Lerninhalte in Mathe

Mündliche Abi-Aufgaben

Digitales Schulbuch

Inhaltsverzeichnis

Vermischte Aufgaben

1.

Berechne die Integrale.

a)

$\displaystyle\int_{0}^{2} (3+\mathrm e^{2x})\,\mathrm dx$

b)

$\displaystyle\int_{0}^{1} \left[\dfrac{3}{2}\cdot(3x-2)^{5}\right]\,\mathrm dx$

c)

$\displaystyle\int_{-1}^{0} \left(\dfrac{4}{(2x+3)^{3}}\right)\,\mathrm dx$

d)

$\displaystyle\int_{0}^{2} \left(\dfrac{1}{4x+1}\right)\,\mathrm dx$

e)

$\displaystyle\int_{1}^{2} \left(4x^{2}-\dfrac{2}{3}x+4\right)\,\mathrm dx$

f)

$\displaystyle\int_{0}^{1} \left(\mathrm e^{2x}-2x+4\right)\,\mathrm dx$

g)

$\displaystyle\int_{0}^{2} \left(x+2+\mathrm e^{-2x}\right)\,\mathrm dx$

h)

$\displaystyle\int_{1}^{2} \left[2\cdot\left(5x-8\right)^{3}\right]\,\mathrm dx$

i)

$\displaystyle\int_{-1}^{0} \left(\dfrac{5}{\left(3x-1\right)^{2}}\right)\,\mathrm dx$

j)

$\displaystyle\int_{1}^{4} \left(\dfrac{2}{\sqrt{x}}\right)\,\mathrm dx$

2.

Die Parabel mit der Gleichung $f(x)=x^{2}+2x-3$ schließt gemeinsam mit der $x$ -Achse eine Fläche vollständig ein.

Berechne den Inhalt dieser Fläche.

3.

Der Graph der Funktion $f$ mit $f(x)=-x^{2}+4x$ , die $x$ -Achse und die beiden Geraden $x=1$ und $x=3$ schließen eine Fläche vollständig ein.

Zeichne den Graphen dieser Funktion in ein Koordinatensystem und berechne den Inhalt der
eingeschlossenen Fläche.

4.

Finde für die Funktion $f$ eine mögliche Stammfunktion $F$ .

a)

$f(x)=3x^{4}+\dfrac{1}{x^{2}}-\sin(2x)$

b)

$f(x)=\dfrac{1}{4}x^{2}-\mathrm e^{-2x+1}$

c)

$f(x)=12x^{5}-\dfrac{3}{2x^{2}}+12x$

d)

$f(x)=x^{4}-4\mathrm e^{2x+2}+\cos\left(\dfrac{1}{4}x+1\right)$

5.

Die Parabel mit der Gleichung $f(x)=x^2-x$ schließt zusammen mit der $x$ -Achse und der Geraden $x=2$ eine Fläche ein. Diese Fläche ist in zwei Teilflächen unterteilt.

Berechne den Inhalt der Gesamtfläche.

6.

Die Parabel mit der Gleichung $f(x)=-x^2+8$ und die Gerade $g$ , die parallel zur Tangente an $f$ an der Stelle $x=-1$ ist und durch den Ursprung geht, schließen eine Fläche vollständig ein.

Bestimme deren Flächeninhalt.

7.

Begründe, warum die Funktion $f$ mit $f(x)=2x+\mathrm{e}^{-2x}$ die Asymptote $y=2x$ besitzt.

Berechne den Inhalt der Fläche, die vom Graphen von $f$ , dieser Asymptote und den Geraden $x=0$ und
$x=3$ eingeschlossen wird.

8.

Der Graph der Funktion $f$ mit $f(x)=2-\mathrm{e}^{x}$ schließt zusammen mit der Geraden $y=2$ und der $y$ -Achse eine Fläche ein, die nach links ins Unendliche reicht.

Zeichne den Graphen von $f$ und die Gerade in ein gemeinsames Koordinatensystem und zeige, dass der
Inhalt der Fläche einen endlichen Wert annimmt.

9.

Bestimme diejenige Stammfunktion von $f$ mit $f(x)=x^3-4x$ , deren

Schaubild den Tiefpunkt auf der $x$ -Achse hat.

10.

Bestimme zu $f$ mit

$f(t)=t^3-3t+3$ die Integralfunktion $I$ mit $I(x)=\displaystyle\int_{1}^{x}f(t)\,\mathrm dt$ .

11.

Bestimme zu $f$ mit $f(t)=4\mathrm{e}^{-2t}+t$ die Integralfunktion $I$ mit $I(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}f(t)\,\mathrm dt$ .

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1.

a)

$\begin{array}[t]{rlll} \displaystyle\int_{0}^{2}(3+\mathrm e^{2x})\,\mathrm dx&= \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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b)

$\begin{array}[t]{rlll} \displaystyle\int_{0}^{1} \left[\dfrac{3}{2}\cdot(3x-2)^{5}\right]\,\mathrm dx&= \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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c)

$\begin{array}[t]{rlll} \displaystyle\int_{-1}^{0} \left(\dfrac{4}{(2x+3)^{3}}\right)\,\mathrm dx&= \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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d)

$\begin{array}[t]{rlll} \displaystyle\int_{0}^{2} \left(\dfrac{1}{4x+1}\right)\,\mathrm dx&= \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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e)

$\begin{array}[t]{rlll} \displaystyle\int_{1}^{2} \left(4x^{2}-\dfrac{2}{3}x+4\right)\,\mathrm dx& = \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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f)

$\begin{array}[t]{rlll} \displaystyle\int_{0}^{1} \left(\mathrm e^{2x}-2x+4\right)\,\mathrm dx&= \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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g)

$\begin{array}[t]{rlll} \displaystyle\int_{0}^{2} \left(x+2+\mathrm e^{-2x}\right)\,\mathrm dx&= \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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h)

$\begin{array}[t]{rlll} \displaystyle\int_{1}^{2} \left[2\cdot\left(5x-8\right)^{3}\right]\,\mathrm dx&= \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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i)

$\begin{array}[t]{rlll} \displaystyle\int_{-1}^{0} \left(\dfrac{5}{\left(3x-1\right)^{2}}\right)\,\mathrm dx&= \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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j)

$\begin{array}[t]{rlll} \displaystyle\int_{1}^{4} \left(\dfrac{2}{\sqrt{x}}\right)\,\mathrm dx&= \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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2.

1. Schritt: Grenzen des Integrals berechnen:

Die Fläche wird vom Graphen von $f$

und der $x$ -Achse vollständig eingeschlossen. Die Grenzen des Integrals sind also die Nullstellen der Funktion $f$ .

$\begin{array}{rlll} 0&=x^{2}+2x-3\\ x_{1}&=1\\[5pt] x_{2}&=-3 \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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2. Schritt: Flächeninhalt berechnen:

$\begin{array}{rlll} A&=\left|\displaystyle\int_{-3}^{1}\left(x^{2}+2x-3\right)\,\mathrm dx\right|\\[6pt] A&=\dfrac{32}{3}\,FE \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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3.

1. Schritt: Besondere Punkte des Graphen berechnen:

Teil der Aufgabe ist es, den Graphen von

$f$ zu zeichnen. Untersuche also zunächst die Funktion $f$ auf Nullstellen und Extremstellen.

Nullstellen bestimmen:

$\begin{array}{rlll} 0&=-x^{2}+4x\\[3pt] \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Extremstellen bestimmen:

Die ersten zwei Ableitungen der Funktion

$f$ haben die Gleichungen

$f‘(x)=-2x+4$ und $f‘‘(x)=-2$ . Aus dem notwendigen Kriterium für

Extremstellen folgt:

$f‘(x)=0\;\Leftrightarrow\;-2x+4=0\\\Leftrightarrow\;x=2$

Mit $f‘‘(2)=-2\lt 0$ ist das

hinreichende Kriterium für ein Maximum erfüllt. Berechne die zugehörige

$y$ -Koordinate:

$f(2)=-2^2+4\cdot2=-4+8=4$ .

Der Graph von $f$ besitzt den Hochpunkt $H\left(2\mid4\right)$ .

Graph skizzieren:

Grafik einer Parabel mit grünem Bereich zwischen den x-Werten 1 und 3. Achsen sind beschriftet.

2. Schritt: Flächeninhalt berechnen:

$\begin{array}{rlll} A&=\left|\displaystyle\int_{1}^{3}(-x^{2}+4x)\,\mathrm dx\right|\\[6pt] A&=\dfrac{22}{3}\,FE \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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4.

a)

$\begin{array}[t]{rlll} f(x)&=3x^{4}+\dfrac{1}{x^{2}}-\sin(2x)\\[5pt] F(x)&=\dfrac{3}{5}x^{5}-\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2}\cos(2x) \end{array}$

b)

$\begin{array}[t]{rlll} f(x)&=\dfrac{1}{4}x^{2}-\mathrm e^{-2x+1}\\[5pt] F(x)&=\dfrac{1}{12}x^{3}+\dfrac{1}{2}\mathrm e^{-2x+1} \end{array}$

c)

$\begin{array}[t]{rlll} f(x)&=12x^{5}-\dfrac{3}{2x^{2}}+12x\\[5pt] F(x)&=2x^{6}+\dfrac{3}{2x}+6x^2 \end{array}$

d)

$\begin{array}[t]{rlll} f(x)&=x^{4}-4\mathrm e^{2x+2} \\&+\cos\left(\dfrac{1}{4}x+1\right)\\[5pt] F(x)&=\dfrac{1}{5}x^{5}-2\mathrm e^{2x+2}+ \\&4\cdot\sin\left(\dfrac{1}{4}x+1\right) \end{array}$

5.

1. Schritt: Grenzen des Integrals berechnen:

Die Fläche wird vom Graphen von $f$

und der $x$ -Achse vollständig eingeschlossen. Die Grenzen des Integrals sind also die Nullstellen der Funktion $f$ .

$\begin{array}{llllllll} x^2-x&=0\\[3pt] x(x-1)&=0\\[3pt] x_1&=0\\[3pt] x_2&=1 \end{array}$

Graf einer Parabel mit hervorgehobenem grünen Bereich unterhalb der Kurve.

2. Schritt: Flächeninhalt berechnen:

$\begin{array}{llllllll} A_1&=\left|\displaystyle\int_{0}^{1}(x^2-x)\,\mathrm dx\right|\\[6pt] &=\dfrac{1}{6}\,FE\\[6pt] \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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$\begin{array}{llllllll} A_2&=\left|\displaystyle\int_{1}^{2}(x^2-x)\,\mathrm dx\right|\\[6pt] &=\dfrac{5}{6}\,FE \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Die Gesamtfläche beträgt somit:

$A_{\text{Gesamt}}=A_1+A_2=\dfrac{1}{6}+\dfrac{5}{6}=1\,$ FE

6.

1. Schritt: Funktionsgleichung der Parabel bestimmen:

Die Gerade $g$ verläuft parallel zur Tangenten, die den Graphen von $f$ an der Stelle $x=-1$ berührt.
Parallele Geraden besitzen die gleiche Steigung. Bestimme also die Steigung der Tangenten mit der ersten Ableitung:

$\begin{array}{rlll} f(x)&=-x^2+8\\[3pt] f‘(x)&=-2x\\[3pt] f‘(-1)&=2=m \end{array}$

Die Gerade $g$ verläuft durch den

Ursprung und hat damit die Funktionsgleichung $g(x)=2x$ .

Graf einer Funktion mit grünem Bereich, Achsen und Gitterlinien.

2. Schritt: Flächeninhalt berechnen:

Die Fläche wird vom Graphen von $f$ und

der Geraden vollständig eingeschlossen. Berechne deren Schnittstellen durch Gleichsetzen.

$\begin{array}{rlll} -x^2+8&=2x\\ x_{1}&=2\\[3pt] x_{2}&=-4 \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Für den Inhalt der Fläche gilt dann:

$\begin{array}{rlll} A_{\text{Ges.}}&=\left|\displaystyle\int_{-4}^{2}\left[f(x)-g(x)\right]\,\mathrm dx\right|\\[6pt] &=36\,FE \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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7.

1. Schritt: Gleichung der Asymptote begründen:

Das Schaubild der Funktion $f$ mit $f(x)=2x+\mathrm{e}^{-2x}$ hat die Gerade

$y=2x$ als Asymptote, da für $x\rightarrow{ }\infty$

gilt:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \mathrm{e}^{-2x}=0$

Daher gilt: $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f(x)=2x$ .

Die Gerade $y=2x$ ist somit Asymptote.

Graf einer mathematischen Funktion mit einer grünen Fläche und einem schwarzen Verlauf auf einem Koordinatensystem.

2. Schritt: Flächeninhalt berechnen:

Die Fläche wird vom Graphen von $f$ , der Asymptoten und den Geraden $x=0$ und $x=3$ eingeschlossen. Berechne deren Schnittstellen durch Gleichsetzen.

$\begin{array}{rlll} A&= \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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8.

1. Schritt: Graph zeichnen:

Der Graph von $f$ mit $f(x)=2-\mathrm e^x=-\mathrm e^x+2$ entsteht aus dem Graphen der $\mathrm e$ -Funktion durch Spiegelung an der $x$ -Achse und anschließende Verschiebung um $2\,$ LE nach oben.

Graph einer Funktion mit grünem Bereich und Achsenbeschriftungen.

2. Schritt: Flächeninhalt berechnen:

Die Fläche wird eingeschlossen vom Graphen von $f$ , der Geraden $y=2$ und der $y$ -Achse. Die untere Grenze des Integrals ist $a$ mit $a\lt 0$ .

$\begin{array}{rlll} A(a)&=\left|\displaystyle\int_{a}^{0}(2-f(x))\,\mathrm dx\right|\\[6pt] &=\left|\displaystyle\int_{a}^{0}(2-(2-\mathrm{e}^{x}))\,\mathrm dx\right|\\[6pt] &=\left|\displaystyle\int_{a}^{0}\mathrm{e}^{x}\,\mathrm dx\right|\\[6pt] &=\left[\mathrm{e}^{x}\right]_a^0=1-\mathrm{e}^{a} \end{array}$

Die Fläche reicht nach links ins Unendliche. Betrachte also $A(a)$ mit $a\to-\infty$ :

$A=\mathop {\lim }\limits_{z \to -\infty } A(z)= \mathop {\lim }\limits_{z \to -\infty } (1+\mathrm{e}^{z})\\=1$

Der Inhalt der Fläche nimmt einen endlichen Wert an.

9.

Stammfunktion bestimmen

Als allgemeine Gleichung

der Stammfunktion von $f$ erhältst du: $F(x)=\dfrac{1}{4}x^4-2x^2+c$ .

Der Graph von $F$ soll einen Tiefpunkt auf der $x$ -Achse besitzen. Berechne also die Extremstellen von $F$ . Diese sind

die Nullstellen von $f$ (da $F‘(x)=f(x)$ ).

$\begin{array}{rlll} f(x)&=x^3-4x=0\\[3pt] x(x^2-4)&=0\\[3pt] x_1&=0\\[3pt] x_{2,3}&=\pm2 \end{array}$

Das Einsetzen der Extremstellen in

$F‘‘(x)$ liefert:

$F‘‘(0)=-4$ $\quad\Rightarrow{ }Hochpunkt$ (0|0)

$F‘‘(-2)=8$ $\quad\Rightarrow{ }Tiefpunkt$ (-2|-4+c)

$F‘‘(2)=8$ $\quad\Rightarrow{ }Tiefpunkt$ (2|-4+c)

Der bzw. die Tiefpunkte liegen auf der

$x$ -Achse, wenn gilt:

$-4+c=0;\quad \rightarrow{ } \;\; c=4$

Die gesuchte Stammfunktion ist:

$F(x)=\dfrac{1}{4}x^4-2x^2+4$

10.

Für die Integralfunktion ergibt sich:

$\begin{array}{rlll} \displaystyle\int_{1}^{x}\left(t^3-3t+3\right)\,\mathrm dt&= \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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11.

Für die Integralfunktion ergibt sich:

$\begin{array}{rlll} \displaystyle\int_{0}^{x}\left(4\mathrm{e}^{-2t}+t\right)\,\mathrm dt&= \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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