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Quotientenregel

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Die Quotientenregel kannst du anwenden, um Funktionen abzuleiten, die sich als Quotient zweier Funkionsterme zusammensetzen.
$f(x) = \dfrac{u(x)}{v(x)} \quad \Rightarrow\quad f'(x)= \dfrac{u'(x)\cdot v(x) - u(x)\cdot v'(x)}{\left(v(x)\right)^2}$
$f(x) = \dfrac{u(x)}{v(x)}$

Beispiel

Die Funktion $f(x) = \dfrac{x^4+2}{x^3}$ kannst du mit Hilfe der Quotientenregel ableiten.
Schreibe dir am besten am Anfang einer solchen Aufgabe zuerst $u(x)$, $v(x)$, $u'(x)$ und $v'(x)$ auf, um diese nicht zu vertauschen. Wegen des „-“ ist es hier wichtig auf die Reihenfolge zu achten.
$u(x) = x^4+2$
$v(x) = x^3$
$u'(x) = 4x^3$
$v'(x) = 3x^2$
$\Rightarrow f'(x) = \dfrac{4x^3\cdot x^3 - \left(x^4+2\right)\cdot 3x^2}{\left(x^3\right)^2} $ $= \dfrac{4x^6- \left(3x^6+6x^2\right)}{x^6}$$=\dfrac{x^6-6x^2}{x^6}$$=\dfrac{x^4-6}{x^4}$
$\Rightarrow$ $f(x)$ = $\dfrac{4x^3\cdot x^3 - \left(x^4+2\right)\cdot 3x^2}{\left(x^3\right)^2} $
= $\dfrac{4x^6- \left(3x^6+6x^2\right)}{x^6}$
= $\dfrac{x^6-6x^2}{x^6}$
= $\dfrac{x^4-6}{x^4}$
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