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Inhaltsverzeichnis
Lernbereich Digitales Schulbuch
Analysis
Schaubilder von Funkt...
Ganzrationale Funktio...
Exponentialfunktionen
Gebrochenrationale Fu...
Logarithmusfunktionen
Wurzelfunktionen
Trigonometrische Funk...
Funktionsgleichungen ...
Kurve gegeben
Ganzrationale Funktio...
Gebrochenrationale Fu...
Exponentialfunktionen
Trigonometrische Funk...
Vermischte Aufgaben
Randbedingungen gegeb...
Ganzrationale Funktio...
Gebrochenrationale Fu...
Exponentialfunktionen
Trigonometrische Funk...
Differenzieren (Ablei...
Nach Funktionstyp
Ganzrationale Funktio...
Gebrochenrationale Fu...
Logarithmische Funkti...
Exponentialfunktionen
Wurzelfunktionen
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Funktion gegeben
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Gleichungen
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Exponentialgleichunge...
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Kurvendiskussion
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Symmetrie und Grenzwe...
Funktionen mit Parame...
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Vollständige Kurvendi...
Ganzrationale Funktio...
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Tangente
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Integralrechnung
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Flächeninhalt zwische...
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Allgemeine Fragen zu ...
Definitions- und Wert...
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Wurzelfunktionen
Logarithmusfunktionen
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Stetigkeit
Differenzierbarkeit
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Exponentielles Wachst...
Beschränktes Wachstum
Logistisches Wachstum
Näherungsverfahren
Keplersche Fassregel
Newtonsches Verfahren
Vermischte Aufgaben
Weiterführende Übungs...
Ganzrationale Funktio...
Gebrochenrationale Fu...
Exponentialfunktionen
Analytische Geometrie
Vektoren
Rechnen mit Vektoren
Lineare Abhängigkeit ...
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Ortsvektoren und Verb...
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Vermischte Aufgaben
Geraden
Geraden
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Geraden im Raum
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Vermischte Aufgaben
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Normalenform
Koordinatenform
Umrechnen von Ebeneng...
Ebenen im Raum
Ebenen in Körpern
Spurpunkte
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Gegenseitige Lage
Gerade - Gerade
Gerade - Ebene
Ebene - Ebene
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Abstände
Punkt - Gerade
Gerade - Gerade
Gerade - Ebene
Punkt - Ebene
Ebene - Ebene
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Schnittwinkel
Zwischen Vektoren
Gerade - Gerade
Gerade - Ebene
Ebene - Ebene
Vermischte Aufgaben
Spiegelungen
Punkt, Gerade und Ebe...
Vermischte Aufgaben
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Interpretation von LG...
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Geordnete Stichprobe ...
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Mit Tabelle
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Zweiseitiger Test

Ganzrationale Funktionen

Spickzettel
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Ganzrationale Funktionen sind Polynomfunktionen, also Funktionen der Form:
$f(x) = a_n\cdot x^n + a_{n-1}\cdot x^{n-1} +… + a_1 \cdot x+a_0$
$f(x) $=$ a_n\cdot x^n + a_{n-1}\cdot x^{n-1} $+$… $+$ a_1 \cdot x+a_0$
Zum Skizzieren des Graphen kannst du entweder eine Wertetabelle anlegen oder dich an einer Grundfunktion orientieren.

Grundfunktionen

Merke dir die Graphen der einfachsten Polynome, um daraus den Graph der jeweiligen Funktion abzuleiten.
$f(x) = x$: Gerade durch den Nullpunkt:
$f(x) = x^3$:
#analysis
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Aufgaben
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1.
Skizziere die Schaubilder folgender Funktionen und bestimme die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.
b)
$f(x)=-2x+4$
d)
$f(x)=(x-1)^2+2$
f)
$f(x)=x^2-4$
#analysis
2.
Skizziere das Schaubild der Funktion und beschreibe, wie es aus der Normalparabel hervorgeht.
b)
$f(x)=-(x-2)^2+2$
d)
$f(x)=2x^2-2$
f)
$f(x)=-(x+2)^2$
3.
Verschiebe das Schaubild der angegebenen Funktion wie gefordert und gib die Funktionsgleichung der neuen Funktion an.
a)
$f(x)=2x$
Verschiebung um 3 LE in positive x-Richtung und um 2 LE in positive y-Richtung
b)
$f(x)=x^2$
Verschiebung um 2 LE in negative x-Richtung und um 1 LE in positive y-Richtung
c)
$f(x)=x^3$
Verschiebung um 1 LE in negative x-Richtung und um 4 LE in negative y-Richtung
d)
$f(x)=3x^2$
Verschiebung um 2 LE in positive y-Richtung und anschließende Spiegelung an der x-Achse
e)
$f(x)=-x^2$
Verschiebung um 3 LE in positive x-Richtung und anschließende Spiegelung an der x-Achse
f)
$f(x)=-x^3$
Verschiebung um 4 LE in positive y-Richtung und um 3 LE in negative x-Richtung
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Lösungen
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1.
a)
$f(x)=\frac{1}{4} \cdot x + 2$
Skizze
Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen bestimmen
$\blacktriangleright$ Schnittpunkt mit der $x$-Achse: $f(x) = 0$ setzen
$\frac{1}{4}x+2=0$$\qquad$$\Longleftrightarrow$$\qquad$$\frac{1}{4}x=-2$$\qquad$$\Longleftrightarrow$$\qquad$$x=-8$
$\frac{1}{4}x+2=-8$
$\begin{array}[t]{rll} \frac{1}{4}x+2&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; -2 \\[5pt] \frac{1}{4}x&=&-2 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 4 \\[5pt] x&=& -8 \end{array}$
Daraus folgt der Schnittpunkt $N(-8 \mid 0)$.
$\blacktriangleright$ Schnittpunkt mit der $y$-Achse: $x = 0$ setzen
$\frac{1}{4}\cdot0+2=2$
Daraus folgt der Schnittpunkt $S\left(0\mid2\right)$.
b)
$f(x)=-2 \cdot x + 4$
Skizze
Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen bestimmen
$\blacktriangleright$ Schnittpunkt mit der $x$-Achse: $f(x) = 0$ setzen
$-2x+4=0$$\qquad$$\Longleftrightarrow$$\qquad$$-2x=-4$$\qquad$$\Longleftrightarrow$$\qquad$$x=2$
$-2x+4=2$
$\begin{array}[t]{rll} -2x+4&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; -4 \\[5pt] -2x&=&-4 &\quad \scriptsize \mid\; : (-2) \\[5pt] x&=& 2 \end{array}$
Daraus folgt der Schnittpunkt $N(2 \mid 0)$.
$\blacktriangleright$ Schnittpunkt mit der $y$-Achse: $x = 0$ setzen
$\begin{array}{rll} -2\cdot0+4=&4 \end{array}$
Daraus folgt der Schnittpunkt $S\left(0\mid4\right)$.
c)
$f(x)=x^2-2x+1$
Skizze
Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen bestimmen
$\blacktriangleright$ Schnittpunkt mit der $x$-Achse: $f(x) = 0$ setzen
$x^2-2x+1=0$
$x_{1,2}=\frac{2}{2}\pm\sqrt{1-1}\qquad\Longrightarrow x=1$
$x^2-2x+1=1$
$\begin{array}[t]{rll} x^2-2x+1 &=& 0 &\quad \scriptsize\\[5pt] x_{1,2}&=&\frac{2}{2}\pm\sqrt{1-1} &\quad \scriptsize\\[5pt] x&=&1 \end{array}$
Daraus folgt der Schnittpunkt $N(1 \mid 0)$.
$\blacktriangleright$ Schnittpunkt mit der $y$-Achse: $x = 0$ setzen
$\begin{array}{rll} 0^2-2\cdot0+1=&1 \end{array}$
Daraus folgt der Schnittpunkt $S\left(0\mid1\right)$.
d)
$f(x)=(x-1)^2+2$
Skizze
Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen bestimmen
$\blacktriangleright$ Schnittpunkt mit der $x$-Achse: $f(x) = 0$ setzen
$(x-1)^2+2=0$$\qquad$$\Longleftrightarrow$$\qquad$$(x-1)^2=-2$$\qquad$ Keine Lösung
$(x-1)^2+2=-2$$\qquad$
$\begin{array}[t]{rll} (x-1)^2+2 &=& 0 &\quad \scriptsize\\[5pt] (x-1)^2 &=& -2 &\quad \scriptsize\\[5pt] && \end{array}$
$ \text{Keine Lösung}$
Es gibt keinen Schnittpunkt mit der $x$-Achse.
$\blacktriangleright$ Schnittpunkt mit der $y$-Achse: $x = 0$ setzen
$\begin{array}{rll} (-1)^2+2=&3 \end{array}$
Daraus folgt der Schnittpunkt $S\left(0\mid3\right)$.
e)
$f(x)=(x+1)^3$
Skizze
Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen bestimmen
$\blacktriangleright$ Schnittpunkt mit der $x$-Achse: $f(x) = 0$ setzen
$(x+1)^3=0$$\qquad$$\Longleftrightarrow$$\qquad$$x+1=0$$\qquad$$\Longleftrightarrow$$\qquad$$x=-1$
$(x+1)^3=-1$
$\begin{array}[t]{rll} (x+1)^3&=&0 &\quad \scriptsize\\[5pt] x+1&=&0&\quad \scriptsize\\[5pt] x&=&-1 \end{array}$
Daraus folgt der Schnittpunkt $N\left(-1\mid0\right)$.
$\blacktriangleright$ Schnittpunkt mit der $y$-Achse: $x = 0$ setzen
$\begin{array}{rll} 1^3=1 \end{array}$
Daraus folgt der Schnittpunkt $S\left(0\mid1\right)$.
f)
$f(x)=x^2-4$
Skizze
Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen bestimmen
$\blacktriangleright$ Schnittpunkt mit der $x$-Achse: $f(x) = 0$ setzen
$x^2-4=0$$\qquad$$\Longleftrightarrow$$\qquad$$x^2=4$$\qquad$$\Longleftrightarrow$$\qquad$$x_{1,2}=\pm2$
$x^2-4=\pm2$
$\begin{array}[t]{rll} x^2-4&=& 0 &\quad \scriptsize\\[5pt] x^2 &=& 4 &\quad \scriptsize\\[5pt] x_{1,2} &=& \pm2 \end{array}$
Daraus folgen die Schnittpunkte $N_1\left(-2\mid0\right)$ und $N_2\left(2\mid0\right)$.
$\blacktriangleright$ Schnittpunkt mit der $y$-Achse: $x = 0$ setzen
$\begin{array}{rll} 0^2-4=-4 \end{array}$
Daraus folgt der Schnittpunkt $S\left(0\mid-4\right)$.
2.
a)
$f(x)=x^2 +2 \cdot x +1$
Skizze
Schaubild aus der Normalparabel herleiten
Zunächst schreiben wir die Funktionsgleichung um:
$x^2 + 2 \cdot x + 1 = (x+1)^2 = \left(x -(-1)\right)^2$
$x^2 + 2 \cdot x + 1$$=$$(x+1)^2$$=$$\left(x -(-1)\right)^2$
Normalparabel um 1 LE in negative $x$-Richtung („nach links“) verschoben.
b)
$f(x)=-(x-2)^2 +2$
Skizze
Schaubild aus der Normalparabel herleiten
Normalparabel um 2 LE in positive $x$-Richtung („nach rechts“) verschoben, anschließend an der $x$-Achse gespiegelt und dann um 2 LE in positive $y$-Richtung („nach oben“) verschoben.
c)
$f(x)=x^2-4$
Skizze
Schaubild aus der Normalparabel herleiten
Normalparabel um 4 LE in negative $y$-Richtung („nach unten“) verschoben.
d)
$f(x)=2 \cdot x^2-2$
Skizze
Schaubild aus der Normalparabel herleiten
Normalparabel um Faktor 2 gestreckt und um 2 LE in negative $y$-Richtung („nach unten“) verschoben.
e)
$f(x)=3 \cdot (x+1)^2 - 2 $=$3 \cdot \left(x - (-1)\right)^2-2$
$f(x)=3 \cdot \left(x - (-1)\right)^2-2$
$\begin{array}[t]{rll} f(x) &=& 3 \cdot (x+1)^2 - 2 &\quad \scriptsize\\[5pt] &=&3 \cdot \left(x - (-1)\right)^2-2 \end{array}$
Skizze
Schaubild aus der Normalparabel herleiten
Normalparabel um 1 LE in negative $x$-Richtung („nach links“) verschoben, dann um Faktor 3 gestreckt und anschließend um 2 LE in negative $y$-Richtung („nach unten“) verschoben.
f)
$f(x)$$=$$-(x+2)^2$=$-\left(x - (-2)\right)^2-2$
$f(x)$=$-\left(x - (-2)\right)^2-2$
$\begin{array}[t]{rll} f(x) &=& -(x+2)^2 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& -\left(x - (-2)\right)^2-2 \end{array}$
Skizze
Schaubild aus der Normalparabel herleiten
Normalparabel an der $x$-Achse gespiegelt und um 2 LE in negative $x$-Richtung („nach links“) verschoben.
3.
b)
$f(x) = x^2$
Verschiebung um 2 LE in negative $x$-Richtung und um 1 LE in positive $y$-Richtung.
$f_{neu}(x)=(x+2)^2+1$
d)
$f(x) = 3 \cdot x^2$
Verschiebung um 2 LE in positive $y$-Richtung und anschließende Spiegelung an der $x$-Achse.
$f_{neu}(x)=-\left(3x^2+2\right)$
f)
$f(x) = -x^3$
Verschiebung um 4 LE in positive $y$-Richtung und um 3 LE in negative $x$-Richtung.
$f_{neu}(x)=-(x+3)^3+4$
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