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Geordnete Stichprobe mit Zurücklegen

Spickzettel
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Bei einer geordneten Stichprobe mit Zurücklegen wird ein mehrstufiges Zufallsexperiment betrachtet, wie beispielsweise das Ziehen aus einer Urne, wobei die Kugeln direkt wieder zurückgelegt werden. Dabei heißt „geordnet“, dass genau beachtet wird welche Kugel in welchem Zug gezogen wurde. Die Kugeln sind also sozusagen nummeriert.
Sind $\Omega_1$,…, $\Omega_n$ die Ergebnisräume der Zufallsexperimente der einzelnen Stufen, dann ergibt sich der Ergebnisraum des gesamten Zufallsexperimentes wie folgt:
$\Omega = \Omega_1 \times … \times \Omega_n$ und $\left|\Omega\right| = \left|\Omega_1 \right|\cdot … \cdot \left| \Omega_n\right|$
$\Omega = \Omega_1 \times … \times \Omega_n$ und $\left|\Omega\right| = \left|\Omega_1 \right|\cdot … \cdot \left| \Omega_n\right|$
Sind die einzelnen Stufen eines Zufallsexperiments gleich, wird also immer wieder das gleiche Zufallsexperiment wiederholt, wie beispielsweise beim mehrfachen Münzwurf, so ergibt sich die Anzahl der möglichen Ergebnisse wie folgt:
$\left|\Omega\right| = n^k$
$\left|\Omega\right| = n^k$
Dabei ist $n$ die Anzahl der möglichen Ergebnisse jeder einzelnen Stufe und $k$ die Anzahl der Stufen, also die Anzahl der Durchführungen.

Beispiel

Ein klassisches Beispiel ist ein Zahlenschloss. Betrachte ein Zahlenschloss mit 4 Stellen und allen 10 Ziffern von $0$ bis $9$. Dann entspricht jede Stelle einem Zufallsexperiment mit 10 möglichen Ergebnissen und das Gesamtexperiment entspricht dem viermaligen Ziehen aus einer Urne mit Zurücklegen.
Für jede Stelle gibt es 10 Möglichkeiten diese zu besetzen. Es gilt also $n = 10$ und $k=4$.
Insgesamt gibt es also $10 ^4= 10.000$ mögliche Zahlencodes.

Tipp

Musst du die Anzahl möglicher Kombinationen bestimmen, mache dir eine Liste möglicher Gruppen von Ergebnissen und betrachte diese zunächst einzeln.
Oft kann es auch hilfreich sein ein Baumdiagramm zu zeichnen. Du kannst die Anzahl der möglichen Ergebnisse dann bestimmen, indem du die Anzahl der möglichen Pfade zählst.
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Aufgaben
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1.
Ein Fahrradschloss zeigt 3 zufällig gewählte Ziffern zwischen $000$ und $999$.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse?
A: Alle drei Ziffern sind gleich.
B: Es kommen nur die Zahlen $4$ und $8$ vor.
C: Die erste und die dritte Zahl sind gleich.
2.
In einem Barbecue Restaurant gibt es verschiedene Steaks zur Auswahl: Rumpsteak, Roastbeefsteak, Nackensteak und Rib-Eye-Steak. Dazu gibt es als Beilagen: Ofenkartoffeln, Pommes und Bratkartoffeln. Als Vorspeise kann man einen kleinen gemischten Salat oder einen kleinen grünen Salat wählen.
Wie viele verschiedene Gerichte hat ein Restaurantbesucher zur Auswahl? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für ein Gericht mit Ofenkartoffeln als Beilage?
3.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit zufällig eine dreistellige Zahl mit den Ziffern $1$, $3$, $5$, $7$ und $9$ zu bilden,
a)
wenn alle drei Ziffern gleich sein sollen?
b)
wenn die Zahl kleiner als $700$ sein soll?
c)
wenn die Zahl durch $5$ teilbar sein soll?
4.
Ein Tassen-Set besteht aus drei Teilen. Einem Unterteller, einer Tasse und einem Löffel. Die drei Teile sind jeweils in den Farben Grün, Rot, Orange und Gelb erhältlich und stehen in gleicher Anzahl zur Verfügung.
Gib die Anzahl der verschiedenartigen Tassen-Sets an, die jeweils aus Teilen mit verschiedenen Farben bestehen. Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, ohne hinzusehen ein Tassen-Set mit drei verschiedenen Farben zu erwischen.
5.
Sarah möchte eine Halskette selbst basteln. Sie hat dazu genügend schwarze, weiße, gelbe und rote Perlen gekauft. Insgesamt will sie 8 Perlen auffädeln.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse, wenn die Farben zufällig gewählt werden?
A: In der Halskette kommt keine schwarze Perle vor.
B: Nur die ersten 4 Perlen sind weiß.
C: Es kommen immer abwechselnd nur schwarze und weiße Perlen vor.
6.
Der dreijährige Tim baut aus gelben und blauen Bausteinen einen Turm. Er stapelt dabei 10 Bausteine zufällig aufeinander. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse, wenn er die Farben der Bausteine zufällig auswählt?
A: Alle Bausteine sind gelb.
B: Nur ein Baustein ist gelb.
C: Der erste und der letzte Baustein haben dieselbe Farbe.
7.
In einer Urne sind 8 nummerierte Kugeln (von 1 bis 8). Man zieht viermal nacheinander eine Kugel, notiert die Ziffer und legt sie zurück in die Urne. Die aufgeschriebenen Ziffern sind vierstellige Zahlen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse?
A: Es kommen nur die Ziffern 5 und 6 vor.
B: Die vierstellige Zahl ist durch 5 teilbar.
C: Es kommt keine 9 vor.
D: Die vierstellige Zahl ist durch 2 teilbar.
8.
Aus den Buchstaben des Wortes MATHELV werden nacheinander mit Zurücklegen 5 Buchstaben gezogen und der Reihe nach notiert.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse?
A: Es entsteht das Wort MATHE.
B: Man erhält eine Buchstabenkombination die mit M beginnt.
C: Man erhält eine Buchstabenkombination die mit LV endet.
D: E kommt in der Kombination nicht vor.
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Lösungen
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1.
Wahrscheinlichkeiten bestimmen
Es gibt insgesamt $10\cdot 10\cdot10=1000$ Möglichkeiten einer Schlosskombination.
a)
Für das Ereignis $A$: „Alle drei Ziffern sind gleich“ gibt es zehn günstige Fälle ($000$; $111$; $222$; $333$; $444$; $555$; $666$; $777$; $888$; $999$).
$P(A)=\dfrac{10}{1000}=\dfrac{1}{100}\mathrel{\widehat{=}}1\%$
b)
Wenn nur die Zahlen $4$ und $8$ vorkommen dürfen, gibt es für die erste, zweite und dritte Stelle jeweils zwei Möglichkeiten. Damit ergeben sich $2\cdot2\cdot2=8$ günstige Fälle.
$P(B)=\dfrac{8}{1000}=0,008\mathrel{\widehat{=}}0,8\%$
c)
Wenn die erste und die dritte Zahl gleich sein sollen, dann gibt es für die ersten zwei Zahlen jeweils $10$ Möglichkeiten und für die dritte Stelle eine Möglichkeit (da diese ja abhängig von der ersten Stelle ist). Damit ergeben sich insgesamt $10\cdot10\cdot1=100$ günstige Fälle.
$P(C)=\dfrac{100}{1000}=\dfrac{1}{10}\mathrel{\widehat{=}}10\%$
2.
Wahrscheinlichkeit bestimmen
Es gilt: $\left|\{\text{Steaks}\}\right|=4$, $\left|\{\text{Beilagen}\}\right|=3$ und $\left|\{\text{Salate}\}\right|=2$.
Somit ergeben sich $4\cdot3\cdot2=24$ verschiedene Gerichte zur Auswahl.
Wenn es als Beilage die Ofenkartoffeln geben soll, stehen $4$ Steakvariationen und $2$ Salate zur Auswahl. Also insgesamt $4\cdot1\cdot2=8$ günstige Fälle.
Damit ergibt sich als Wahrscheinlichkeit für ein Gericht mit Ofenkartoffeln (O):
$P(O)=\dfrac{8}{24}=\dfrac{1}{3}$
3.
Wahrscheinlichkeiten bestimmen
Da $\left|\{1,3,5,7,9\}\right|=5$ gilt und alle fünf Zahlen bei einer dreistelligen Zahl auftreten können, ergibt sich für die Anzahl der verschiedenen dreistelligen Zahlen: $5\cdot5\cdot5=5^3=125$.
a)
Wenn alle drei Ziffern gleich sein sollen, so gibt es genau fünf günstige Ereignisse (111; 333; 555; 777; 999). Damit ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit:
$P(A)=\dfrac{5}{125}=0,04$
b)
Damit die Zahl kleiner als $700$ ist, darf die erste Ziffer nur eine $1$, eine $3$ oder eine $5$ sein. Alle anderen sind beliebig. Es ergeben sich also:
$\left|\{1,3,5\}\right|\cdot \left|\{1,3,5,7,9\}\right|\cdot \left|\{1,3,5,7,9\}\right|=3\cdot 5\cdot5=75$ verschiedene günstige Ereignisse für eine dreistellige Zahl kleiner als $700$.
$\left|\{1,3,5\}\right|\cdot… $
Damit ist $P(B)=\dfrac{75}{125}=0,6$
c)
Damit eine Zahl durch fünf teilbar ist, muss an der letzten Stelle eine $5$ stehen. Die Zehner und Hunderterstelle kann beliebig kombiniert werden.
Es ergeben sich somit $5\cdot5\cdot1=25$ verschiedene dreistellige Zahlen, die durch $5$ teilbar sind.
$P(C)=\dfrac{25}{125}=0,2$
4.
Wahrscheinlichkeit bestimmen
Sei $A$ das Ereignis: „Tassen-Set mit drei verschieden farbigen Teilen“.
Fängt man beim Unterteller an, so stehen für diesen $4$ Farben zur Verfügung. Für die Tasse sind es nur noch $3$ und für den Löffel dann nur noch $2$ (die Farben sollen ja unterschiedlich sein). Insgesamt gibt es $4\cdot3\cdot2=24$ Tassen-Sets mit verschiedenfarbigen Teilen.
Die Anzahl von Set-Möglichkeiten gesamt beträgt: $4\cdot4\cdot4=64$.
Damit ist die Wahrscheinlichkeit zufällig ein verschiedenfarbiges Set zu erwischen:
$P(A)=\dfrac{24}{64}=\dfrac{3}{8}=0,375$
5.
Wahrscheinlichkeiten bestimmen
Für die Halskette stehen insgesamt 4 Farben mit jeweils gleicher Wahrscheinlichkeit zur Verfügung. Wenn 8 Perlen aufgefädelt werden, so ergeben sich $4^8=65536$ mögliche Ausfälle.
a)
Wenn in der Halskette keine schwarze Perlen auftreten, dann gibt es jeweils nur drei Farben zur Auswahl. Es sind dann $3^8=6561$ günstige Ausfälle des Zufallsexperiments.
Damit ergibt sich:
$P(A)=\dfrac{6561}{65536}\approx0,1\mathrel{\widehat{=}}10\%$
b)
Wenn die ersten vier Perlen weiß sein sollen, gibt es für diese jeweils nur eine Möglichkeit. Für die restlichen vier gibt es dann noch jeweils drei Möglichkeiten (es soll kein weiß mehr vorkommen).
Damit ergibt sich für die Anzahl der günstigen Ausfälle $1\cdot1\cdot1\cdot1\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3=3^4=81$.
Die Wahrscheinlichkeit für eine Halskette mit vier weißen Perlen am Anfang beträgt damit:
$P(B)=\dfrac{81}{65536}\approx0,0012\mathrel{\widehat{=}}0,12\%$
c)
Wenn abwechselnd schwarze und weiße Perlen vorkommen sollen, gibt es für die erste Perle an der Halskette 2 Möglichkeiten, für die restlichen nur noch eine, da die Reihenfolge dann vorgegeben ist.
Somit ergibt sich für die Anzahl der günstigen Ausfälle $2\cdot1\cdot1\cdot1\cdot1\cdot1\cdot1\cdot1=2$.
Die Wahrscheinlichkeit für eine Halskette mit abwechselnd schwarzen und weißen Perlen beträgt damit:
$P(C)=\dfrac{2}{65536}\approx0,00003\mathrel{\widehat{=}}0,003\%$
6.
Wahrscheinlichkeiten bestimmen
Wenn Tim nur gelbe und blaue Bausteine benutzt, so ergeben sich für jedes Turmsegment $2$ Möglichkeiten (entweder gelb oder blau). Insgesamt sind das $2^{10}=1024$ verschiedene Möglichkeiten einen solchen Turm zu bauen.
a)
Wenn alle Bausteine gelb sein sollen, dann gibt es genau einen Turm, der dies erfüllt. Damit ist:
$P(A)=\dfrac{1}{1024}\approx0,001\mathrel{\widehat{=}}0,1\%$
b)
Wenn nur ein Baustein gelb sein soll, gibt es insgesamt $10$ günstige Ausfälle wie der Turm aussehen könnte (gelber Baustein an der ersten Position, gelber Baustein an der zweiten Position usw.). Damit ist:
$P(B)=\dfrac{10}{1024}\approx0,01\mathrel{\widehat{=}}1\%$
c)
Wenn der erste und der letzte Baustein die selbe Farbe haben sollen, dann gibt es für den ersten Baustein 2 Möglichkeiten (gelb oder blau), für die Bausteine $2$ bis $9$ auch zwei Möglichkeiten und für den letzten Baustein nur noch eine (abhängig vom ersten Baustein).
Damit ergeben sich $2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot1=2^9=512$ günstige Ausfälle.
Es ist:
$P(C)=\dfrac{512}{1024}=\dfrac{1}{2}\mathrel{\widehat{=}}50\%$
7.
Wahrscheinlichkeiten bestimmen
Insgesamt gibt es für jede Ziffer 8 Möglichkeiten (Kugelnummer 1 bis 8). Also gibt es $8\cdot8\cdot8\cdot8=8^4=4096$ mögliche vierstellige Zahlen.
a)
Wenn nur die Zahlen $5$ und $6$ vorkommen sollen, dann ergeben sich $2\cdot2\cdot2\cdot2=16$ verschiedene vierstellige Zahlen. Somit ergeben sich 16 günstige Fälle. Damit ist:
$P(A)=\dfrac{16}{4096}=0,0039\mathrel{\widehat{=}}0,39\%$
b)
Wenn die vierstellige Zahl durch $5$ teilbar sein soll, dann muss die letzte Ziffer eine $5$ sein. Damit ergeben sich $8\cdot8\cdot8\cdot1=8^3=512$ günstige Ausfälle. Damit ist:
$P(B)=\dfrac{512}{4096}=0,125\mathrel{\widehat{=}}12,5\%$
c)
Die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis ist $100\%$, da die Ergebnismenge nur Zahlen von 1 bis 8 enhält.
d)
Wenn die vierstellige Zahl durch $2$ teilbar sein soll, dann muss die letzte Ziffer eine $2$, eine $4$, eine $6$ oder eine $8$ sein. Für die ersten drei Ziffern ergeben sich damit je $8$ Möglichkeiten, für die letzte Ziffer noch $4$ Möglichkeiten. Somit gibt es $8\cdot8\cdot8\cdot4=2048$ günstige Fälle.
Damit ist:
$P(C)=\dfrac{2048}{4096}=0,5\mathrel{\widehat{=}}50\%$
8.
Wahrscheinlichkeiten bestimmen
MATHELV besteht aus insgesamt $7$ Buchstaben. Wird nacheinander mit Zurücklegen gezogen, so gibt es für den entstehenden Buchstabensalat $7\cdot7\cdot7\cdot7\cdot7=7^5=16807$ mögliche Buchstabenkombinationen.
a)
Das Wort Mathe kommt genau einmal vor. Es gilt:
$P(A)=\dfrac{1}{16807}\approx0,00006\mathrel{\widehat{=}}0,006\%$
b)
Beginnt die Buchstabenkombination mit $M$, so ergibt sich für den ersten Buchstaben eine Möglichkeit (nämlich $M$) und für die vier weiteren Buchstaben jeweils $7$ Möglichkeiten.
Damit gibt es $1\cdot7\cdot7\cdot7\cdot7=2401$ günstige Ausfälle des Zufallsexperiments. Es ist:
$P(B)=\dfrac{2401}{16807} \approx0,143\mathrel{\widehat{=}}14,3\%$
c)
Soll die Buchstabenkombination mit $LV$ enden, so gibt es für die ersten drei Buchstaben jeweils $7$ Möglichkeiten und für die letzten zwei jeweils nur eine Möglichkeit.
Somit ergeben sich $7\cdot7\cdot7\cdot1\cdot1=343$ günstige Ausfälle. Damit ist:
$P(C)=\dfrac{343}{16807}\approx0,02\mathrel{\widehat{=}}2\%$
d)
Wenn $E$ keinmal vorkommen soll, bleiben für jeden der fünf Buchstaben nur noch jeweils $6$ Möglichkeiten (M, A, T, H, L, V).
Damit ergeben sich $6\cdot6\cdot6\cdot6\cdot6=6^5=7776$ günstige Ausfälle. Es ist:
$P(D)=\dfrac{7776}{16807}\approx0,463\mathrel{\widehat{=}}46,3\%$
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