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Lernbereich Digitales Schulbuch
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Gebrochenrationale Fu...
Logarithmusfunktionen
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Funktionsgleichungen ...
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Ganzrationale Funktio...
Gebrochenrationale Fu...
Exponentialfunktionen
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Tangente
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Geraden
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Ebenen im Raum
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Spurpunkte
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Gerade - Gerade
Gerade - Ebene
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Gerade - Gerade
Gerade - Ebene
Ebene - Ebene
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Gebrochenrationale Funktionen

Spickzettel
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Du kannst eine gebrochenrationale Funktion auf folgende Eigenschaften überprüfen:
EigenschaftMethode
Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen $(x_0\mid y_0)$x-Achse:
Nullstelle bestimmen, d.h. $y_0 = 0$, setze also $f(x_0)=0$ und löse nach $x_0$ auf
y-Achse:
Funktionswert an der Stelle $x_0 = 0$ berechnen, also $y_0 = f(0)$
Verhalten im Unendlichen$\lim\limits_{x\to\infty}$ bzw. $\lim\limits_{x\to\,-\infty}$
Asymptoten senkrechte Asymptote:
Definitionslücke, setze also den Nenner mit Null gleich
waagerechte Asymptote:
Grenzwerte für $x \to \infty$ bzw. $x \to -\infty$ entspricht der waagerechten Asymptote
schiefe Asymptote:
Ist der Grad des Zählers um 1 größer als der des Nenners, führe eine Polynomdivision durch. Das Ergebnis ist dann die Gleichung einer schiefen Asymptote.
Monotonieverhalten streng monoton steigend, wenn $f´(x)>0$
streng monoton fallend, wenn $f´(x)<0$
Extrempunkt $(x_E\mid y_E)$
  • Notwendiges Kriterium: $f'(x_E)=0$
  • Hinreichendes Kriterium:
    • Hochpunkt: $f''(x_E) < 0$ oder Vorzeichenwechsel von $f'(x)$ in $x_E$ von $+$ nach $-$
    • Tiefpunkt: $f''(x_E) > 0$ oder Vorzeichenwechsel von $f'(x)$ in $x_E$ von $-$ nach $+$
Wendepunkt $(x_W\mid y_W)$
  • Notwendiges Kriterium: $f''(x_W)=0$
  • Hinreichendes Kriterium: $f'''(x_W) \neq 0$ oder Vorzeichenwechsel von $f''(x)$ in $x_W$
Graph skizzieren Verwende zum Skizzieren markante Stellen
z.B. Nullstellen, Hochpunkte, usw.
Symmetrie achsensymmetrisch: $f(x)=f(-x)$
punktsymmetrisch: $-f(x)=f(-x)$
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1.
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f\left(x\right)=\dfrac{x^2-4}{x^2-1}$. Ihr Schaubild sei $K_f$.
a)
Bestimme die Schnittpunkte von $K_f$ mit der $x$-Achse.
b)
Bestimme die senkrechten und waagerechten Asymptoten von $K_f$.
c)
Skizziere anhand der bisherigen Ergebnisse den Verlauf von $K_f$ in einem Koordinatensystem.
d)
Prüfe, ob $K_f$ zur $y$-Achse symmetrisch ist.
e)
Weise nach, dass $f$ an genau einer Stelle die Steigung Null besitzt. Beschreibe, welche Art von Punkt $K_f$ an dieser Stelle besitzt.
2.
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f\left(x\right)=\dfrac{x^2+2x-3}{\left(x+1\right)^2}$. Ihr Schaubild sei $K_f$.
a)
Bestimme die Schnittpunkte von $K_f$ mit der $x$-Achse.
b)
Bestimme die senkrechten und waagerechten Asymptoten von $K_f$.
c)
Skizziere anhand der bisherigen Ergebnisse den Verlauf von $K_f$ in einem Koordinatensystem.
d)
Beweise, dass $K_f$ zur senkrechten Asymptote symmetrisch ist.
e)
Der Funktionsterm von $f$ wird verändert zu $\dfrac{x^2+2x-3}{\left(x+1\right)^2}+x$. Welche Änderung fällt sofort auf und welche Auswirkungen hat sie auf den Verlauf von $K_f$?
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Lösungen
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1.
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f\left(x\right)=\dfrac{x^2-4}{x^2-1}$. Ihr Schaubild sei $K_f$.
a)
Schnittpunkte von $K_f$ mit der $x$-Achse bestimmen
Schnittpunkt mit der $x$-Achse:
$f(x)=0$ und nach $x$ auflösen:
Ein Bruch wird Null, wenn sein Zähler Null wird:
$\begin{array}{rll} x^2-4&=&0&\scriptsize{\mid\;+4}\\ x^2&=&4&\scriptsize{\mid\;\sqrt{\;}}\\ x&=&\pm2 \end{array}$
Daraus ergeben sich die Punkte $N_1\left(-2\mid\;0\right)$ und $N_2\left(2\mid\;0\right)$.
b)
Die senkrechten und waagerechten Asymptoten von $K_f$ bestimmen
$\blacktriangleright$ Senkrechte Asymptoten bestimmen: Nenner gleich Null setzen
Senkrechte Asymptoten liegen an den Definitionslücken von $f$ vor. Diese entsprechen den Nullstellen des Nenners:
$\begin{array}{rll} x^2-1&=&0&\scriptsize{\mid\;+1}\\ x^2&=&1&\scriptsize{\mid\;\sqrt{\;}}\\ x&=&\pm1 \end{array}$
Die senkrechten Asymptoten von $K_f$ haben die Gleichungen $x=-1$ und $x=1$.
$\blacktriangleright$  Waagerechte Asymptoten bestimmen:
Betrachte den Grenzwert von $f(x)$ für $x\to\infty$.
$\lim\limits_{x\to\infty}{\dfrac{x^2-4}{x^2-1}}=\dfrac{1-\dfrac{4}{x^2}}{1-\dfrac{1}{x^2}}=\dfrac{1}{1}=1$
Für $x\to\infty$ laufen $\dfrac{4}{x^2}$ und $\dfrac{1}{x^2}$ gegen null, sodass $f(x)$ insgesamt gegen 1 läuft.
Für $x\to-\infty$ ändert sich nichts, da der höchste Exponent jeweils gerade ist. Somit wird alles wieder positiv.
Die waagerechte Asymptote von $K_f$ hat die Gleichung $y=1$.
c)
Anhand der bisherigen Ergebnisse den Verlauf von $K_f$ in einem Koordinatensystem skizzieren
Kurvendiskussion: Gebrochenrationale Funktionen
Kurvendiskussion: Gebrochenrationale Funktionen
d)
Prüfen, ob $K_f$ zur $y$-Achse symmetrisch ist
Behauptung: $K_f$ ist achsensymmetrisch zu $x=0$
Zu zeigen:
$\begin{array}{rll} f\left(x\right)&=&f\left(-x\right) \end{array}$
Beweis:
$\begin{array}{rll} \dfrac{x^2-4}{x^2-1}&=&\dfrac{\left(-x\right)^2-4}{\left(-x\right)^2-1}\\[5pt] \dfrac{x^2-4}{x^2-1}&=&\dfrac{x^2-4}{x^2-1} \end{array}$
Dies ist eine wahre Aussage. Somit ist die Achsensymmetrie zur $y$-Achse bewiesen.
e)
Nachweisen, dass $f$ an genau einer Stelle die Steigung Null besitzt.
Beschreiben, welche Art von Punkt $K_f$ an dieser Stelle besitzt.
Die Steigung wird dir durch die erste Ableitung $f'$ gegeben. Zeige also, dass $f'(x)$ nur genau eine Nullstelle besitzt. Leite $f$ zunächst einmal nach der Quotientenregel ab.
$\begin{array}{rll} f\left(x\right)&=&\dfrac{x^2-4}{x^2-1}\\[5pt] f'\left(x\right)&=&\dfrac{2x\left(x^2-1\right)-\left(x^2-4\right)\cdot2x}{\left(x^2-1\right)^2}\\[5pt] &=&\dfrac{2x^3-2x-\left(2x^3-8x\right)}{\left(x^2-1\right)^2}\\[5pt] &=&\dfrac{2x^3-2x-2x^3+8x}{\left(x^2-1\right)^2}\\[5pt] f'\left(x\right)&=&\dfrac{6x}{\left(x^2-1\right)^2} \end{array}$
$\begin{array}{rll} f\left(x\right)&=&\dfrac{x^2-4}{x^2-1}\\[5pt] … \end{array}$
$f'\left(x\right)=0$ setzen und nach $x$ auflösen:
$\begin{array}{rll} \dfrac{6x}{\left(x^2-1\right)^2}&=&0&\scriptsize{\mid\;\cdot\left(x^2-1\right)^2}\\[5pt] 6x&=&0&\scriptsize{\mid\;:6}\\[5pt] x&=&0\\ \end{array}$
Nur an der Stelle 0 hat $f$ eine Steigung von 0. An dieser Stelle liegt also entweder ein Extremum oder ein Sattelpunkt vor. Prüfe den Wert der zweiten Ableitung an der Stelle $x=0$, um eine genau Aussage treffen zu können:
$\begin{array}{rll} f''(x)&=&\dfrac{6\cdot(x^2-1)^2-6x\cdot2\cdot(x^2-1)\cdot2x}{(x^2-1)^4}&\scriptsize{(x^2-1)\; \text{ausklammern}}\\[5pt] &=&\dfrac{(x^2-1)\cdot\left[6(x^2-1)-24x^2\right]}{(x^2-1)^4}\\[5pt] &=&\dfrac{6x^2-6-24x^2}{(x^2-1)^3}\\[5pt] &=&\dfrac{-18x^2-6}{(x^2-1)^3}\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}{rll} f''(x)&=&… \end{array}$
Wegen $f''(0)$=$\dfrac{-6}{(0-1)^3}$=$\dfrac{-6}{-1}$=$6>0$ liegt an der Stelle $x=0$ ein Minimum vor.
2.
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f\left(x\right)=\dfrac{x^2+2x-3}{\left(x+1\right)^2}$.
a)
Schnittpunkte von $K_f$ mit der $x$-Achse bestimmen
Schnittpunkt mit der $x$-Achse:
$f(x)=0$ setzen und nach $x$ auflösen:
Ein Bruch wird Null, wenn sein Zähler Null wird:
$\begin{array}{rll} x^2+2x-3&=&0 \end{array}$
$\boldsymbol{p}$-$\boldsymbol{q}$-Formel anwenden:
$\begin{array}{rll} x_{1,2}&=&-1\pm\sqrt{1+3}\\[5pt] &=&-1\pm2\\[5pt] x_1&=&-3\\[5pt] x_2&=&1 \end{array}$
Daraus ergeben sich die Punkte $N_1\left(-3\mid\;0\right)$ und $N_2\left(1\mid\;0\right)$.
b)
Die senkrechten und waagerechten Asymptoten von $K_f$ bestimmen
$\blacktriangleright$  Senkrechte Asymptoten bestimmen: Nenner gleich Null setzen
Senkrechte Asymptoten liegen an den Definitionslücken von $f$ vor. Diese entsprechen den Nullstellen des Nenners.
$\begin{array}{rll} \left(x+1\right)^2&=&0&\scriptsize{\mid\;\sqrt{\;}}\\[5pt] x+1&=&0&\scriptsize{\mid\;-1}\\[5pt] x&=&-1 \end{array}$
Die senkrechte Asymptote hat die Gleichung $x=-1$.
$\blacktriangleright$  Waagerechte Asymptote bestimmen:
Betrachte den Grenzwert von $f(x)$ für $x\to\infty$.
$\lim\limits_{x\to\infty}{\dfrac{x^2+2x-3}{\left(x+1\right)^2}}=\dfrac{1}{1}=1$
Für $x\to\infty$ läuft $K_f$ gegen 1.
Für $x\to-\infty$ ändert sich nichts, da der höchste Exponent jeweils gerade ist. Somit wird alles wieder positiv.
Die Gleichung der waagerechten Asymptote lautet daher $y=1$.
c)
Anhand der bisherigen Ergebnisse den Verlauf von $K_f$ in einem Koordinatensystem skizzieren
Kurvendiskussion: Gebrochenrationale Funktionen
Kurvendiskussion: Gebrochenrationale Funktionen
d)
Beweisen, dass $K_f$ zur senkrechten Asymptote symmetrisch ist
Hier gibt es zwei Lösungswege.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A
Behauptung: $K_f$ ist achsensymmetrisch zu $x=-1$
Zu zeigen:
$\begin{array}{rll} f\left(x+h\right)&=&f\left(x-h\right)\\[5pt] f\left(-1+h\right)&=&f\left(-1-h\right) \end{array}$
Beweis:
$\begin{array}{rll} \dfrac{\left(-1+h\right)^2+2\left(-1+h\right)-3}{\left(-1+h+1\right)^2}&=&\dfrac{\left(-1-h\right)^2+2\left(-1-h\right)-3}{\left(-1-h+1\right)^2}\\[5pt] \dfrac{1-2h+h^2-2+2h-3}{h^2}&=&\dfrac{1+2h+h^2-2-2h-3}{\left(-h\right)^2}\\[5pt] \dfrac{h^2-4}{h^2}&=&\dfrac{h^2-4}{h^2} \end{array}$
$\begin{array}{rll} \dfrac{\left(-1+h\right)^2+…}{\left(-1+h+1\right)^2} \end{array}$
Dies ist eine wahre Aussage. Die Achsensymmetrie zu $x=-1$ ist also bewiesen.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B
Du kannst auch so argumentieren: Wird der Graph der Funktion $f$ um $1$ LE in positive $x$-Richtung verschoben, so ist er achsensymmetrisch zur $y$-Achse. Also war ursprünglich achsensymmetrisch zur Geraden $x=-1$.
Das muss natürlich auch bewiesen werden: Du kannst den Graph von $f$ um $1$ LE in positive $x$-Richtung verschieben, indem du die Funktionsgleichung änderst. Die verschobene Funktion wollen wir $f_1$ nennen.
$\begin{array}{rll} f_1(x)&=&\dfrac{(x-1)^2+2\cdot(x-1)-3}{((x-1)+1)^2}\\[5pt] &=&\dfrac{x^2-2x+1+2x-2-3}{x^2}\\[5pt] &=&\dfrac{x^2-4}{x^2} \end{array}$
$\begin{array}{rll} f_1(x)&=&\dfrac{(x-1)^2+…}{((x-1)+1)^2}\\[5pt] \end{array}$
Wegen $f_1(-x)=\dfrac{(-x)^2-4}{(-x)^2}$ $=\dfrac{x^2-4}{x^2}=f_1(x)$ ist der Graph von $f_1$ achsensymmetrisch zur $y$-Achse. Also ist der Graph von $f$ achsensymmetrisch zur Geraden $x=-1$.
e)
Der Funktionsterm von $f$ wird verändert zu $\dfrac{x^2+2x-3}{\left(x+1\right)^2}+x$. Welche Änderung fällt sofort auf und welche Auswirkungen hat sie auf den Verlauf von $K_f$?
Es fällt auf, dass hinter den Bruch noch ein $x$ addiert wird. Das Schaubild von $f$ wird nun also anders verlaufen als vorher. Durch das $x$ besitzt $K_f$ nun eine schiefe Asymptote, keine waagerechte mehr:
$\begin{array}{rll} \lim\limits_{x\to\infty}{\dfrac{x^2+2x-3}{\left(x+1\right)^2}+x}&\\=&\dfrac{1}{1}+\lim\limits_{x\to\infty}{x}\\ \end{array}$
Für $x\to\infty$ nähert sich das Schaubild von $f$ also der Geraden $y=1+x$ an.
Eine weitere Eigenschaft, die sich durch die Modifikation des Funktionsterms verändert, ist die Lage der Nullstellen.
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