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Logarithmusfunktionen
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Funktionsgleichungen ...
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Ganzrationale Funktio...
Gebrochenrationale Fu...
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Geraden
Geraden
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Spurpunkte
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Gerade - Gerade
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Gerade - Gerade
Gerade - Ebene
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Geordnete Stichprobe ...
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Graphisches Ableiten

Spickzettel
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Eine Funktion $f$ kannst du auch graphisch ableiten. Mit Hilfe der Eigenschaften von $f$ kannst du Aussagen über die erste Ableitung der Funktion $f$ machen.
f(x)f'(x)
Steigung positivGraph oberhalb der $x$-Achse
Steigung negativGraph unterhalb der $x$-Achse
ExtremstellenNullstellen
WendepunkteExtrempunkte/ Sattelpunkte

Beispiel

Das Schaubild der Funktion $f$ wird graphisch abgeleitet.
Eigenschaften von Kurven: Graphisches Ableiten
Eigenschaften von Kurven: Graphisches Ableiten
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Aufgaben
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1.
Die folgenden Schaubilder stellen die Ableitungsfunktionen der angegeben Funktionen dar. Ordne die Schaubilder den Funktionen zu.
b)
$f(x)=x^2+x+2$
d)
$f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}$
f)
$f(x)=-x^3$
(2)
Eigenschaften von Kurven: Graphisches Ableiten
Eigenschaften von Kurven: Graphisches Ableiten
(4)
Eigenschaften von Kurven: Graphisches Ableiten
Eigenschaften von Kurven: Graphisches Ableiten
(6)
Eigenschaften von Kurven: Graphisches Ableiten
Eigenschaften von Kurven: Graphisches Ableiten
2.
Die Schaubilder zeigen eine differenzierbare Funktion $f$.
Zeichne jeweils das Schaubild der Ableitungsfunktion in das Koordinatensystem.
b)
Eigenschaften von Kurven: Graphisches Ableiten
Eigenschaften von Kurven: Graphisches Ableiten
d)
Eigenschaften von Kurven: Graphisches Ableiten
Eigenschaften von Kurven: Graphisches Ableiten
3.
Die Schaubilder zeigen eine differenzierbare Funktion $f$.
Zeichne jeweils das Schaubild der Ableitungsfunktion in das Koordinatensystem.
b)
Eigenschaften von Kurven: Graphisches Ableiten
Eigenschaften von Kurven: Graphisches Ableiten
d)
Eigenschaften von Kurven: Graphisches Ableiten
Eigenschaften von Kurven: Graphisches Ableiten
4.
Die Schaubilder zeigen eine differenzierbare Funktion $f$.
Zeichne jeweils das Schaubild der Ableitungsfunktion in das Koordinatensystem.
b)
Eigenschaften von Kurven: Graphisches Ableiten
Eigenschaften von Kurven: Graphisches Ableiten
d)
Eigenschaften von Kurven: Graphisches Ableiten
Eigenschaften von Kurven: Graphisches Ableiten
5.
Die Schaubilder zeigen eine differenzierbare Funktion $f$.
Zeichne jeweils das Schaubild der Ableitungsfunktion in das Koordinatensystem.
b)
Eigenschaften von Kurven: Graphisches Ableiten
Eigenschaften von Kurven: Graphisches Ableiten
d)
Eigenschaften von Kurven: Graphisches Ableiten
Eigenschaften von Kurven: Graphisches Ableiten
6.
Die Schaubilder zeigen eine differenzierbare Funktion $f$.
Zeichne jeweils das Schaubild der Ableitungsfunktion in das Koordinatensystem.
b)
Eigenschaften von Kurven: Graphisches Ableiten
Eigenschaften von Kurven: Graphisches Ableiten
d)
Eigenschaften von Kurven: Graphisches Ableiten
Eigenschaften von Kurven: Graphisches Ableiten
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Lösungen
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1.
Zuordnen der Ableitungsfunktion
Die folgenden Schaubilder stellen die Ableitungsfunktionen der angegebenen Funktionen dar.
a)
$f(x)=x^2+2$, also ist  $f'(x)=2x$.
Da es sich um eine lineare Funktion handelt bleiben nur noch (4) und (6) als mögliche Lösungen. Setze $x=0$ ein:  $f'(0)=0$. Dies erfüllt Schaubild (6), Schaubild (4) nicht.
$\quad\Rightarrow$ Schaubild (6)
b)
$f(x)=x^2+x+2$, also ist  $f'(x)=2x+1$.
Da es sich um eine lineare Funktion handelt bleiben nur noch (4) und (6) als mögliche Lösungen. Setze $x=0$ ein:  $f'(0)=2\cdot0+1=1$. Dies erfüllt Schaubild (4), Schaubild (6) nicht (oder per Ausschlussverfahren mit a)).
$\quad\Rightarrow$ Schaubild (4)
c)
$f(x)=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$, also ist  $f'(x)=\dfrac{1}{2}\cdot x^{-\frac{1}{2}}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$.
Da es sich um eine gebrochen-rationale Funktion handelt bleiben nur noch (2) und (5) als mögliche Lösungen. Da  $f'(x)>0$ ist, bleibt nur noch Schaubild (5).
$\quad\Rightarrow$ Schaubild (5)
d)
$f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}=x^{-\frac{1}{2}}$, also ist  $f'(x)=-\dfrac{1}{2}\cdot x^{-\frac{3}{2}}=-\dfrac{1}{2\sqrt{x^3}}$.
Da es sich um eine gebrochen-rationale Funktion handelt bleiben nur noch (2) und (5) als mögliche Lösungen. Da  $f'(x)<0$ ist, bleibt nur noch Schaubild (2) (oder per Ausschlussverfahren mit c)).
$\quad\Rightarrow$ Schaubild (2)
e)
$f(x)=x^3$, also ist  $f'(x)=3x^2$.
Da es sich um eine Funktion zweiten Grades handelt bleiben nur noch (2) und (5) als mögliche Lösungen. Da  $f'(x)>0$ ist, bleibt nur noch Schaubild (3).
$\quad\Rightarrow$ Schaubild (3)
f)
$f(x)=-x^3$, also ist  $f'(x)=-3x^2$.
Da es sich um eine Funktion zweiten Grades handelt bleiben nur noch (1) und (3) als mögliche Lösungen. Da  $f'(x)<0$ ist, bleibt nur noch Schaubild (1) (oder per Ausschlussverfahren mit e)).
$\quad\Rightarrow$ Schaubild (1)
2.
Zeichnen der Graphen der Ableitungsfunktionen
b)
Eigenschaften von Kurven: Graphisches Ableiten
Eigenschaften von Kurven: Graphisches Ableiten
Punkte im Schaubild
a)

Funktion $f$Ableitung $f'$
Extremstelle (Tiefpunkt) bei $T(0|-2)$$f'(0)=0$
Schaubild streng monoton fallend für $x<0$$f'(x<0)$ negativ
Schaubild streng monoton steigend für $x>0$$f'(x>0)$ positiv
Tangente ans Schaubild bei $x=1$ ergibt die Steigung $4$$f'(1)=4$
b)

Funktion $f$Ableitung $f'$
Extrempunkt (Hochpunkt) bei $H\left(0|4\right)$$f'(0)=0$
Schaubild streng monoton steigend für $x<0$$f'(x<0)$ positiv
Schaubild streng monoton fallend für $x>0$$f'(x>0)$ negativ
Tangente ans Schaubild bei $x=-1$ ergibt die Steigung $2$$f'(-1)=2$
d)
Eigenschaften von Kurven: Graphisches Ableiten
Eigenschaften von Kurven: Graphisches Ableiten
Punkte im Schaubild
c)

Funktion $f$Ableitung $f'$
Extrempunkt (Tiefpunkt) bei $T\left(0|0\right)$ $f'(0)=0$
Extrempunkt (Hochpunkt) bei $x=\frac{4}{3}$$f'(\frac{4}{3}) = 0$
Schaubild streng monoton fallend für $x<0$$f'(x>0)$ negativ
Schaubild monoton steigend für $0\leq x\leq \frac{4}{3}$$f'\left(0\leq x\leq \frac{4}{3}\right)$ positiv
Schaubild streng monoton fallend für $x > \frac{4}{3}$$x > \frac{4}{3}$ negativ
Wendepunkt bei $x=\frac{2}{3}$ $f'\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{4}{3}$ ist ein Extrempunkt (Hochpunkt) von $f'$
d)

Funktion $f$Ableitung $f'$
Extrempunkt (Hochpunkt) bei $x=-\frac{1}{3}$ $f'(-\frac{1}{3})=0$
Schaubild streng monoton steigend für $x<-\frac{1}{3}$$f'\left(x<-\frac{1}{3}\right)$ positiv
Schaubild streng monoton fallend für $-\frac{1}{3}<x<1$$f'\left(-\frac{1}{3}<x<1\right)$ negativ
Extrempunkt (Tiefpunkt) bei $x=1$ $f'(1)=0$
Wendepunkt bei $x=\frac{1}{3}$ $f'(\frac{1}{3})=-\frac{4}{3}$ ist eine Extrempunkt (Tiefpunkt) von $f'$
3.
Zeichnen der Graphen der Ableitungsfunktionen
b)
Eigenschaften von Kurven: Graphisches Ableiten
Eigenschaften von Kurven: Graphisches Ableiten
Punkte im Schaubild
a)

Funktion $f$Ableitung $f'$
Extrempunkt (Hochpunkt) bei $H\left(0\mid0\right)$ $f'(0)=0$
Extrempunkt (Tiefpunkt) bei $x=1$ $f'(1) = 0$
Schaubild streng monoton steigend für $x<0$$f'(x<0)$ positiv
Schaubild streng monoton steigend für $x>1$$f'\left(x>1\right)$ positiv
Wendepunkt bei $x=\frac{1}{2}$ $f'\left(\frac{1}{2}\right)=-1,5$ st eine Extremstelle (Tiefpunkt) von $f'$
b)

Funktion $f$Ableitung $f'$
Extremstellen bei $x=-1$, $x=0$, $x=1$ $f'\left(-1\right)$=$f'(0)$=$f'(1)$=0$
Schaubild streng monoton fallend für $x<-1$ und $0<x<1$$f'\left(x<-1\right)$ und $f'\left(0<x<1\right)$ negativ
Schaubild streng monoton steigend für $-1<x<0$ und $x>1$ $f'\left(-1<x<0\right)$ und $f'(x>1)$ positiv
Wendepunkte bei $x=\pm0,5$ $f'\left(\pm0,5\right)=\pm1,5$ sind Extremstellen von $f'$
d)
Eigenschaften von Kurven: Graphisches Ableiten
Eigenschaften von Kurven: Graphisches Ableiten
Punkte im Schaubild
c)

Funktion $f$Ableitung $f'$
Extremstellen bei $x=-1$, $x=0$, $x=1$ $f'\left(-1\right)$=f$'(0)$=$f'(1)$=0$
Schaubild streng monoton steigend für $x<-1$ und $0<x<1$$f'\left(x<-1\right)$ und $f'\left(0<x<1\right)$ positiv
Schaubild streng monoton fallend für $-1<x<0$ und $x>1$ $f'\left(-1<x<0\right)$ und $f'(x>1)$ negativ
Wendepunkte bei $x=\pm0,5$ $f'\left(\pm0,5\right)\approx\pm 3$ sind Extremstellen von $f'$
d)

Funktion $f$Ableitung $f'$
Extremstellen bei $x=0$ und $x=1$ $f'(0)=f'(1)=0$
Schaubild streng monoton fallend für $x<0$ und $x>1$$f'\left(x<0\right)$ und $f'\left(x>1\right)$ negativ
Schaubild streng monoton steigend für $0<x<1$ $f'\left(0<x<1\right)$ positiv
Wendepunkte bei $x\approx 0,25$ und $x\approx 1,25$ $f'\left(x \approx 0,25\right)\approx0,75$ bzw. $f'\left(x \approx 1,25\right)\approx-1,5$ sind Extremstellen vom $f'$
4.
Zeichnen der Graphen der Ableitungsfunktionen
b)
Eigenschaften von Kurven: Graphisches Ableiten
Eigenschaften von Kurven: Graphisches Ableiten
Punkte im Schaubild
a)

Funktion $f$Ableitung $f'$
Extremstellen bei $x=0$$f'(0)=0$
Schaubild streng monoton steigend für $x<0$$f'\left(x<0\right)$ positiv
Schaubild streng monoton fallend für $x>0$$f'\left(x>0\right)$ negativ
Wendepunkte bei $x=\pm0,75$ $f'\left(\pm0,75\right)\approx\pm 1,75$ sind Extremstellen von $f'$
b)

Funktion $f$Ableitung $f'$
Extremstellen bei $x=0$ und $x=2$ $f'(0)=f'(2)=0$
Schaubild streng monoton fallend für $x<0$ und $x>2$$f'\left(x<0\right)$ und $f'\left(x>2\right)$ negativ
Schaubild streng monoton steigend für $0<x<2$ $f'\left(0<x<2\right)$ positiv
Wendepunkte bei $x\approx 0,5$ und $x\approx 3,5$ $f'\left(x \approx 0,5\right)\approx 1$ bzw. $f'\left(x \approx 3,5\right)\approx-0,25$ sind Extremstellen vom $f'$
d)
Eigenschaften von Kurven: Graphisches Ableiten
Eigenschaften von Kurven: Graphisches Ableiten
Punkte im Schaubild
c)

Funktion $f$Ableitung $f'$
Extremstellen bei $x=0$$f'(0)=0$
Schaubild streng monoton steigend für $x<0$$f'\left(x<0\right)$ positiv
Schaubild streng monoton fallend für $x>0$$f'\left(x>0\right)$ negativ
Wendepunkte bei $x \approx -0,75$ $f'\left(-0,75\right)\approx 0,5$ ist Extremstelle von $f'$
d)

Funktion $f$Ableitung $f'$
Extremstellen bei $x \approx \pm 0,75$$f'(0)=0$
Wendepunkte bei $x\approx 0$ und $x \approx \pm 1,25$ $f'\left(0\right)\approx -3$ und $f'\left(\pm 1,25\right)\approx1,25$ sind Extremstellen vom $f'$
5.
Zeichnen der Graphen der Ableitungsfunktionen
b)
Eigenschaften von Kurven: Graphisches Ableiten
Eigenschaften von Kurven: Graphisches Ableiten
Punkte im Schaubild
a)

Funktion $f$Ableitung $f'$
Punkt 1 und 2 bei $x=1$ und $x = -1$$f'(1)$=$f'(-1)$=-1$
Punkt 3 und 4 bei $x=2$ und $x = -2$$f'(2) $=$ f'(-2)$ = $\frac{1}{4}$
b)

Funktion $f$Ableitung $f'$
Punkt 1 bei $x=-1$$f'(-1)$=$4$
Punkt 2 bei $x=1$$f'(1)$=$-4$
Punkt 3 bei $x=-2$$f'(-2)$=$\frac{1}{2}$
Punkt 4 bei $x=2$$f'(2)$=$-\frac{1}{2}$
d)
Eigenschaften von Kurven: Graphisches Ableiten
Eigenschaften von Kurven: Graphisches Ableiten
Punkte im Schaubild
c)

Funktion $f$Ableitung $f'$
Punkt 1 und 2 bei $x=0,5$ und $x = -0,5$$f'(0,5)$=$f'(-0,5)$=0$
Punkt 3 und 4 bei $x=2$ und $x = -2$$f'(2)$ = $f'(-2) \approx 1$
d)

Funktion $f$Ableitung $f'$
Punkt 1 bei $x=0,5$$f'(0,5)\approx 0$
Punkt 2 bei $x=2$$f'(2)\approx 1$
Punkt 3 bei $x=0$$f'(0)=-1$
6.
Zeichnen der Graphen der Ableitungsfunktionen
b)
Eigenschaften von Kurven: Graphisches Ableiten
Eigenschaften von Kurven: Graphisches Ableiten
Punkte im Schaubild
a)

Funktion $f$Ableitung $f'$
Extremstellen bei $x \approx -1,6$ und $x \approx 1,6$$f'(-1,6)$=$f'(1,6)$=0$
Wendestellen bei $x = 0$ und $x = \pi$$f'(0)$ = $1$ und $f'(3,14)$ = $ -1$
b)


Funktion $f$Ableitung $f'$
Extremstellen bei $x = 0$ und $x \approx 1,6$$f'(0)$=$f'(1,6)=0$
Wendestellen bei $x = 0,8$ und $x = 2,4$$f'(0,8) \approx -2$ und $f'(2,4) \approx 2$
d)
Eigenschaften von Kurven: Graphisches Ableiten
Eigenschaften von Kurven: Graphisches Ableiten
Punkte im Schaubild
c)

Funktion $f$Ableitung $f'$
Extremstellen bei $x \approx -0,4$ und $x \approx 2,8$$f'(-0,4)$=$f'(2,8)$=0$
Wendestellen bei $x \approx 1,2$ und $x \approx 4,3$$f'(1,2)$ = $ -1$ und $f'(4,3) = 1$
d)

Funktion $f$Ableitung $f'$
Extremstellen bei $x \approx 1,6$ und $x \approx 4,7$$f'(1,6)$=$f'(4,7)$=0$
Wendestellen bei $x = 0$ und $x = 3$$f'(0)$ = $-2$ und $f'(3)$ = $2$
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