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Geraden

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Eine Gerade ist eine unendlich lange, gerade Linie. Auf ihr befinden sich unendlich viele Punkte aus dem Koordinatensystem. Eine solche Gerade kann durch zwei verschiedene Punkte vollständig definiert werden: Sind beispielsweise zwei Punkte $A(a_1 \mid a_2 \mid a_3)$ und $B(b_1 \mid b_2 \mid b_3)$ im Koordinatensystem gegeben, so kann die Gleichung einer Geraden $g$ durch diese beiden Punkte wie folgt angegeben werden:
$g: \overrightarrow{x}=\overrightarrow{OA}+ t \cdot \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{u}+ t \cdot \overrightarrow{v}$, $\quad t\in \mathbb{R}$
$g: \overrightarrow{x}$=$\overrightarrow{OA}+ t \cdot \overrightarrow{AB} $=$ \overrightarrow{u}+ t \cdot \overrightarrow{v}$, $\quad t\in \mathbb{R}$
Hierbei versteht man unter
  • $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{u}$ den Stützvektor der Geraden $g$,
  • $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{v}$ den Richtungsvektor der Geraden $g$,
  • $t$ eine reelle Zahl, für die der Richtungsvektor beliebig lang bzw. kurz werden kann und somit alle Punkte auf der Geraden erreicht werden können.

Beispiel

Gegeben sind die Punkte $A(1 \mid 0 \mid 0)$ und $B(4 \mid -5 \mid 6)$. Stelle die Geradengleichung einer Geraden $g$ durch diese Punkte auf:
Zuerst legen wir fest, dass der Vektor $\overrightarrow{OA}$ Stützvektor und $\overrightarrow{AB}$ Richtungsvektor sein soll. Du kannst auch $\overrightarrow{OB}$ als Stützvektor und $\overrightarrow{BA}$ Richtungsvektor wählen, dadurch erhältst du die selbe Gerade im Raum.
$\overrightarrow{OA}$ = $\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\quad $$ \overrightarrow{AB}$ = $\begin{pmatrix}4\\-5\\6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix}3\\-5\\6\end{pmatrix}$
Diese kannst du nun in die allgemeine Formel der Geradengleichung einsetzen und erhältst so die Gleichung zur Geraden $g$:
$g:\quad \overrightarrow{x}$ = $\overrightarrow{OA}+ t \cdot \overrightarrow{AB} $ = $ \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}3\\-5\\6\end{pmatrix}$ , $\quad t\in \mathbb{R}$
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Aufgaben
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1.
Stell die Gleichung der Geraden auf, die durch die angegebenen Punkte verläuft.
b)
$A(3\mid1\mid2)$, $B(-1\mid2\mid-4)$
d)
$C\left(-2\mid1\mid\frac{1}{4}\right)$, $D\left(3\mid\frac{1}{4}\mid1\right)$
2.
Überprüfe, ob der angegebene Punkt auf der jeweiligen Geraden liegt.
a)
$A\left(1\mid2\mid4\right)$, $g:\overrightarrow{ x} = \left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ { 3} \\ 1 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} { - 1} \\ 2 \\ 1 \\ \end{array}} \right)$ , $\quad s\in \mathbb{R}$
b)
$B(-1\mid4\mid1)$, $g:\overrightarrow{ x} = \left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ { - 2} \\ -1 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} { - 1} \\ 3 \\ 1 \\ \end{array}} \right)$, $\quad s\in \mathbb{R}$
c)
$C\left(\frac{1}{2}\mid-\frac{1}{2}\mid1\right)$, $g:\overrightarrow{ x} = \left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ { - 1} \\ 2 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} { - 1} \\ 1 \\ -2 \\ \end{array}} \right)$, $\quad s\in \mathbb{R}$
d)
$D(2\mid-1,25\mid0)$, $g:\overrightarrow{ x} = \left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ { - 1} \\ 8 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} { - 4} \\ 1 \\ 2 \\ \end{array}} \right)$, $\quad s\in \mathbb{R}$
3.
Bestimme $t$ so, dass der Punkt $P$ auf der Geraden $g$ liegt.
b)
$P\left(6\mid-2\mid t\right)$,
$g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{r} 0\\ 1\\ 3\\ \end{array}\right)+s\cdot\left(\begin{array}{r} 2\\ -1\\ 4\\ \end{array}\right)$, $\quad s\in \mathbb{R}$
d)
$P\left(t\mid2\mid5\right)$,
$g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{r} -1\\ 1\\ 3\\ \end{array}\right)+s\cdot\left(\begin{array}{r} 3\\ 1\\ 2\\ \end{array}\right)$, $\quad s\in \mathbb{R}$
4.
Zeige, dass die drei Punkte $A$, $B$ und $C$ auf einer Geraden liegen und gib die Gleichung dieser Geraden an.
b)
$A\left(1\mid4\mid3\right)$, $B\left(-2\mid1\mid0\right)$,
$C\left(4\mid7\mid6\right)$
d)
$A\left(5\mid3\mid2\right)$, $B\left(-1\mid0\mid4\right)$,
$C\left(11\mid6\mid0\right)$
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Lösungen
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1.
Aufstellen von Geradengleichungen
a)
$\begin{array}[t]{rll} g: \overrightarrow{x}=&\overrightarrow{a}+s\cdot\left(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\right)&\quad\mid \small{\text{ Punkte einsetzen}}\\[5pt] =& \begin{pmatrix} 1 \\ { 2} \\ 4 \\ \end{pmatrix} + s \cdot \left( {\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \\ \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \\ \end{pmatrix}} \right) &\\[5pt] g: \overrightarrow{x}=& \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \\ \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \\ \end{pmatrix}, \quad s\in \mathbb{R}\\ \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} g: \overrightarrow{x}=&\overrightarrow{a}+s\cdot\left(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\right)&\quad\\[5pt] \end{array}$ , $\quad s\in \mathbb{R}$
b)
$\begin{array}[t]{rll} g: \overrightarrow{x}=&\overrightarrow{a}+s\cdot\left(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\right)&\quad\\[5pt] =& \begin{pmatrix} 3 \\ { 1} \\ 2 \\ \end{pmatrix} + s \cdot \left( {\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -4 \\ \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \\ \end{pmatrix}} \right) &\\[5pt] g: \overrightarrow{x}=& \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \\ \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ -6 \\ \end{pmatrix}, \quad s\in \mathbb{R}\\ \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} g: \overrightarrow{x}=&\overrightarrow{a}+s\cdot\left(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\right), \quad s\in \mathbb{R}\\[5pt] \end{array}$
c)
$\begin{array}[t]{rll} g: \overrightarrow{x}=&\overrightarrow{p}+s\cdot\left(\overrightarrow{q}-\overrightarrow{p}\right)&\quad\\[5pt] =& \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ { 1} \\ -\frac{1}{2} \\ \end{pmatrix} + s \cdot \left( {\begin{pmatrix} 1 \\ \frac{1}{2} \\ 2 \\ \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ 1 \\ -\frac{1}{2} \\ \end{pmatrix}} \right) &\\[5pt] g: \overrightarrow{x}=& \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ 1 \\ -\frac{1}{2} \\ \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} \\ \frac{5}{2} \\ \end{pmatrix}, \quad s\in \mathbb{R}\\ \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} g: \overrightarrow{x}=&\overrightarrow{p}+s\cdot\left(\overrightarrow{q}-\overrightarrow{p}\right), \quad s\in \mathbb{R}\\[5pt] \end{array}$
Den Richtungvektor kann man nun noch mit dem Faktor $2$ verlängern:
$g$: $\overrightarrow{x}= \left( {\begin{array}{*{20}c} \frac{1}{2} \\ 1 \\ -\frac{1}{2} \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ -1 \\ 5 \\ \end{array}} \right)$$, \quad s\in \mathbb{R}$
d)
$\begin{array}[t]{rll} g: \overrightarrow{x}=&\overrightarrow{c}+s\cdot\left(\overrightarrow{d}-\overrightarrow{c}\right)&\quad\\[5pt] =& \begin{pmatrix} -2 \\ { 1} \\ \frac{1}{4} \\ \end{pmatrix} + s \cdot \left( {\begin{pmatrix} 3 \\ \frac{1}{4} \\ 1 \\ \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ \frac{1}{4} \\ \end{pmatrix}} \right) &\\[5pt] g: \overrightarrow{x}=& \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ \frac{1}{4} \\ \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} 5 \\ -\frac{3}{4} \\ \frac{3}{4} \\ \end{pmatrix}, \quad s\in \mathbb{R}\\ \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} g: \overrightarrow{x}=&\overrightarrow{c}+s\cdot\left(\overrightarrow{d}-\overrightarrow{c}\right), \quad s\in \mathbb{R}\\[5pt] \end{array}$
Den Richtungvektor kann man nun noch mit dem Faktor $4$ verlängern
$g$: $\overrightarrow{x}= \left( {\begin{array}{*{20}c} -2 \\ 1 \\ \frac{1}{4} \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} 20 \\ -3 \\ 3 \\ \end{array}} \right)$ $, \quad s\in \mathbb{R}$
2.
Punktproben durchführen
a)
$A\left(1\mid2\mid4\right)$ und $g:\overrightarrow{ x} = \left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ { 3} \\ 1 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} { - 1} \\ 2 \\ 1 \\ \end{array}} \right)$
Gleichsetzen
$\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 2 \\ 4 \\ \end{array}} \right)=\left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ { 3} \\ 1 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} { - 1} \\ 2 \\ 1 \\ \end{array}} \right)$
Daraus ergibt sich ein LGS
$\begin{array}{lrrl} Ⅰ&1&=&2&-&s&\Rightarrow{ }&s=&1\\[5pt] Ⅱ&2&=&3&+&2s&\Rightarrow{ }&s=&-\frac{1}{2}\\[5pt] Ⅲ&4&=&1&+&s&\Rightarrow{ }&s=&3\\ \end{array}$
$\begin{array}{lrrl} Ⅰ&1&=\;…\\[5pt] Ⅱ&2&=\;…\\[5pt] Ⅲ&4&=\;…\\ \end{array}$
Das LGS ist nicht lösbar. $\Rightarrow$ Der Punkt liegt nicht auf der Geraden.
b)
$B\left(-1\mid4\mid1\right)$ und $g$: $\overrightarrow{ x} = \left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ { -2} \\ -1 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} { - 1} \\ 3 \\ 1 \\ \end{array}} \right)$
Gleichsetzen
$\left( {\begin{array}{*{20}r} -1 \\ 4 \\ 1 \\ \end{array}} \right)=\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ { -2} \\ -1 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} { - 1} \\ 3 \\ 1 \\ \end{array}} \right)$
Daraus ergibt sich ein LGS
$\begin{array}{lrcrcrcrr} Ⅰ&-1&=&1&-&s&\Rightarrow{ }&s=&2\\[5pt] Ⅱ&4&=&-2&+&3s&\Rightarrow{ }&s=&2\\[5pt] Ⅲ&1&=&-1&+&s&\Rightarrow{ }&s=&2\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}{lrcrcrcrr} Ⅰ&-1&=\;…\\[5pt] Ⅱ&4&=\;…\\[5pt] Ⅲ&1&=\;…\\[5pt] \end{array}$
Das LGS hat eine eindeutige Lösung. $\Rightarrow$ Der Punkt liegt auf der Geraden.
c)
$C\left(\frac{1}{2}\mid-\frac{1}{2}\mid1\right)$ und $g:\overrightarrow{ x} = \left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ { -1} \\ 2 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} { - 1} \\ 1 \\ -2 \\ \end{array}} \right)$
Gleichsetzen
$\left( {\begin{array}{*{20}r} \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} \\ 1 \\ \end{array}} \right)=\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ { -1} \\ 2 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} - 1\\ 1\\ -2\\ \end{array}} \right)$
Daraus ergibt sich ein LGS
$\begin{array}{lrcrcrcrr} Ⅰ&\frac{1}{2}&=&1&-&s&\Rightarrow{ }&s=&\frac{1}{2}\\[5pt] Ⅱ&-\frac{1}{2}&=&-1&+&s&\Rightarrow{ }&s=&\frac{1}{2}\\[5pt] Ⅲ&1&=&2&-&2s&\Rightarrow{ }&s=&\frac{1}{2}\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}{lrcrcrcrr} Ⅰ&\frac{1}{2}&=\;…\\[5pt] Ⅱ&-\frac{1}{2}&=\;…\\[5pt] Ⅲ&1&=\;…\\[5pt] \end{array}$
Das LGS hat eine eindeutige Lösung. $\Rightarrow$ Der Punkt liegt auf der Geraden.
d)
$D\left(2\mid-1,25\mid0\right)$ und $g:\overrightarrow{ x} = \left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ { -1} \\ 8 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} { - 4} \\ 1 \\ 2 \\ \end{array}} \right)$
Gleichsetzen
$\begin{array}{rll} \left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ -1.25 \\ 0 \\ \end{array}} \right)=&\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ { -1} \\ 8 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} { -4} \\ 1 \\ 2 \\ \end{array}} \right)\\[5pt] \left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ -0,25 \\ -8 \\ \end{array}} \right)=& s\left( {\begin{array}{*{20}r} { -4} \\ 1 \\ 2 \\ \end{array}} \right) \end{array}$
Daraus ergibt sich ein LGS
$\begin{array}{lrcrcrcrr} Ⅰ&1&=&&&-4s&\Rightarrow{ }&s=&-\frac{1}{4}\\[5pt] Ⅱ&-\frac{1}{4}&=&&&s&\Rightarrow{ }&s=&-\frac{1}{4}\\[5pt] Ⅲ&-8&=&&&2s&\Rightarrow{ }&s=&-4\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}{lrcrcrcrr} Ⅰ&1&=\;…\\[5pt] Ⅱ&-\frac{1}{4}&=\;…\\[5pt] Ⅲ&-8&=\;…\\[5pt] \end{array}$
Das LGS hat keine eindeutige Lösung. $\Rightarrow$ Der Punkt liegt nicht auf der Geraden.
3.
Punktproben durchführen
a)
$P\left(t\mid10\mid8\right)$ und $g:\overrightarrow{ x} = \left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ { 2} \\ 2 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} { 2} \\ 4 \\ 3 \\ \end{array}} \right)$
Gleichsetzen
$\begin{array}{rll} \left( {\begin{array}{*{20}r} t \\ 10 \\ 8 \\ \end{array}} \right)=&\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ { 2} \\ 2 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} { 2} \\ 4 \\ 3 \\ \end{array}} \right)\\[5pt] \left( {\begin{array}{*{20}r} t-1 \\ 8 \\ 6 \\ \end{array}} \right)=& s\left( {\begin{array}{*{20}r} { 2} \\ 4 \\ 3 \\ \end{array}} \right) \end{array}$
Daraus ergibt sich ein LGS
$\begin{array}{lrcrcrcrr} Ⅰ&t-1&=&&&2s&\Rightarrow{ }&s=&\frac{t-1}{2}\\[5pt] Ⅱ&8&=&&&4s&\Rightarrow{ }&s=&2\\[5pt] Ⅲ&6&=&&&3s&\Rightarrow{ }&s=&2\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}{lrcrcrcrr} Ⅰ&t-1&=&… \end{array}$
Damit das LGS eine Lösung hat, muss auch in der ersten Zeile $s=2$ stehen. Es muss daher gelten:
$\dfrac{t-1}{2}=2 \qquad\mid \cdot2$
Diese Gleichung wird nach $t$ aufgelöst:
$\begin{array}{rll} t-1=&4&\quad\\[5pt] t=&5\\ \end{array}$
Für $t=5$ liegt der Punkt $P$ auf der Geraden.
b)
$P\left(6\mid-2\mid t\right)$ und $g:\overrightarrow{ x} = \left( {\begin{array}{*{20}r} 0 \\ 1 \\ 3 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ -1\\ 4 \\ \end{array}} \right)$
Gleichsetzen
$\begin{array}{rll} \left( {\begin{array}{*{20}r} 6 \\ -2 \\ t \\ \end{array}} \right)=&\left( {\begin{array}{*{20}r} 0 \\ 1 \\ 3 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ -1\\ 4 \\ \end{array}} \right)\\[5pt] \left( {\begin{array}{*{20}r} 6 \\ -3 \\ t-3 \\ \end{array}} \right)=& s\left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ -1\\ 4 \\ \end{array}} \right) \end{array}$
Daraus ergibt sich ein LGS
$\begin{array}{lrcrcrcrr} Ⅰ&6&=&&&2s&\Rightarrow{ }&s=&3\\[5pt] Ⅱ&-3&=&&&-s&\Rightarrow{ }&s=&3\\[5pt] Ⅲ&t-3&=&&&4s&\Rightarrow{ }&s=&\frac{t-3}{4}\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}{lrcrcrcrr} Ⅰ&6&=&… \end{array}$
Damit das LGS eine Lösung hat, muss auch in der letzten Zeile $s=3$ stehen. Es muss daher gelten:
$\dfrac{t-3}{4}=3 \qquad\mid \cdot4$
Diese Gleichung wird nach $t$ aufgelöst:
$\begin{array}[t]{rll} t-3=&12&\quad\\[5pt] t=&15\\ \end{array}$
Für $t=15$ liegt der Punkt $P$ auf der Geraden.
c)
$P\left(2\mid t\mid-3\right)$ und $g:\overrightarrow{ x} = \left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ 2 \\ 1 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} 0 \\ -1\\ 4 \\ \end{array}} \right)$
Gleichsetzen
$\begin{array}{rll} \left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ t \\ -3 \\ \end{array}} \right)=&\left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ 2 \\ 1 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} 0 \\ -1\\ 4 \\ \end{array}} \right)\\[5pt] \left( {\begin{array}{*{20}r} 2-2 \\ t-2 \\ -3-1 \\ \end{array}} \right)=& s\left( {\begin{array}{*{20}r} 0 \\ -1\\ 4 \\ \end{array}} \right) \end{array}$
Daraus ergibt sich ein LGS
$\begin{array}{lrcrcrcrr} Ⅰ&0&=&&&0\\[5pt] Ⅱ&t-2&=&&&-s&\Rightarrow{ }&s=&-(t-2)\\[5pt] Ⅲ&-4&=&&&4s&\Rightarrow{ }&s=&-1\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}{lrcrcrcrr} Ⅰ&0&=&… \end{array}$
Damit das LGS eine Lösung hat, muss auch in der mittleren Zeile $s=-1$ stehen. Es muss daher gelten:
$-(t-2)=-1 \qquad\mid \cdot(-1)$
Diese Gleichung wird nach $t$ aufgelöst:
$\begin{array}[t]{rll} t-2=&1&\quad\\[5pt] t=&3\\ \end{array}$
Für $t=3$ liegt der Punkt $P$ auf der Geraden.
d)
$P\left(t\mid2\mid5\right)$ und $g:\overrightarrow{ x} = \left( {\begin{array}{*{20}r} -1 \\ 1 \\ 3 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} 3 \\ 1\\ 2 \\ \end{array}} \right)$
Gleichsetzen
$\begin{array}{rll} \left( {\begin{array}{*{20}r} t \\ 2 \\ 5 \\ \end{array}} \right)=&\left( {\begin{array}{*{20}r} -1 \\ 1 \\ 3 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} 3 \\ 1\\ 2 \\ \end{array}} \right)\\[5pt] \left( {\begin{array}{*{20}r} t-(-1) \\ 2-1 \\ 5-3 \\ \end{array}} \right)=& s\left( {\begin{array}{*{20}r} 3 \\ 1\\ 2 \\ \end{array}} \right) \end{array}$
Daraus ergibt sich ein LGS
$\begin{array}{lrcrcrcrr} Ⅰ&t+1&=&&&3s&\Rightarrow{ }&s=&\frac{t+1}{3}\\[5pt] Ⅱ&1&=&&&s&\Rightarrow{ }&s=&1\\[5pt] Ⅲ&2&=&&&2s&\Rightarrow{ }&s=&1\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}{lrcrcrcrr} Ⅰ&t+1&=&… \end{array}$
Damit das LGS eine Lösung hat, muss auch in der oberen Zeile $s=1$ stehen. Es muss daher gelten:
$\frac{t+1}{3}=1 \qquad\mid \cdot3$
Diese Gleichung wird nach $t$ aufgelöst:
$\begin{array}[t]{rll} t+1=&3&\quad\\[5pt] t=&2\\ \end{array}$
Für $t=2$ liegt der Punkt $P$ auf der Geraden.
4.
a)
1.Schritt: Gerade durch $A$ und $B$ aufstellen
$\begin{array}{rll} g:\overrightarrow{x}=&\overrightarrow{a}+r\cdot\overrightarrow{AB}\\[5pt] =&\begin{pmatrix} 2\\ 1\\ 3\\ \end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} 0-2\\ -2-1\\ 6-3\\ \end{pmatrix}\\[5pt] g:\overrightarrow{x}=&\begin{pmatrix} 2\\ 1\\ 3\\ \end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} -2\\ -3\\ 3\\ \end{pmatrix} , \quad r\in \mathbb{R} \end{array}$
2.Schritt: Punktprobe, ob $C$ auf $g$ liegt.
$\begin{array}{rll} \begin{pmatrix} -2\\ -5\\ 9\\ \end{pmatrix}=&\begin{pmatrix} 2\\ 1\\ 3\\ \end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} -2\\ -3\\ 3\\ \end{pmatrix}&\quad\mid -\begin{pmatrix} 2\\ 1\\ 3\\ \end{pmatrix}\\[5pt] \begin{pmatrix} -4\\ -6\\ 6\\ \end{pmatrix}=&r\cdot\begin{pmatrix} -2\\ -3\\ 3\\ \end{pmatrix} \end{array}$
$\begin{array}{rll} \begin{pmatrix} -2\\ -5\\ 9\\ \end{pmatrix}=&… \end{array}$
Daraus ergibt sich ein LGS
$\begin{array}{lrcrcrcrr} Ⅰ&-4&=&-2r&\Rightarrow{ }&r=&2\\[5pt] Ⅱ&-6&=&-3r&\Rightarrow{ }&r=&2\\[5pt] Ⅲ&6&=&3r&\Rightarrow{ }&r=&2\\[5pt] \end{array}$
Das LGS hat eine eindeutige Lösung. $\Rightarrow$ Alle drei Punkte liegen auf der Geraden.
b)
1.Schritt: Gerade durch $A$ und $B$ aufstellen
$\begin{array}{rll} g:\overrightarrow{x}=&\overrightarrow{a}+r\cdot\overrightarrow{AB}\\[5pt] =&\begin{pmatrix} 1\\ 4\\ 3\\ \end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} -2-1\\ 1-4\\ 0-3\\ \end{pmatrix}\\[5pt] g:\overrightarrow{x}=&\begin{pmatrix} 1\\ 4\\ 3\\ \end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} -3\\ -3\\ -3\\ \end{pmatrix}, \quad r\in \mathbb{R} \end{array}$
2.Schritt: Punktprobe, ob $C$ auf $g$ liegt.
$\begin{array}{rll} \begin{pmatrix} 4\\ 7\\ 6\\ \end{pmatrix}=&\begin{pmatrix} 1\\ 4\\ 3\\ \end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} -3\\ -3\\ -3\\ \end{pmatrix}&\quad\mid -\begin{pmatrix} 1\\ 4\\ 3\\ \end{pmatrix}\\[5pt] \begin{pmatrix} 3\\ 3\\ 3\\ \end{pmatrix}=&r\cdot\begin{pmatrix} -3\\ -3\\ -3\\ \end{pmatrix} \end{array}$
$\begin{array}{rll} \begin{pmatrix} 4\\ 7\\ 6\\ \end{pmatrix}=&… \end{array}$
Daraus ergibt sich ein LGS
$\begin{array}{lrcrcrcrr} Ⅰ&3&=&-3r&\Rightarrow{ }&r=&-1\\[5pt] Ⅱ&3&=&-3r&\Rightarrow{ }&r=&-1\\[5pt] Ⅲ&3&=&-3r&\Rightarrow{ }&r=&-1\\[5pt] \end{array}$
Das LGS hat eine eindeutige Lösung. $\Rightarrow$ Alle drei Punkte liegen auf der Geraden.
c)
1.Schritt: Gerade durch $A$ und $B$ aufstellen
$\begin{array}{rll} g:\overrightarrow{x}=&\overrightarrow{a}+r\cdot\overrightarrow{AB}\\[5pt] =&\begin{pmatrix} -2\\ 4\\ 3\\ \end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} 0-(-2)\\ 2-4\\ 3-3\\ \end{pmatrix}\\[5pt] g:\overrightarrow{x}=&\begin{pmatrix} -2\\ 4\\ 3\\ \end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} 2\\ -2\\ 0\\ \end{pmatrix}, \quad r\in \mathbb{R} \end{array}$
2.Schritt: Punktprobe, ob $C$ auf $g$ liegt.
$\begin{array}{rll} \begin{pmatrix} -1\\ 3\\ 3\\ \end{pmatrix}=&\begin{pmatrix} -2\\ 4\\ 3\\ \end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} 2\\ -2\\ 0\\ \end{pmatrix}&\quad\mid -\begin{pmatrix} -2\\ 4\\ 3\\ \end{pmatrix}\\[5pt] \begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 0\\ \end{pmatrix}=&r\cdot\begin{pmatrix} 2\\ -2\\ 0\\ \end{pmatrix} \end{array}$
$\begin{array}{rll} \begin{pmatrix} -1\\ 3\\ 3\\ \end{pmatrix}=&… \end{array}$
Daraus ergibt sich ein LGS
$\begin{array}{lrcrcrcrr} Ⅰ&1&=&2r&\Rightarrow{ }&r=&0,5\\[5pt] Ⅱ&-1&=&-2r&\Rightarrow{ }&r=&0,5\\[5pt] Ⅲ&0&=&0\\[5pt] \end{array}$
Das LGS hat eine eindeutige Lösung. $\Rightarrow$ Alle drei Punkte liegen auf der Geraden.
d)
1.Schritt: Gerade durch $A$ und $B$ aufstellen
$\begin{array}{rll} g:\overrightarrow{x}=&\overrightarrow{a}+r\cdot\overrightarrow{AB}\\[5pt] =&\begin{pmatrix} 5\\ 3\\ 2\\ \end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} -1-5\\ 0-3\\ 4-2\\ \end{pmatrix}\\[5pt] g:\overrightarrow{x}=&\begin{pmatrix} 5\\ 3\\ 2\\ \end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} -6\\ -3\\ 2\\ \end{pmatrix}, \quad r\in \mathbb{R} \end{array}$
2.Schritt: Punktprobe, ob $C$ auf $g$ liegt.
$\begin{array}{rll} \begin{pmatrix} 11\\ 6\\ 0\\ \end{pmatrix}=&\begin{pmatrix} 5\\ 3\\ 2\\ \end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} -6\\ -3\\ 2\\ \end{pmatrix}&\quad\mid -\begin{pmatrix} 5\\ 3\\ 2\\ \end{pmatrix}\\[5pt] \begin{pmatrix} 6\\ 3\\ -2\\ \end{pmatrix}=&r\cdot\begin{pmatrix} -6\\ -3\\ 2\\ \end{pmatrix} \end{array}$
$\begin{array}{rll} \begin{pmatrix} 11\\ 6\\ 0\\ \end{pmatrix}=&… \end{array}$
Daraus ergibt sich ein LGS
$\begin{array}{lrcrcrcrr} Ⅰ&6&=&-6r&\Rightarrow{ }&r=&-1\\[5pt] Ⅱ&3&=&-3r&\Rightarrow{ }&r=&-1\\[5pt] Ⅲ&-2&=&2r&\Rightarrow{ }&r=&-1\\ \end{array}$
Das LGS hat eine eindeutige Lösung. $\Rightarrow$ Alle drei Punkte liegen auf der Geraden.
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