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Varianz und Standardabweichung

Spickzettel
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Varianz

Die Varianz ist ein Maß für die Streuung einer Zufallsvariable. Sie gibt also ein Maß dafür an, wie weit die Zufallsvariable im Schnitt von ihrem Erwartungswert abweicht. Sie hängt nicht vom Zufall ab. Ist $\Omega = \{x_1,…,x_n \}$ der betrachtete Ergebnisraum, dann wird die Varianz wie folgt berechnet:
$\scriptsize{V(X) = \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n} (x_i-E(X))^2 \cdot P(x_i) = (x_1-E(X))^2 \cdot P(x_1) +(x_2-E(X))^2\cdot P(x_2) + … + (x_n-E(X))^2 \cdot P(x_n)}$
$V(X) $=$ \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n} (x_i-E(X))^2 \cdot P(x_i) $=$ (x_1-E(X))^2 \cdot P(x_1) $+$ (x_2-E(X))^2\cdot P(x_2) $+$ … $+$ (x_n-E(X))^2 \cdot P(x_n)$
Dabei bezeichnet $E(X)$ den Erwartungswert von $X$.

Beispiel

Betrachte das Werfen eines gleichmäßigen sechsseitigen Würfels. Hierbei hat jede Zahl die gleiche Wahrscheinlichkeit: $P(x_i) = \frac{1}{6}$ Hierbei gilt also $E(X) = \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{6} x_i \cdot \frac{1}{6} = \frac{21}{6} = 3,5$ und damit:
$V(X) $=$ \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{6} (x_i-3,5)^2 \cdot\frac{1}{6} $ $= (1-3,5)^2 \cdot \frac{1}{6} +(2-3,5)^2\cdot \frac{1}{6} $+$ … $+$ (6-3,5)^2 \cdot \frac{1}{6} \approx 2,92 $

Standardabweichung

Die Standardabweichung ist ebenfalls ein Maß für die Streuung einer Zufallsvariable um ihren Erwartungswert und hängt ebenfalls nicht vom Zufall ab. Sie lässt sich wie folgt berechnen:
$\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$
$\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$
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Aufgaben
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1.
In einer Urne befinden sich $15$ Kugeln. Davon sind zwei schwarz, zwei weiß und der Rest gelb. Es wird eine Kugel gezogen. Bei schwarz erhält man 8 Euro, bei weiß 4 Euro, bei gelb geht man leer aus.
Bestimme den Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung für den möglichen Gewinn.
2.
In der Schiller-Schule ging die letzte Mathe-Klausur wie folgt aus:
Note $1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$
Anzahl $2$ $6$ $10$ $3$ $2$ $5$

Bestimme den Notendurchschnitt und die Standardabweichung.
3.
a)
Bei einem Würfelspiel werden zwei Würfel gewürfelt und die Augensumme gezählt. Bei einer „7“ erhält der Spieler 5 Euro, bei einer „4“ erhält er 2 Euro. Bei allen anderen Augensummen erhält der Spieler nichts.
Bestimme den Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung für den Gewinn.
b)
Bei einem anderen Würfelspiel werden wieder zwei Würfel gewürfelt und die Augensumme gezählt. Bei einer „8“ und einer „6“ erhält der Spieler 3 Euro, bei einer „7“ nur 1 Euro und bei allen anderen Augensummen erhält der Spieler nichts.
c)
Aus welchen Gründen würdest du dich für Spiel a) oder b) entscheiden?
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Lösungen
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1.
Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung bestimmen
Die Situation kann man in folgender Tabelle veranschaulichen:
Ereignis Auszahlung $x_i$ $P(x_i)$ $x_i \cdot P(x_i)$ $(x_i-E(X))^2$ $(x_i-E(X))^2\cdot P(x_i)$
schwarz 8 $\frac{2}{15}$ $8\cdot \frac{2}{15} = \frac{16}{15}$ $(8-1,6)^2=40,96$ $5,461$
weiß 4 $\frac{2}{15}$ $4\cdot \frac{2}{15} = \frac{8}{15}$ $(4-1,6)^2=5,76$ $0,768$
gelb 0 $\frac{11}{15}$ $0$ $(0-1,6)^2=2,56$ $1,877$
$E(X)=\frac{16+8}{15}=1,6$ $V(X)=8,106$
Ereignis Auszahlung $x_i$ $P(x_i)$
schwarz 8 $\frac{2}{15}$
weiß 4 $\frac{2}{15}$
gelb 0 $\frac{11}{15}$
Die Varianz $V(X)$ ist die Summe der letzten Spalte.
Die Standardabweichung $\sigma$ erhält man durch $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}=\sqrt{8,106}\approx2,847$.
Der Erwartungswert für den Gewinn beträgt $1,60$ Euro, die Varianz $8,106$ Euro und die Standardabweichung $2,85$ Euro.
2.
Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung bestimmen
Die Situation kann man in folgender Tabelle veranschaulichen:
Note $x_i$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$
$H(x_i)$ $2$ $6$ $10$ $3$ $2$ $5$
$x_i\cdot H(x_i)$ $2$ $12$ $30$ $12$ $10$ $20$
$(x_i-E(X))^{2*}$ $5,9$ $2,045$ $0,185$ $0,325$ $2,465$ $6,605$
$(x_i-E(X))^2\cdot H(x_i)^{**}$ $11,8$ $12,3$ $1,85$ $0,975$ $4,93$ $33$
Note $x_i$ $1$ $2$
$H(x_i)$ $2$ $6$
$x_i\cdot H(x_i)$ $2$ $12$
$(x_i-E(X))^{2*}$ $5,9$ $2,045$
$(x_i-E(X))^2\cdot H(x_i)^{**}$ $11,8$ $12,3$
*$E(X)$=$\dfrac{96}{28}\approx3,43$
**$V(X)$=$\dfrac{11,8+12,3+1,85+0,975+4,93+33}{28}$=$\dfrac{64,885}{28}\approx2,32$
**$V(X)$=…$
Die Standardabweichung $\sigma$ ist damit $\sqrt{V(X)}\approx1,52$.
3.
Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung bestimmen
a)
Die Situation kann man in folgender Tabelle veranschaulichen:
Ereignis Auszahlung $x_i$ $P(x_i)$ $x_i \cdot P(x_i)$ $(x_i-E(X))^2$ $(x_i-E(X))^2\cdot P(x_i)$
„$7$“ $5$ $\frac{6}{36}$ $5\cdot \frac{6}{36} = \frac{30}{36}$ $(5-1)^2=16$ $2,667$
„$4$“ $2$ $\frac{3}{36}$ $2\cdot \frac{3}{36} = \frac{6}{36}$ $(2-1)^2=1$ $0,083$
keine $4$ oder $7$ $0$ $\frac{27}{36}$ $0$ $(0-1)^2=1$ $0,75$
$E(X)=\frac{30+6}{36}=1$ $V(X)=3,5$
Ereignis Auszahlung $x_i$ $P(x_i)$
„$7$“ $5$ $\frac{6}{36}$
„$4$“ $2$ $\frac{3}{36}$
keine $4$ oder $7$ $0$ $\frac{27}{36}$
Der Erwartungswert für den Gewinn beträgt 1 Euro.
Die Varianz ist $V(X)=2,66+0,083+0,75=3,5$.
Die Standardabweichung beträgt $\sigma=\sqrt{V(X)}\approx1,87$.
b)
Die Situation kann man in folgender Tabelle veranschaulichen:
Ereignis Auszahlung $x_i$ $P(x_i)$ $x_i \cdot P(x_i)$ $(x_i-E(X))^2$ $(x_i-E(X))^2\cdot P(x_i)$
„$8$“ $3$ $\frac{5}{36}$ $3\cdot \frac{5}{36} = \frac{15}{36}$ $(3-1)^2=4$ $0,55$
„$7$“ $1$ $\frac{6}{36}$ $1\cdot \frac{6}{36} = \frac{6}{36}$ $(1-1)^2=0$ $0$
„$6$“ $3$ $\frac{5}{36}$ $3 \cdot \frac{5}{36}=\frac{15}{36}$ $(3-1)^2=4$ $0,55$
keine $8$, $7$ oder $6$ $0$ $\frac{20}{36}$ $0$ $(0-1)^2=1$ $0,55$
$E(X)=\frac{15+15+6}{36}=1$ $V(X)=1,65$
Ereignis Auszahlung $x_i$ $P(x_i)$
„$8$“ $3$ $\frac{5}{36}$
„$7$“ $1$ $\frac{6}{36}$
„$6$“ $3$ $\frac{5}{36}$
keine $8$, $7$ oder $6$ $0$ $\frac{20}{36}$
Der Erwartungswert für den Gewinn beträgt 1 Euro.
Die Varianz ist $V(X)=1,65$.
Die Standardabweichung beträgt $\sigma=\sqrt{V(X)}\approx1,28$.
c)
In beiden Spielen beträgt der durchschnittliche Gewinn 1 Euro.
Die Standardabweichung bei Spiel b) ist wesentlich geringer, da die Gewinne besser verteilt sind. Ein Spieler, der das Risiko liebt, wird sich wahrscheinlich für das Spiel a) entscheiden, da dort große Gewinne (5 Euro) zu erwarten sind.
Wenn man sehr oft die Spiele spielt relativiert sich das Ganze aber wieder, da der Erwartungswert bei beiden Spielen gleich ist.
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