Trigonometrische Funktionen

Trigonometrische Funktionen sind beispielsweise Funktionen der Form

$f(x) = a\cdot \sin(b\cdot (x-c))+d$

$g(x) = a\cdot \cos(b\cdot (x-c))+d$

Dass es sich um eine trigonometrische Funktion handelt, kannst du vor allem daran erkennen, wenn der Graph periodisch verläuft.
Ist nicht vorgegeben, ob es sich um eine $\sin(x)$ - oder $\cos(x)$ -Funktion handelt, so kannst du die Stelle $x=0$ betrachten:

Liegt hier ein Hochpunkt, dann wähle $\cos(x)$ als Ausgangsfunktion

Liegt hier ein Wendepunkt, dann wähle $\sin(x)$ als Ausgangsfunktion

Sonst lege selbst fest, ob du von $\cos(x)$ oder $\sin(x)$ ausgehen möchtest

Gehe dann wie folgt vor:

Lies die Amplitude $a$ ab: Dies ist die halbe Differenz der $y$ -Koordinaten der Hoch- und Tiefpunkte

Lies die Periodenlänge $p$ ab: Dies ist die Differnz zwischen zwei Hoch- bzw. Tiefpunkten. Daraus erhältst du dann $b=\dfrac{2\pi}{p}$

Falls kein Hoch- oder Wendepunkt bei $x=0$ liegt, bestimme die Phasenverschiebung $c$ , also die Verschiebung entlang der $x$ -Achse, indem du nach dem nächsten Hoch- oder Wendepunkt suchst und die Distanz zum Urprung abliest.

Bestimme gegebenenfalls die Verschiebung entlang der $y$ -Achse $d$

Setze diese Werte in die allgemeine Funktionsgleichung ein

Für diesen Typ von Aufgaben gibt es zwei generelle Ansätze:

$f(x)=a\cdot\sin(b\cdot (x-c))+d$

falls an der Stelle $x=0$ ein Wendepunkt mit VZW von $-$ nach $+$ ist.
$f(x)=a\cdot\cos(b\cdot (x-c))+d$

falls an der Stelle $x=0$ ein Hochpunkt ist.

Dabei beschreibt

$\mathbf{a}$ die Streckung in $y$ -Richtung.

$\mathbf{b}$ die die Periodenlänge $p$ (Abstand zwischen zwei Hoch- bzw. Tiefpunkten) . Berechne $b$ mit $b=\frac{2\pi}{p}$

$\mathbf{c}$ die Verschiebung in $x$ -Richtung. Für $c>0$ wird der Graph nach rechts und für $c\lt 0$ nach links verschoben.

$\mathbf{d}$ die Verschiebung in $y$ -Richtung.

$f(x)=a\cdot\sin(b\cdot (x-c))+d$

Streckung in $y$ -Richtung:

Hochpunkt liegt bei $\left(\frac{\pi}{2}\mid 2\right)$ , daher ist $a=2$ .

Streckung in $x$ -Richtung:

Im Schuabild ist gerade so eine Periode zu erkennen, diese beginnt bei $(0|0)$ und endet bei $(2\pi|0)$ . Für $b$ gilt also $b=\frac{2\pi}{2\pi}=1$ .

Verschiebung in $x$ -Richtung:

Im Ursprung befindet sich eine Nullstelle. Somit gibt es keine Verschiebung, $c=0$ .

Verschiebung in $y$ -Richtung:

keine, $d=0$ .

Funktionsterm: $f(x)=2\sin(x)$

$f(x)=a\cdot\cos(b\cdot(x-c))+d$

Streckung in $y$ -Richtung:

Hochpunkt liegt bei $\left(0\mid 1\right)$ , daher ist $a=1$ .

Streckung in $x$ -Richtung:

Hier ist keine ganze PEriode zu erkennen. Schau dir deshalb die Länge einer halben Periode an. Die ist vom Hochpunkt bei $x=0$ bis zum Tiefpunkt bei $x=2\pi$ . Eine ganze Periode ist also $p=4\pi$ , daher ist $b=\frac{2\pi}{4\pi}=\frac{1}{2}$ .

Verschiebung in $x$ -Richtung:

Da der Kosinus mit einem Hochpunkt im Ursprung beginnt gibt es keine Verschiebung, $c=0$ .

Verschiebung in $y$ -Richtung:

keine, $d=0$ .

Funktionsterm:

$f(x)=\cos\left(\dfrac{1}{2}x\right)$

$f(x)=a\cdot\sin(b\cdot(x-c))+d$

Streckung in $y$ -Richtung:

Hochpunkt liegt bei $\left(\frac{\pi}{4}\mid \frac{1}{2}\right)$ , daher ist $a=\frac{1}{2}$ .

Streckung in $x$ -Richtung:

Eine Periode ist hier $P=\pi$ , somit gilt $b=\dfrac{2\pi}{\pi}=2$ .

Verschiebung in $x$ -Richtung:

keine, $c=0$ .

Verschiebung in $y$ -Richtung:

keine, $d=0$ .

Funktionsterm:

$f(x)=\dfrac{1}{2}\sin\left(2x\right)$

$f(x)=a\cdot\cos(b\cdot(x-c))+d$

Streckung in $y$ -Richtung:

Hochpunkt liegt bei $\left(\frac{\pi}{2}\mid 1\right)$ , daher ist $a=1$ .

Streckung in $x$ -Richtung:

Die Periodenlänge ist $p=\pi$ , da die beiden Nullstellen genau um $\pi$ auseinander liegen. Daher ist $b=\dfrac{2\pi}{\pi}=2$ .

Verschiebung in $x$ -Richtung:

Bei einem normalen Kosinus würdest du an der Stelle $x=0$ keinen Hochpunkt erwarten. Dies ist hier nicht der Fall, weshalb eine Verschiebung vorliegt. Suche nach dem nächsten Hochpunkt, dieser liegt bei $\left(\frac{\pi}{2}\dfrac{}{}\,\bigg \vert \, 1\right)$ . Also ist der Graph im Vergleich zum normalen Kosinus um $\frac{\pi}{2}$ nach rechts verschoben, deshalb ist $c=\frac{\pi}{2}$ .

Verschiebung in $y$ -Richtung:

keine, $d=0$ .

Funktionsterm:

$f(x)=\cos\left(2\cdot\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)\right)=\cos(2x-\pi)$

$f(x)=a\cdot\sin(b(x-c))+d$

Streckung in $y$ -Richtung:

Hochpunkt liegt bei $\left(3\pi\mid 1\right)$ , daher ist $a=1$ .

Streckung in $x$ -Richtung:

Hier kannst du auch nur eine halbe Periodenlänge ablesen mit $\frac{p}{2}=2\pi$ . Für $b$ gilt dann $b=\frac{1}{2}$ .

Verschiebung in $x$ -Richtung:

Bei einem normalen Sinus würdest du an der Stelle $x=0$ ein Vorzeichenwechsel von $-$ nach $+$ erwarten. Dies ist hier nicht der Fall, da der Vorzeichenwechsel von $+$ nach $-$ verläuft. Suche also die Nullstelle des Graphen mit dem gewünschten Vorzeichenwechsel. Diese findest du bei $(2\pi|0)$ , also um $c=2\pi$ nach rechts verschoben.
Alternativ kannst du sagen, dass dies ein an der $x$ -Achse gespiegelter Sinus ist und ein $-$ vor die Funktion schreiben.

Verschiebung in $y$ -Richtung:

keine, $d=0$ .

Funktionsterm:

$f(x)=\sin\left(\dfrac{1}{2}\cdot (x-2\pi)\right)=\sin\left(\dfrac{1}{2}x-\pi\right)$

Oder alternativ:

$f(x)=-\sin\left(\dfrac{1}{2}x\right)$

$f(x)=a\cdot\sin(b\cdot(x-c))+d$

Streckung in $y$ -Richtung:

Hochpunkt liegt bei $\left(\pi\middle| \frac{3}{2}\right)$ und der Tiefpunkt bei $\left(3\pi\middle| -\frac{1}{2}\right)$ . Die Höhendifferenz ist also $\frac{3}{2}-\left(-\frac{1}{2}\right)=2$ . $a$ entspriciht gerade der halben Höhendifferenz $a=\frac{2}{2}=1$ .

Streckung in $x$ -Richtung:

Du kannst eine halbe Periode ablesen, idem du die Distanz zwischen Hoch- und Tiefpunkt abliest. Es gilt $\frac{p}{2}=2\pi$ und somit $b=\frac{1}{2}$ .

Verschiebung in $x$ -Richtung:

Da an der Stelle $\left(0\middle| \frac{1}{2}\right)$ ein Wendepunkt mit positiver Steigung liegt, ist $c=0$ .

Verschiebung in $y$ -Richtung:

$d=\frac{1}{2}$ .

Funktionsterm:

$f(x)=\sin\left(\dfrac{1}{2}x\right)+\dfrac{1}{2}$

Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!

monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?