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Länge eines Vektors

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Die Länge bzw. der Betrag eines Vektors im dreidimensionalen Raum entspricht der Länge der Strecke, die dieser zurücklegt und wird folgendermaßen bestimmt:
$\mid \overrightarrow{a} \mid = \left| \begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix} \right| = \sqrt{(a_1)^2+(a_2)^2+(a_3)^2}$
$\mid \overrightarrow{a} \mid $=$ \left| \begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix} \right| $=$ \sqrt{(a_1)^2+(a_2)^2+(a_3)^2}$
Ein Vektor der Länge $1$ heißt Einheitsvektor. Du kannst den Einheitsvektor $\overrightarrow{a_0}$ eines beliebigen Vektors $\overrightarrow{a}$ durch Normieren erhalten. Dieser behält dann die Richtung und ändert lediglich die Länge.
$\mid \overrightarrow{a_0} \mid = \left|\dfrac{\overrightarrow{a}}{\mid \overrightarrow{a} \mid}\right| =1$
$\mid \overrightarrow{a_0} \mid $=$ \left|\dfrac{\overrightarrow{a}}{\mid \overrightarrow{a} \mid} \right|$=$1$

Beispiel

Bestimme die Länge des Vektors $\overrightarrow{a}=\begin{pmatrix}3\\0\\-4 \end{pmatrix}$.
$\mid \overrightarrow{a} \mid$=$\left| \begin{pmatrix}3\\0\\-4 \end{pmatrix} \right| $ = $ \sqrt{(3)^2+(0)^2+(-4)^2} $ = $ \sqrt{9+0+16}=\sqrt{25}=5 $
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{a}$ beträgt $5$ LE.
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