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1.
Berechne die Integrale.
a)
$\displaystyle\int_{0}^{2} (3+\mathrm e^{2x})\,\mathrm dx$
b)
$\displaystyle\int_{0}^{1} \left[\dfrac{3}{2}\cdot(3x-2)^{5}\right]\,\mathrm dx$
c)
$\displaystyle\int_{-1}^{0} \left(\dfrac{4}{(2x+3)^{3}}\right)\,\mathrm dx$
d)
$\displaystyle\int_{0}^{2} \left(\dfrac{1}{4x+1}\right)\,\mathrm dx$
e)
$\displaystyle\int_{1}^{2} \left(4x^{2}-\dfrac{2}{3}x+4\right)\,\mathrm dx$
f)
$\displaystyle\int_{0}^{1} \left(\mathrm e^{2x}-2x+4\right)\,\mathrm dx$
g)
$\displaystyle\int_{0}^{2} \left(x+2+\mathrm e^{-2x}\right)\,\mathrm dx$
h)
$\displaystyle\int_{1}^{2} \left[2\cdot\left(5x-8\right)^{3}\right]\,\mathrm dx$
i)
$\displaystyle\int_{-1}^{0} \left(\dfrac{5}{\left(3x-1\right)^{2}}\right)\,\mathrm dx$
j)
$\displaystyle\int_{1}^{4} \left(\dfrac{2}{\sqrt{x}}\right)\,\mathrm dx$
2.
Die Parabel mit der Gleichung $f(x)=x^{2}+2x-3$ schließt gemeinsam mit der $x$-Achse eine Fläche vollständig ein.
Berechne den Inhalt dieser Fläche.
3.
Der Graph der Funktion $f$ mit $f(x)=-x^{2}+4x$, die $x$-Achse und die beiden Geraden $x=1$ und $x=3$ schließen eine Fläche vollständig ein.
Zeichne den Graphen dieser Funktion in ein Koordinatensystem und berechne den Inhalt der
eingeschlossenen Fläche.
4.
Finde für die Funktion $f$ eine mögliche Stammfunktion $F$.
a)
$f(x)=3x^{4}+\dfrac{1}{x^{2}}-\sin(2x)$
b)
$f(x)=\dfrac{1}{4}x^{2}-\mathrm e^{-2x+1}$
c)
$f(x)=12x^{5}-\dfrac{3}{2x^{2}}+12x$
d)
$f(x)=x^{4}-4\mathrm e^{2x+2}+\cos\left(\dfrac{1}{4}x+1\right)$
5.
Die Parabel mit der Gleichung $f(x)=x^2-x$ schließt zusammen mit der $x$-Achse und der Geraden $x=2$ eine Fläche ein. Diese Fläche ist in zwei Teilflächen unterteilt.
Berechne den Inhalt der Gesamtfläche.
6.
Die Parabel mit der Gleichung $f(x)=-x^2+8$ und die Gerade $g$, die parallel zur Tangente an $f$ an der Stelle $x=-1$ ist und durch den Ursprung geht, schließen eine Fläche vollständig ein.
Bestimme deren Flächeninhalt.
7.
Begründe, warum die Funktion $f$ mit $f(x)=2x+\mathrm{e}^{-2x}$ die Asymptote $y=2x$ besitzt.
Berechne den Inhalt der Fläche, die vom Graphen von $f$, dieser Asymptote und den Geraden $x=0$ und
$x=3$ eingeschlossen wird.
8.
Der Graph der Funktion $f$ mit $f(x)=2-\mathrm{e}^{x}$ schließt zusammen mit der Geraden $y=2$ und der $y$-Achse eine Fläche ein, die nach links ins Unendliche reicht.
Zeichne den Graphen von $f$ und die Gerade in ein gemeinsames Koordinatensystem und zeige, dass der
Inhalt der Fläche einen endlichen Wert annimmt.
9.
Bestimme diejenige Stammfunktion von $f$ mit $f(x)=x^3-4x$, deren
Schaubild den Tiefpunkt auf der $x$-Achse hat.
10.
Bestimme zu $f$ mit
$f(t)=t^3-3t+3$ die Integralfunktion $I$ mit $I(x)=\displaystyle\int_{1}^{x}f(t)\,\mathrm dt$.
11.
Bestimme zu $f$ mit $f(t)=4\mathrm{e}^{-2t}+t$ die Integralfunktion $I$ mit $I(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}f(t)\,\mathrm dt$.
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