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Inhaltsverzeichnis
Lernbereich Digitales Schulbuch
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Schaubilder von Funkt...
Ganzrationale Funktio...
Exponentialfunktionen
Gebrochenrationale Fu...
Logarithmusfunktionen
Wurzelfunktionen
Trigonometrische Funk...
Funktionsgleichungen ...
Kurve gegeben
Ganzrationale Funktio...
Gebrochenrationale Fu...
Exponentialfunktionen
Trigonometrische Funk...
Vermischte Aufgaben
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Ganzrationale Funktio...
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Tangente und Normale
Tangente
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Integralrechnung
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Flächeninhalt zwische...
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Vermischte Aufgaben
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Gebrochenrationale Fu...
Exponentialfunktionen
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Geraden
Geraden
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Ebenen im Raum
Ebenen in Körpern
Spurpunkte
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Gerade - Gerade
Gerade - Ebene
Ebene - Ebene
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Punkt - Gerade
Gerade - Gerade
Gerade - Ebene
Punkt - Ebene
Ebene - Ebene
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Zwischen Vektoren
Gerade - Gerade
Gerade - Ebene
Ebene - Ebene
Vermischte Aufgaben
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Vermischte Aufgaben
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Geordnete Stichprobe ...
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Binomialverteilung
Mit Formel und Tasche...
Mit Tabelle
Erwartungswert und St...
Konfidenzintervalle
Normalverteilung
Hypergeometrische Ver...
Signifikanztest
Einseitiger Test
Zweiseitiger Test

Vermischte Aufgaben

Aufgaben
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1.
Berechne die Integrale.
a)
$\displaystyle\int_{0}^{2} (3+\mathrm e^{2x})\,\mathrm dx$
b)
$\displaystyle\int_{0}^{1} \left[\dfrac{3}{2}\cdot(3x-2)^{5}\right]\,\mathrm dx$
c)
$\displaystyle\int_{-1}^{0} \left(\dfrac{4}{(2x+3)^{3}}\right)\,\mathrm dx$
d)
$\displaystyle\int_{0}^{2} \left(\dfrac{1}{4x+1}\right)\,\mathrm dx$
e)
$\displaystyle\int_{1}^{2} \left(4x^{2}-\dfrac{2}{3}x+4\right)\,\mathrm dx$
f)
$\displaystyle\int_{0}^{1} \left(\mathrm e^{2x}-2x+4\right)\,\mathrm dx$
g)
$\displaystyle\int_{0}^{2} \left(x+2+\mathrm e^{-2x}\right)\,\mathrm dx$
h)
$\displaystyle\int_{1}^{2} \left[2\cdot\left(5x-8\right)^{3}\right]\,\mathrm dx$
i)
$\displaystyle\int_{-1}^{0} \left(\dfrac{5}{\left(3x-1\right)^{2}}\right)\,\mathrm dx$
j)
$\displaystyle\int_{1}^{4} \left(\dfrac{2}{\sqrt{x}}\right)\,\mathrm dx$
2.
Die Parabel mit der Gleichung $f(x)=x^{2}+2x-3$ schließt gemeinsam mit der $x$-Achse eine Fläche vollständig ein.
Berechne den Inhalt dieser Fläche.
3.
Der Graph der Funktion $f$ mit $f(x)=-x^{2}+4x$, die $x$-Achse und die beiden Geraden $x=1$ und $x=3$ schließen eine Fläche vollständig ein.
Zeichne den Graphen dieser Funktion in ein Koordinatensystem und berechne den Inhalt der
eingeschlossenen Fläche.
4.
Finde für die Funktion $f$ eine mögliche Stammfunktion $F$.
a)
$f(x)=3x^{4}+\dfrac{1}{x^{2}}-\sin(2x)$
b)
$f(x)=\dfrac{1}{4}x^{2}-\mathrm e^{-2x+1}$
c)
$f(x)=12x^{5}-\dfrac{3}{2x^{2}}+12x$
d)
$f(x)=x^{4}-4\mathrm e^{2x+2}+\cos\left(\dfrac{1}{4}x+1\right)$
5.
Die Parabel mit der Gleichung $f(x)=x^2-x$ schließt zusammen mit der $x$-Achse und der Geraden $x=2$ eine Fläche ein. Diese Fläche ist in zwei Teilflächen unterteilt.
Berechne den Inhalt der Gesamtfläche.
6.
Die Parabel mit der Gleichung $f(x)=-x^2+8$ und die Gerade $g$, die parallel zur Tangente an $f$ an der Stelle $x=-1$ ist und durch den Ursprung geht, schließen eine Fläche vollständig ein.
Bestimme deren Flächeninhalt.
7.
Begründe, warum die Funktion $f$ mit $f(x)=2x+\mathrm{e}^{-2x}$ die Asymptote $y=2x$ besitzt.
Berechne den Inhalt der Fläche, die vom Graphen von $f$, dieser Asymptote und den Geraden $x=0$ und
$x=3$ eingeschlossen wird.
8.
Der Graph der Funktion $f$ mit $f(x)=2-\mathrm{e}^{x}$ schließt zusammen mit der Geraden $y=2$ und der $y$-Achse eine Fläche ein, die nach links ins Unendliche reicht.
Zeichne den Graphen von $f$ und die Gerade in ein gemeinsames Koordinatensystem und zeige, dass der
Inhalt der Fläche einen endlichen Wert annimmt.
9.
Bestimme diejenige Stammfunktion von $f$ mit $f(x)=x^3-4x$, deren
Schaubild den Tiefpunkt auf der $x$-Achse hat.
10.
Bestimme zu $f$ mit
$f(t)=t^3-3t+3$ die Integralfunktion $I$ mit $I(x)=\displaystyle\int_{1}^{x}f(t)\,\mathrm dt$.
11.
Bestimme zu $f$ mit $f(t)=4\mathrm{e}^{-2t}+t$ die Integralfunktion $I$ mit $I(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}f(t)\,\mathrm dt$.
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Lösungen
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1.
a)
$\begin{array}[t]{rlll} \displaystyle\int_{0}^{2}(3+\mathrm e^{2x})\,\mathrm dx&=\left[3x+\dfrac{1}{2}\mathrm e^{2x}\right]_{0}^{2} &\mid\;Stammfunktion\;bilden\\[6pt] &=\left(3\cdot2+\dfrac{1}{2}\mathrm e^{2\cdot2}\right)-\left(3\cdot0+\dfrac{1}{2}\mathrm e^{2\cdot0}\right) &\mid\;("oben\;minus\;unten")\\[6pt] &=\left(6+\dfrac{1}{2}\mathrm e^{4}\right)-\left(\dfrac{1}{2}\cdot1\right) &\mid\;(\mathrm e^{0}=1)\\[6pt] &=\dfrac{12}{2}+\dfrac{\mathrm e^{4}}{2}-\dfrac{1}{2}\\[6pt] \displaystyle\int_{0}^{2}(3+\mathrm e^{2x})\,\mathrm dx&=\dfrac{\mathrm e^{4}+11}{2} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rlll} \displaystyle\int_{0}^{2}(3+\mathrm e^{2x})\,\mathrm dx&= \end{array}$
b)
$\begin{array}[t]{rlll} \displaystyle\int_{0}^{1} \left[\dfrac{3}{2}\cdot(3x-2)^{5}\right]\,\mathrm dx&=\left[\dfrac{1}{12}\cdot(3x-2)^{6}\right]_{0}^{1} &\mid\;Stammfunktion\;bilden\\[6pt] &=\dfrac{1}{12}\left[(3x-2)^{6}\right]_{0}^{1}\\[6pt] &=\dfrac{1}{12}\left[(3\cdot1-2)^{6}-(3\cdot0-2)^{6}\right]&\mid\;("oben\;minus\;unten")\\[6pt] &=\dfrac{1}{12}[1-64]\\[6pt] &=\dfrac{-63}{12}\\[6pt] \displaystyle\int_{0}^{1} \left[\dfrac{3}{2}\cdot(3x-2)^{5}\right]\,\mathrm dx&=-\dfrac{21}{4} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rlll} \displaystyle\int_{0}^{1} \left[\dfrac{3}{2}\cdot(3x-2)^{5}\right]\,\mathrm dx&= \end{array}$
c)
$\begin{array}[t]{rlll} \displaystyle\int_{-1}^{0} \left(\dfrac{4}{(2x+3)^{3}}\right)\,\mathrm dx&=\left[-\dfrac{1}{(2x+3)^{2}}\right]_{-1}^{0} &\mid\;Stammfunktion\;bilden\\[6pt] &=\left(-\dfrac{1}{(2\cdot0+3)^{2}}\right)-\left(-\dfrac{1}{(2\cdot-1+3)^{2}}\right)&\mid\;("oben\;minus\;unten")\\[6pt] &=-\dfrac{1}{9}+1\\[6pt] \displaystyle\int_{-1}^{0} \left(\dfrac{4}{(2x+3)^{3}}\right)\,\mathrm dx&=\dfrac{8}{9} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rlll} \displaystyle\int_{-1}^{0} \left(\dfrac{4}{(2x+3)^{3}}\right)\,\mathrm dx&= \end{array}$
d)
$\begin{array}[t]{rlll} \displaystyle\int_{0}^{2} \left(\dfrac{1}{4x+1}\right)\,\mathrm dx&=\left[\dfrac{1}{4}\cdot \ln{(4x+1)}\right]_{0}^{2} &\mid\;Stammfunktion\;bilden\\[6pt] &=\dfrac{1}{4}\cdot \ln{(4\cdot2+1)}-\dfrac{1}{4}\cdot \ln{(4\cdot0+1)}&\mid\;("oben\;minus\;unten")\\[6pt] &=\dfrac{1}{4}\cdot \ln{(9)}-\dfrac{1}{4}\cdot \ln{(1)}\\[6pt] &=\dfrac{1}{4}\cdot \ln{(9)}-0 &\mid\;(\ln{(1)}=0)\\[6pt] \displaystyle\int_{0}^{2} \left(\dfrac{1}{4x+1}\right)\,\mathrm dx&=\dfrac{\ln{(9)}}{4}=\dfrac{2\ln{(3)}}{4}=\dfrac{\ln{(3)}}{2} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rlll} \displaystyle\int_{0}^{2} \left(\dfrac{1}{4x+1}\right)\,\mathrm dx&= \end{array}$
e)
$\begin{array}[t]{rlll} &&\displaystyle\int_{1}^{2} \left(4x^{2}-\dfrac{2}{3}x+4\right)\,\mathrm dx\\ &=&\left[\dfrac{4}{3}x^{3}-\dfrac{1}{3}x^{2}+4x\right]_{1}^{2} &\mid\;Stammfunktion\;bilden\\[6pt] &=&\left(\dfrac{4}{3}\cdot2^{3}-\dfrac{1}{3}\cdot2^{2}+4\cdot2\right)-\left(\dfrac{4}{3}\cdot1^{3}-\dfrac{1}{3}\cdot1^{2}+4\cdot1\right) &\mid\;("oben\;minus\;unten")\\[6pt] &=&\dfrac{52}{3}-\dfrac{15}{3}\\[6pt] &=&\dfrac{37}{3} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rlll} \displaystyle\int_{1}^{2} \left(4x^{2}-\dfrac{2}{3}x+4\right)\,\mathrm dx& = \end{array}$
f)
$\begin{array}[t]{rlll} &&\displaystyle\int_{0}^{1} \left(\mathrm e^{2x}-2x+4\right)\,\mathrm dx\\ &=&\left[\dfrac{1}{2}\mathrm e^{2x}-x^{2}+4x\right]_{0}^{1} &\mid\;Stammfunktion\;bilden\\[6pt] &=&\left(\dfrac{1}{2}\mathrm e^{2\cdot1}-1^{2}+4\cdot1\right)-\left(\dfrac{1}{2}\mathrm e^{2\cdot0}-0^{2}+4\cdot0\right) &\mid\;("oben\;minus\;unten")\\[6pt] &=&\left(\dfrac{\mathrm e^{2}}{2}+3\right)-\left(\dfrac{1}{2}\mathrm e^{0}\right)\\[6pt] &=&\dfrac{\mathrm e^{2}}{2}+3-\dfrac{1}{2}&\mid\;(\mathrm e^{0}=1)\\[6pt] &=&\dfrac{\mathrm e^{2}}{2}+\dfrac{5}{2} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rlll} \displaystyle\int_{0}^{1} \left(\mathrm e^{2x}-2x+4\right)\,\mathrm dx&= \end{array}$
g)
$\begin{array}[t]{rlll} &&\displaystyle\int_{0}^{2} \left(x+2+\mathrm e^{-2x}\right)\,\mathrm dx\\ &=&\left[\dfrac{1}{2}x^{2}+2x-\dfrac{1}{2\mathrm e^{2x}}\right]_{0}^{2} &\mid\;Stammfunktion\;bilden\\[6pt] &=&\left(\dfrac{1}{2}\cdot2^{2}+2\cdot2-\dfrac{1}{2\mathrm e^{2\cdot2}}\right)-\left(\dfrac{1}{2}\cdot0^{2}+2\cdot0-\dfrac{1}{2\mathrm e^{2\cdot0}}\right) &\mid\;("oben\;minus\;unten")\\[6pt] &=&\left(6-\dfrac{1}{2\mathrm e^{4}}\right)-\left(-\dfrac{1}{2}\right)&\mid\;(\mathrm e^{0}=1)\\[6pt] &=&\dfrac{13}{2}-\dfrac{1}{2\mathrm e^{4}} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rlll} \displaystyle\int_{0}^{2} \left(x+2+\mathrm e^{-2x}\right)\,\mathrm dx&= \end{array}$
h)
$\begin{array}[t]{rlll} &&\displaystyle\int_{1}^{2} \left[2\cdot\left(5x-8\right)^{3}\right]\,\mathrm dx\\ &=&\left[\dfrac{1}{10}\cdot(5x-8)^{4}\right]_{1}^{2} &\mid\;Stammfunktion\;bilden\\[6pt] &=&\left(\dfrac{1}{10}\cdot(5\cdot2-8)^{4}\right)-\left(\dfrac{1}{10}\cdot(5\cdot1-8)^{4}\right) &\mid\;("oben\;minus\;unten")\\[6pt] &=&\dfrac{1}{10}(16-81)\\[6pt] &=-6,5 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rlll} \displaystyle\int_{1}^{2} \left[2\cdot\left(5x-8\right)^{3}\right]\,\mathrm dx&= \end{array}$
i)
$\begin{array}[t]{rlll} &&\displaystyle\int_{-1}^{0} \left(\dfrac{5}{\left(3x-1\right)^{2}}\right)\,\mathrm dx\\ &=&\left[-\dfrac{5}{3}\cdot\dfrac{1}{3x-1}\right]_{-1}^{0} &\mid\;Stammfunktion\;bilden\\[6pt] &=&\left(-\dfrac{5}{3}\cdot\dfrac{1}{3\cdot0-1}\right)-\left(-\dfrac{5}{3}\cdot\dfrac{1}{3\cdot(-1)-1}\right) &\mid\;("oben\;minus\;unten")\\[6pt] &=&\dfrac{5}{3}-\dfrac{5}{12}\\[6pt] &=&\dfrac{5}{4} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rlll} \displaystyle\int_{-1}^{0} \left(\dfrac{5}{\left(3x-1\right)^{2}}\right)\,\mathrm dx&= \end{array}$
j)
$\begin{array}[t]{rlll} \displaystyle\int_{1}^{4} \left(\dfrac{2}{\sqrt{x}}\right)\,\mathrm dx&=\left[4\cdot\sqrt{x}\right]_{1}^{4} &\mid\;Stammfunktion\;bilden\\[6pt] &=\left(4\cdot\sqrt{4}\right)-\left(4\cdot\sqrt{1}\right)&\mid\;("oben\;minus\;unten")\\[6pt] &=8-4\\[6pt] \displaystyle\int_{1}^{4} \left(\dfrac{2}{\sqrt{x}}\right)\,\mathrm dx&=4 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rlll} \displaystyle\int_{1}^{4} \left(\dfrac{2}{\sqrt{x}}\right)\,\mathrm dx&= \end{array}$
2.
1. Schritt: Grenzen des Integrals berechnen:
Die Fläche wird vom Graphen von $f$
und der $x$-Achse vollständig eingeschlossen. Die Grenzen des Integrals sind also die Nullstellen der Funktion $f$.
$\begin{array}{rlll} 0&=x^{2}+2x-3&\mid\;p-q-Formel\\[5pt] x_{1/2}&=-\dfrac{2}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{2}{2}\right)^{2}+3}\\[5pt] &=-1\pm\sqrt{4}\\[5pt] &=-1\pm2\\[5pt] x_{1}&=1\\[5pt] x_{2}&=-3 \end{array}$
$\begin{array}{rlll} 0&=x^{2}+2x-3\\ x_{1}&=1\\[5pt] x_{2}&=-3 \end{array}$
2. Schritt: Flächeninhalt berechnen:
$\begin{array}{rlll} A&=\left|\displaystyle\int_{-3}^{1}\left(x^{2}+2x-3\right)\,\mathrm dx\right|\\[6pt] &=\left|\left[\dfrac{1}{3}x^3+x^{2}-3x\right]_{-3}^{1}\right|\\[6pt] &=\left|\left(\dfrac{1}{3}\cdot1^3+1^{2}-3\cdot1\right)-\left(\dfrac{1}{3}\cdot(-3)^3+(-3)^{2}-3\cdot(-3)\right)\right|\\[6pt] &=\left|\left(-\dfrac{5}{3}\right)-\left(-9+9+9\right)\right|\\[6pt] &=\left|-\dfrac{5}{3}-9\right|\\[6pt] A&=\dfrac{32}{3}\,FE \end{array}$
$\begin{array}{rlll} A&=\left|\displaystyle\int_{-3}^{1}\left(x^{2}+2x-3\right)\,\mathrm dx\right|\\[6pt] A&=\dfrac{32}{3}\,FE \end{array}$
3.
1. Schritt: Besondere Punkte des Graphen berechnen:
Teil der Aufgabe ist es, den Graphen von
$f$ zu zeichnen. Untersuche also zunächst die Funktion $f$ auf Nullstellen und Extremstellen.
Nullstellen bestimmen:
$\begin{array}{rlll} 0&=-x^{2}+4x\\[3pt] &=-x\cdot(x-4)&\mid\;Ein\;Produkt\;ist\;Null,\;wenn\;einer\;seiner\;Faktoren\;Null\;ist\\[3pt] x_{1}&=0;\;x_{2}=4 \end{array}$
$\begin{array}{rlll} 0&=-x^{2}+4x\\[3pt] \end{array}$
Extremstellen bestimmen:
Die ersten zwei Ableitungen der Funktion
$f$ haben die Gleichungen
$f'(x)=-2x+4$ und $f''(x)=-2$. Aus dem notwendigen Kriterium für
Extremstellen folgt:
$f'(x)=0\;\Leftrightarrow\;-2x+4=0\\\Leftrightarrow\;x=2$
Mit $f''(2)=-2<0$ ist das
hinreichende Kriterium für ein Maximum erfüllt. Berechne die zugehörige
$y$-Koordinate:
$f(2)=-2^2+4\cdot2=-4+8=4$.
Der Graph von $f$ besitzt den Hochpunkt $H\left(2\mid4\right)$.
Graph skizzieren:
Integralrechnung: Vermischte Aufgaben
Integralrechnung: Vermischte Aufgaben
2. Schritt: Flächeninhalt berechnen:
$\begin{array}{rlll} A&=\left|\displaystyle\int_{1}^{3}(-x^{2}+4x)\,\mathrm dx\right|\\[6pt] &=\left|\left[-\dfrac{1}{3}x^{3}+2x^{2}\right]_{1}^{3}\right|\\[6pt] &=\left|\left(-\dfrac{1}{3}\cdot3^{3}+2\cdot3^{2}\right)-\left(-\dfrac{1}{3}\cdot1^{3}+2\cdot1^{2}\right)\right|\\[6pt] &=\left|(-9+18)-(-\dfrac{1}{3}+2)\right|\\[6pt] A&=\dfrac{22}{3}\,FE \end{array}$
$\begin{array}{rlll} A&=\left|\displaystyle\int_{1}^{3}(-x^{2}+4x)\,\mathrm dx\right|\\[6pt] A&=\dfrac{22}{3}\,FE \end{array}$
4.
a)
$\begin{array}[t]{rlll} f(x)&=3x^{4}+\dfrac{1}{x^{2}}-\sin(2x)\\[5pt] F(x)&=\dfrac{3}{5}x^{5}-\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2}\cos(2x) \end{array}$
b)
$\begin{array}[t]{rlll} f(x)&=\dfrac{1}{4}x^{2}-\mathrm e^{-2x+1}\\[5pt] F(x)&=\dfrac{1}{12}x^{3}+\dfrac{1}{2}\mathrm e^{-2x+1} \end{array}$
c)
$\begin{array}[t]{rlll} f(x)&=12x^{5}-\dfrac{3}{2x^{2}}+12x\\[5pt] F(x)&=2x^{6}+\dfrac{3}{2x}+6x^2 \end{array}$
d)
$\begin{array}[t]{rlll} f(x)&=x^{4}-4\mathrm e^{2x+2} \\&+\cos\left(\dfrac{1}{4}x+1\right)\\[5pt] F(x)&=\dfrac{1}{5}x^{5}-2\mathrm e^{2x+2}+ \\&4\cdot\sin\left(\dfrac{1}{4}x+1\right) \end{array}$
5.
1. Schritt: Grenzen des Integrals berechnen:
Die Fläche wird vom Graphen von $f$
und der $x$-Achse vollständig eingeschlossen. Die Grenzen des Integrals sind also die Nullstellen der Funktion $f$.
$\begin{array}{llllllll} x^2-x&=0\\[3pt] x(x-1)&=0\\[3pt] x_1&=0\\[3pt] x_2&=1 \end{array}$
Integralrechnung: Vermischte Aufgaben
Integralrechnung: Vermischte Aufgaben
2. Schritt: Flächeninhalt berechnen:
$\begin{array}{llllllll} A_1&=\left|\displaystyle\int_{0}^{1}(x^2-x)\,\mathrm dx\right|\\[6pt] &=\left|\left[\dfrac{1}{3}x^3-\dfrac{1}{2}x^2\right]_{0}^{1}\right|\\[6pt] &=\left|\left[\dfrac{1}{3}1^3-\dfrac{1}{2}1^2-\left(\dfrac{1}{3}0^3-\dfrac{1}{2}0^2\right)\right]\right|\\[6pt] &=\dfrac{1}{6}\,FE\\[6pt] \end{array}$
$\begin{array}{llllllll} A_1&=\left|\displaystyle\int_{0}^{1}(x^2-x)\,\mathrm dx\right|\\[6pt] &=\dfrac{1}{6}\,FE\\[6pt] \end{array}$
$\begin{array}{llllllll} A_2&=\left|\displaystyle\int_{1}^{2}(x^2-x)\,\mathrm dx\right|\\[6pt] &=\left|\left[\dfrac{1}{3}x^3-\dfrac{1}{2}x^2\right]_{1}^{2}\right|\\[6pt] &=\left|\left[\dfrac{1}{3}2^3-\dfrac{1}{2}2^2-\left(\dfrac{1}{3}1^3-\dfrac{1}{2}1^2\right)\right]\right|\\[6pt] &=\dfrac{5}{6}\,FE \end{array}$
$\begin{array}{llllllll} A_2&=\left|\displaystyle\int_{1}^{2}(x^2-x)\,\mathrm dx\right|\\[6pt] &=\dfrac{5}{6}\,FE \end{array}$
Die Gesamtfläche beträgt somit:
$A_{\text{Gesamt}}=A_1+A_2=\dfrac{1}{6}+\dfrac{5}{6}=1\,$FE
6.
1. Schritt: Funktionsgleichung der Parabel bestimmen:
Die Gerade $g$ verläuft parallel zur Tangenten, die den Graphen von $f$ an der Stelle $x=-1$ berührt.
Parallele Geraden besitzen die gleiche Steigung. Bestimme also die Steigung der Tangenten mit der ersten Ableitung:
$\begin{array}{rlll} f(x)&=-x^2+8\\[3pt] f'(x)&=-2x\\[3pt] f'(-1)&=2=m \end{array}$
Die Gerade $g$ verläuft durch den
Ursprung und hat damit die Funktionsgleichung $g(x)=2x$.
Integralrechnung: Vermischte Aufgaben
Integralrechnung: Vermischte Aufgaben
2. Schritt: Flächeninhalt berechnen:
Die Fläche wird vom Graphen von $f$ und
der Geraden vollständig eingeschlossen. Berechne deren Schnittstellen durch Gleichsetzen.
$\begin{array}{rlll} -x^2+8&=2x&\mid\;-2x\\[3pt] -x^2-2x+8&=0&\mid\;\cdot(-1)\\[3pt] x^2+2x-8&=0\\[3pt] x_{1,2}&=-\dfrac{2}{2}\pm\sqrt{1-(-8)}\\[3pt] x_{1}&=-1+3=2\\[3pt] x_{2}&=-1-3=-4 \end{array}$
$\begin{array}{rlll} -x^2+8&=2x\\ x_{1}&=2\\[3pt] x_{2}&=-4 \end{array}$
Für den Inhalt der Fläche gilt dann:
$\begin{array}{rlll} A_{\text{Ges.}}&=\left|\displaystyle\int_{-4}^{2}\left[f(x)-g(x)\right]\,\mathrm dx\right|\\[6pt] &=\left|\displaystyle\int_{-4}^{2}\left(-x^2+8-2x\right)\,\mathrm dx\right|\\[6pt] &=\left|\left[-\dfrac{1}{3}x^3-x^2+8x\right]_{-4}^{2}\right|\\[6pt] &=\left|\left[-\dfrac{1}{3}2^3-2^2+8\cdot2-\left(-\dfrac{1}{3}(-4)^3-(-4)^2+8\cdot(-4)\right)\right]\right|\\[6pt] &=36\,FE \end{array}$
$\begin{array}{rlll} A_{\text{Ges.}}&=\left|\displaystyle\int_{-4}^{2}\left[f(x)-g(x)\right]\,\mathrm dx\right|\\[6pt] &=36\,FE \end{array}$
7.
1. Schritt: Gleichung der Asymptote begründen:
Das Schaubild der Funktion $f$ mit $f(x)=2x+\mathrm{e}^{-2x}$ hat die Gerade
$y=2x$ als Asymptote, da für $x\rightarrow{ }\infty$
gilt:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \mathrm{e}^{-2x}=0$
Daher gilt: $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f(x)=2x$.
Die Gerade $y=2x$ ist somit Asymptote.
Integralrechnung: Vermischte Aufgaben
Integralrechnung: Vermischte Aufgaben
2. Schritt: Flächeninhalt berechnen:
Die Fläche wird vom Graphen von $f$, der Asymptoten und den Geraden $x=0$ und $x=3$ eingeschlossen. Berechne deren Schnittstellen durch Gleichsetzen.
$\begin{array}{rlll} A&=\left|\displaystyle\int_{0}^{3}(f(x)-2x)\,\mathrm dx=\displaystyle\int_{0}^{3}\mathrm{e}^{-2x}\;dx\right|\\ &=\left|\left[-\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{-2x}\right]_0^3\right|\\ &=\left|-\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{-6}-(-\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{0})\right|\\ &=\left|-\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{-6}+\dfrac{1}{2}\right|\\ &=\dfrac{1}{2}\left(1-\mathrm{e}^{-6}\right)\,FE \end{array}$
$\begin{array}{rlll} A&= \end{array}$
8.
1. Schritt: Graph zeichnen:
Der Graph von $f$ mit $f(x)=2-\mathrm e^x=-\mathrm e^x+2$ entsteht aus dem Graphen der $\mathrm e$-Funktion durch Spiegelung an der $x$-Achse und anschließende Verschiebung um $2\,$LE nach oben.
Integralrechnung: Vermischte Aufgaben
Integralrechnung: Vermischte Aufgaben
2. Schritt: Flächeninhalt berechnen:
Die Fläche wird eingeschlossen vom Graphen von $f$, der Geraden $y=2$ und der $y$-Achse. Die untere Grenze des Integrals ist $a$ mit $a<0$.
$\begin{array}{rlll} A(a)&=\left|\displaystyle\int_{a}^{0}(2-f(x))\,\mathrm dx\right|\\[6pt] &=\left|\displaystyle\int_{a}^{0}(2-(2-\mathrm{e}^{x}))\,\mathrm dx\right|\\[6pt] &=\left|\displaystyle\int_{a}^{0}\mathrm{e}^{x}\,\mathrm dx\right|\\[6pt] &=\left[\mathrm{e}^{x}\right]_a^0=1-\mathrm{e}^{a} \end{array}$
Die Fläche reicht nach links ins Unendliche. Betrachte also $A(a)$ mit $a\to-\infty$:
$A=\mathop {\lim }\limits_{z \to -\infty } A(z)= \mathop {\lim }\limits_{z \to -\infty } (1+\mathrm{e}^{z})\\=1$
Der Inhalt der Fläche nimmt einen endlichen Wert an.
9.
Stammfunktion bestimmen
Als allgemeine Gleichung
der Stammfunktion von $f$ erhältst du: $F(x)=\dfrac{1}{4}x^4-2x^2+c$.
Der Graph von $F$ soll einen Tiefpunkt auf der $x$-Achse besitzen. Berechne also die Extremstellen von $F$. Diese sind
die Nullstellen von $f$ (da $F'(x)=f(x)$).
$\begin{array}{rlll} f(x)&=x^3-4x=0\\[3pt] x(x^2-4)&=0\\[3pt] x_1&=0\\[3pt] x_{2,3}&=\pm2 \end{array}$
Das Einsetzen der Extremstellen in
$F''(x)$ liefert:
$F''(0)=-4$ $\quad\Rightarrow{ }Hochpunkt $(0|0)
$F''(-2)=8$ $\quad\Rightarrow{ }Tiefpunkt $(-2|-4+c)
$F''(2)=8$ $\quad\Rightarrow{ }Tiefpunkt $(2|-4+c)
Der bzw. die Tiefpunkte liegen auf der
$x$-Achse, wenn gilt:
$-4+c=0;\quad \rightarrow{ } \;\; c=4$
Die gesuchte Stammfunktion ist:
$F(x)=\dfrac{1}{4}x^4-2x^2+4$
10.
Für die Integralfunktion ergibt sich:
$\begin{array}{rlll} \displaystyle\int_{1}^{x}\left(t^3-3t+3\right)\,\mathrm dt&=\left[\dfrac{1}{4}t^4-\dfrac{3}{2}t^2+3t\right]_1^x\\[6pt] &=\dfrac{1}{4}x^4-\dfrac{3}{2}x^2+3x-\left(\dfrac{1}{4}\cdot1^4-\dfrac{3}{2}\cdot1^2+3\cdot1\right)\\[6pt] &=\dfrac{1}{4}x^4-\dfrac{3}{2}x^2+3x-\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{2}-3\\[6pt] &=\dfrac{1}{4}x^4-\dfrac{3}{2}x^2+3x-\dfrac{7}{4} \end{array}$
$\begin{array}{rlll} \displaystyle\int_{1}^{x}\left(t^3-3t+3\right)\,\mathrm dt&= \end{array}$
11.
Für die Integralfunktion ergibt sich:
$\begin{array}{rlll} \displaystyle\int_{0}^{x}\left(4\mathrm{e}^{-2t}+t\right)\,\mathrm dt&=\left[4\cdot(-\dfrac{1}{2})\cdot\mathrm{e}^{-2t}+\dfrac{1}{2}t^2\right]_0^x\\[6pt] &=-2\cdot\mathrm{e}^{-2x}+\dfrac{1}{2}x^2-\left(4\cdot(-\dfrac{1}{2})\cdot\mathrm{e}^{0}+\dfrac{1}{2}\cdot0^2\right)\\[6pt] &=-2\cdot\mathrm{e}^{-2x}+\dfrac{1}{2}x^2 +2 \end{array}$
$\begin{array}{rlll} \displaystyle\int_{0}^{x}\left(4\mathrm{e}^{-2t}+t\right)\,\mathrm dt&= \end{array}$
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