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Symmetrie und Grenzwerte

Spickzettel
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Symmetrie

Ein Graph einer Funktion $f$ kann achsensymmetrisch oder punktsymmetrisch sein.
Achsensymmetrie:
Damit ein Graph achsensymmetrisch zur $y$-Achse ist, muss gelten:
$f(-x)=f(x)$
$f(-x)=f(x)$
Ist ein Graph achsensymmetrisch zu einer Geraden $x_0$, gilt:
$f(x_0+h)=f(x_0-h)$
$f(x_0+h)=f(x_0-h)$
Punktsymmetrie:
Ist ein Graph punktsymmetrisch zum Ursprung, so gilt:
$f(-x)=-f(x)$
$f(-x)=-f(x)$
Folgende Gleichung gilt für die Punktsymmetrie des Graphen zu einem Punkt $P(x_0\mid y_0)$:
$f(x_0+h)+f(x_0-h)=2y_0$
$f(x_0+h)+f(x_0-h)=2y_0$
Ob ein Graph achsensymmetrisch oder punktsymmetrisch ist, erkennst du auch an den Exponenten. Sind alle Exponenten gerade Zahlen so ist der Graph der Funktion achsensymmetrisch, sind die Exponenten alle ungerade ist der Graph punktsymmetrisch.

Beispiel

Kurvendiskussion: Symmetrie und Grenzwerte
Kurvendiskussion: Symmetrie und Grenzwerte

Grenzwerte

Den Grenzwert einer Funktion $f$ berechnest du mit dem Limes. Eine Funktion kann einen Grenzwert haben, wenn $x$ gegen einen bestimmten Wert $x_0$ oder gegen $\pm\infty$ strebt.
Um den Limes zu berechnen, setzt du gedanklich den Wert $x_0$ in den Funktionsterm von $f$ ein.
Hat eine Funktion einen Grenzwert, so hat diese eine waagrechte Asymptote.

Beispiel

Berechne den Grenzwert der Funktion $f$ mit $f(x) = \dfrac{2x^2+3}{x^2+1}$ für $x\rightarrow\infty$.
$\begin{array}{llllllll} \lim\limits_{x\to\infty}f(x)&=&\dfrac{2x^2+3}{x^2+1}\\ &=&2 \end{array}$
Für $x\rightarrow\infty$ strebt die Funktion $f$ gegen den Wert $2$. Die Funktion $f$ hat somit eine waagrechte Asymptote mit der Gleichung $y=2$.

Polstellen

Unter einer Polstelle versteht man eine Definitionslücke einer Funktion $f$. Die Funktion hat an dieser Stelle eine senkrechte Asymptote.
Eine Funktion hat eine Polstelle, wenn die Funktion für einen Wert von $x$ einen ungültigen Wert annimmt.

Beispiel

Bestimme die Polstelle der Funktion $f$ mit $f(x)=\dfrac{x^3+2x^2+1}{x^2-1}$.
Der Nenner der Funktion darf nicht gleich Null werden. Setze daher den Nenner gleich Null und löse nach $x$ auf um die Polstelle zu berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} x^2-1&=&0 \quad \scriptsize \mid\; +1\\[5pt] x^2&=&1\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;}\\[5pt] x_{1,2}&=&\pm1 \end{array}$
Die Funktion $f$ hat an den Stellen $x_1=-1$ und $x_2=1$ Polstellen.
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Aufgaben
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1.
Untersuche, ob der Graph von $f$ symmetrisch zum Ursprung oder zur $y-$ Achse ist.
b)
$f(x)=4x-10x^3+6x^5$
d)
$f(x)=\sin(x)+3x^5$
f)
$f(x)=\text{e}^x+\cos(x)$
2.
Gegeben ist eine Funktion $f$, die im Punkt $A$ einen Tiefpunkt hat. Welche Aussagen kannst du über weitere Extrempunkte treffen? Verwende die Symmetrieeigenschaften.
b)
$f(x)=2\cdot \sin\big(\frac{\pi}{2}\cdot x\big)$, $A(-1\mid -2)$
3.
Symmetrien, Grenzwerte & Polstellen
a)
Zeige, dass das Schaubild von $f$ mit $f(x)=x^5$ punktsymmetrisch zum Ursprung ist.
b)
Zeige, dass das Schaubild von $f$ mit $f(x)=x^2+4$ achsensymmetrisch zur $y$-Achse ist.
c)
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=x^4-3x^2$. Diese Funktion hat an den Stellen $x_0=-\sqrt{\frac{3}{2}}$ und $x_1=\sqrt{\frac{3}{2}}$ je eine Extremstelle. Bei $x_0$ ist ein lokales Minimum.
Begründe ohne weitere Rechnung, ob bei $x_1$ ein Maximum oder ein Minimum vorliegt.
d)
Berechne den Grenzwert der Funktion $f$ mit $f(x)=x\cdot\mathrm e^x - 1$ für $x\to -\infty$.
e)
Begründe, dass die Gerade $y=-2$ die Asymptote der Funktion $f$ mit $f(x)=\dfrac{1}{2}x^3\mathrm e^{-x}-2$ für $x\to + \infty $ ist.
f)
Bestimme den Definitionsbereich und die Polstellen der Funktion $f$ mit $f(x)=\dfrac{\mathrm e^{-3x}+4\ln(x^2)}{x^2-2}$.
4.
Symmetrie zu beliebigen Punkten und Geraden
Untersuche, ob die Schaubilder der folgenden Funktionen zu den angegeben Punkten oder Geraden symmetrisch sind.
b)
$f(x)=\dfrac{3}{4}x^2-\dfrac{3}{2}x+\dfrac{1}{4}$
 $x=1$
d)
$f(x)=x^3-3x^2+4x$
 $P(1|2)$
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Lösungen
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1.
Du sollst überprüfen, ob der Graph von $f$ symmetrisch zum Ursprung oder zur $y-$Achse ist.
Der Graph ist genau dann punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn die folgende Gleichung erfüllt ist:
$-f(-x)=f(x)$.
Der Graph ist genau dann achsensymmetrisch zur $y-$Achsem, wenn die folgende Gleichung erfüllt ist:
$f(-x)=f(x)$.
Überprüfe diese beiden Gleichungen in jedem Aufgabenteil.
a)
Überprüfe den Graphen von $f$ auf Punktsymmetrie zum Ursprung:
$\begin{array}[t]{rll} -f(-x)&=& -((-x)^4+3(-x)^6)\\[5pt] &=&-x^4-3x^6 \\[5pt] &\neq& f(x) \end{array}$
Überprüfe den Graphen von $f$ auf Achsensymmetrie zur $y-$Achse:
$\begin{array}[t]{rll} f(-x)&=& (-x)^4+3(-x)^6 \\[5pt] &=& x^4+3x^6 \\[5pt] &=& f(x) \end{array}$
Der Graph von $f$ ist achsensymmetrisch zur $y-$Achse.
b)
Überprüfe den Graphen von $f$ auf Punktsymmetrie zum Ursprung:
$\begin{array}[t]{rll} -f(-x)&=&-(4(-x)-10(-x)^3+6(-x)^5) \\[5pt] &=& 4x-10x^3+6x^5 \\[5pt] &=& f(x) \end{array}$
Überprüfe den Graphen von $f$ auf Achsensymmetrie zur $y-$Achse:
$\begin{array}[t]{rll} f(-x)&=&4(-x)-10(-x)^3+6(-x)^5 \\[5pt] &=& -4x+10x^3-6x^5 \\[5pt] &\neq& f(x) \end{array}$
Der Graph von $f$ ist punktsymmetrisch zur $y-$Achse.
c)
Überprüfe den Graphen von $f$ auf Punktsymmetrie zum Ursprung. Beachte, dass $\cos(x)=\cos(-x)$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} -f(-x)&=&-\Big(\dfrac{2}{(-x)^2}+\cos(-x)\Big) \\[5pt] &=& -\dfrac{2}{x^2}-\cos(x) \\[5pt] &\neq& f(x) \end{array}$
Überprüfe den Graphen von $f$ auf Achsensymmetrie zur $y-$Achse:
$\begin{array}[t]{rll} f(-x)&=& \dfrac{2}{(-x)^2}+\cos(-x) \\[5pt] &=& \dfrac{2}{x^2}+\cos(x) \\[5pt] &=& f(x) \end{array}$
Der Graph von $f$ ist achsensymmetrisch zur $y-$Achse.
d)
Überprüfe den Graphen von $f$ auf Punktsymmetrie zum Ursprung. Beachte, dass $\sin(x)=-\sin(-x)$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} -f(-x)&=&-(\sin(-x)+3(-x)^5) \\[5pt] &=& \sin(x)+3x^5 \\[5pt] &=& f(x) \end{array}$
Überprüfe den Graphen von $f$ auf Achsensymmetrie zur $y-$Achse:
$\begin{array}[t]{rll} f(-x)&=& \sin(-x)+3(-x)^5\\[5pt] &=& -\sin(x)-3x^5 \\[5pt] &\neq& f(x) \end{array}$
Der Graph von $f$ ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
e)
Überprüfe den Graphen von $f$ auf Punktsymmetrie zum Ursprung:
$\begin{array}[t]{rll} -f(-x)&=& -(\text{e}^{(-x)^4}+4(-x)^4)\\[5pt] &=& -\text{e}^{x^4}-4x^4 \\[5pt] &\neq& f(x) \end{array}$
Überprüfe den Graphen von $f$ auf Achsensymmetrie zur $y-$Achse:
$\begin{array}[t]{rll} f(-x)&=&\text{e}^{(-x)^4}+4(-x)^4 \\[5pt] &=& \text{e}^{x^4}+4x^4\\[5pt] &=& f(x) \end{array}$
Der Graph von $f$ ist achsensymmetrisch zur $y-$Achse.
f)
Überprüfe den Graphen von $f$ auf Punktsymmetrie zum Ursprung:
$\begin{array}[t]{rll} -f(-x)&=&-(\text{e}^{-x}+\cos(-x)) \\[5pt] &=& -\text{e}^{-x} -\cos(x)\\[5pt] &\neq& f(x) \end{array}$
Überprüfe den Graphen von $f$ auf Achsensymmetrie zur $y-$Achse:
$\begin{array}[t]{rll} f(-x)&=&\text{e}^{-x}+\cos(-x) \\[5pt] &=& \text{e}^{-x}+\cos(x) \\[5pt] &\neq& f(x) \end{array}$
Der Graph von $f$ ist weder achsensymmetrisch zur $y-$Achse, noch punktsymmetrisch zum Ursprung.
2.
Du sollst mit Hilfe der Symmetrieeigenschaften des Graphen von $f$ eine Aussage über weitere Extrempunkte treffen.
a)
Der Graph von $f$ ist achsensymmetrisch zur $y-$Achse. Das kannst du durch die folgende Rechnung nachprüfen:
$\begin{array}[t]{rll} f(-x)&=&-8\cdot (-x)^2+(-x)^4 \\[5pt] &=&-8\cdot x^2+x^4 \\[5pt] &=& f(x) \end{array}$
Weil der Graph von $f$ achsensymmetrisch zur $y-$Achse ist, besitzt $f$ einen weiteren Tiefpunkt in $B(-2\mid -16)$.
b)
Der Graph von $f$ ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Das kannst du durch die folgende Rechnung nachprüfen:
$\begin{array}[t]{rll} -f(-x)&=& -2\cdot \sin\big(\frac{\pi}{2}\cdot (-x)\big) \\[5pt] &=& -2\cdot (-\sin\big(\frac{\pi}{2}\cdot x))\\[5pt] &=& 2\cdot \sin\big(\frac{\pi}{2}\cdot x\big)\\[5pt] &=& f(x) \end{array}$
Weil der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung ist, besitzt er den Hochpunkt $B(1\mid 2)$.
3.
Symmetrien, Grenzwerte & Polstellen
a)
Punktsymmetrie zum Ursprung zeigt man mit der Bedingung:
$-f(-x)=f(x)$.
$-f(-x)=f(x)$.
$-f(-x)=-(-x)^5=x^5=f(x)$
Das Schaubild von $f$ ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
b)
Achsensymmetrie zur $y$-Achse zeigt man mit der Bedingung:
$f(-x)=f(x)$.
$f(-x)=f(x)$.
$f(-x)=(-x)^2+4=x^2+4=f(x)$
Das Schaubild von $f$ ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse.
c)
Da der Funktionsterm von $f$ nur gerade Exponenten enthält, ist die Bedingung für Achsensymmetrie zur $\boldsymbol{y}$-Achse erfüllt: $f(-x)=(-x)^4-3(-x)^2\\=x^4-3x^2=f(x)$
Da $f$ an der Stelle $x_0$ ein Minimum besitzt, folgt hieraus sofort, dass $f$ auch an der Stelle $x_1$ ein Minimum besitzt (da der Graph der Funktion $f$ achsensymmetrisch ist).
d)
Betrachte die einzelnen Faktoren und Summanden im Funktionsterm. Für $x\to-\infty$ strebt $x$ offensichtlich gegen $-\infty$. Der Faktor $\mathrm e^x$ hingegen strebt für $x\to-\infty$ gegen Null.
Als exponentielle Funktion hat $\mathrm e^x$ einen größeren Einfluss auf den Grenzwert als die lineare Funktion $x$. Deshalb strebt das Produkt $x\cdot\mathrm e^x$ für $x\to-\infty$ gegen Null. Damit folgt:
$\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to-\infty}(\underbrace{x\cdot\mathrm e^x}_{\to0}-1)\\=0-1=-1$
e)
Du kannst vorgehen wie in Aufgabe d): Für $x\to\infty$ strebt der Ausdruck $\dfrac{1}{2}x^3$ gegen $\infty$. Der Ausdruck $\mathrm e^{-x}$ hingegen strebt gegen Null für $x\to\infty$.
Da sich die exponentielle Funktion wieder gegenüber der kubischen Funktion „durchsetzt“, strebt das Produkt $\dfrac{1}{2}x^3\cdot\mathrm e^{-x}$ für $x\to\infty$ gegen Null. Damit folgt:
$\lim \limits_{x\to \infty} f(x)=\lim \limits_{x\to \infty}\left(\underbrace{\dfrac{1}{2}x^3\mathrm e^{-x}}_{\to0}-2\right)\\=0-2=-2$
Also ist die Gerade $y=-2$ die Asymptote der Funktion $f$ für $x\to\infty$.
f)
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&\dfrac{\mathrm e^{-3x}+4\ln(x^2)}{x^2-2}\\ \end{array}$
$\ln(x)$ ist definiert für alle $x>0$. In unserem Fall ist $x^2$ das Argument des $\ln$. Also muss gelten:
$x^2>0$. Das ist genau dann der Fall, wenn $x\neq0$. Damit gehört $x=0$ nicht zum Definitionsbereich von $f$.
Betrachte nun den Nenner im Funktionsterm: Da eine Division durch Null nicht erlaubt ist, darf der Nenner nicht Null werden. Berechne daher die Nullstellen des Nenners. Diese sind zum einen ebenfalls nicht im Definitionsbereich eingeschlossen und bilden zum anderen die Polstellen:
$x^2-2=0\;\\\Leftrightarrow\;x^2=2\;\\\Leftrightarrow\;x=\pm\sqrt2$.
Damit folgt der Definitionsbereich $D_f=\mathbb R\setminus\left\{-\sqrt2;0;\sqrt2\right\}$, sowie die Polstellen $x_1=-\sqrt2$ und $x_2=+\sqrt2$.
4.
Es gilt:
Der Graph von $f$ ist
  • punktsymmetrisch zum Ursprung $(0\mid0)$, falls gilt: $f(x)=-f(-x)$
  • achsensymmetrisch zur $y$-Achse, falls gilt: $f(x)=f(-x)$
  • punktsymmetrisch zu einem Punkt $(x\mid y)$, falls gilt: $f(x+h)+f(x-h)=2y$
  • achsensymmetrisch zu einer Geraden $x=a$, falls gilt: $f(x+h)=f(x-h)$
Der Graph von $f$ ist
  • punktsymmetrisch zum Ursprung $(0\mid0)$, falls gilt: $f(x)=-f(-x)$
  • achsensymmetrisch zur $y$-Achse, falls gilt: $f(x)=f(-x)$
  • punktsymmetrisch zu einem Punkt $(x\mid y)$, falls gilt: $f(x+h)+f(x-h)=2y$
  • achsensymmetrisch zu einer Geraden $x=a$, falls gilt: $f(x+h)=f(x-h)$
a)
Behauptung: Schaubild von $f$ ist punktsymmetrisch zu $P(0|0)$.
Zu zeigen:
$f(x)=-f(-x)$
Beweis:
$\begin{array}{rll} \dfrac{1}{2}x^3-x+1&=&-\left(\dfrac{1}{2}(-x)^3-(-x)+1\right) \\[5pt] \dfrac{1}{2}x^3-x+1&=&-\left(-\dfrac{1}{2}x^3+x+1\right) \\[5pt] \dfrac{1}{2}x^3-x+1&=&\dfrac{1}{2}x^3-x-1\\[5pt] 1&=&-1&\scriptsize{\text{Widerspruch!}}\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}{rll} \dfrac{1}{2}x^3-x+1&\end{array}$$\begin{array}{rll}=&… \\ \end{array}$
Das Schaubild von $f$ ist nicht punktsymmetrisch zu $P(0\mid0)$.
b)
Behauptung: Schaubild von $f$ ist symmetrisch zu $x=1$.
Zu zeigen:
$\begin{array}{rll} f(x+h)&=&f(x-h)\\ f(1+h)&=&f(1-h)\\ \end{array}$
Beweis:
$\begin{array}{rll} \dfrac{3}{4}(1+h)^2-\dfrac{3}{2}(1+h)+\dfrac{1}{4}&=&\dfrac{3}{4}(1-h)^2-\dfrac{3}{2}(1-h)+\dfrac{1}{4} \\[5pt] \dfrac{3}{4}(1+2h+h^2)-\dfrac{3}{2}(1+h)&=&\dfrac{3}{4}(1-2h+h^2)-\dfrac{3}{2}(1-h) \\[5pt] \dfrac{3}{4}+\dfrac{3}{2}h+\dfrac{3}{4}h^2-\dfrac{3}{2}-\dfrac{3}{2}h&=&\dfrac{3}{4}-\dfrac{3}{2}h+\dfrac{3}{4}h^2-\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{2}h \\[5pt] -\dfrac{3}{4}+\dfrac{3}{4}h^2&=&\dfrac{3}{4}+\dfrac{3}{4}h^2-\dfrac{3}{2} \\[5pt] 0&=&0&\scriptsize{\text{q.e.d}}\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}{rll} \dfrac{3}{4}(1+h)^2-\dfrac{3}{2}(1+h)+\dfrac{1}{4}…\\[5pt] \end{array}$
Das Schaubild von $f$ ist achsensymmetrisch zur Geraden $x=1$.
c)
Behauptung: Schaubild von $f$ ist symmetrisch zu $x=2$.
Zu zeigen:
$\begin{array}{rll} f(x+h)=f(x-h)\\ f(2+h)=f(2-h)\\ \end{array}$
Beweis:
$\begin{array}{rll} -\dfrac{1}{4}(2+h)^2-\dfrac{2}{9}&=&-\dfrac{1}{4}(2-h)^2-\dfrac{2}{9}\\[5pt] -\dfrac{1}{4}(4+4h+h^2)&=&-\dfrac{1}{4}(4-4h+h^2) \\[5pt] 4+4h+h^2&=&4-4h+h^2\\[5pt] 4h&=&-4h \\[5pt] 4&=&-4&\scriptsize{\text{Widerspruch!}}\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}{rll} -\dfrac{1}{4}(2+h)^2-\dfrac{2}{9}&\end{array}$$\begin{array}{rll}=&…\\[5pt] \end{array}$
Das Schaubild von $f$ ist nicht achsensymmetrisch zu Geraden $x=2$.
d)
Behauptung: Schaubild von $f$ ist punktsymmetrisch zu $P(1|2)$.
Zu zeigen:
$\begin{array}{rll} f(x+h)+f(x-h)&=&2y\\ f(1+h)+f(1-h)&=&4\\ \end{array}$
Beweis:
$\begin{array}{rll} 4&=&((1+h)^3-3(1+h)^2+4(1+h))\\[5pt] &&+((1-h)^3-3(1-h)^2+4(1-h)) \\[5pt] 4&=&(1+3h+3h^2+h^3-3(1+2h+h^2)+4+4h) \\[5pt] &&+(1-3h+3h^2-h^3-3(1-2h+h^2)+4-4h)&&\\[5pt] 4&=&(1+3h+3h^2+h^3-3-6h-3h^2+4+4h)\\[5pt] &&+(1-3h+3h^2-h^3-3+6h-3h^2+4-4h) \\[5pt] 4&=&(2+h+h^3)+(2-h-h^3) \\[5pt] 4&=&4&\scriptsize{q.e.d}\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}{rll} 4&=&\end{array}$$\begin{array}{rll}((1+h)^3-…\\[5pt] \end{array}$
Das Schaubild von $f$ ist punktsymmetrisch zu $P(1\mid2)$.
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