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Rotationskörper

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Rotationskörper entstehen durch Rotation einer Fläche, die vom Graphen einer Funktion $f$ und einer der Koordinatenachsen begrenzt wird, um eben diese Koordinatenachse. Das Volumen eines solchen Körpers kannst du mit Hilfe eines Integrals berechnen:
Rotation um die $x$-Achse: $ V = \pi \cdot \displaystyle\int_{a}^{b} (f(x))^2\mathrm dx$

Rotation um die $x$-Achse: $ V = \pi \cdot \displaystyle\int_{a}^{b} (f(x))^2\mathrm dx$
Rotation um die $y$-Achse: $ V = \pi \cdot \displaystyle\int_{a}^{b} (f^{-1}(y))^2\mathrm dy$

Rotation um die $y$-Achse: $ V = \pi \cdot \displaystyle\int_{a}^{b} (f^{-1}(y))^2\mathrm dy$
Bei der Rotation um die $y$-Achse muss also zunächst die Umkehrfunktion gebildet werden. Allgemein müssen meistens erst die Grenzen berechnet werden, die sich dann aus den Schnittstellen von $f$ mit der jeweiligen Koordinatenachse ergeben.

Beispiel

Wir berechnen das Volumen des Rotationskörpers, der durch Rotation um die $x$-Achse des Graphen von $f$ mit $f(x) = -x^2+4$ begrenzt wird.
Die Integrationsgrenzen ergeben sich aus $f(x) = 0$ zu $a = -2$ und $b =2$. Das Volumen ergibt sich dann zu:
$V = \pi \cdot \displaystyle\int_{-2}^{2}(f(x))^2\mathrm dx $ $= \pi \cdot \displaystyle\int_{-2}^{2} \left(16 - 8x^2+x^4\right)\mathrm dx$ $\approx \pi\cdot34,13 \approx 107,22$ [VE]
$\begin{array}[t]{rll} V&=& \pi \cdot \displaystyle\int_{-2}^{2}(f(x))^2\mathrm dx &\quad \\[5pt] &=& \pi \cdot \displaystyle\int_{-2}^{2} \left(16 - 8x^2+x^4\right)\mathrm dx &\quad \\[5pt] &\approx& \pi\cdot34,13 \approx 107,22 [VE] &\quad \\[5pt] \end{array}$
Nun berechnen wir das Volumen des Rotationskörpers, der durch Rotation des Graphen von $f$ um die $y$-Achse entsteht und nach unten durch die $x$-Achse begrenzt ist.
Die untere Grenze ergibt sich demnach mit $a = 0$. Die obere Grenze ergibt sich aus dem Schnittpunkt des Graphen mit der $y$-Achse $\Rightarrow b = 4$. Wir benötigen noch die Umkehrfunktion von $f$: $f^{-1}(y) = \sqrt{4-y}$.
$V = \pi \cdot \displaystyle\int_{0}^{4} (\sqrt{4-y})^2\mathrm dy$ $= \pi \cdot \displaystyle\int_{0}^{4} (4-y)\mathrm dy$ $ = \pi \cdot 8$ $\approx 25,13$ [VE]
$\begin{array}[t]{rll} V&=& \pi \cdot \displaystyle\int_{0}^{4} (\sqrt{4-y})^2\mathrm dy &\quad \\[5pt] &=& \pi \cdot \displaystyle\int_{0}^{4} (4-y)\mathrm dy &\quad \\[5pt] &=& \pi \cdot 8 &\quad \\[5pt] &\approx& 25,13 [VE] &\quad \\[5pt] \end{array}$
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