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Trigonometrische Funktionen

Spickzettel
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Trigonometrische Funktionen sind beispielsweise Funktionen der Form
$f(x) = a\cdot \sin(b\cdot (x-c))+d$
$f(x) = a\cdot \sin(b\cdot (x-c))+d$
$g(x) = a\cdot \cos(b\cdot (x-c))+d$
$g(x) = a\cdot \cos(b\cdot (x-c))+d$
Dass es sich um eine trigonometrische Funktion handelt, kannst du vor allem daran erkennen, wenn der Graph periodisch verläuft.
Ist nicht vorgegeben, ob es sich um eine $\sin(x)$- oder $\cos(x)$-Funktion handelt, so kannst du die Stelle $x=0$ betrachten:
  • Liegt hier ein Hochpunkt, dann wähle $\cos(x)$ als Ausgangsfunktion
  • Liegt hier ein Wendepunkt, dann wähle $\sin(x)$ als Ausgangsfunktion
  • Sonst lege selbst fest, ob du von $\cos(x)$ oder $\sin(x)$ ausgehen möchtest
Gehe dann wie folgt vor:
  1. Lies die Amplitude $a$ ab: Dies ist die halbe Differenz der $y$-Koordinaten der Hoch- und Tiefpunkte
  2. Lies die Periodenlänge $p$ ab: Dies ist die Differnz zwischen zwei Hoch- bzw. Tiefpunkten. Daraus erhältst du dann $b=\dfrac{2\pi}{p}$
  3. Falls kein Hoch- oder Wendepunkt bei $x=0$ liegt, bestimme die Phasenverschiebung $c$, also die Verschiebung entlang der $x$-Achse, indem du nach dem nächsten Hoch- oder Wendepunkt suchst und die Distanz zum Urprung abliest.
  4. Bestimme gegebenenfalls die Verschiebung entlang der $y$-Achse $d$
  5. Setze diese Werte in die allgemeine Funktionsgleichung ein
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1.
Geben Sie jeweils einen möglichen Funktionsterm zur abgebildeten Funktion an.
b)
Funktionsgleichungen aufstellen: Trigonometrische Funktionen
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d)
Funktionsgleichungen aufstellen: Trigonometrische Funktionen
Funktionsgleichungen aufstellen: Trigonometrische Funktionen
f)
Funktionsgleichungen aufstellen: Trigonometrische Funktionen
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Für diesen Typ von Aufgaben gibt es zwei generelle Ansätze:
  •   $f(x)=a\cdot\sin(b\cdot (x-c))+d$
    falls an der Stelle $x=0$ ein Wendepunkt mit VZW von $-$ nach $+$ ist.
  •   $f(x)=a\cdot\cos(b\cdot (x-c))+d$
    falls an der Stelle $x=0$ ein Hochpunkt ist.
Dabei beschreibt
$\mathbf{a}$ die Streckung in $y$-Richtung.
$\mathbf{b}$ die die Periodenlänge $p$ (Abstand zwischen zwei Hoch- bzw. Tiefpunkten) . Berechne $b$ mit $b=\frac{2\pi}{p}$
$\mathbf{c}$ die Verschiebung in $x$-Richtung. Für $c>0$ wird der Graph nach rechts und für $c<0$ nach links verschoben.
$\mathbf{d}$ die Verschiebung in $y$-Richtung.
1.
a)
$f(x)=a\cdot\sin(b\cdot (x-c))+d$
Streckung in $y$-Richtung:
Hochpunkt liegt bei $\left(\frac{\pi}{2}\mid 2\right)$, daher ist $a=2$.
Streckung in $x$-Richtung:
Im Schuabild ist gerade so eine Periode zu erkennen, diese beginnt bei $(0|0)$ und endet bei $(2\pi|0)$. Für $b$ gilt also $b=\frac{2\pi}{2\pi}=1$.
Verschiebung in $x$-Richtung:
Im Ursprung befindet sich eine Nullstelle. Somit gibt es keine Verschiebung, $c=0$.
Verschiebung in $y$-Richtung:
keine, $d=0$.
Funktionsterm:  $f(x)=2\sin(x)$
b)
$f(x)=a\cdot\cos(b\cdot(x-c))+d$
Streckung in $y$-Richtung:
Hochpunkt liegt bei $\left(0\mid 1\right)$, daher ist $a=1$.
Streckung in $x$-Richtung:
Hier ist keine ganze PEriode zu erkennen. Schau dir deshalb die Länge einer halben Periode an. Die ist vom Hochpunkt bei $x=0$ bis zum Tiefpunkt bei $x=2\pi$. Eine ganze Periode ist also $p=4\pi$, daher ist $b=\frac{2\pi}{4\pi}=\frac{1}{2}$.
Verschiebung in $x$-Richtung:
Da der Kosinus mit einem Hochpunkt im Ursprung beginnt gibt es keine Verschiebung, $c=0$.
Verschiebung in $y$-Richtung:
keine, $d=0$.
Funktionsterm: 
$f(x)=\cos\left(\dfrac{1}{2}x\right)$
c)
$f(x)=a\cdot\sin(b\cdot(x-c))+d$
Streckung in $y$-Richtung:
Hochpunkt liegt bei $\left(\frac{\pi}{4}\mid \frac{1}{2}\right)$, daher ist $a=\frac{1}{2}$.
Streckung in $x$-Richtung:
Eine Periode ist hier $P=\pi$, somit gilt $b=\dfrac{2\pi}{\pi}=2$.
Verschiebung in $x$-Richtung:
keine, $c=0$.
Verschiebung in $y$-Richtung:
keine, $d=0$.
Funktionsterm: 
$f(x)=\dfrac{1}{2}\sin\left(2x\right)$
d)
$f(x)=a\cdot\cos(b\cdot(x-c))+d$
Streckung in $y$-Richtung:
Hochpunkt liegt bei $\left(\frac{\pi}{2}\mid 1\right)$, daher ist $a=1$.
Streckung in $x$-Richtung:
Die Periodenlänge ist $p=\pi$, da die beiden Nullstellen genau um $\pi$ auseinander liegen. Daher ist $b=\dfrac{2\pi}{\pi}=2$.
Verschiebung in $x$-Richtung:
Bei einem normalen Kosinus würdest du an der Stelle $x=0$ keinen Hochpunkt erwarten. Dies ist hier nicht der Fall, weshalb eine Verschiebung vorliegt. Suche nach dem nächsten Hochpunkt, dieser liegt bei $\left(\frac{\pi}{2}\dfrac{}{}\,\bigg \vert \, 1\right)$. Also ist der Graph im Vergleich zum normalen Kosinus um $\frac{\pi}{2}$ nach rechts verschoben, deshalb ist $c=\frac{\pi}{2}$.
Verschiebung in $y$-Richtung:
keine, $d=0$.
Funktionsterm: 
$f(x)=\cos\left(2\cdot\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)\right)=\cos(2x-\pi)$
e)
$f(x)=a\cdot\sin(b(x-c))+d$
Streckung in $y$-Richtung:
Hochpunkt liegt bei $\left(3\pi\mid 1\right)$, daher ist $a=1$.
Streckung in $x$-Richtung:
Hier kannst du auch nur eine halbe Periodenlänge ablesen mit $\frac{p}{2}=2\pi$. Für $b$ gilt dann $b=\frac{1}{2}$.
Verschiebung in $x$-Richtung:
Bei einem normalen Sinus würdest du an der Stelle $x=0$ ein Vorzeichenwechsel von $-$ nach $+$ erwarten. Dies ist hier nicht der Fall, da der Vorzeichenwechsel von $+$ nach $-$ verläuft. Suche also die Nullstelle des Graphen mit dem gewünschten Vorzeichenwechsel. Diese findest du bei $(2\pi|0)$, also um $c=2\pi$ nach rechts verschoben.
Alternativ kannst du sagen, dass dies ein an der $x$-Achse gespiegelter Sinus ist und ein $-$ vor die Funktion schreiben.
Verschiebung in $y$-Richtung:
keine, $d=0$.
Funktionsterm: 
$f(x)=\sin\left(\dfrac{1}{2}\cdot (x-2\pi)\right)=\sin\left(\dfrac{1}{2}x-\pi\right)$
Oder alternativ: 
$f(x)=-\sin\left(\dfrac{1}{2}x\right)$
f)
$f(x)=a\cdot\sin(b\cdot(x-c))+d$
Streckung in $y$-Richtung:
Hochpunkt liegt bei $\left(\pi\middle| \frac{3}{2}\right)$ und der Tiefpunkt bei $\left(3\pi\middle| -\frac{1}{2}\right)$. Die Höhendifferenz ist also $\frac{3}{2}-\left(-\frac{1}{2}\right)=2$. $a$ entspriciht gerade der halben Höhendifferenz $a=\frac{2}{2}=1$.
Streckung in $x$-Richtung:
Du kannst eine halbe Periode ablesen, idem du die Distanz zwischen Hoch- und Tiefpunkt abliest. Es gilt $\frac{p}{2}=2\pi$ und somit $b=\frac{1}{2}$.
Verschiebung in $x$-Richtung:
Da an der Stelle $\left(0\middle| \frac{1}{2}\right)$ ein Wendepunkt mit positiver Steigung liegt, ist $c=0$.
Verschiebung in $y$-Richtung:
$d=\frac{1}{2}$.
Funktionsterm: 
$f(x)=\sin\left(\dfrac{1}{2}x\right)+\dfrac{1}{2}$
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