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Stetigkeit

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Eine Funktion $f(x)$ ist stetig an der Stelle $x_0$, falls gilt
$\lim_{x \to x_0} f(x)= f(x_0)$
Anschaulich bedeutet das, dass eine Funktion in der Regel stetig ist, wenn du sie ohne absetzen zeichnen kannst. Das ist jedoch nur die vereinfachte Definition und mathematisch nicht ganz korrekt.

Gründe für Unstetigkeit

Es kann drei verschiedenen Gründe haben, warum eine Funktion nicht stetig ist:
  • $f(x)$ ist an der Stelle $x_0$ nicht definiert.
  • Der Grenzwert $\lim_{x \to x_0}f(x)$ existiert nicht. In diesem Fall hat die Funktion $f$ eine Sprungstelle in $x_0$.
  • Der Funktionswert an der Stelle $x_0$ stimmt nicht mit dem Grenzwert überein: $f(x_0)\ne \lim_{x \to x_0}f(x)$.

Beispiel 1

Überprüfe ob die Funktion $f(x)$ stetig ist.
$ f(x)=\left\{\begin{array}{cl} -x+3, &x \leq 1,5\\ x, & x>1,5 \end{array}\right. $
Der linke Teil der Funktion $f(x)=-x+3$ ist stetig. Auch der rechte Teil $f(x)=x$ ist stetig. Du musst also nur die Stelle $x_0=1,5$ überprüfen.
$f(x_0)=f(1,5) = -1,5+3 =1,5$
$\lim_{x \to 1,5^-}\ f(x) = \lim_{x \to 1,5^-}(-x+3) = -1,5+3 =1,5$
$\lim_{x \to 1,5^+}\ f(x) = \lim_{x \to 1,5^+}(x) = 1,5$
Daraus folgt:
$f(x_0)=\lim_{x \to 1,5^-}\ f(x)=\lim_{x \to 1,5^+}\ f(x) = 1,5$
Die Funktion $f$ ist somit stetig.
$f(x_0)=f(1,5) = 1,5$

Beispiel 2

Überprüfe ob die Funktion $f(x)$ stetig ist.
$ f(x)=\left\{\begin{array}{cl} x^2+1, &x \leq 1\\ 3x, & x>1 \end{array}\right. $
Der linke Teil der Funktion $f(x)=x^2+1$ ist stetig. Auch der rechte Teil $f(x)=3x$ ist stetig. Du musst also nur die Stelle $x_0=1$ überprüfen.
$f(x_0)=f(1) = 1^2+1 =2$
$\lim_{x \to 1^-}\ f(x) = \lim_{x \to 1^-}(x^2+1) = 1+1 =2$
$\lim_{x \to 1^+}\ f(x) = \lim_{x \to 1^+}(3x) = 3$
Daraus folgt:
$2=\lim_{x \to 1^-}\ f(x)\ne \lim_{x \to 1^+}\ f(x) = 3$
Die Funktion $f$ ist somit nicht stetig in $x_0=1$.
$f(x_0)=f(1) = 1^2+1 =2$
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