Tangente

Eine Tangente ist eine Gerade, die einen Funktionsgraphen in einem bestimmten Punkt berührt, ihn aber nicht schneidet.

Im Berührpunkt ist die Steigung der Tangente gleich der Steigung der Kurve.

Somit gilt: $m_t=f‘(x_1)$

Es gibt zwei Möglichkeiten, um die Tangentengleichung aufzustellen:

Punkt-Steigungs-Form:

$y=m \cdot (x-x_1)+y_1$ $=f‘(x_1)\cdot (x-x_1)+y_1$

Wenn der Berührpunkt gegeben ist, kannst du $x_1$ und $y_1$ einsetzen und $f‘(x_1)$ berechnen. Hast du nur die x-Koordinate des Berührpunkts gegeben $(x_1)$ , so musst du auch $y_1$ berechnen.

Gewöhnliche Geradengleichung:

$y=mx+c=f‘(x_1)x+c$

Wenn der Berührpunkt gegeben ist, kannst du $f‘(x_1)$ berechnen und einsetzen. Du erhältst eine vorläufige Geradengleichung, in die du die Koordinaten des Berührpunktes einsetzen kannst, um $c$ zu berechnen.

Gib die Gleichung der Tangente an $K_f$ im Berührpunkt an. (Ganzrationale Funktionen)

$f(x)=x^2$ ; $B(3\mid 9)$

$f(x)=x^2-x$ ; $B(2\mid 2)$

$f(x)=x^2+1$ ; $B(2\mid f(2))$

$f(x)=2x^2-2$ ; $B(1,5\mid f(1,5))$

$f(x)=(x^2+2)^2$ ; $B(1\mid f(1))$

$f(x)=4(x^2+x)^2$ ; $B(1\mid f(1))$

$f(x)=2x^3+x^2$ ; $B(1\mid 3)$

Gib die Gleichung der Tangente an $K_f$ im Berührpunkt $B$ an. (Gebrochenrationale Funktionen)

$f(x)=\dfrac{x+1}{x}$ ; $B(1\mid 2)$

$f(x)=\dfrac{x^2}{x+1}$ ; $B(1\mid f(1))$

$f(x)=\dfrac{x^2}{(x+2)^2}$ ; $B(2\mid f(2))$

Gib die Gleichung der Tangente an $K_f$ im Berührpunkt $B$ an. (Wurzelfunktionen)

$f(x)=\sqrt{x}+x$ ; $B(4\mid 6)$

$f(x)=\sqrt{x^2+1}$ ; $B(2\mid f(2))$

$f(x)=2\sqrt{x^2+5}$ ; $B(2\mid f(2))$

Gegeben ist die Funktion $f$ und die Steigung einer Tangente an $K_f$ .
Bestimme die mögliche(n) Gleichung(en) der Tangente(n).
(Ganzrationale Funktionen)

$f(x)=2x^3$ ; $m_t=6$

$f(x)=\dfrac{1}{4}x^2+x$ ; $m_t=\dfrac{1}{2}$

Gegeben ist die Funktion $f$ und die Steigung einer Tangente an $K_f$ .
Bestimme die mögliche(n) Gleichung(en) der Tangente(n).
(Gebrochenrationale Funktion)

$f(x)=\dfrac{x}{x+1}$ ; $m_t=4$

Gegeben ist die Funktion $f$ und die Steigung einer Tangente an $K_f$ .
Bestimme die mögliche(n) Gleichung(en) der Tangente(n).
(Wurzelfunktionen)

$f(x)=\dfrac{1}{2}\sqrt{2x+1}$ ; $m_t=1$

$f(x)=\sqrt{x}+x$ ; $m_t=2$

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Um die Gleichung der Tangente an $K_f$ aufzustellen gibt es zwei Möglichkeiten. Diese findest du in Teilaufgabe a). Für alle weiteren Aufgaben werden wir die Punkt-Steigungsformel verwenden.
(Ganzrationale Funktionen)

$\blacktriangleright$ Tangentengleichung mit der Punkt-Steigungs-Formel

$y=f‘(x_1)\cdot(x-x_1)+y_1$

$f‘(x)=2x$ ; $m_t=f‘(3)=2\cdot 3=6$

$t:y=f‘(3)(x-3)+f(3)$

$t:y=6(x-3)+9$

$t:y=6x-18+9$

$t:y=6x-9$

$\blacktriangleright$ Alternativ: Tangentengleichung ohne Punkt-Steigungs-Formel

Es ist $f‘(x)=2x$ . Die Steigung der Tangente am Punkt $(3\mid 9)$ erhältst du mit $f‘(3)=6$ .

Damit ergibt sich die vorläufige Tangentengleichung $y=6x+c$

Einsetzen von $B(3\mid 9)$ ergibt

$9=6\cdot3+c$ $\Longrightarrow \; c=-9$

Damit ergibt sich $t:\;y=6x-9$ .

$f‘(x)=2x-1$ ; $m_t=f‘(2)=3$

$t:y=f‘(2)(x-2)+f(2)$

$t:y=3(x-2)+2$

$t:y=3x-6+2$

$t:y=3x-4$

$f‘(x)=2x$ ; $m_t=f‘(2)=2\cdot 2=4$

$t:y=f‘(2)(x-2)+f(2)$

$t:y=4(x-2)+5$

$t:y=4x-8+5$

$t:y=4x-3$

$f‘(x)=4x$ ;

$m_t=f‘(1,5)=4\cdot 1,5=6$

$t:y=f‘(1,5)(x-1,5)+f(1,5)$

$t:y=6(x-1,5)+2,5$

$t:y=6x-9+2,5$

$t:y=6x-6,5$

$f‘(x)=4x^3+8x$ ; $m_t=f‘(1)=12$

$t:y=f‘(1)(x-1)+f(1)$

$t:y=12(x-1)+9$

$t:y=12x-12+9$

$t:y=12x-3$

$f‘(x)=8(x^2+x)(2x+1)$

$m_t=f‘(1)=48$

$t:y=f‘(1)(x-1)+f(1)$

$t:y=48(x-1)+16$

$t:y=48x-48+16$

$t:y=48x-32$

$f‘(x)=6x^2+2x$ ; $m_t=f‘(1)=8$

$t:y=f‘(1)(x-1)+f(1)$

$t:y=8(x-1)+3$

$t:y=8x-8+3$

$t:y=8x-5$

Tangentengleichung an $K_f$ im Berührpunkt $B$ angeben. (Gebrochenrationale Funktionen)

$f‘(x)=\dfrac{1\cdot x-(x+1)\cdot 1}{x^2}=-\dfrac{1}{x^2}$

$m_t=f‘(1)=-1$

$t:y=f‘(1)(x-1)+f(1)$

$t:y=-1(x-1)+2$

$t:y=-x+1+2$

$t:y=-x+3$

$\begin{array}[t]{rll} f‘(x)&=& \dfrac{2x(x+1)-x^2\cdot 1}{(x+1)^2} &\quad \\[5pt] &=& \dfrac{2x^2+2x-x^2}{(x+1)^2} \\[5pt] &=&\dfrac{x^2+2x}{(x+1)^2} \end{array}$

$m_t=f‘(1)=\dfrac{3}{4}$

$t:y=f‘(1)(x-1)+f(1)$

$t:y=\dfrac{3}{4}(x-1)+\dfrac{1}{2}$

$t:y=\dfrac{3}{4}x-\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{2}$

$t:y=\dfrac{3}{4}x-\dfrac{1}{4}$

$\begin{array}[t]{rll} f‘(x)&=& \dfrac{4x}{(x+2)^3} &\quad \\[5pt] \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

$m_t=f‘(2)=\dfrac{1}{8}$

$t:y=f‘(2)(x-2)+f(2)$

$t:y=\dfrac{1}{8}(x-2)+\dfrac{1}{4}$

$t:y=\dfrac{1}{8}x-\dfrac{2}{8}+\dfrac{1}{4}$

$t:y=\dfrac{1}{8}x-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}$

$t:y=\dfrac{1}{8}x$

Tangentengleichung an $K_f$ im Berührpunkt $B$ angeben. (Wurzelfunktionen)

$f‘(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}+1$ ; $m_t=f‘(4)=\dfrac{5}{4}$

$t:y=f‘(4)(x-4)+f(4)$

$t:y=\dfrac{5}{4}(x-4)+6$

$t:y=\dfrac{5}{4}x-5+6$

$t:y=\dfrac{5}{4}x+1$

$f‘(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x^2+1}}\cdot 2x=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$

$m_t=f‘(2)=\dfrac{2}{\sqrt{5}}$

$t:y=f‘(2)(x-2)+f(2)$

$t:y=\dfrac{2}{\sqrt{5}}(x-2)+\sqrt{5}$

$t:y=\dfrac{2}{\sqrt{5}}x-\dfrac{4}{\sqrt{5}}+\sqrt{5}$

$t:y=\dfrac{2}{\sqrt{5}}x+\dfrac{1}{\sqrt{5}}$

$f‘(x)=\dfrac{2}{2\sqrt{x^2+5}}\cdot 2x=\dfrac{2x}{\sqrt{x^2+5}}$

$m_t=f‘(2)=\dfrac{4}{3}$

$t:y=f‘(2)(x-2)+f(2)$

$t:y=\dfrac{4}{3}(x-2)+6$

$t:y=\dfrac{4}{3}x-\dfrac{8}{3}+6$

$t:y=\dfrac{4}{3}x+\dfrac{10}{3}$

Die Ableitung gibt die Steigung der Tangente an jeder beliebigen Stelle an. Soll z. B. die Steigung der Tangente $m=4$ sein, so ist nach einer Stelle ( $u$ ) gesucht, an der $f‘(u)=4$ gilt.