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Gebrochenrationale Funktionen

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Du kannst eine gebrochenrationale Funktion auf folgende Eigenschaften überprüfen:
EigenschaftMethode
Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen $(x_0\mid y_0)$x-Achse:
Nullstelle bestimmen, d.h. $y_0 = 0$, setze also $f(x_0)=0$ und löse nach $x_0$ auf
y-Achse:
Funktionswert an der Stelle $x_0 = 0$ berechnen, also $y_0 = f(0)$
Verhalten im Unendlichen$\lim\limits_{x\to\infty}$ bzw. $\lim\limits_{x\to\,-\infty}$
Asymptoten senkrechte Asymptote:
Definitionslücke, setze also den Nenner mit Null gleich
waagerechte Asymptote:
Grenzwerte für $x \to \infty$ bzw. $x \to -\infty$ entspricht der waagerechten Asymptote
schiefe Asymptote:
Ist der Grad des Zählers um 1 größer als der des Nenners, führe eine Polynomdivision durch. Das Ergebnis ist dann die Gleichung einer schiefen Asymptote.
Monotonieverhalten streng monoton steigend, wenn $f´(x)>0$
streng monoton fallend, wenn $f´(x)<0$
Extrempunkt $(x_E\mid y_E)$
  • Notwendiges Kriterium: $f'(x_E)=0$
  • Hinreichendes Kriterium:
    • Hochpunkt: $f''(x_E) < 0$ oder Vorzeichenwechsel von $f'(x)$ in $x_E$ von $+$ nach $-$
    • Tiefpunkt: $f''(x_E) > 0$ oder Vorzeichenwechsel von $f'(x)$ in $x_E$ von $-$ nach $+$
Wendepunkt $(x_W\mid y_W)$
  • Notwendiges Kriterium: $f''(x_W)=0$
  • Hinreichendes Kriterium: $f'''(x_W) \neq 0$ oder Vorzeichenwechsel von $f''(x)$ in $x_W$
Graph skizzieren Verwende zum Skizzieren markante Stellen
z.B. Nullstellen, Hochpunkte, usw.
Symmetrie achsensymmetrisch: $f(x)=f(-x)$
punktsymmetrisch: $-f(x)=f(-x)$
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