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Ableitung gegeben

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Mit Hilfe der ersten Ableitung $f'$ einer Funktion $f$, kannst du Aussagen über die Eigenschaften des Graphen von $f$ machen.
Steigung
Die Steigung des Graphen der Funktion $f$ im Punkt $x$ entspricht dem Funktionswert der ersten Ableitung im Punkt $x$.
Extremstellen/Sattelpunkte
Die Nullstellen der ersten Ableitungen sind Extremstellen/Sattelpunkte des Graphen von $f$.
Wendepunkte
Hat die erste Ableitung eine Extremstelle, so hat die Funktion $f$ an dieser Stelle einen Wendepunkt.
Monotonie
  • $f$ monoton wachsend: $f'(x)\geq0$ (streng monoton, wenn $f'(x)>0$)
  • $f$ monoton fallend: $f'(x)\leq0$ (streng monoton, wenn $f'(x)<0$).

Beispiel

Die Ableitung von $f$ entspricht dem Graphen im folgenden Schaubild:
  • Extremstellen/Sattelpunkte:
    • NS bei $x=-2$ $\rightarrow$ der Graph von $f$ hat an der Stelle $x=-2$ einen Tiefpunkt (Vorzeichenwechsel von minus nach plus)
    • Doppelte NS bei $x=0$ $\rightarrow$ der Graph von $f$ hat einen Sattelpunkt an der Stelle $x=0$ (kein Vorzeichenwechsel)
  • Wendepunkte:
    • Hochpunkt bei $x=-1,4 \rightarrow$ der Graph von $f$ hat an der Stelle $x=-1,4$ einen Wendepunkt
    • Tiefpunkt bei $x=0 \rightarrow$ der Graph von $f$ hat an der Stelle $x=0$ einen Wendepunkt
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