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Berührpunkte zweier Kurven

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Damit sich zwei Kurven berühren, müssen zwei Bedingungen erfüllt sein:
  1. Der Funktionswert an der Stelle $x_0$ muss gleich sein
  2. Die Tangentensteigung im Berührungspunkt muss übereinstimmen

Beispiel

Zeige, dass sich die Schaubilder der Funktionen $f$ und $g$, mit $f(x)=\frac{1}{4}x^4-\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}$ und $g(x)=\frac{1}{5}x^5-\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}$, im Punkt $Q\left(0\mid \frac{3}{4}\right)$ berühren.
Nun setzt du in beide Funktionen den $x$-Wert des Punktes $Q$ ein und überprüfst den $y$-Wert.
$f(0)=\frac{3}{4}$
$g(0)=\frac{3}{4}$
Im Anschluss daran musst du kontrollieren, ob sich die Kurven schneiden oder berühren. Wenn die Tangentensteigung der beiden Funktionen im Punkt $x$0 gleich ist, berühren sich die beiden Funktionen im Punkt $Q$, sonst schneiden sie sich in diesem Punkt.
Die Tangentensteigung berechnest du mit Hilfe der Ableitung.
$f´(x)=x^3-x^2+\frac{1}{2}$
$g´(x)=x^4-x^3+\frac{1}{2}$
Jetzt setzt du den $x$-Wert des Punktes $Q$ in die Funktion ein und erhälst die Tangentensteigung in diesem Punkt.
$f´(0)=\frac{1}{2}$
$g´(0)=\frac{1}{2}$
Da die Tangentensteigung bei beiden Funktionen gleich ist, berühren sich die Kurven im Punkt $Q$.
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