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Gerade - Gerade

Spickzettel
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Mit dem Abstand zwischen zwei Geraden $g$ und $h$ ist der kürzeste Abstand zwischen diesen beiden Geraden gemeint. Um diesen bestimmen zu können, ist es zuerst nötig die gegenseitige Lage der Geraden zu kennen. Wir unterscheiden diese vier Möglichkeiten:
  1. Die beiden Geraden sind identisch $\Rightarrow$ der Abstand ist null
  2. Die beiden Geraden schneiden sich $\Rightarrow$ der Abstand ist null
  3. Die beiden Geraden sind parallel $\Rightarrow$ der Abstand zwischen den parallelen Geraden entspricht dem Abstand eines beliebigen Punkts $P$ auf $g$ zur Gerade $h$
  4. Die beiden Geraden sind windschief$\Rightarrow$ der Abstand wird mit Hilfe einer Hilfsebene berechnet

Vorgehen mit einer Hilfsebene

  1. Stelle eine Hilfsebene in Parameterform auf. Diese Hilfsebene enthält eine der Geraden $g$ und verläuft parallel zur anderen Geraden $h$. Wähle also als Spannvektoren die beiden Richtungsvektoren der Geraden und als Stützvektor den Stützvektor von $g$.
  2. Bestimme eine Hilfsgerade, die senkrecht auf der Hilfsebene steht und die andere Gerade $h$ schneidet. Dazu kannst du den Normalenvektor der Ebene als Richtungsvektor und den Stützvektor von $h$ als Stützvektor verwenden.
  3. Bestimme den Schnittpunkt der Hilfsgeraden und der Hilfsebene.
  4. Berechne den Abstand zwischen Schnittpunkt und dem Stützpunkt von $h$. Dieser Abstand entspricht dem Abstand der windschiefen Geraden.
Abstände: Gerade - Gerade
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1.
Berechne den Abstand der beiden Geraden $g$ und $h$.
Die Geraden liegen entweder parallel oder windschief zueinander.
a)
$g:\;\overrightarrow{x} = \left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ 2 \\ 4 \\ \end{array}} \right)+ s\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 2 \\ 0\\ \end{array}} \right)$,$\quad$ $h:\;\overrightarrow{x} = \left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ 1 \\ 0 \\ \end{array}} \right)+ t\left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ 0 \\ 2 \\ \end{array}} \right)$
b)
$g:\;\overrightarrow{x} = \left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 1 \\ 5 \\ \end{array}} \right)+ s\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{array}} \right)$,$\quad$ $h:\;\overrightarrow{x} = \left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ 1 \\ -2 \\ \end{array}} \right)+ t\left( {\begin{array}{*{20}r} 0 \\ 1\\ 2 \\ \end{array}} \right)$
c)
$g:\;\overrightarrow{x} = \left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ 1 \\ 6 \\ \end{array}} \right)+ s\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ -2 \\ 0 \\ \end{array}} \right)$,$\quad$ $h:\;\overrightarrow{x} = \left( {\begin{array}{*{20}r} 4 \\ 2 \\ 0 \\ \end{array}} \right)+ t\left( {\begin{array}{*{20}r} -2 \\ 4 \\ 0 \\ \end{array}} \right)$
d)
$g:\;\overrightarrow{x} = \left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ 4 \\ 0 \\ \end{array}} \right)+ s\left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ -1 \\ -2\\ \end{array}} \right)$,$\quad$ $h:\;\overrightarrow{x} = \left( {\begin{array}{*{20}r} 0 \\ 2 \\ -2 \\ \end{array}} \right)+ t\left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ 1 \\ 4 \\ \end{array}} \right)$
e)
$g:\;\overrightarrow{x} = \left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ 6 \\ 8 \\ \end{array}} \right)+ s\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ -2 \\ 1 \\ \end{array}} \right)$,$\quad$ $h:\;\overrightarrow{x} = \left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 2 \\ 4 \\ \end{array}} \right)+ t\left( {\begin{array}{*{20}r} 0 \\ -2 \\ 1 \\ \end{array}} \right)$
f)
$g:\;\overrightarrow{x} = \left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ 3 \\ 4 \\ \end{array}} \right)+ s\left( {\begin{array}{*{20}r} 4 \\ 0 \\ 4 \\ \end{array}} \right)$,$\quad$ $h:\;\overrightarrow{x} = \left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ 1 \\ 2 \\ \end{array}} \right)+ t\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 0 \\ 1 \\ \end{array}} \right)$
2.
Bestimme den Abstand der Geraden
$g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{r} 1\\ 2\\ -2\\ \end{array}\right)+r\cdot\left(\begin{array}{r} 0\\ 1\\ 4\\ \end{array}\right)$
von der Geraden $h$, die
a)
durch die Punkte $A\left(2\mid -3\mid -5\right)$ und $B\left(2\mid -1\mid 3\right)$ verläuft.
b)
parallel zur $x_1$-Achse durch den Punkt $A\left(0\mid 1\mid 3\right)$ verläuft.
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Lösungen
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1.
Zunächst muss man überprüfen, ob die Geraden parallel oder windschief sind. Dazu prüft man die Richtungsvektoren auf lineare Abhängig-bzw. Unabhängigkeit.
Dann hat man mehrere Möglichkeiten den Abstand zu berechnen.
a)
Überprüfung, ob parallel oder windschief:
$\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 2 \\ 0 \\ \end{array}} \right)$=$r\left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ 0 \\ 2 \\ \end{array}} \right)$
$\begin{array}{rlrl} 1=&2r&\quad \Rightarrow r=\dfrac{1}{2} \\[5pt] 2=&0r&\quad \Rightarrow 2=0 & \text{keine Lösung} \\[5pt] 0=&2r&\quad \Rightarrow 0=r \end{array}$
Die Richtungsvektoren sind somit linear unabhängig voneinander, demnach liegen die Geraden nicht parallel sondern windschief zueinander (da sie laut Aufgabenstellung entweder windschief oder parallel sind).
„Ersatzebene“ $E$ aufstellen mit den zwei Richtungsvektoren der Geraden:
$E:\;\overrightarrow{x} $=$ \left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ 1 \\ 0 \\ \end{array}} \right)+ u\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 2 \\ 0 \\ \end{array}} \right)+ v\left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ 0 \\ 2 \\ \end{array}} \right)$
Normalenvektor für Koordinatenform aufstellen:
$\overrightarrow {n} $=$ \left( {\begin{array}{*{20}c} 1 \\ 2 \\ 0 \\ \end{array}} \right) \times \left( {\begin{array}{*{20}c} 2 \\ 0 \\ 2 \\ \end{array}} \right) $=$ \left( {\begin{array}{*{20}c} 4 \\ - 2 \\ - 4 \\ \end{array}} \right) $=$ \left( {\begin{array}{*{20}c} 2 \\ - 1 \\ - 2 \\ \end{array}} \right)$
$E:\;2x_1-x_2-2x_3=d$
$P$ $(2\,|\,1\,|\,0)$ in $E:\;2\cdot2-1\cdot1-2\cdot0$=$d=3$
$E:\;2x_1-x_2-2x_3=3$
Hesse'sche Normalenform $\text{HNF}$ aufstellen:
$E_{\text{HNF}}$: $\dfrac{2x_1-x_2-2x_3-3}{\sqrt{2^2+(-1)^2+(-2)^2}}$=$\dfrac{2x_1-x_2-2x_3-3}{3}=0$
$E_{\text{HNF}}$: …
Der Abstand der beiden Geraden entspricht nun dem Abstand des Stützpunktes von $g$ zur Ebene $E$. Um diesen zu bestimmen, werden die Koordinaten des Stützpunktes in die HNF eingesetzt:
$d$=$\left|\dfrac{2\cdot2-2-2\cdot4-3}{3}\right|$=$\left|\dfrac{-9}{3}\right|$=$3$.
Die beiden Geraden haben einen Abstand von 3 LE voneinander
b)
Überprüfung, ob parallel oder windschief:
$\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{array}} \right)$=$r\left( {\begin{array}{*{20}r} 0 \\ 1 \\ 2 \\ \end{array}} \right)$
$\begin{array}{rlrl} 1=&0r&\quad \Rightarrow 1=0 &\text{keine Lösung} \\[5pt] 1=&r&\quad \Rightarrow r=1 \\[5pt] 1=&2r&\quad \Rightarrow r=\frac{1}{2} \end{array}$
Die Richtungsvektoren sind somit linear unabhängig voneinander,und windschief zueinander.
„Ersatzebene“ $E$ aufstellen mit den zwei Richtungsvektoren der Geraden:
$E:\;\overrightarrow{x} $=$ \left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ 1 \\ -2 \\ \end{array}} \right)+ u\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{array}} \right)+ v\left( {\begin{array}{*{20}r} 0 \\ 1 \\ 2 \\ \end{array}} \right)$
Normalenvektor für Koordinatenform aufstellen:
$\overrightarrow {n} $=$ \left( {\begin{array}{*{20}c} { 1} \\ { 1} \\ 1 \\ \end{array}} \right) \times \left( {\begin{array}{*{20}c} 0 \\ 1 \\ 2 \\ \end{array}} \right) $=$ \left( {\begin{array}{*{20}c} 1 \\ { - 2} \\ { 1} \\ \end{array}} \right)$
$E:\;x_1-2x_2+x_3=d$
$P$ in $E$:$\;1\cdot2-2\cdot1+1\cdot(-2)=d=-2$
$E:\;x_1-2x_2+x_3=-2$
$\text{HNF}$ aufstellen:
$\dfrac{x_1-2x_2+x_3-(-2)}{\sqrt{6}}=0$
Der Abstand des Stützvektors von $g$ zur Ebene $E$ entspricht dem Abstand der windschiefen Geraden:
$d$=$\left|\dfrac{1\cdot1-2\cdot1+1\cdot5+2}{\sqrt{6}}\right|$=$\dfrac{6}{\sqrt{6}}$=$ \sqrt{6}\approx 2,45$
c)
Überprüfung, ob parallel oder windschief:
$\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ -2 \\ 0\\ \end{array}} \right)$=$r\left( {\begin{array}{*{20}r} -2 \\ 4 \\ 0 \\ \end{array}} \right)$
$\begin{array}{rlrrl} 1=&-2r&\quad \Rightarrow &-\dfrac{1}{2}=&r \\ -2=&4r&\quad \Rightarrow &-\dfrac{1}{2}=&r \\ 0=&0r&\quad \Rightarrow &0=&0 \end{array}$
Die Richtungsvektoren sind somit linear abhängig voneinander,und parallel zueinander.
Der Abstand des Stützvektors von $g$ zum Fußpunkt auf $h$ entspricht dem Abstand der beiden Geraden (vgl.Skript).
Fußpunkt welcher auf $h$ liegt bestimmen:
$F(4-2t\mid 2+4t\mid 0)$
$\overrightarrow{PF}$ bestimmen:
$\overrightarrow{PF}$=$\left( {\begin{array}{*{20}r} 4-2t-2 \\ 2+4t-1 \\ 0-6 \\ \end{array}} \right)$=$\left( {\begin{array}{*{20}r} 2-2t \\ 1+4t \\ -6 \\ \end{array}} \right)$
Dieser Verbindungsvektor muss senkrecht zur Geraden stehen, sein Skalarprodukt muss mit dem Richtungsvektor der Geraden also Null ergeben:
$\left( {\begin{array}{*{20}r} 2-2t \\ 1+4t \\ -6 \\ \end{array}} \right)\cdot\left( {\begin{array}{*{20}r} -2 \\ 4 \\ 0 \\ \end{array}} \right)=0$
$\begin{array}{rl} -4+4t+4+16t=&0 \\[5pt] 20t=&0 \\[5pt] t=&0 \end{array}$
Dieser Wert liefert uns den gesuchten Verbindungsvektor $\overrightarrow{PF}$. Der Betrag des Verbindungsvektors gibt uns also den Abstand der beiden parallelen Geraden an:
$d$=$\left|\overrightarrow{PF}\right|$=$\left|\left(\begin{array}{*{20}r} 2 \\ 1 \\ -6 \\ \end{array} \right)\right|$=$\sqrt{4+1+36}$=$\sqrt{41}$
d)
Überprüfung, ob parallel oder windschief:
$\left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ -1 \\ -2 \\ \end{array}} \right)$=$r\left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ 1 \\ 4 \\ \end{array}} \right)$
$\begin{array}{rlrl} 2=&2r&\quad \Rightarrow& r=1 \\[5pt] -1=&r&\quad \Rightarrow& r=-1 \\[5pt] -2=&4r&\quad \Rightarrow& r=-\frac{1}{2} \end{array}$
Die Richtungsvektoren sind somit linear unabhängig voneinander,und windschief zueinander.
„Ersatzebene“ $E$ aufstellen mit den zwei Richtungsvektoren der Geraden:
$E:\;\overrightarrow{x} $=$ \left( {\begin{array}{*{20}r} 0 \\ 2 \\ -2 \\ \end{array}} \right)+ u\left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ -1 \\ -2 \\ \end{array}} \right)+ v\left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ 1 \\ 4 \\ \end{array}} \right)$
Normalenvektor für Koordinatenform aufstellen:
$\overrightarrow {n} $=$ \left( {\begin{array}{*{20}c} { 2} \\ { -1} \\ -2 \\ \end{array}} \right) \times \left( {\begin{array}{*{20}c} 2 \\ 1 \\ 4 \\ \end{array}} \right) $=$ \left( {\begin{array}{*{20}c} -2 \\ { - 12} \\ { 4} \\ \end{array}} \right) $=$ \left( {\begin{array}{*{20}c} 1 \\ { 6} \\ { -2} \\ \end{array}} \right)$
$E:\;x_1+6x_2-2x_3=d$
$P$ in $E:\;1\cdot0+6\cdot2-2\cdot(-2)=d=16$
$E:\;x_1+6x_2-2x_3=16$
$\text{HNF}$ aufstellen:
$\dfrac{x_1+6x_2-2x_3-16}{\sqrt{41}}=0$
Der Abstand des Stützvektors von $g$ zur Ebene $E$ entspricht dem Abstand der windschiefen Geraden:
$d$=$\left|\dfrac{1\cdot2+6\cdot4-2\cdot0-16}{\sqrt{41}}\right|$=$\dfrac{10}{\sqrt{41}}$
e)
Überprüfung, ob parallel oder windschief:
$\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ -2 \\ 1 \\ \end{array}} \right) $=$ r\left( {\begin{array}{*{20}r} 0 \\ -2 \\ 1 \\ \end{array}} \right)$
$\begin{array}{rlrl} 1=&0r&\quad \Rightarrow 1=0& \text{Widerspruch} \\[5pt] -2=&-2r&\quad \Rightarrow r=1 \\[5pt] 1=&r&\quad \Rightarrow r=1 \end{array}$
Die Richtungsvektoren sind somit linear unabhängig voneinander, und windschief zueinander.
„Ersatzebene“ $E$ aufstellen mit den zwei Richtungsvektoren der Geraden:
$E:\;\overrightarrow{x} $=$ \left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 2 \\ 4 \\ \end{array}} \right)+ u\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ -2 \\ 1 \\ \end{array}} \right)+ v\left( {\begin{array}{*{20}r} 0 \\ -2 \\ 1 \\ \end{array}} \right)$
Normalenvektor für Koordinatenform aufstellen:
$\overrightarrow {n} $=$ \left( {\begin{array}{*{20}c} { 1} \\ { -2} \\ 1 \\ \end{array}} \right) \times \left( {\begin{array}{*{20}c} 0 \\ -2 \\ 1 \\ \end{array}} \right) $=$ \left( {\begin{array}{*{20}c} 0 \\ { - 1} \\ { -2} \\ \end{array}} \right) $=$ \left( {\begin{array}{*{20}c} 0 \\ { 1} \\ { 2} \\ \end{array}} \right)$
$E:\;x_2+2x_3=d$
$P$ in $E$: $\;1\cdot2+2\cdot4=d=10$
$E:\;x_2+2x_3=10$
$\text{HNF}$ aufstellen:
$\dfrac{x_2+2x_3-10}{\sqrt{5}}=0$
Der Abstand des Stützvektors von $g$ zur Ebene $E$ entspricht dem Abstand der windschiefen Geraden:
$d=\left|\dfrac{1\cdot6+2\cdot8-10}{\sqrt{5}}\right|$=$\dfrac{12}{\sqrt{5}}$
f)
Überprüfung, ob parallel oder windschief:
$\left( {\begin{array}{*{20}r} 4 \\ 0 \\ 4\\ \end{array}} \right)$=$r\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 0 \\ 1 \\ \end{array}} \right)$
$\begin{array}{rlr} 4=&1r&\quad \Rightarrow r=4 \\[5pt] 0=&0r&\quad \Rightarrow 0=0 \\[5pt] 4=&1r&\quad \Rightarrow r=4 \end{array}$
Die Richtungsvektoren sind somit linear abhängig voneinander,und parallel zueinander.
Der Abstand des Stützvektors von $g$ zum Fußpunkt auf $h$ entspricht dem Abstand der beiden Geraden.
Fußpunkt welcher auf $h$ liegt bestimmen:
$F(2+t\mid 1\mid 2+t)$
$\overrightarrow{PF}$ bestimmen:
$\overrightarrow{PF}$=$\left( {\begin{array}{*{20}r} 2+t-2 \\ 1-3 \\ 2+t-4 \\ \end{array}} \right)$=$\left( {\begin{array}{*{20}r} t \\ -2 \\ t-2 \\ \end{array}} \right)$
Das Skalarprodukt zwischen $\overrightarrow{PF}$ und dem Richtungsvektor von h muss gleich $0$ sein:
$\left( {\begin{array}{*{20}r} t \\ -2 \\ t-2 \\ \end{array}} \right)\cdot\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 0 \\ 1 \\ \end{array}} \right)=0$
$\begin{array}{rl} t+t-2=&0 \\[5pt] 2t=&2& \\[5pt] t=&1 \end{array}$
$d=\left|\overrightarrow{PF}\right|$=$\left|\left(\begin{array}{*{20}r} 1 \\ -2 \\ -1 \\ \end{array} \right)\right|$=$\sqrt{1+4+1}$=$\sqrt{6}$
2.
a)
1. Schritt: Geradengleichung aufstellen
$\begin{array}{rll} h:\overrightarrow{x}=&\overrightarrow{OA}+r\cdot\overrightarrow{AB} \\[5pt] \overrightarrow{x}=&\left(\begin{array}{r} 2\\ -3\\ -5\\ \end{array}\right)+s\cdot\left(\begin{array}{r} 0\\ 2\\ 8\\ \end{array}\right) \end{array}$
2. Schritt: Gegenseitige Lage der Geraden prüfen
Die Richtungsvektoren der beiden Geraden sind linear abhängig:
$\left(\begin{array}{r} 0\\ 2\\ 8\\ \end{array}\right)$=$2\cdot\left(\begin{array}{r} 0\\ 1\\ 4\\ \end{array}\right)$
$g$ und $h$ verlaufen also parallel. Wir bestimmen den Abstand des Stützvektors von $g$ zu der Geraden $h$.
3. Schritt: Abstand von $g$ und $h$ bestimmen
Wir bestimmen den Abstand von $P\left(1\mid 2\mid -2\right)$ von $h$.
Jeder Punkt $Q$, der auf $h$ liegt, hat die Koordinaten $Q\left(2\mid -3+2s\mid -5+8s\right)$.
Wir bestimmen nun den Verbindungsvektor von $P$ und $Q$:
$\overrightarrow{PQ}$=$\left(\begin{array}{r} 2-1\\ -3+2s-2\\ -5+8s-(-2)\\ \end{array}\right)$=$\left(\begin{array}{r} 1\\ -5+2s\\ -3+8s\\ \end{array}\right)$
Dieser Verbindungsvektor muss senkrecht zur Geraden stehen, sein Skalarprodukt muss mit dem Richtungsvektor der Geraden also Null ergeben.
$\begin{array}{rll} 0=&\left(\begin{array}{r} 1\\ -5+2s\\ -3+8s\\ \end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{r} 0\\ 2\\ 8\\ \end{array}\right) \\[5pt] 0=&0+2\cdot\left(-5+2s\right)+8\cdot\left(-3+8s\right) \\[5pt] 0=&-10+4s-24+64s \\[5pt] 0=&68s-34&\quad\scriptsize\mid +34 \\[5pt] 34=&68s&\quad\scriptsize\mid :68 \\[5pt] \frac{1}{2}=&s \end{array}$
$\begin{array}{rll} \frac{1}{2}=&s \end{array}$
Dieser Wert eingesetzt in die Geradengleichung liefert uns den gesuchten Punkt $Q$, der auf $h$ liegt und zu $P$ den kleinsten Abstand hat:
$Q\left(2\mid -2\mid -1\right)$.
Der Betrag des Verbindungsvektors von $P$ und $Q$ gibt uns also den Abstand der beiden parallelen Geraden an:
$d=$ $\left|\overrightarrow{PQ}\right|$=$\left|\left(\begin{array}{r} 1\\ -5+2\cdot\dfrac{1}{2}\\ -3+8\cdot\dfrac{1}{2}\\ \end{array}\right)\right|$=$\left|\left(\begin{array}{r} 1\\ -4\\ 1\\ \end{array}\right)\right|$=$\sqrt{1+16+1}$=$\sqrt{18}$
Die beiden Geraden sind $\sqrt{18}$ LE voneinander entfernt.
b)
1. Schritt: Geradengleichung aufstellen
Der Richtungsvektor der $x_1$-Achse lautet $\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{r} 1\\ 0\\ 0\\ \end{array}\right)$. Da $h$ parallel zu dieser Achse verläuft, lautet die Geradengleichung:
$h:\overrightarrow{x}$=$\left(\begin{array}{r} 0\\ 1\\ 3\\ \end{array}\right)+s\cdot\left(\begin{array}{r} 1\\ 0\\ 0\\ \end{array}\right)$.
2. Schritt: Gegenseitige Lage der Geraden prüfen
Da die Richtungsvektoren von $g$ und $h$ nicht linear abhängig sind, sind die Geraden nicht parallel. Um nun zu prüfen, ob sie einen Schnittpunkt besitzen, oder ob sie windschief verlaufen setzen wir $g=h$.
$\begin{array}{lrll} Ⅰ&1=&s \\[5pt] Ⅱ&2+r=&1&\quad\scriptsize\mid -2 \\[5pt] Ⅲ&-2+4r=&3&\quad\scriptsize\mid +2 \\[5pt] \hline Ⅰ&1=&s \\[5pt] Ⅱ&r=&-1 \\[5pt] Ⅲ&4r=&5 \end{array}$
Aus Ⅱ ergibt sich $r=-1$, aus Ⅲ $r=\frac{5}{4}$. Das Gleichungssystem besitzt keine Lösung und die Geraden keinen Schnittpunkt. Sie verlaufen windschief zueinander.
3. Schritt: Abstand von $g$ und $h$ bestimmen
Wir stellen die Gleichung einer Hilfsebene $H$ auf, die parallel zur $h$ verläuft und in der $g$ liegt. Als Spannvektoren für diese Ebene $H$ benutzen wir also die beiden Richtungsvektoren von $g$ und $h$.
$H:\overrightarrow{x}$=$\left(\begin{array}{r} 1\\ 2\\ -2\\ \end{array}\right)+k\cdot\left(\begin{array}{r} 0\\ 1\\ 4\\ \end{array}\right)+l\cdot\left(\begin{array}{r} 1\\ 0\\ 0\\ \end{array}\right)$
Nun bestimmen wir den Abstand des Stützvektors von $h$ und der Hilfsebene $H$. Hierzu bestimmen wir die Hesseschen Normalenform von $H$.
4. Schritt: Normalenvektor berechnen - Kreuzprodukt der Spannvektoren
$\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{r} 0\\ 1\\ 4\\ \end{array}\right)\times\left(\begin{array}{r} 1\\ 0\\ 0\\ \end{array}\right)$=$\left(\begin{array}{r} 0\\ 4\\ -1\\ \end{array}\right)$
Als vorläufige Normalenform ergibt sich also $H:4x_2-x_3=d$. Wir setzen die Koordinaten des Stützvektors von $g$ in die Gleichung ein, um $d$ zu bestimmen.
$4\cdot2-(-2)=d=10$.
Damit lautet die Normalenform von $H:4x_2-x_3=10$. Für die hessesche Normalenform wird diese noch durch den Betrag des Normalenvektors geteilt:
$H:\dfrac{4x_2-x_3-10}{\sqrt{4^2+1}}$=$\dfrac{4x_2-x_3-10}{\sqrt{17}}$
Nun setzen wir den Punkt $A$ in diese Gleichung ein. Da $g$ und die Ebene $H$ parallel verlaufen, gibt uns der Abstand von $A$ zu $H$ auch den Abstand von $h$ zu $H$.
$d=\left|\dfrac{4\cdot1-3-10}{\sqrt{17}}\right|$=$\left|\dfrac{-9}{\sqrt{17}}\right|\approx2,18$
Der Abstand der Geraden beträgt etwa $2,18$ LE.
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