Inhalt
Inhalt
Bundesland, Schulart & Klasse
Bundesland, Schulart & Klasse
BW, Gymnasium (G9)
Baden-Württemberg
Berufl. Gymnasium (AG)
Berufl. Gymnasium (BTG)
Berufl. Gymnasium (EG)
Berufl. Gymnasium (SGG)
Berufl. Gymnasium (TG)
Berufl. Gymnasium (WG)
Berufskolleg - FH
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Hauptschule
Realschule
Werkrealschule
Bayern
Fachoberschule
Gymnasium
Mittelschule
Realschule
Berlin
Gymnasium
Integrierte Sekundarschule
Brandenburg
Gesamtschule
Gymnasium
Oberschule
Bremen
Gymnasium (G8)
Oberschule (G9)
Hamburg
Gymnasium
Stadtteilschule
Hessen
Berufl. Gymnasium
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Haupt- und Realschule
Hauptschule
Realschule
Mecklenburg-Vorpommern
Gesamtschule
Gymnasium
Niedersachsen
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Integrierte Gesamtschule
Kooperative Gesamtschule
Oberschule
Realschule
NRW
Gesamtschule
Gymnasium
Hauptschule
Realschule
Sekundarschule
Rheinland-Pfalz
Gesamtschule
Gymnasium
Saarland
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Realschule
Sachsen
Gymnasium
Oberschule
Sachsen-Anhalt
Fachgymnasium
Gesamtschule
Gymnasium
Sekundarschule
Schleswig-Holstein
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Thüringen
Berufl. Gymnasium
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Regelschule
Klasse 13
Klasse 13
Klasse 12
Klasse 11
Klasse 10
Klasse 9
Klasse 8
Klasse 7
Klasse 6
Klasse 5
Fach & Lernbereich
Fachauswahl: Mathe
Mathe
Deutsch
Englisch
Bio
Chemie
Physik
Geschichte
Geo
Lernbereich
Digitales Schulbuch
Abitur (GTR)
Abitur (CAS)
Abitur (GTR)
Prüfung
wechseln
Abitur (GTR)
Abitur (CAS)
Mach dich schlau mit SchulLV!
Mit dem digitalen Lernverzeichnis ersetzen wir Prüfungsvorbereitungsbücher sowie Schulbücher in ganz Deutschland. SchulLV bietet schnellen Zugriff auf über 1.000 Original-Prüfungsaufgaben mit Lösungen aus über 100 Abschlüssen in allen Bundesländern. Darüber hinaus besteht Zugriff auf 1.700 Themen im Digitalen Schulbuch für sämtliche Schularten von Klasse 5-13.
Neu: Zugänge deutlich ermäßigt über die Schule kaufen! Hier klicken
Inhaltsverzeichnis
Lernbereich Digitales Schulbuch
Analysis
Schaubilder von Funkt...
Ganzrationale Funktio...
Exponentialfunktionen
Gebrochenrationale Fu...
Logarithmusfunktionen
Wurzelfunktionen
Trigonometrische Funk...
Funktionsgleichungen ...
Kurve gegeben
Ganzrationale Funktio...
Gebrochenrationale Fu...
Exponentialfunktionen
Trigonometrische Funk...
Vermischte Aufgaben
Randbedingungen gegeb...
Ganzrationale Funktio...
Gebrochenrationale Fu...
Exponentialfunktionen
Trigonometrische Funk...
Differenzieren (Ablei...
Nach Funktionstyp
Ganzrationale Funktio...
Gebrochenrationale Fu...
Logarithmische Funkti...
Exponentialfunktionen
Wurzelfunktionen
Trigonometrische Funk...
Gebrochene Funktionen
Vermischte Aufgaben
Nach Ableitungsregeln
Faktor- und Summenreg...
Kettenregel
Quotientenregel
Produktregel
Eigenschaften von Kur...
Aussagen bewerten
Ableitung gegeben
Funktion gegeben
Graphisches Ableiten
Interpretation von Ku...
Gleichungslehre
Gleichungen
Lineares Gleichungssy...
Exponentialgleichunge...
Polynomdivision
Trigonometrische Glei...
Kurvendiskussion
Nullstellen und Schni...
Extrem- und Wendepunk...
Symmetrie und Grenzwe...
Funktionen mit Parame...
Ortskurven
Berührpunkte zweier K...
Vollständige Kurvendi...
Ganzrationale Funktio...
Gebrochenrationale Fu...
Exponentialfunktionen
Trigonometrische Funk...
Vermischte Aufgaben
Tangente und Normale
Tangente
Normale
Vermischte Aufgaben
Integralrechnung
Stammfunktionen
Flächeninhalt zwische...
Flächeninhalt zwische...
Mittelwert von Funkti...
Partielle Integration
Lineare Substitution
Uneigentliches Integr...
Rotationskörper
Angewandte Integrale
Vermischte Aufgaben
Weiterführende Übungs...
Zahlenfolgen und Gren...
Einführung
Arithmetrische und ge...
Monotonie und Grenzwe...
Vollständige Induktio...
Vermischte Aufgaben
Extremwertaufgaben
Maximaler Umfang
Maximaler Flächeninha...
Maximales Volumen
Minimaler Abstand Pun...
Vermischte Aufgaben
Allgemeine Fragen zu ...
Definitions- und Wert...
Gebrochenrationale Fu...
Wurzelfunktionen
Logarithmusfunktionen
Stetigkeit und Differ...
Stetigkeit
Differenzierbarkeit
Wachstum
Exponentielles Wachst...
Beschränktes Wachstum
Logistisches Wachstum
Näherungsverfahren
Keplersche Fassregel
Newtonsches Verfahren
Vermischte Aufgaben
Weiterführende Übungs...
Ganzrationale Funktio...
Gebrochenrationale Fu...
Exponentialfunktionen
Analytische Geometrie
Vektoren
Rechnen mit Vektoren
Lineare Abhängigkeit ...
Vektorprodukt
Ortsvektoren und Verb...
Teilverhältnisse
Länge eines Vektors
Vermischte Aufgaben
Geraden
Geraden
Punktprobe
Geraden im Raum
Spurpunkte
Vermischte Aufgaben
Ebenen
Parameterform
Normalenform
Koordinatenform
Umrechnen von Ebeneng...
Ebenen im Raum
Ebenen in Körpern
Spurpunkte
Spurgerade
Vermischte Aufgaben
Gegenseitige Lage
Gerade - Gerade
Gerade - Ebene
Ebene - Ebene
Vermischte Aufgaben
Abstände
Punkt - Gerade
Gerade - Gerade
Gerade - Ebene
Punkt - Ebene
Ebene - Ebene
Vermischte Aufgaben
Schnittwinkel
Zwischen Vektoren
Gerade - Gerade
Gerade - Ebene
Ebene - Ebene
Vermischte Aufgaben
Spiegelungen
Punkt, Gerade und Ebe...
Vermischte Aufgaben
Lineare Gleichungssys...
Interpretation von LG...
Gaußsches Eliminierun...
Matrizen
Rechnen mit Matrizen
Addition und skalare ...
Matrizenmultiplikatio...
Determinante berechne...
Matrix invertieren
Eigenwerte und Eigenv...
Übergangsmatrizen
Übergangsgraphen
Übergangsmatrix
Verteilungen berechne...
Wirtschaftliche Verfl...
Leontief-Modell
Input-Output-Tabelle
Verflechtungsdiagramm
Stochastik
Zufallsexperimente un...
Einstufige Zufallsexp...
Mehrstufige Zufallsex...
Ereignisse
Wahrscheinlichkeiten
Relative und absolute...
Laplace-Experiment
Additionssatz und Vie...
Baumdiagramme und Pfa...
Abhängigkeit und Unab...
Bedingte Wahrscheinli...
Kombinatorik
Geordnete Stichprobe ...
Geordnete Stichprobe ...
Ungeordnete Stichprob...
Wahrscheinlichkeitsve...
Erwartungswert
Varianz und Standarda...
Binomialverteilung
Mit Formel und Tasche...
Mit Tabelle
Erwartungswert und St...
Konfidenzintervalle
Normalverteilung
Hypergeometrische Ver...
Signifikanztest
Einseitiger Test
Zweiseitiger Test

Trigonometrische Funktionen

Spickzettel
Download als Dokument:PDF
Wenn du den Graphen einer trigonometrischen Funktion (wir betrachten hier nur den Sinus, Kosinus und Tangens und lassen die Umkehrfunktionen aus) zeichnen willst, beachte folgende Punkte:
  • Die Sinusfunktion $f(x) = \sin(x)$ ist auf ganz $\mathbb{R}$ definiert. Der zugehörige Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Die Funktion hat die Periode $2\pi$, d.h.:
    $2\pi$, d.h. $\sin(x)$$ = \sin(x + 2\pi) $$= \sin(x - 2\pi)$
    Der Wertebereich ist das Intervall $[-1, 1]$.
  • Die Kosinusfunktion $g(x) = \cos(x)$ ist auf ganz $\mathbb{R}$ definiert. Der zugehörige Graph ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse. Die Funktion hat ebenso die Periode $2\pi$ und den Wertebereich $[-1, 1]$. Der Kosinus ist nichts anderes als eine Verschiebung des Sinus um $\frac{\pi}{2}$ nach links, d.h. $\cos(x)= \sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$
  • Die Tangensfunktion ist definiert als $\tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}$, d.h. die Funktion ist bei den Nullstellen der Kosinusfunktion nicht definiert. Zeichne an diesen Stellen senkrechte Asymptoten ein. Die Nullstellen der Tangensfunktion sind gerade die Nullstellen der Sinusfunktion. Die Periode ist $\pi$.
  • Der Graph einer trigonometrischen Funktion wird entlang der $y$-Achse verschoben, indem eine Konstante $c$ zu der Funktion addiert bzw. subtrahiert wird, z.B. $\sin(x) \pm c$. Der Graph der Funktion wird nach rechts verschoben durch die Subtraktion einer Konstanten $c$ in der Klammer, nach links durch die Addition der Konstanten: $\cos(x \pm c)$
  • Ist die Funktion mit einem Faktor $n > 1$ multipliziert, streckst du den Graph entlang der $y$-Achse, ist der Faktor $n < 1$, stauchst du den Graph entlang der $y$-Achse: $n \cdot \sin(x)$
  • Die Periode der Funktion wird vergrößert, indem eine Konstante $n < 1$ in der Klammer multipliziert wird, verkleinert, wenn $n > 1$ ist: $\cos(n \cdot x)$
  • Der Graph wird an der $x$-Achse gespiegelt, wenn die Funktion ein negatives Vorzeichen besitzt: $-\sin(x)$. Du spiegelst die Funktion an der $y$-Achse, wenn in der Klammer ein negatives Vorzeichen steht $\sin(-x)$.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt Einzellizenz freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Aufgaben
Download als Dokument:PDF
1.
Skizziere die Schaubilder folgender Funktionen und gib die Periode an.
b)
$f(x)=\frac{1}{2}\cos\left(x\right)$
d)
$f(x)=\cos\left(\pi x\right)+2$
f)
$f(x)=2\sin\left(2x\right)-3$
2.
Skizziere das Schaubild der Funktion und beschreibe, wie es aus dem Schaubild der Sinus- bzw. der Kosinus-Funktion hervorgeht.
b)
$f(x)=\sin\left(2x\right)$
d)
$f(x)=2\sin\left(-x\right)+2$
f)
$f(x)=-\sin\left(x+1\right)+\frac{1}{2}$
3.
Verschiebe das Schaubild der angegebenen Funktion wie gefordert und gib die Funktionsgleichung der neuen Funktion an.
b)
$f(x)=\sin\left(2x\right)$
Verschiebung um 3 LE in negative x-Richtung („nach links“) und um 1 LE in positive y-Richtung („nach oben“)
d)
$f(x)=\sin\left(x-1\right)+2$
Verschiebung um 2 LE in positive y-Richtung („nach oben“) und Verdopplung der Amplitudenhöhe
f)
$f(x)=-\sin\left(\pi x\right)-1$
Verschiebung um $\pi$ LE in positive y-Richtung („nach oben“) und um $\frac{1}{2}$ LE in negative x-Richtung („nach links“)
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt Einzellizenz freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen
Download als Dokument:PDF
1.
a)
$f(x)=\sin\left(2x\right)+1$
Periode bestimmen
Um die Periode zu berechnen, benutze die Formel $p=\frac{2\pi}{b}$, wobei $b$ aus der allgemeinen Form einer trigonometrischen Funktion $f(x)=a\cdot\mathrm {sin}(bx+c)+d$ stammt.
Hier: $p=\frac{2\pi}{2}=\pi$
Skizze
b)
$f(x)=\frac{1}{2}\cos\left(x\right)$
Periode bestimmen
$p=\frac{2\pi}{1}=2\pi$
Skizze
c)
$f(x)=-\sin\left(x\right)-1$
Periode bestimmen
$p=\frac{2\pi}{1}=2\pi$
Skizze
d)
$f(x)=\cos\left(\pi x\right)+2$
Periode bestimmen
$p=\frac{2\pi}{\pi}=2$
Skizze
e)
$f(x)=-\frac{1}{4}\cos\left(x\right)$
Periode bestimmen
$p=\frac{2\pi}{1}=2\pi$
Skizze
f)
$f(x)=2\sin\left(2x\right)-3$
Periode bestimmen
$p=\frac{2\pi}{2}=\pi$
Skizze
2.
a)
$f(x)=\cos\left(x+1\right)-1$
Skizze
Entstehung des Schaubilds
$\begin{array}{r@{ }r@{ }l@{\hspace{1cm}}l} a=&&\text{Keine Streckung in }y\text{-Richtung}& \\ b=&1&\text{Periode }p=\frac{2\pi}{1}=2\pi& \\ c=&1&\text{Verschiebung um 1 LE in negative }x\text{-Richtung („nach links“)}& \\ d=&-1&\text{Verschiebung um 1 LE in negative }y\text{-Richtung („nach unten“)}& \\ \end{array}$
aKeine Streckung in $y$-Richtung
$b=1$Periode $p=\frac{2\pi}{1}=2\pi$
$c=1$Verschiebung um $1$ LE in negative $x$-Richtung („nach links“)
$d=-1$Verschiebung um 1 LE in negative $y$-Richtung („nach unten“)
b)
$f(x)=\sin\left(2x\right)$
Skizze
Entstehung des Schaubilds
$\begin{array}{r@{ }r@{ }l@{\hspace{1cm}}l} b=&2&\text{Änderung der Periode zu }p=\frac{2\pi}{2}=\pi& \\ \end{array}$
$b = 2$ Änderung der Periode zu $p=\frac{2\pi}{2}=\pi$
c)
$f(x)=-\cos\left(x\right)-2$
Skizze
Entstehung des Schaubilds
$\begin{array}{r@{ }r@{ }l@{\hspace{1cm}}l} a=&-1&\text{Spiegelung an der }x\text{-Achse, keine Streckung}& \\ b=&1&\text{Periode }p=\frac{2\pi}{1}=2\pi& \\ d=&-2&\text{Verschiebung um 2 LE in negative }y\text{-Richtung („nach unten“)}& \\ \end{array}$
$a=-1$Spiegelung an der $x$-Achse, keine Streckung
$b=1$Periode $p=\frac{2\pi}{1}=2\pi$
$d=-2$Verschiebung um 2 LE in negative $y$-Richtung („nach unten“)
d)
$f(x)=2\sin\left(-x\right)+2$
Skizze
Entstehung des Schaubilds
$\begin{array}{r@{ }r@{ }l@{\hspace{1cm}}l} a=&2&\text{Streckung um Faktor 2 in }y\text{-Richtung}& \\ b=&-1&\text{Periode }p=\frac{2\pi}{1}=2\pi \text{, und durch negative Vorzeichen Spiegelung an der }\\&& y\text{-Achse, da }-\sin(x)=\sin(-x)& \\ d=&2&\text{Verschiebung um 2 LE in positive }y\text{-Richtung („nach oben“)}& \\ \end{array}$
$a=2$Streckung um Faktor $2$ in $y$-Richtung
$b=-1$Periode $p=\frac{2\pi}{1}=2\pi$, und durch negative Vorzeichen Spiegelung an der $y$-Achse, da $-\sin(x)=\sin(-x)$
$d=2$Verschiebung um $2$ LE in positive $y$-Richtung („nach oben“)
e)
$f(x)=\frac{1}{4}\cos\left(x-2\right)+2$
Skizze
Entstehung des Schaubilds
$\begin{array}{r@{ }r@{ }l@{\hspace{1cm}}l} a=&\frac{1}{4}&\text{Streckung um Faktor} \frac{1}{4}\text{ in }y\text{-Richtung}& \\ b=&1&\text{Periode }p=\frac{2\pi}{1}=2\pi& \\ c=&-2&\text{Verschiebung um 2 LE in positive }x\text{-Richtung („nach rechts“)}& \\ d=&2&\text{Verschiebung um 2 LE in positive }y\text{-Richtung („nach oben“)}& \\ \end{array}$
$a=\frac{1}{4}$Streckung um Faktor $\frac{1}{4}$ in $y$-Richtung
$b=1$Periode $p=\frac{2\pi}{1}=2\pi$
$c=-2$Verschiebung um $2$ LE in positive $x$-Richtung („nach rechts“)
$d=2$Verschiebung um $2$ LE in positive $y$-Richtung („nach oben“)
f)
$f(x)=-\sin\left(x+1\right)+\frac{1}{2}$
Skizze
Entstehung des Schaubilds
$\begin{array}{r@{ }r@{ }l@{\hspace{1cm}}l} a=&-1&\text{Spiegelung an der }x\text{-Achse}& \\ b=&1&\text{Periode }p=\frac{2\pi}{1}=2\pi& \\ c=&1&\text{Verschiebung um 1 LE in negative }x\text{-Richtung („nach links“)}& \\ d=&\frac{1}{2}&\text{Verschiebung um } \frac{1}{2} \text{LE in positive }y\text{-Richtung („nach oben“)}& \\ \end{array}$
$a=-1$Spiegelung an der $x$-Achse
$b=1$Periode $p=\frac{2\pi}{1}=2\pi$
$c=-2$Verschiebung um $1$ LE in negative $x$-Richtung („nach links“)
$d=\frac{1}{2}$Verschiebung um $\frac{1}{2}$ LE in positive $y$-Richtung („nach oben“)
3.
a)
$f(x)=\cos\left(x\right)$
Verschiebung um 1 LE in positive $x$-Richtung („nach rechts“) und um 2 LE in positive $y$-Richtung („nach oben“).
Funktionsterm
$\Rightarrow c=-1$, $d=2$ $\Rightarrow$ Neue Funktionsgleichung: $f(x)=\cos(x-1)+2$
Skizze
b)
$f(x)=\sin\left(2x\right)$
Verschiebung um 3 LE in negative x-Richtung („nach links“) und um 1 LE in positive y-Richtung („nach oben“).
Funktionsterm
$\Rightarrow c=3$, $d=1$ $\Rightarrow$ Neue Funktionsgleichung: $f(x)=\sin(2(x+3))+1$
Skizze
c)
$f(x)=2\cos\left(x+1\right)$
Verschiebung um 1 LE in negative x-Richtung („nach links“) und um 4 LE in negative y-Richtung („nach unten“).
Funktionsterm
$\Rightarrow c_{alt}=1$ $\Rightarrow c_{neu}=1+1=2$, $d=-4$ $\Rightarrow$ Neue Funktionsgleichung: $f(x)=2\cos(x+2)-4$
Skizze
d)
$f(x)=\sin\left(x-1\right)+2$
Verschiebung um 2 LE in positive y-Richtung („nach oben“) und Verdopplung der Amplitudenhöhe.
Funktionsterm
$\Rightarrow d_{alt}=2\Rightarrow d_{neu}=2+2=4$, $a=2$ $\Rightarrow$ Neue Funktionsgleichung: $f(x)=2\sin\left(x-1\right)+4$
Skizze
e)
$f(x)=\frac{1}{2}\cos\left(2x\right)$
Verschiebung um 2 LE in positive x-Richtung („nach rechts“) und anschließende Verdopplung der Periodenlänge.
Funktionsterm
$\Rightarrow c=-2$, $b_{alt}=2$ $\Rightarrow p_{alt}=\frac{2\pi}{2}=\pi\Rightarrow p_{neu}=2\pi \Rightarrow b=1$
$\Rightarrow c=-2$, $b_{alt}$ …
$\begin{array}[t]{rll} c &=& -2, & b_{alt} &=& 2 \quad \scriptsize \\[5pt] p_{alt} &=& \frac{2\pi}{2} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \pi &\quad \scriptsize \\[5pt] p_{neu} &=& 2\pi &\quad \scriptsize \\[5pt] b &=& 1 \end{array}$
Neue Funktionsgleichung: $f(x)=\frac{1}{2}\cos\left(x-2\right)$
Skizze
f)
$f(x)=-\sin\left(\pi x\right)-1$
Verschiebung um $\pi$ LE in positive y-Richtung („nach oben“) und um $\frac{1}{2}$ LE in negative x-Richtung („nach links“).
Funktionsterm
$\Rightarrow c=\frac{1}{2}$, $d_{alt}=-1$ $\Rightarrow d_{neu}=-1+\pi$
Neue Funktionsgleichung: $f(x)=-\sin\left(\pi\cdot(x+\frac{1}{2})\right)-1+\pi$
Skizze
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt Einzellizenz freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lernvideos
Download als Dokument:
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt Einzellizenz freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Folge uns auf
SchulLV als App