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Ebene - Ebene

Spickzettel
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Für die gegenseitige Lage zweier Ebenen gibt es drei Möglichkeiten:
  1. Die Ebenen sind identisch, d.h. sie haben unendlich viele gemeinsame Punkte.
  2. Die Ebenen sind parallel, d.h. sie haben keinen gemeinsamen Punkt.
  3. Die Ebenen schneiden sich in einer Schnittgerade, d.h. sie haben unendlich viele gemeinsame Punkte.

Vorgehen

Ermittle die Anzahl der gemeinsamen Punkte der Ebenen je nach Form der Ebenengleichungen wie folgt:
  • Beide in Parameterform: Gleichsetzen und lösen des entstehenden Gleichungssystems
  • Beide in Koordinaten-/Normalenform: Lösen des linearen Gleichungssystems, das sich aus den beiden Gleichungen ergibt
  • Eine in Parameter- und eine in Koordinaten-/Normalenform: Ablesen der Koordinaten des allgemeinen Punktes der Ebene in Parameterform und Einsetzen in die andere Ebenengleichung
Je nach dem wie viele Lösungen du jeweils erhältst ergibt sich die Lage der Ebenen zueinander:
  • Das LGS/Die Gleichung hat unendlich viele Lösungen, aber keine Gerade als Lösung (es ist also kein Parameter mehr übrig): Die Ebenen sind identisch.
  • Das LGS/Die Gleichung hat unendlich viele Lösungen, ein Parameter ist frei wählbar: Die Ebenen schneiden sich in einer Schnittgerade.
  • Das LGS/Die Gleichung hat keine Lösung: Die Ebenen verlaufen parallel.
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1.
Untersuche die Lage der beiden Ebenen (Ebene in Parameterform).
b)
$E_1:\;\overrightarrow{x} = \left( {\begin{array}{*{20}r} 3 \\ 2 \\ 1 \\ \end{array}} \right)+ r\left( {\begin{array}{*{20}r} 4 \\ -2 \\ 4 \\ \end{array}} \right)+s\left( {\begin{array}{*{20}r} 3 \\ 3 \\ 1 \\ \end{array}} \right)$,
$E_2:\;\overrightarrow{x} = \left( {\begin{array}{*{20}r} 7 \\ 4 \\ 5 \\ \end{array}} \right)+ t\left( {\begin{array}{*{20}r} 3 \\ 3 \\ 1 \\ \end{array}} \right)+u\left( {\begin{array}{*{20}r} -2 \\ 1 \\ -2 \\ \end{array}} \right)$.
2.
Untersuche die gegenseitige Lage der beiden Ebenen (Ebene 1 in Parameterform, Ebene 2 in Koordinatenform).
b)
$E:\;\overrightarrow{x} = \left( {\begin{array}{*{20}r} 4 \\ 1 \\ 2 \\ \end{array}} \right)+ r\left( {\begin{array}{*{20}r} 3 \\ 2 \\ 4 \\ \end{array}} \right)+s\left( {\begin{array}{*{20}r} 4 \\ 5 \\ 1 \\ \end{array}} \right)$,
$F:\;2x_1+4x_2-\dfrac{7}{2}x_3=5$.
d)
$E:\;\overrightarrow{x} = \left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ 2 \\ 1 \\ \end{array}} \right)+ r\left( {\begin{array}{*{20}r} 4 \\ 3 \\ 2 \\ \end{array}} \right)+s\left( {\begin{array}{*{20}r} 0 \\ 3 \\ 1 \\ \end{array}} \right)$,
$F:\;2x_1+3x_2-x_3=3$.
3.
Untersuche die gegenseitige Lage der beiden Ebene (Ebenen in Koordinatenform).
b)
$E:\;3x_1-3x_2+x_3=4$,
$F:\;2x_1+x_2+3x_3=3$.
d)
$E:\;2x_1+x_2-x_3=6$,
$F:\;x_1+\dfrac{1}{2}x_2-\dfrac{1}{2}x_3=3$.
4.
Bestimme den Parameter $t$ so, dass die beiden Ebenen parallel zueinander sind.
a)
$E_1:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{r} -2\\ 1\\ 1\\ \end{array}\right)+r\cdot\left(\begin{array}{r} 0\\ 2\\ 3\\ \end{array}\right)+s\cdot\left(\begin{array}{r} -1\\ 0\\ 1\\ \end{array}\right)$,$\qquad$$E_2:-x_1+tx_2-x_3=3$.
$E_1:\overrightarrow{x}=\;…$
b)
$E_1:\left[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{r} 1\\ 2\\ -3\\ \end{array}\right)\right]\circ\left(\begin{array}{r} 2\\ 1\\ t\\ \end{array}\right)=0$,$\qquad$$E_2:4x_1+2x_2-2x_3=8$.
$E_1:\;…$
c)
$E_1:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{r} 3\\ 3\\ 1\\ \end{array}\right)+r\cdot\left(\begin{array}{r} -2\\ 1\\ 1\\ \end{array}\right)+s\cdot\left(\begin{array}{r} 1\\ 0\\ -2\\ \end{array}\right)$,$\qquad$$E_2:\left[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{r} 1\\ 1\\ 2\\ \end{array}\right)\right]\circ\left(\begin{array}{r} 4\\ t\\ 2\\ \end{array}\right)=0$.
$E_1:\overrightarrow{x}=\;…$
d)
$E_1:x_1+x_2-4x_3=12$,$\qquad$$E_2:2x_1-tx_2-8x_3=8$.
5.
Bestimme $t$ so, dass die beiden Ebenen senkrecht aufeinander stehen.
a)
$E_1:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{r} 1\\ 0\\ 3\\ \end{array}\right)+r\cdot\left(\begin{array}{r} -1\\ 2\\ 0\\ \end{array}\right)+s\cdot\left(\begin{array}{r} 2\\ 4\\ 1\\ \end{array}\right)$,$\qquad$$E_2:tx_1+2x_2+x_3=6$.
$E_1:\overrightarrow{x}=\;…$.
b)
$E_1:x_1-x_3=12$,$\qquad$$E_2:\left[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{r} 1\\ 1\\ 2\\ \end{array}\right)\right]\circ\left(\begin{array}{r} 2\\ 1\\ t\\ \end{array}\right)=0$.
$E_1:x_1-x_3=\;…$.
c)
$E_1:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{r} 0\\ 0\\ 1\\ \end{array}\right)+r\cdot\left(\begin{array}{r} 2\\ -1\\ -1\\ \end{array}\right)+s\cdot\left(\begin{array}{r} 0\\ 1\\ 3\\ \end{array}\right)$,$\qquad$$E_2:\left[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{r} 0\\ 2\\ 4\\ \end{array}\right)\right]\circ\left(\begin{array}{r} t\\ 1\\ 1\\ \end{array}\right)$.
$E_1:\overrightarrow{x}=\;…$.
d)
$E_1:2x_1+x_2+4x_3=12$,$\qquad$$E_2:tx_1+2x_2-2x_3=6$.
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1.
Es gibt verschiedene Möglichkeiten in Bezug auf die Lage der beiden Ebenen. Sie können sich in einer Geraden schneiden, parallel oder identisch sein.
a)
Setze die Ebenen gleich um Schnittpunkte auszurechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 1 \\ 0 \\ \end{array}} \right)+ r\left( {\begin{array}{*{20}r} 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{array}} \right)+s\left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ -1 \\ 1 \\ \end{array}} \right)=&\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 0 \\ 2 \\ \end{array}} \right)+t\left( {\begin{array}{*{20}r} -2 \\ 1 \\ 2 \\ \end{array}} \right)+u\left( {\begin{array}{*{20}r} -4 \\ 2 \\ 1 \\ \end{array}} \right)&\quad\\[5pt] \left( {\begin{array}{*{20}r} 0 \\ 1 \\ -2 \\ \end{array}} \right)=&-r\left( {\begin{array}{*{20}r} 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{array}} \right) - s\left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ -1 \\ 1 \\ \end{array}} \right)+t\left( {\begin{array}{*{20}r} -2 \\ 1 \\ 2 \\ \end{array}} \right)+u\left( {\begin{array}{*{20}r} -4 \\ 2 \\ 1 \\ \end{array}} \right)&\\ \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 1 \\ 0 \\ \end{array}} \right)+ r\left( {\begin{array}{*{20}r} 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{array}} \right)+&… \end{array}$
Nun stellt man ein LGS oder eine Matrix auf.
$\left( {\begin{array}{*{20}c} 0 & { - 2} & { - 2} & -4 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ { - 1} & { - 1} & 2 & 1 \\ \end{array}\left| {\begin{array}{*{20}c} 0 \\ 1 \\ { - 2} \\ \end{array}} \right.} \right)$
Addiert man zur ersten Zeile zweimal die zweite Zeile erhält man folgendes LGS.
$\left( {\begin{array}{*{20}c} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ { - 1} & { - 1} & 2 & 1 \\ \end{array}\left| {\begin{array}{*{20}c} 2 \\ 1 \\ { - 2} \\ \end{array}} \right.} \right)$
$0=2$ ist ungültig. Das LGS ist nicht lösbar! Dies bedeutet, dass die Ebenen keine gemeinsamen Punkte haben, folglich liegen die Ebenen parallel zueinander.
b)
Setze die Ebenen gleich um Schnittpunkte auszurechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \left( {\begin{array}{*{20}r} 3 \\ 2 \\ 1 \\ \end{array}} \right)+ r\left( {\begin{array}{*{20}r} 4 \\ -2 \\ 4 \\ \end{array}} \right)+s\left( {\begin{array}{*{20}r} 3 \\ 3 \\ 1 \\ \end{array}} \right)=&\left( {\begin{array}{*{20}r} 7 \\ 4 \\ 5 \\ \end{array}} \right)+t\left( {\begin{array}{*{20}r} 3 \\ 3 \\ 1 \\ \end{array}} \right)+u\left( {\begin{array}{*{20}r} -2 \\ 1 \\ -2 \\ \end{array}} \right)&\quad\\[5pt] \left( {\begin{array}{*{20}r} -4 \\ -2 \\ -4 \\ \end{array}} \right)=&-r\left( {\begin{array}{*{20}r} 4 \\ -2 \\ 4 \\ \end{array}} \right) - s\left( {\begin{array}{*{20}r} 3 \\ 3 \\ 1 \\ \end{array}} \right)+t\left( {\begin{array}{*{20}r} 3 \\ 3 \\ 1 \\ \end{array}} \right)+u\left( {\begin{array}{*{20}r} -2 \\ 1 \\ -2 \\ \end{array}} \right)&\\ \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \left( {\begin{array}{*{20}r} 3 \\ 2 \\ 1 \\ \end{array}} \right)+ r\left( {\begin{array}{*{20}r} 4 \\ -2 \\ 4 \\ \end{array}} \right)+s\left( {\begin{array}{*{20}r} 3 \\ 3 \\ 1 \\ \end{array}} \right)=&… \end{array}$
Nun stellt man ein LGS oder eine Matrix auf.
$\left( {\begin{array}{*{20}r} -4 & { - 3} & { 3} & -2 \\ 2 & -3 & 3 & 1 \\ { - 4} & { - 1} & 1 & -2 \\ \end{array}\left| {\begin{array}{*{20}r} -4 \\ -2 \\ { - 4} \\ \end{array}} \right.} \right)$
Multipliziere die zweite Zeile mit zwei und addiere die erste Zeile. Subtrahiere die dritte Zeile von Zeile eins.
$\left( {\begin{array}{*{20}r} -4 & { - 3} & { 3} & -2 \\ 0 & -9 & 9 & 0 \\ { 0} & { - 2} &{ 2} & 0 \\ \end{array}\left| {\begin{array}{*{20}r} -4 \\ -8 \\ { 0} \\ \end{array}} \right.} \right)$
Multipliziere die zweite Zeile mit zwei und subtrahiere neunmal die dritte Zeile.
$\left( {\begin{array}{*{20}r} -4 & { - 3} & { 3} & -2 \\ 0 & -9 & 9 & 0 \\ { 0} & { 0} & 0 & 0 \\ \end{array}\left| {\begin{array}{*{20}r} -4 \\ -8 \\ { -16} \\ \end{array}} \right.} \right)$
$0=-16$ ist ungültig. Das LGS ist nicht lösbar! Dies bedeutet, dass die Ebenen keine gemeinsamen Punkte haben, folglich liegen die Ebenen parallel zueinander.
2.
a)
$E:\;\overrightarrow{x} = \left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ 3 \\ 1 \\ \end{array}} \right)+ r\left( {\begin{array}{*{20}r} -2 \\ 4 \\ 4 \\ \end{array}} \right)+s\left( {\begin{array}{*{20}r} 3 \\ 3 \\ 1 \\ \end{array}} \right)$, $\quad$ $F:\;8x_1-14x_2+18x_3=16$.
Rechne den Normalenvektor der Ebene $E$ durch das Kreuzprodukt der Spannvektoren aus:
$\overrightarrow{n_1}$=$\left( {\begin{array}{*{20}r} { - 2} \\ 4 \\ 4 \\ \end{array}} \right) \times \left( {\begin{array}{*{20}r} 3 \\ 3 \\ 1 \\ \end{array}} \right) $=$ \left( {\begin{array}{*{20}r} { - 8} \\ {14} \\ { - 18} \\ \end{array}} \right)$
Normalenvektor von $F$:
$\overrightarrow{n_2}$=$\left( {\begin{array}{*{20}r} { 8} \\ -14 \\ 18 \\ \end{array}} \right)$ (durch Ablesen bestimmt)
Prüfe ob die Normalenvektoren linear abhängig sind.
$\left( {\begin{array}{*{20}r} { 8} \\ -14 \\ 18 \\ \end{array}} \right)$ = $ k \cdot \left( {\begin{array}{*{20}r} { - 8} \\ {14} \\ { - 18} \\ \end{array}} \right)$ $\quad$ $\Rightarrow$ $\quad$ $8=-8k$ $\quad$ $\Rightarrow$ $\quad$ $-1=k$
$k$ in Zeile eins und zwei eingesetzt ergibt jeweils eine wahre Aussage. Daraus folgt die Normalenvektoren sind linear abhängig.
$E$ ist daher entweder parallel zu $F$ oder identisch mit $F$.
Wenn die Ebenen identisch sind muss ein Punkt in $E$ (Stützvektor von $E$) auch in $F$ liegen. Man überprüft dies, indem man den Stützvektor von $E$ in $F$ einsetzt:
$\begin{array}{rll} 8\cdot2-14\cdot3+18\cdot1=&16\\[5pt] 16-42+18\neq&16 \end{array}$
Die Ebenen liegen somit parallel zueinander.
b)
$E:\;\overrightarrow{x} $=$ \left( {\begin{array}{*{20}r} 4 \\ 1 \\ 2 \\ \end{array}} \right)+ r\left( {\begin{array}{*{20}r} 3 \\ 2 \\ 4 \\ \end{array}} \right)+s\left( {\begin{array}{*{20}r} 4 \\ 5 \\ 1 \\ \end{array}} \right)$, $\quad$ $F:\;2x_1+4x_2-\dfrac{7}{2}x_3=5$.
Normalenvektor von $E$ aufstellen:
$\overrightarrow{n_1} $=$ \left( {\begin{array}{*{20}r} { 3} \\ 2 \\ 4 \\ \end{array}} \right) \times \left( {\begin{array}{*{20}r} 4 \\ 5 \\ 1 \\ \end{array}} \right) $=$ \left( {\begin{array}{*{20}r} { - 18} \\ {13} \\ { 7} \\ \end{array}} \right)$ (Kreuzprodukt)
Normalenvektor von $F$:
$\overrightarrow{n_2}$=$\left( {\begin{array}{*{20}r} { 2} \\ 4 \\ -\frac{7}{2} \\ \end{array}} \right)$ (durch Ablesen bestimmt)
Prüfe ob die Normalenvektoren linear abhängig sind. Nachweis siehe Teilaufgabe a).
Die Normalenvektoren sind linear unabhängig.
$E$ schneidet $F$.
c)
$E:\;\overrightarrow{x} $=$ \left( {\begin{array}{*{20}r} 3 \\ 4 \\ 2 \\ \end{array}} \right)+ r\left( {\begin{array}{*{20}r} 5 \\ 4 \\ 1 \\ \end{array}} \right)+s\left( {\begin{array}{*{20}r} 3 \\ 2 \\ 6 \\ \end{array}} \right)$, $\quad$ $F:\;x_1+3x_2+4x_3=10$.
Normalenvektor von $E$ aufstellen:
$\overrightarrow{n_1} $=$ \left( {\begin{array}{*{20}r} { 5} \\ 4 \\ 1 \\ \end{array}} \right) \times \left( {\begin{array}{*{20}r} 3 \\ 2 \\ 6 \\ \end{array}} \right) $=$ \left( {\begin{array}{*{20}r} { 22} \\ {-27} \\ { -2} \\ \end{array}} \right)$ (Kreuzprodukt)
Normalenvektor von $F$:
$\overrightarrow{n_2}=\left( {\begin{array}{*{20}r} { 1} \\ 3 \\ 4 \\ \end{array}} \right)$ (durch Ablesen bestimmt)
Prüfe ob die Normalenvektoren linear abhängig sind. Nachweis siehe Teilaufgabe a).
Die Normalenvektoren sind linear unabhängig.
$E$ schneidet $F$.
d)
$E:\;\overrightarrow{x} $=$ \left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ 2 \\ 1 \\ \end{array}} \right)+ r\left( {\begin{array}{*{20}r} 4 \\ 3 \\ 2 \\ \end{array}} \right)+s\left( {\begin{array}{*{20}r} 0 \\ 3 \\ 1 \\ \end{array}} \right)$, $\quad$ $F:\;2x_1+3x_2-x_3=3$.
Normalenvektor von $E$ aufstellen:
$\overrightarrow{n_1} $=$ \left( {\begin{array}{*{20}r} { 4} \\ 3 \\ 2 \\ \end{array}} \right) \times \left( {\begin{array}{*{20}r} 0 \\ 3 \\ 1 \\ \end{array}} \right) $=$ \left( {\begin{array}{*{20}r} { -3} \\ {-4} \\ { 12} \\ \end{array}} \right)$ (Kreuzprodukt)
Normalenvektor von $F$:
$\overrightarrow{n_2}$=$\left( {\begin{array}{*{20}r} { 2} \\ 3 \\ -1 \\ \end{array}} \right)$ (durch Ablesen bestimmt)
Prüfe ob die Normalenvektoren linear abhängig sind. Nachweis siehe Teilaufgabe a).
Die Normalenvektoren sind linear unabhängig.
$E$ schneidet $F$.
3.
a)
Normalenvektor von $E$:
$\overrightarrow{n_1}=\left( {\begin{array}{*{20}r} { 4} \\ 2 \\ -1 \\ \end{array}} \right)$ (durch Ablesen bestimmt)
Normalenvektor von $F$:
$\overrightarrow{n_2}=\left( {\begin{array}{*{20}r} { 5} \\ -1 \\ 3 \\ \end{array}} \right)$ (durch Ablesen bestimmt)
Prüfe ob die Normalenvektoren linear abhängig voneinander sind.
$\begin{array}{rll} \left(\begin{array}{r} 4\\ 2\\ -1\\ \end{array}\right)=&k\cdot\left(\begin{array}{r} 5\\ -1\\ 3\\ \end{array}\right) \end{array}$
Es existiert kein $k$, welches für alle drei Zeilen eine wahre Aussage ergibt. Daraus folgt, dass die Normalenvektoren linear unabhängig sind.
$E$ schneidet $F$.
b)
Normalenvektor von $E$:
$\overrightarrow{n_1}=\left( {\begin{array}{*{20}r} { 3} \\ -3 \\ 1 \\ \end{array}} \right)$ (durch Ablesen bestimmt)
Normalenvektor von $F$:
$\overrightarrow{n_2}=\left( {\begin{array}{*{20}r} { 2} \\ 1 \\ 3 \\ \end{array}} \right)$ (durch Ablesen bestimmt)
Prüfe ob die Normalenvektoren linear abhängig sind. Berechnung siehe Teilaufgabe a). Die Normalenvektoren sind linear unabhängig.
$E$ schneidet $F$.
c)
$E:\;4x_1-\dfrac{1}{2}x_2+x_3=8$, $\quad$ $F:\;-2x_1+\dfrac{1}{4}x_2-\dfrac{1}{2}x_3=5$.
Normalenvektor von $E$:
$\overrightarrow{n_1}=\left( {\begin{array}{*{20}r} { 4} \\ -\frac{1}{2} \\ 1 \\ \end{array}} \right)$ (durch Ablesen bestimmt)
Normalenvektor von $F$:
$\overrightarrow{n_2}=\left( {\begin{array}{*{20}r} { -2} \\ \frac{1}{4} \\ -\frac{1}{2} \\ \end{array}} \right)$ (durch Ablesen bestimmt)
Prüfe ob die Normalenvektoren linear abhängig sind. Berechnung siehe Teilaufgabe a). Die Normalenvektoren sind linear abhängig.
Damit können die Ebenen nur noch identisch oder Parallel sein.
Eine Punktprobe hilft weiter. Punkt in der Ebene $E$ ausrechnen:
$x_2=x_3=0$; $x_1=2$ liefert $P(2 \mid 0 \mid 0)$.
$P$ in $F$ eingesetzt: $-2\cdot2\neq5$ keine Lösung
Die Ebenen sind somit parallel.
d)
Multipliziert man die Ebenengleichung von $F$ mit der Zahl zwei auf beiden Seiten, so erhält man die Ebenengleichung von $E$.
Die Ebenen sind somit identisch.
4.
Bestimme den Parameter $t$ so, dass die beiden Ebenen parallel zueinander sind.
Zwei Ebenen sind parallel, wenn ihre Normalenvektoren parallel, also linear abhängig sind.
Zwei Ebenen sind parallel, wenn ihre Normalenvektoren parallel, also linear abhängig sind.
a)
Parameter $t$ bestimmen
Den Normalenvektor der Ebene $E_1$ berechnen wir über das Kreuzprodukt der Spannvektoren:
$\overrightarrow{n_1}=\left(\begin{array}{r} 0\\ 2\\ 3\\ \end{array}\right)\times\left(\begin{array}{r} -1\\ 0\\ 1\\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{r} 2\\ -3\\ 2\\ \end{array}\right)$
Den Normalenvektor der Ebene $E_2$ können wir aus der Gleichung ablesen. Er lautet $\overrightarrow{n_2}=\left(\begin{array}{r} -1\\ t\\ -1\\ \end{array}\right)$.
Prüfe ob die Normalenvektoren linear abhängig voneinander sind.
$\begin{array}{rll} \left(\begin{array}{r} 2\\ -3\\ 2\\ \end{array}\right)=&k\cdot\left(\begin{array}{r} -1\\ t\\ -1\\ \end{array}\right) \end{array}$
Aus der ersten und der dritten Zeile ergibt sich:
$2=-k\quad\Longleftrightarrow\quad k=-2$
Wird $k=-2$ eingesetzt in die zweite Zeile, erhalten wir:
$-3=-2t\quad\Longleftrightarrow\quad t=\frac{3}{2}$
b)
Parameter $t$ bestimmen
Die Normalenvektoren der Ebenen $E_1$ und $E_2$ lassen sich aus der Gleichung ablesen und lauten:
$\overrightarrow{n_1}=\left(\begin{array}{r} 2\\ 1\\ t\\ \end{array}\right)$   und   $\overrightarrow{n_2}=\left(\begin{array}{r} 4\\ 2\\ -2\\ \end{array}\right)$.
Prüfe ob die Normalenvektoren linear abhängig voneinander sind.
$\begin{array}{rll} \left(\begin{array}{r} 2\\ 1\\ t\\ \end{array}\right)=&k\cdot\left(\begin{array}{r} 4\\ 2\\ -2\\ \end{array}\right) \end{array}$
Aus der ersten und der zweiten Zeile ergibt sich:
$2=4k\quad\Longleftrightarrow\quad k=\frac{1}{2}$
Wird $k=\frac{1}{2}$ eingesetzt in die dritte Zeile, erhalten wir:
$t=\frac{1}{2}\cdot(-2)\quad\Longleftrightarrow\quad t=-1$
c)
Parameter $t$ bestimmen
Den Normalenvektor der Ebene $E_1$ berechnen wir über das Kreuzprodukt der Spannvektoren:
$\overrightarrow{n_1}=\left(\begin{array}{r} -2\\ 1\\ 1\\ \end{array}\right)\times\left(\begin{array}{r} 1\\ 0\\ -2\\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{r} -2\\ -3\\ -1\\ \end{array}\right)$
Den Normalenvektor der Ebene $E_2$ können wir aus der Gleichung ablesen. Er lautet $\overrightarrow{n_2}=\left(\begin{array}{r} 4\\ t\\ 2\\ \end{array}\right)$.
Prüfe ob die Normalenvektoren linear abhängig voneinander sind.
$\begin{array}{rll} \left(\begin{array}{r} -2\\ -3\\ -1\\ \end{array}\right)=&k\cdot\left(\begin{array}{r} 4\\ t\\ 2\\ \end{array}\right) \end{array}$
Aus der ersten und der dritten Zeile ergibt sich:
$-1=2k\quad\Longleftrightarrow\quad k=-\frac{1}{2}$
Wird $k=-\frac{1}{2}$ eingesetzt in die zweite Zeile, erhalten wir:
$-3=-\frac{1}{2}t\quad\Longleftrightarrow\quad t=6$
d)
Parameter $t$ bestimmen
Die Normalenvektoren der Ebenen $E_1$ und $E_2$ lassen sich aus der Gleichung ablesen und lauten:
$\overrightarrow{n_1}=\left(\begin{array}{r} 1\\ 1\\ -4\\ \end{array}\right)$   und   $\overrightarrow{n_2}=\left(\begin{array}{r} 2\\ -t\\ -8\\ \end{array}\right)$.
Prüfe ob die Normalenvektoren linear abhängig voneinander sind.
$\begin{array}{rll} \left(\begin{array}{r} 1\\ 1\\ -4\\ \end{array}\right)=&k\cdot\left(\begin{array}{r} 2\\ -t\\ -8\\ \end{array}\right) \end{array}$
Aus der ersten und der dritten Zeile ergibt sich:
$1=2k\quad\Longleftrightarrow\quad k=\frac{1}{2}$
Wird $k=\frac{1}{2}$ eingesetzt in die zweite Zeile, erhalten wir:
$1=\frac{1}{2}\cdot(-t)\quad\Longleftrightarrow\quad t=-2$
5.
Bestimme $t$ so, dass die beiden Ebenen senkrecht aufeinander stehen.
Zwei Ebenen stehen senkrecht aufeinander, wenn ihre Normalenvektoren senkrecht aufeinander stehen. Das Skalarprodukt der Normalenvektoren muss also Null ergeben.
Zwei Ebenen stehen senkrecht aufeinander, wenn ihre Normalenvektoren senkrecht aufeinander stehen. Das Skalarprodukt der Normalenvektoren muss also Null ergeben.
a)
Parameter $t$ bestimmen
Den Normalenvektor der Ebene $E_1$ berechnen wir über das Kreuzprodukt der Spannvektoren.
$\overrightarrow{n_1}=\left(\begin{array}{r} -1\\ 2\\ 0\\ \end{array}\right)\times\left(\begin{array}{r} 2\\ 4\\ 1\\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{r} 2\\ 1\\ -8\\ \end{array}\right)$
Der Normalenvektor der Ebene $E_2$ lässt sich aus der Gleichung ablesen und lautet $\overrightarrow{n_2}=\left(\begin{array}{r} t\\ 2\\ 1\\ \end{array}\right)$.
$\begin{array}{rll} 0=&\left(\begin{array}{r} 2\\ 1\\ -8\\ \end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{r} t\\ 2\\ 1\\ \end{array}\right)\\[5pt] 0=&2t+2-8\\[5pt] 0=&2t-6&\quad\mid\,+6\\[5pt] 6=&2t&\quad\mid\,:2\\[5pt] 3=&t \end{array}$
b)
Parameter $t$ bestimmen
Die Normalenvektoren der Ebenen $E_1$ und $E_2$ lassen sich aus der Gleichung ablesen und lauten:
$\overrightarrow{n_1}=\left(\begin{array}{r} 1\\ 0\\ -1\\ \end{array}\right)$   und   $\;\overrightarrow{n_2}=\left(\begin{array}{r} 2\\ 1\\ t\\ \end{array}\right)$.
$\begin{array}{rll} 0=&\left(\begin{array}{r} 1\\ 0\\ -1\\ \end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{r} 2\\ 1\\ t\\ \end{array}\right)\\[5pt] 0=&2-t&\quad\mid\, +t\\[5pt] t=&2 \end{array}$
c)
Parameter $t$ bestimmen
Den Normalenvektor der Ebene $E_1$ berechnen wir über das Kreuzprodukt der Spannvektoren.
$\overrightarrow{n_1}=\left(\begin{array}{r} 2\\ -1\\ -1\\ \end{array}\right)\times\left(\begin{array}{r} 0\\ 1\\ 3\\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{r} -2\\ -6\\ 2\\ \end{array}\right)$
Der Normalenvektor der Ebene $E_2$ lässt sich aus der Gleichung ablesen und lautet $\overrightarrow{n_2}=\left(\begin{array}{r} t\\ 1\\ 1\\ \end{array}\right)$.
$\begin{array}{rll} 0=&\left(\begin{array}{r} -2\\ -6\\ 2\\ \end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{r} t\\ 1\\ 1\\ \end{array}\right)\\[5pt] 0=&-2t-6+2\\[5pt] 0=&-2t-4&\quad\mid\, +2t\\[5pt] 2t=&-4&\quad\mid\, :2\\[5pt] t=&-2 \end{array}$
d)
Parameter $t$ bestimmen
Die Normalenvektoren der Ebenen $E_1$ und $E_2$ lassen sich aus der Gleichung ablesen und lauten:
$\overrightarrow{n_1}=\left(\begin{array}{r} 2\\ 1\\ 4\\ \end{array}\right)$   und   $\;\overrightarrow{n_2}=\left(\begin{array}{r} t\\ 2\\ -2\\ \end{array}\right)$.
$\begin{array}{rll} 0=&\left(\begin{array}{r} 2\\ 1\\ 4\\ \end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{r} t\\ 2\\ -2\\ \end{array}\right)\\[5pt] 0=&2t+2-8\\[5pt] 0=&2t-6&\quad\mid\, +6\\[5pt] 6=&2t&\quad\mid\, :2\\[5pt] 3=&t \end{array}$
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