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Ableitung gegeben

Spickzettel
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Mit Hilfe der ersten Ableitung $f'$ einer Funktion $f$, kannst du Aussagen über die Eigenschaften des Graphen von $f$ machen.
Steigung
Die Steigung des Graphen der Funktion $f$ im Punkt $x$ entspricht dem Funktionswert der ersten Ableitung im Punkt $x$.
Extremstellen/Sattelpunkte
Die Nullstellen der ersten Ableitungen sind Extremstellen/Sattelpunkte des Graphen von $f$.
Wendepunkte
Hat die erste Ableitung eine Extremstelle, so hat die Funktion $f$ an dieser Stelle einen Wendepunkt.
Monotonie
  • $f$ monoton wachsend: $f'(x)\geq0$ (streng monoton, wenn $f'(x)>0$)
  • $f$ monoton fallend: $f'(x)\leq0$ (streng monoton, wenn $f'(x)<0$).

Beispiel

Die Ableitung von $f$ entspricht dem Graphen im folgenden Schaubild:
Eigenschaften von Kurven: Ableitung gegeben
Eigenschaften von Kurven: Ableitung gegeben
  • Extremstellen/Sattelpunkte:
    • Nullstelle bei $x=-2$ $\rightarrow$ der Graph von $f$ hat an der Stelle $x=-2$ einen Tiefpunkt (Vorzeichenwechsel von minus nach plus)
    • Doppelte Nullstelle bei $x=0$ $\rightarrow$ der Graph von $f$ hat einen Sattelpunkt an der Stelle $x=0$ (kein Vorzeichenwechsel)
  • Wendepunkte:
    • Hochpunkt bei $x=-1,4 \rightarrow$ der Graph von $f$ hat an der Stelle $x=-1,4$ einen Wendepunkt
    • Tiefpunkt bei $x=0 \rightarrow$ der Graph von $f$ hat an der Stelle $x=0$ einen Wendepunkt
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Aufgaben
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1.
Gegeben ist die Ableitungsfunktion $f'$ der Funktion $f$.
Sind die folgenden Aussagen wahr, falsch oder nicht entscheidbar?
Begründe deine Entscheidung.
a)
Eigenschaften von Kurven: Ableitung gegeben
Eigenschaften von Kurven: Ableitung gegeben
(1)
An der Stelle $x=1$ besitzt $f$ einen Tiefpunkt.
(2)
Die Funktion $f$ besitzt mindestens einen Wendepunkt.
(3)
Für $x<1$ ist $f$ streng monoton fallend.
(4)
Die Funktion $f$ weist drei Nullstellen auf.
b)
Eigenschaften von Kurven: Ableitung gegeben
Eigenschaften von Kurven: Ableitung gegeben
(1)
An der Stelle $x=1$ besitzt $f$ einen Wendepunkt.
(2)
$f$ ist für $x>0$ streng monoton steigend.
(3)
Die Steigung von $f$ an der Stelle $x=0$ beträgt $1$.

(4)
Bei $x \approx 2$ besitzt das Schaubild von $f$ eine Tangente, die parallel oder identisch zu $y=-3$ ist.
2.
Gegeben ist der Graph der ersten Ableitungsfunktion einer Funktion $f$.
Sind die folgenden Aussagen wahr, falsch oder nicht entscheidbar?
Begründe deine Entscheidung.
a)
Eigenschaften von Kurven: Ableitung gegeben
Eigenschaften von Kurven: Ableitung gegeben
(1)
An der Stelle $x=1$ besitzt $f$ einen Tiefpunkt.
(2)
Die Funktion $f$ besitzt mindestens einen Wendepunkt.
(3)
Für $-4<x<-1,5$ ist $f$ ist streng monoton fallend.
(4)
Für $x>0$ ist $f$ streng monoton fallend.
(5)
Die Funktion $f$ ist symmetrisch zur y-Achse.
b)
Eigenschaften von Kurven: Ableitung gegeben
Eigenschaften von Kurven: Ableitung gegeben
(1)  $f$ besitzt keinen Wendepunkt.
(2)  An der Stelle $x=0$ besitzt $f$ einen Hochpunkt.
(3)  Für $0<x<3$ ist $f$ monoton steigend.
(4)  $f$ besitzt Nullstellen.
c)
Eigenschaften von Kurven: Ableitung gegeben
Eigenschaften von Kurven: Ableitung gegeben
(1)
$f$ ist für $x<-0,5$ streng monoton fallend.
(2)
An der Stelle $x=1$ besitzt $f$ einen Hochpunkt.
(3)
Für $0<x<4$ ist $f$ streng monoton fallend.
(4)
$f$ besitzt einen Wendepunkt.
(5)
$f$ ist symmetrisch zum Punkt $P(0|-1)$.
d)
Eigenschaften von Kurven: Ableitung gegeben
Eigenschaften von Kurven: Ableitung gegeben
(1)
$f$ ist für $x>0$ streng monoton steigend.
(2)
An der Stelle $x=-1$ besitzt $f$ einen Hochpunkt.
(3)
$f$ besitzt einen Wendepunkt.
3.
Gegeben ist das Schaubild der Ableitungsfunktion $f'$ einer Funktion $f$.
Entscheide, ob die folgenden Aussagen wahr, falsch oder unentscheidbar sind.
Begründe jeweils deine Antwort.
Eigenschaften von Kurven: Ableitung gegeben
Eigenschaften von Kurven: Ableitung gegeben
(1)
Die Funktion $f$ hat an der Stelle $x=0$ ein lokales Minimum.
(2)
Für $-2<x$ ist $f$ streng monoton steigend.
(3)
Die Funktion $f$ hat mindestens eine Wendestelle.

(4)
Das Schaubild von $f$ hat mindestens drei Tangenten, die parallel zur Geraden $y=0,5x-1$ sind.
(5)
$f(-2)>f(0)$
4.
Gegeben ist das Schaubild der Ableitungsfunktion $f'$ einer Funktion $f$.
Entscheide, ob die folgenden Aussagen wahr, falsch oder unentscheidbar sind. Begründe jeweils deine Antwort.
Eigenschaften von Kurven: Ableitung gegeben
Eigenschaften von Kurven: Ableitung gegeben
(1)
$f$ ist streng monoton wachsend für $-1<x<1$.
(2)
Das Schaubild von $f$ hat drei Stellen mit waagrechter Tangente.
(3)
Das Schaubild von $f$ hat mindestens zwei Wendepunkte.
(4)
Es gilt $f(x)>0$ für alle $x\in\left[0;3\right]$.
(5)
Das Schaubild von $f$ besitzt bei $x=-3$ einen Sattelpunkt.
5.
Gegeben ist das Schaubild der Ableitungsfunktion $f'$ einer Funktion $f$.
Entscheide, ob die folgenden Aussagen wahr, falsch oder unentscheidbar sind.
Begründe jeweils deine Antwort.
Eigenschaften von Kurven: Ableitung gegeben
Eigenschaften von Kurven: Ableitung gegeben
(1)
Das Schaubild von $f$ hat bei $x=3$ einen Tiefpunkt.
(2)
Das Schaubild von $f$ hat für $-2\leq x\leq4$ genau zwei Wendepunkte.
(3)
Das Schaubild von $f$ verläuft im Schnittpunkt mit der $y$-Achse steiler als die Gerade $y=2x+4$.
(4)
Das Schaubild von $f$ hat einen Hochpunkt an der Stelle $x=-2$.
(5)
$f(3)>f(1)$
6.
Gegeben ist die Ableitungsfunktion der Funktion $f$.
Sind folgende Aussagen wahr, falsch oder nicht entscheidbar?
Begründe deine Entscheidung.
a)
Eigenschaften von Kurven: Ableitung gegeben
Eigenschaften von Kurven: Ableitung gegeben
(1)
$f$ besitzt einen Wendepunkt.
(2)
An der Stelle $x=0$ besitzt $f$ einen Tiefpunkt.
(3)
Für $-2<x<2$ ist $f$ streng monoton fallend.
(4)
$f$ besitzt Nullstellen.
(5)
An der Stelle $x=-2$ besitzt $f$ einen Hochpunkt.
b)
Eigenschaften von Kurven: Ableitung gegeben
Eigenschaften von Kurven: Ableitung gegeben
(1)
$f$ besitzt einen Wendepunkt.
(2)
Für $x<0$ besitzt $f$ keine Nullstelle.
(3)
Für $-1<x<1$ ist $f$ streng monoton steigend.
(4)
An der Stelle $x=1$ liegt ein Tiefpunkt vor.
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Lösungen
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1.
a)
Eigenschaften von Kurven: Ableitung gegeben
Eigenschaften von Kurven: Ableitung gegeben
(1)
Falsche Aussage
Die Ableitungsfunktion hat an dieser Stelle einen Tiefpunkt, die Funktion $f$ weist demnach einen Wendepunkt an dieser Stelle vor.
(2)
Richtige Aussage
Weist $f'$ an einer Stelle einen Extrempunkt vor, so liegt an dieser Stelle bei $f$ ein Wendepunkt vor.
(3)
Falsche Aussage
Für $0 < x < 1$ (mindestens) ist die Funktion streng monoton fallend. Für $x < 0$ jedoch streng monoton steigend, da der Graph von $f'$ in diesem Bereich auch oberhalb der $x$-Achse verläuft.
(4)
Nicht entscheidbare Aussage
Da $f'$ eine Funktion zweiten Grades ist, ist $f$ eine Funktion dritten Grades der Form $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$. Diese kann drei Nullstellen aufweisen, was jedoch abhängig ist vom absoluten Glied $d$ (Verschiebung in positive oder negative $y$-Richtung).
b)
Eigenschaften von Kurven: Ableitung gegeben
Eigenschaften von Kurven: Ableitung gegeben
(1)
Richtige Aussage
Da das Schaubild von $f'$ an dieser Stelle einen Hochpunkt aufweist, besitzt $f$ an diese Stelle einen Wendepunkt. (Wendepunkte sind Punkte mit extremaler Steigung)
(2)
Falsche Aussage
Das Schaubild von $f'$ verläuft bis $x \approx 2$ oberhalb der $x$-Achse und nur in diesem Bereich liegt für $f$ eine positive Steigung vor (und damit ist $f$ nur in diesem Bereich monoton steigend). Für $x > 2$ gilt jedoch $f' < 0$ und damit ist der Graph von $f$ monoton fallend in diesem Bereich.
(3)
Richtige Aussage
$f'$ gibt die Steigung von $f$ an ($f'$ gibt die Steigung der Tangenten an den Graphen von $f$ an jeder beliebigen Stelle $x$ an). An der Stelle $x=0$ hat $f'$ den $y$-Wert $1$. Damit beträgt die Steigung der Tangente an den Graphen von $f$ an der Stelle $x=0$ gleich 1.
(4)
Richtige Aussage
Die Steigung an der Stelle $x \approx 2$ ist für $f$ gleich Null. Die Steigung der Geraden $y=-3$ ist ebenfalls $0$. Demnach sind Tangente und Gerade parallel oder identisch.
2.
a)
Eigenschaften von Kurven: Ableitung gegeben
Eigenschaften von Kurven: Ableitung gegeben
(1)
Falsch, da für $x < 1$ eine pos. Steigung und für $x>1$ eine neg. Steigung vorliegt (VZW von $+$ nach $-$). Es handelt sich also um einen Hochpunkt.
(2)
Falsch bzw. nicht entscheidbar, der Graph von $f'$ besitzt keine Extrempunkte, also sind die notwendige und hinreichende Bedingung für ein Extremum von $f'$ nicht erfüllt, diese sind aber auch genau die Bedingungen für eine Wendestelle von $f$. Somit ist nicht gewährleistet, dass der Graph von $f$ einen Wendepunkt besitzt.
(3)
Richtig, es liegt in diesem Intervall an jeder Stelle eine negative Steigung vor, da der Graph von $f'$ im kompletten Bereich unterhalb der $x$-Achse verläuft.
(4)
Falsch für $0<x<1$ liegt eine positive Steigung vor. Erst ab $x>1$ ist der Graph von $f$ streng monoton fallend.
(5)
Falsch, zwischen $-1$ und $0$ bzw. $0$ und $1$ liegt immer eine positive Steigung vor, das bedeutet, dass keine Symmetrie zur $y$-Achse vorliegen kann.
b)
Eigenschaften von Kurven: Ableitung gegeben
Eigenschaften von Kurven: Ableitung gegeben
(1)
Richtig, die Ableitungsfunktion hat keinen Extrempunkt, also kann kein Wendepunkt bei $f$ vorliegen.
(2)
Falsch, da $x<0$ eine neg. Steigung und für $x>0$ eine pos. Steigung vorliegt (VZW von $-$ nach $+$). Es handelt sich also um einen Tiefpunkt.
(3)
Richtig, denn in diesem Intervall verläuft der Graph von $f'$ oberhalb der $x$-Achse.
(4)
Unentscheidbar, denn die Ableitungsfunktion gibt nicht die Lage der Funktion an, lediglich die Steigung.
c)
Eigenschaften von Kurven: Ableitung gegeben
Eigenschaften von Kurven: Ableitung gegeben
(1)
Richtig, denn für diesen Bereich weist $f$ immer eine negative Steigung auf.
(2)
Richtig, für $0<x<1$ liegt bei $f$ eine positive Steigung, für $x>1$ eine negative Steigung vor (VZW von $+$ nach $-$).
(3)
Falsch, bei $x=1$ ändert sich die Steigung von positiv nach negativ.
(4)
Falsch, der Graph von $f'$ besitzt keinen Extrempunkt, also besitzt der Graph von $f$ keinen Wendepunkt.
(5)
Falsch, denn $f'$ gibt keine Aussage über die Lage von $f$ und da bei $x=1$ ein Vorzeichenwechsel stattfindet und für $x<0$ der Graph von $f$ streng monoton fällt, kann keine Symmetrie zu $P(0|-1)$ vorliegen.
d)
Eigenschaften von Kurven: Ableitung gegeben
Eigenschaften von Kurven: Ableitung gegeben
(1)
Richtig, da in diesem Intervall die Steigung von $f$ immer positiv ($>0$) ist.
(2)
Falsch, für $x<-1$ liegt eine negative, für $-1<x<0$ eine positive Steigung vor (VZW von $-$ nach $+$). $f$ hat damit an der Stelle $x=-1$ einen Tiefpunkt.
(3)
Falsch, bei $x=1$ ändert sich die Steigung von positiv nach negativ.
3.
(1)
Falsch. An der Stelle $x=0$ liegt zwar eine Nullstelle von $f'$ und damit eine potentielle Extremstelle von $f$, allerdings handelt es sich bei $x=0$ um einen Sattelpunkt, denn der Graph der Funktion bleibt für $x<0$ und $x>0$ im positiven Bereich, es findet also kein Vorzeichenwechsel statt.
(2)
Falsch. Für $-2 < x$ ist der Graph von $f$ nur monoton steigend, da bei $x = 0$ die Steigung gleich Null ist.
(3)
Richtig. Wendestellen sind Punkte mit extremaler Steigung. Da $f'$ zwei Extremstellen besitzt, besitzt $f$ zwei Wendestellen.
(4)
Richtig. Drei Tangenten, die parallel zur Geraden $y=0,5x-1$ sind bedeutet, dass der Graph von $f$ drei Tangenten besitzt, die eine Steigung von $m=0,5$ haben.
Schaut man sich das Schaubild von $f'$ an und so stellt man fest, dass es drei Punkte gibt, die die $y$-Koordinate $0,5$ besitzen. Die Tangenten an den Graphen von $f$ an die Stellen ($x$-Koordinaten) dieser Punkte haben damit die Steigung $m=0,5$.
(5)
Falsch. Für $x>-2$ ist $f$ monoton steigend ($y$-Werte von $f'$ sind im positiven Bereich). Damit gilt umgekehrt $f(0)>f(-2)$.
4.
(1)
Falsch. Für $x<0$ sind die $y$-Werte des Graphen von $f'$ negativ, d.h. er verläuft unterhalb der $x$-Achse. Somit ist der Graph von $f$ für $x<0$ monoton fallend. Für $x>0$ sind die $y$-Werte des Graphen von $f'$ positiv. Somit ist der Graph von $f$ für $x>0$ monoton steigend.
(2)
Richtig. $f'$ hat drei Nullstellen und damit drei Stellen mit der Steigung $m=0$. Die bedeutet drei waagrechte Tangenten.
(3)
Richtig. Da der Graph von $f'$ drei Extrempunkte besitzt und Wendestellen Punkte mit extremer Steigung sind, besitzt $f$ mindestens zwei Wendestellen.
(4)
Unentscheidbar. Der Graph von $f'$ ist zwar für $x\in\left[0;3\right]$ monoton steigend, allerdings sagt diese Information nichts über die tatsächliche Lage des Graphen von $f$ aus. Man kann daher keine Aussage treffen, ob $f(x)>0$ in diesem Intervall größer als $0$ ist.
(5)
Richtig. Bei $x=-3$ berührt der Graph von $f'$ die $x$-Achse. Es findet kein Vorzeichenwechsel statt. Die Steigung von $f$ bleibt negativ. Es handelt sich somit um einen Sattelpunkt.
5.
(1)
Falsch. Bei $x=3$ berührt der Graph von $f'$ die $x$-Achse. Es findet bei $x=3$ kein Vorzeichenwechsel statt. Es handelt sich also um einen Stattelpunkt.
(2)
Richtig. Für $-2\leq x\leq4$ besitzt $f'$ genau zwei Extremstellen. Wendestellen sind Punkte mit extremer Steigung.
(3)
Richtig. Schaut man sich den $y$-Wert des Graphen von $f'$ an der Stelle $x=0$ (Ursprung) an, so liest man aus dem Schaubild $y=4$ ab. Dies bedeutet, dass die Tangente an $f$ an der Stelle $x=0$ die Steigung $4$ hat. Somit ist die Tangente dort steiler als die Gerade $y=2x+4$.
(4)
Falsch. An der Stelle $x=-2$ findet ein Vorzeichenwechsel von $-$ nach $+$ statt. Somit liegt an der Stelle ein Tiefpunkt vor.
(5)
Richtig. Für $x>1$ steigt der Graph von $f$ monoton ($y$-Werte von $f'$ sind positiv). Somit ist $f(3)>f(1)$.
6.
a)
Eigenschaften von Kurven: Ableitung gegeben
Eigenschaften von Kurven: Ableitung gegeben
(1)
Richtig, der Graph von $f$ besitzt an der Stelle $x=0$ einen Wendepunkt, da der Graph von $f'$ einen Extrempunkt an dieser Stelle aufweist.
(2)
Falsch, da an der Stelle $x=0$ bei dem Graphen von $f'$ ein Tiefpunkt vorliegt, liegt beim Graphen von $f$ an dieser Stelle ein Wendepunkt vor.
(3)
Richtig, in diesem Bereich liegt bei $f$ an jeder Stelle eine negative Steigung vor.
(4)
Richtig, da $f'$ eine Funktion 2. Grades ist, ist $f$ eine Funktion 3. Grades. Diese besitzt mindestens eine Nullstelle.
(5)
Richtig, für $x<-2$ liegt eine positive, für $-2<x<0$ eine negative Steigung vor (VZW von $+$ nach $-$).
b)
Eigenschaften von Kurven: Ableitung gegeben
Eigenschaften von Kurven: Ableitung gegeben
(1)
Falsch, der Graph von $f'$ besitzt keinen Extrempunkt, also besitzt der Graph von $f$ keinen Wendepunkt.
(2)
Unentscheidbar, $f'$ lediglich die Steigung von $f$ an, nicht aber die Lage des Graphen von $f$ an.
(3)
Falsch, der Graph von $f$ wäre streng monoton fallend, da immer eine negative Steigung in diesem Intervall vorliegt.
(4)
Richtig, für $x<1$ liegt eine negative, für $x>1$ eine positive Steigung vor (VZW von $-$ nach $+$).
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