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Geraden

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Eine Gerade ist eine unendlich lange, gerade Linie. Auf ihr befinden sich unendlich viele Punkte aus dem Koordinatensystem. Eine solche Gerade kann durch zwei verschiedene Punkte vollständig definiert werden: Sind beispielsweise zwei Punkte $A(a_1 \mid a_2 \mid a_3)$ und $B(b_1 \mid b_2 \mid b_3)$ im Koordinatensystem gegeben, so kann die Gleichung einer Geraden $g$ durch diese beiden Punkte wie folgt angegeben werden:
$g: \overrightarrow{x}=\overrightarrow{OA}+ t \cdot \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{u}+ t \cdot \overrightarrow{v}$, $\quad t\in \mathbb{R}$
$g: \overrightarrow{x}$=$\overrightarrow{OA}+ t \cdot \overrightarrow{AB} $=$ \overrightarrow{u}+ t \cdot \overrightarrow{v}$, $\quad t\in \mathbb{R}$
Hierbei versteht man unter
  • $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{u}$ den Stützvektor der Geraden $g$,
  • $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{v}$ den Richtungsvektor der Geraden $g$,
  • $t$ eine reelle Zahl, für die der Richtungsvektor beliebig lang bzw. kurz werden kann und somit alle Punkte auf der Geraden erreicht werden können.

Beispiel

Gegeben sind die Punkte $A(1 \mid 0 \mid 0)$ und $B(4 \mid -5 \mid 6)$. Stelle die Geradengleichung einer Geraden $g$ durch diese Punkte auf:
Zuerst legen wir fest, dass der Vektor $\overrightarrow{OA}$ Stützvektor und $\overrightarrow{AB}$ Richtungsvektor sein soll. Du kannst auch $\overrightarrow{OB}$ als Stützvektor und $\overrightarrow{BA}$ Richtungsvektor wählen, dadurch erhältst du die selbe Gerade im Raum.
$\overrightarrow{OA}$ = $\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\quad $$ \overrightarrow{AB}$ = $\begin{pmatrix}4\\-5\\6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix}3\\-5\\6\end{pmatrix}$
Diese kannst du nun in die allgemeine Formel der Geradengleichung einsetzen und erhältst so die Gleichung zur Geraden $g$:
$g:\quad \overrightarrow{x}$ = $\overrightarrow{OA}+ t \cdot \overrightarrow{AB} $ = $ \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}3\\-5\\6\end{pmatrix}$ , $\quad t\in \mathbb{R}$
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