array}{r} -9\\ -9\\ 0\\ \end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{r} 5\\ -10\\ 5\\ \end{array}\right)\right|}{\left|\left(\begin{array}{r} -9\\ -9\\ 0\\ \end{array}\right)\right|\cdot\left(\begin{array}{r} 5\\ -10\\ 5\\ \end{array}\right)}\\ &=&\dfrac{45}{\sqrt{162}\cdot\sqrt{150}}\\ &=&\dfrac{45}{\sqrt{24300}} \end{array}$
$\begin{array}\\cos\alpha=\dfrac{45}{\sqrt{24300}}\end{array}$
$\cos^{-1}\left(\dfrac{45}{\sqrt{24300}}\right)\approx73,22°$
4.
Parameter $k$ bestimmen
$\sin(60°)=\dfrac{1}{2}\sqrt3$
Diesen Wert kann man der Formelsammlung entnehmen.
Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}_E$=$\left(\begin{array}{r} 0\\ 1\\ 1\\ \end{array}\right)$.
$\begin{array}{rcll} \dfrac{1}{2}\sqrt3&=&\dfrac{\left|\left(\begin{array}{r} 0\\ 1\\ 1\\ \end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{r} 1\\ k\\ 1\\ \end{array}\right)\right|}{\sqrt{1+1}\cdot\sqrt{1+k^2+1}}\\ \dfrac{1}{2}\sqrt3&=&\dfrac{k+1}{\sqrt{4+2k^2}}&\scriptsize{\mid \cdot\left(\sqrt{4+2k^2}\right)}\\ \dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{3\cdot\left(4+2k^2\right)}&=&k+1\\ \dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{\left(12+6k^2\right)}&=&k+1& \scriptsize{\mid \left(\;\right)^2}\\ \dfrac{1}{4}\cdot\left(12+6k^2\right)&=&\left(k+1\right)^2\\ 3+\dfrac{3}{2}k^2&=&k^2+2k+1& \scriptsize{\mid -k^2-2k-1} \\ \dfrac{1}{2}k^2-2k+2&=&0& \scriptsize{\mid \cdot2} \\ k^2-4k+4&=&0& \scriptsize{\mid \text{ binomische Formel}}\\ (k-2)^2&=&0& \scriptsize{\mid \sqrt{\;}}\\ k-2&=&0& \scriptsize{\mid +2}\\ k&=&2 \end{array}$
$k=2$
Die Gerade
$g_2:\overrightarrow{x}$=$\left(\begin{array}{r} 1\\ 3\\ 2\\ \end{array}\right)+r\cdot\left(\begin{array}{r} 1\\ 2\\ 1\\ \end{array}\right)$ schneidet die Ebene $E$ unter einem Winkel von $60°$.
5.
$E$ und $x_1$–Achse
Der Normalenvektor von $E$ lautet $\overrightarrow{n}_E$=$\left(\begin{array}{r} 2\\ 2\\ -1\\ \end{array}\right)$, der Richtungsvektor der $x_1$–Achse lautet $\overrightarrow{v}_{x_1}$=$\left(\begin{array}{r} 1\\ 0\\ 0\\ \end{array}\right)$
$\begin{array}{rcll} \sin\alpha&=&\dfrac{\left|\left(\begin{array}{r} 2\\ 2\\ -1\\ \end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{r} 1\\ 0\\ 0\\ \end{array}\right)\right|}{\left|\left(\begin{array}{r} 2\\ 2\\ -1\\ \end{array}\right)\right|\cdot\left|\left(\begin{array}{r} 1\\ 0\\ 0\\ \end{array}\right)\right|}\\ &=&\dfrac{2}{\sqrt{4+4+1}\cdot\sqrt{1}}\\ &=&\dfrac{2}{3} \end{array}$
$\begin{array}\\sin&\alpha&=&\dfrac{2}{3}\end{array}$
$\sin^{-1}\left(\dfrac{2}{3}\right)\approx41,81°$
$E$ und $x_2$–Achse
Der Richtungsvektor der $x_2$–Achse lautet $\overrightarrow{v}_{x_1}$=$\left(\begin{array}{r} 0\\ 1\\ 0\\ \end{array}\right)$
$\begin{array}{rcll} \sin\beta&=&\dfrac{\left|\left(\begin{array}{r} 2\\ 2\\ -1\\ \end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{r} 0\\ 1\\ 0\\ \end{array}\right)\right|}{\left|\left(\begin{array}{r} 2\\ 2\\ -1\\ \end{array}\right)\right|\cdot\left|\left(\begin{array}{r} 0\\ 1\\ 0\\ \end{array}\right)\right|}\\ &=&\dfrac{2}{\sqrt{4+4+1}\cdot\sqrt{1}}\\ &=&\dfrac{2}{3} \end{array}$
$\begin{array}\\sin&\beta&=&\dfrac{2}{3}\end{array}$
$\sin^{-1}\left(\dfrac{2}{3}\right)\approx41,81°$
$E$ und $x_3$–Achse
Der Richtungsvektor der $x_3$–Achse lautet $\overrightarrow{v}_{x_3}$=$\left(\begin{array}{r} 0\\ 0\\ 1\\ \end{array}\right)$
$\begin{array}{rcll} \sin\gamma&=&\dfrac{\left|\left(\begin{array}{r} 2\\ 2\\ -1\\ \end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{r} 0\\ 0\\ 1\\ \end{array}\right)\right|}{\left|\left(\begin{array}{r} 2\\ 2\\ -1\\ \end{array}\right)\right|\cdot\left|\left(\begin{array}{r} 0\\ 0\\ 1\\ \end{array}\right)\right|}\\ &=&\dfrac{\left|-1\right|}{\sqrt{4+4+1}\cdot\sqrt{1}}\\ &=&\dfrac{1}{3} \end{array}$
$\begin{array}\\sin&\gamma&=&\dfrac{1}{3}\end{array}$
$\sin^{-1}\left(\dfrac{1}{3}\right)\approx19,47°$
6.
Punkt $E$ bestimmen: $\Rightarrow$ Aus dem Schaubild ergibt sich $\;E(6|0|4)$
Gerade $g_{EG}$ bestimmen:
$g_{EG}:\;\overrightarrow{x} $=$ \overrightarrow{E} +r\cdot\overrightarrow{EG}$
$\overrightarrow{x} $=$ \left( {\begin{array}{*{20}r} 6 \\ 0 \\ 4 \\ \end{array}} \right)+ r\left( {\begin{array}{*{20}r} -6 \\ 6 \\ 0 \\ \end{array}} \right)$
Gerade $g_{GS}$ bestimmen:
$g_{GS}:\;\overrightarrow{x} $=$ \overrightarrow{G} + s\cdot\overrightarrow{GS} $
$\overrightarrow{x} $=$ \left( {\begin{array}{*{20}r} 0 \\ 6 \\ 4 \\ \end{array}} \right)+ s\left( {\begin{array}{*{20}r} 3 \\ -3 \\ 5 \\ \end{array}} \right)$
Für den Schnittwinkel berechnen wir:
$\begin{array}{rcll} \cos \alpha &=& \frac{{\left| {\left( {\begin{array}{*{20}r} -6 \\ 6 \\ 0 \\ \end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}r} 3 \\ -3 \\ 5 \\ \end{array}} \right)} \right|}}{{\left| {\left( {\begin{array}{*{20}r} -6 \\ 6 \\ 0 \\ \end{array}} \right)} \right| \cdot \left| {\left( {\begin{array}{*{20}r} 3 \\ -3 \\ 5 \\ \end{array}} \right)} \right|}}\\ &=&\dfrac{\left|-18-18\right|}{\sqrt{36+36+0}\cdot\sqrt{9+9+25}}\\ &=&\dfrac{36}{\sqrt{72}\cdot\sqrt{43}}=\dfrac{36}{\sqrt{3096}} \end{array}$
$\begin{array}{rcll} \cos \alpha &=& \frac{{\left| {\left( {\begin{array}{*{20}r} -6 \\ 6 \\ 0 \\ \end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}r} 3 \\ -3 \\ 5 \\ \end{array}} \right)} \right|}}{{\left| {\left( {\begin{array}{*{20}r} -6 \\ 6 \\ 0 \\ \end{array}} \right)} \right| \cdot \left| {\left( {\begin{array}{*{20}r} 3 \\ -3 \\ 5 \\ \end{array}} \right)} \right|}}\\ \end{array}$
$\Rightarrow \cos^{-1}\left(\dfrac{36}{\sqrt{3096}}\right)\approx49,68°$
7.
Berechnung von $\beta$ beschreiben
Wir kennen eine Formel zur Bestimmung des Schnittwinkels zweier Geraden. Wenn $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$ die Richtungsvektoren der beiden Geraden sind, dann gilt für den Cosinus ihres Schnittwinkels:
$\cos\alpha$=$\dfrac{\left|\overrightarrow{u}\circ\overrightarrow{v}\right|}{\left|\overrightarrow{u}\right|\cdot\left|\overrightarrow{v}\right|}$.
Nun sind im Bild jedoch zwei Schnittwinkel zu sehen, nämlich der spitze Winkel $\alpha$ und der stumpfe Winkel $\beta$.
Mit der Formel von oben bestimmen wir immer den kleineren der beiden Schnittwinkel, also $\alpha$.
Wir können mit der Formel also $\alpha$ bestimmen. Wie wir in der Darstellung sehen können, bilden $\alpha$ und $\beta$ zusammen einen Winkel von $180°$. Für $\beta$ gilt also:
$\beta=180°-\alpha$.
8.
Geradengleichungen bestimmen
Wir stellen die beiden Lichtstrahlen als Geraden dar.
Strahler $S_1$
Er beginnt im Punkt $P\left(1\mid 2\mid 0\right)$; der Richtungsvektor des Lichtstrahls ist $\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{r} 3\\ 2\\ 3\\ \end{array}\right)$:
$S_1:\overrightarrow{x}$=$\left(\begin{array}{r} 1\\ 2\\ 0\\ \end{array}\right)+r\cdot\left(\begin{array}{r} 3\\ 2\\ 3\\ \end{array}\right)$.
Strahler $S_2$
Er verläuft durch die Punkte $Q\left(-1\mid 1\mid 0\right)$ und $T\left(16\mid 12\mid 15\right)$:
$\begin{array}{rcll} S_2:\overrightarrow{x}&=&\overrightarrow{Q}+s\cdot\overrightarrow{QT}\\ &=&\left(\begin{array}{r} -1\\ 1\\ 0\\ \end{array}\right)+s\cdot\left(\begin{array}{r} 17\\ 11\\ 15\\ \end{array}\right) \end{array}$
$\begin{array}{rcll} S_2:\overrightarrow{x}&=&\overrightarrow{Q}+s\cdot\overrightarrow{QT}\\ \end{array}$
Schnittwinkel der Geraden bestimmen
$\begin{array}{rll} \cos\alpha&=&\dfrac{\left|\left(\begin{array}{r} 3\\ 2\\ 3\\ \end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{r} 17\\ 11\\ 15\\ \end{array}\right)\right|}{\left|\left(\begin{array}{r} 3\\ 2\\ 3\\ \end{array}\right)\right|\cdot\left|\left(\begin{array}{r} 17\\ 11\\ 15\\ \end{array}\right)\right|}\\ &=&\dfrac{51+22+45}{\sqrt{9+4+9}\cdot\sqrt{289+121+225}}\\ &=&\dfrac{118}{\sqrt{22}\cdot\sqrt{635}}=\dfrac{118}{\sqrt{13970}}. \end{array}$
$\begin{array}{rll} \cos\alpha&=&\dfrac{\left|\left(\begin{array}{r} 3\\ 2\\ 3\\ \end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{r} 17\\ 11\\ 15\\ \end{array}\right)\right|}{\left|\left(\begin{array}{r} 3\\ 2\\ 3\\ \end{array}\right)\right|\cdot\left|\left(\begin{array}{r} 17\\ 11\\ 15\\ \end{array}\right)\right|}\\ \end{array}$
$\cos^{-1}\left(\dfrac{118}{\sqrt{13970}}\right)\approx3,29°$.
Die Lichtstrahlen schneiden sich unter einem Winkel von $3,29°$.
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