Inhalt
Smarter Learning!
Inhalt
Bundesland, Schulart & Klasse
Bundesland, Schulart & Klasse
BW, Gymnasium (G9)
Baden-Württemberg
Berufl. Gymnasium (AG)
Berufl. Gymnasium (BTG)
Berufl. Gymnasium (EG)
Berufl. Gymnasium (SGG)
Berufl. Gymnasium (TG)
Berufl. Gymnasium (WG)
Berufskolleg - FH
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Hauptschule
Realschule
Werkrealschule
Bayern
Fachoberschule
Gymnasium
Mittelschule
Realschule
Berlin
Gymnasium
Integrierte Sekundarschule
Brandenburg
Gesamtschule
Gymnasium
Oberschule
Bremen
Gymnasium (G8)
Oberschule (G9)
Hamburg
Gymnasium
Stadtteilschule
Hessen
Berufl. Gymnasium
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Haupt- und Realschule
Hauptschule
Realschule
Mecklenburg-Vorpommern
Gesamtschule
Gymnasium
Niedersachsen
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Integrierte Gesamtschule
Kooperative Gesamtschule
Oberschule
Realschule
NRW
Gesamtschule
Gymnasium
Hauptschule
Realschule
Sekundarschule
Rheinland-Pfalz
Gesamtschule
Gymnasium
Saarland
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Realschule
Sachsen
Gymnasium
Oberschule
Sachsen-Anhalt
Fachgymnasium
Gesamtschule
Gymnasium
Sekundarschule
Schleswig-Holstein
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Thüringen
Berufl. Gymnasium
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Regelschule
Klasse 13
Klasse 13
Klasse 12
Klasse 11
Klasse 10
Klasse 9
Klasse 8
Klasse 7
Klasse 6
Klasse 5
Fach & Lernbereich
Fachauswahl: Mathe
Mathe
Deutsch
Englisch
Bio
Chemie
Physik
Geschichte
Geo
Lernbereich
Digitales Schulbuch
Abitur (GTR)
Abitur (CAS)
Abitur (GTR)
Prüfung
wechseln
Abitur (GTR)
Abitur (CAS)
Smarter Learning!
Schneller lernen mit deinem SchulLV-Zugang
  • Zugang zu über 1.000 Original-Prüfungsaufgaben mit Lösungen von 2004-2019
  • Alle Bundesländer und Schularten, empfohlen von über 2.300 Schulen in Deutschland
  • Digitales Schulbuch: Über 1.700 Themen mit Aufgaben und Lösungen
  • Monatlich kündbar, lerne solange du möchtest
Jetzt Zugang freischalten!
Inhaltsverzeichnis
Lernbereich Digitales Schulbuch
Analysis
Schaubilder von Funkt...
Ganzrationale Funktio...
Exponentialfunktionen
Gebrochenrationale Fu...
Logarithmusfunktionen
Wurzelfunktionen
Trigonometrische Funk...
Funktionsgleichungen ...
Kurve gegeben
Ganzrationale Funktio...
Gebrochenrationale Fu...
Exponentialfunktionen
Trigonometrische Funk...
Vermischte Aufgaben
Randbedingungen gegeb...
Ganzrationale Funktio...
Gebrochenrationale Fu...
Exponentialfunktionen
Trigonometrische Funk...
Differenzieren (Ablei...
Nach Funktionstyp
Ganzrationale Funktio...
Gebrochenrationale Fu...
Logarithmische Funkti...
Exponentialfunktionen
Wurzelfunktionen
Trigonometrische Funk...
Gebrochene Funktionen
Vermischte Aufgaben
Nach Ableitungsregeln
Faktor- und Summenreg...
Kettenregel
Produktregel
Quotientenregel
Eigenschaften von Kur...
Aussagen bewerten
Ableitung gegeben
Funktion gegeben
Graphisches Ableiten
Interpretation von Ku...
Gleichungslehre
Gleichungen
Lineares Gleichungssy...
Exponentialgleichunge...
Polynomdivision
Trigonometrische Glei...
Kurvendiskussion
Nullstellen und Schni...
Extrem- und Wendepunk...
Symmetrie und Grenzwe...
Funktionen mit Parame...
Ortskurven
Berührpunkte zweier K...
Vollständige Kurvendi...
Ganzrationale Funktio...
Gebrochenrationale Fu...
Exponentialfunktionen
Trigonometrische Funk...
Vermischte Aufgaben
Tangente und Normale
Tangente
Normale
Vermischte Aufgaben
Integralrechnung
Stammfunktionen
Flächeninhalt zwische...
Flächeninhalt zwische...
Mittelwert von Funkti...
Partielle Integration
Lineare Substitution
Uneigentliches Integr...
Rotationskörper
Angewandte Integrale
Vermischte Aufgaben
Weiterführende Übungs...
Zahlenfolgen und Gren...
Einführung
Arithmetrische und ge...
Monotonie und Grenzwe...
Vollständige Induktio...
Vermischte Aufgaben
Extremwertaufgaben
Maximaler Umfang
Maximaler Flächeninha...
Maximales Volumen
Minimaler Abstand Pun...
Vermischte Aufgaben
Allgemeine Fragen zu ...
Definitions- und Wert...
Gebrochenrationale Fu...
Wurzelfunktionen
Logarithmusfunktionen
Stetigkeit und Differ...
Stetigkeit
Differenzierbarkeit
Wachstum
Exponentielles Wachst...
Beschränktes Wachstum
Logistisches Wachstum
Näherungsverfahren
Keplersche Fassregel
Newtonsches Verfahren
Vermischte Aufgaben
Weiterführende Übungs...
Ganzrationale Funktio...
Gebrochenrationale Fu...
Exponentialfunktionen
Analytische Geometrie
Vektoren
Rechnen mit Vektoren
Lineare Abhängigkeit ...
Vektorprodukt
Ortsvektoren und Verb...
Teilverhältnisse
Länge eines Vektors
Vermischte Aufgaben
Geraden
Geraden
Punktprobe
Geraden im Raum
Spurpunkte
Vermischte Aufgaben
Ebenen
Parameterform
Normalenform
Koordinatenform
Umrechnen von Ebeneng...
Ebenen im Raum
Ebenen in Körpern
Spurpunkte
Spurgerade
Vermischte Aufgaben
Gegenseitige Lage
Gerade - Gerade
Gerade - Ebene
Ebene - Ebene
Vermischte Aufgaben
Abstände
Punkt - Gerade
Gerade - Gerade
Gerade - Ebene
Punkt - Ebene
Ebene - Ebene
Vermischte Aufgaben
Schnittwinkel
Zwischen Vektoren
Gerade - Gerade
Gerade - Ebene
Ebene - Ebene
Vermischte Aufgaben
Spiegelungen
Punkt, Gerade und Ebe...
Vermischte Aufgaben
Lineare Gleichungssys...
Interpretation von LG...
Gaußsches Eliminierun...
Matrizen
Rechnen mit Matrizen
Addition und skalare ...
Matrizenmultiplikatio...
Determinante berechne...
Matrix invertieren
Eigenwerte und Eigenv...
Übergangsmatrizen
Übergangsgraphen
Übergangsmatrix
Verteilungen berechne...
Wirtschaftliche Verfl...
Leontief-Modell
Input-Output-Tabelle
Verflechtungsdiagramm
Stochastik
Zufallsexperimente un...
Einstufige Zufallsexp...
Mehrstufige Zufallsex...
Ereignisse
Wahrscheinlichkeiten
Relative und absolute...
Laplace-Experiment
Additionssatz und Vie...
Baumdiagramme und Pfa...
Abhängigkeit und Unab...
Bedingte Wahrscheinli...
Kombinatorik
Geordnete Stichprobe ...
Geordnete Stichprobe ...
Ungeordnete Stichprob...
Wahrscheinlichkeitsve...
Erwartungswert
Varianz und Standarda...
Binomialverteilung
Mit Formel und Tasche...
Mit Tabelle
Erwartungswert und St...
Konfidenzintervalle
Normalverteilung
Hypergeometrische Ver...
Signifikanztest
Einseitiger Test
Zweiseitiger Test

Exponentialfunktionen

Spickzettel
Download als Dokument:PDF
Du kannst eine Exponentialfunktion auf folgende Eigenschaften überprüfen:
EigenschaftMethode
Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen $(x_0\mid y_0)$x-Achse:
Nullstelle bestimmen, d.h. $y_0 = 0$, setze also $f(x_0)=0$ und löse nach $x_0$ auf
y-Achse:
Funktionswert an der Stelle $x_0 = 0$ berechnen, also $y_0 = f(0)$
Verhalten im Unendlichen$\lim\limits_{x\to\infty}\quad $ bzw. $\quad \lim\limits_{x\to\,-\infty}$
Extrempunkt $(x_E\mid y_E)$
  • Notwendiges Kriterium: $f'(x_E)=0$
  • Hinreichendes Kriterium:
    • Hochpunkt: $f''(x_E) < 0$ oder Vorzeichenwechsel von $f'(x)$ in $x_E$ von $+$ nach $-$
    • Tiefpunkt: $f''(x_E) > 0$ oder Vorzeichenwechsel von $f'(x)$ in $x_E$ von $-$ nach $+$
Wendepunkt $(x_W\mid y_W)$
  • Notwendiges Kriterium: $f''(x_W)=0$
  • Hinreichendes Kriterium: $f'''(x_W) \neq 0$ oder Vorzeichenwechsel von $f''(x)$ in $x_W$
Graph skizzieren Verwende zum Skizzieren markante Stellen
z.B. Nullstellen, Hochpunkte, usw.
Symmetrie achsensymmetrisch: $f(x)=f(-x)$
punktsymmetrisch: $-f(x)=f(-x)$
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Aufgaben
Download als Dokument:PDF
1.
Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f\left(x\right)=\mathrm e^{x+1}+x$. Ihr Schaubild sei $K_f$.
a)
Weise nach, dass $f$ an der Stelle $x=-1$ eine Nullstelle hat und bestimme den Schnittpunkt von $K_f$ mit der $y$-Achse.
b)
Wie ist es zu erklären, dass sich die $y$-Werte im Bereich von $x<0$ mehr und mehr den $x$-Werten annähern?
Beispiel:
$x$ $y$
$-2,5$ $-2,277$
$-4,5$ $-4,47$
$-6,5$ $-6,496$
c)
Skizziere anhand der bisherigen Ergebnisse den Verlauf von $K_f$ in einem Koordinatensystem.
d)
Weise nach, dass $f$ nur an einer Stelle die Steigung $2$ besitzt.
e)
Angenommen, du sollst das Schaubild der Funktion $g$ mit $g\left(x\right)=\mathrm e^{-x}+1$ ohne Wertetabelle und nur mit Hilfe des Schaubildes der $\mathrm e$-Funktion skizzieren, wie würdest du vorgehen (verschieben, spiegeln, …)?
2.
Gegeben ist die Funktion $f_k$ mit $f_l\left(x\right)=\mathrm e^{2x^2}+k$. Ihr Schaubild sei $K_f$.
a)
Bestimme die Anzahl der Schnittpunkte von $K_f$ mit der $x$-Achse in Abhängigkeit von $k$.
b)
Bestimme die Extrema von $K_f$. Wie wirkt sich das $k$ im Schaubild aus?
c)
Skizziere anhand der bisherigen Ergebnisse den Verlauf von $K_f$ für $k=-2$ in einem Koordinatensystem.
d)
Beweise, dass $K_f$ zur $y$-Achse symmetrisch ist.
e)
Angenommen, du willst das Schaubild dieser Funktion um $a$ Einheiten nach rechts verschieben, wie gehst du vor?
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen
Download als Dokument:PDF
1.
$f\left(x\right)=\mathrm e^{x+1}+x$
a)
$\boldsymbol{f\left(-1\right)}$ berechnen
$\begin{array}{rllll} f\left(-1\right)&=\mathrm e^{-1+1}+\left(-1\right)\\[3pt] &=\mathrm e^0-1\\[3pt] &=1-1\\[3pt] f\left(-1\right)=0 \end{array}$
$f$ besitzt an der Stelle $x=-1$ eine Nullstelle.
Schnittpunkte mit der $\boldsymbol{y}$-Achse bestimmen: $\boldsymbol{x=0}$ setzen und ausrechnen
$\begin{array}{rllll} f\left(0\right)&=\mathrm e^{0+1}+0\\[3pt] &=\mathrm e \end{array}$
Daraus ergibt sich der Punkt $P\left(0\middle|\mathrm e\right)$.
b)
Grenzwert für $\boldsymbol{x\to-\infty}$ betrachten
$\lim\limits_{x\to-\infty}{\mathrm e^{x+1}+x}$
$\mathrm e^{x+1}$ läuft für $x\to-\infty$ gegen 0:
$\mathrm e^{-z}=\dfrac{1}{\mathrm e^{z}}\to0$ für $z\to\infty$.
So bleibt nur noch $\lim\limits_{x\to-\infty}f\left(x\right)=x$, d.h. für $x\to-\infty$ nähert sich das Schaubild von $f$ der Geraden $y=x$ an. Diese Gerade hat die Eigenschaft, dass die $x$- und $y$-Koordinaten all ihrer Punkte gleich sind.
c)
Skizze zeichnen
Kurvendiskussion: Exponentialfunktionen
Kurvendiskussion: Exponentialfunktionen
d)
Nachweisen, dass $\boldsymbol{f}$ nur an einer Stelle die Steigung $\boldsymbol{2}$ besitzt
Die Steigung von $f$ wird dir durch die erste Ableitung $f'$ gegeben. Zeige also, dass $f'$ nur an einer Stelle den Wert $2$ annimmt. Bestimme zunächst eine Gleichung von $f'$ nach der Kettenregel.
$\begin{array}{rlll} f\left(x\right)&=\mathrm e^{x+1}+x\\[3pt] f'\left(x\right)&=\mathrm e^{x+1}+1 \end{array}$
$f'\left(x\right)=2$ setzen und
nach $x$ auflösen:
$\begin{array}{rllll} \mathrm e^{x+1}+1&=2&\scriptsize{\mid\;-1}\\[3pt] \mathrm e^{x+1}&=1&\scriptsize{\mid\;\ln{\left(\;\right)}}\\[3pt] \ln{\left(\mathrm e^{x+1}\right)}&=\ln{\left(1\right)}\\[3pt] x+1&=0&\scriptsize{\mid\;-1}\\[3pt] x&=-1 \end{array}$
e)
Vorgehen bei Skizzieren des Funktionsgraphen ohne Wertetabelle schildern
Das Schaubild der gegebenen Funktion geht aus dem Schaubild der $\mathrm e$-Funktion durch Verschiebung und Spiegelung hervor.
Der Exponent $-x$ drückt aus, dass das Schaubild der $\mathrm e$-Funktion an der $y$-Achse gespiegelt wird, der Summand $1$, dass es um 1 LE in positive $y$-Richtung („nach oben“) verschoben wird.
So lässt sich das Schaubild dieser Funktion schnell mit Hilfe des Schaubildes der $\mathrm e$-Funktion zeichnen.
2.
$f\left(x\right)=\mathrm e^{2x^2}+k$
a)
Schnittpunkte mit der $\boldsymbol{x}$-Achse bestimmen: $\boldsymbol{f\left(x\right)=0}$ setzen und nach $\boldsymbol{x}$ auflösen
$\begin{array}{rllll} \mathrm e^{2x^2}+k&=0&\scriptsize{\mid\;-k}\\[5pt] \mathrm e^{2x^2}&=-k&\scriptsize{\mid\;\ln{\left(\;\right)}}\\[5pt] \ln{\left(\mathrm e^{2x^2}\right)}&=\ln{\left(-k\right)}\\[5pt] 2x^2&=\ln{\left(-k\right)}&\scriptsize{\mid\;:2}\\[5pt] x^2&=\dfrac{1}{2}\ln{\left(-k\right)}&\scriptsize{\mid\;\sqrt{\;}}\\[5pt] x_{1,2}&=\pm\sqrt{\dfrac{1}{2}\ln{\left(-k\right)}} \end{array}$
Es fällt auf, dass es von $k$ abhängt, ob $f$ Nullstellen besitzt oder nicht.
Für $k\geq0$ gibt es keine Nullstellen, weil es nicht möglich ist, den Logarithmus einer negativen Zahl oder von $0$ zu berechnen.
Aufgrund des Definitionsbereichs der $\ln$-Funktion, muss also $k<0$ sein.
Betrachte nun aber die Wurzel: $\ln(x)$ ist negativ für $0<x<1$. Aus einer negativen Zahl kann aber keine Wurzel gezogen werden. Deshalb fallen auch die Werte $-1<k<0$ weg.
Es bleibt $k\leq-1$:
Für $k=-1$ gibt es genau eine Nullstelle, nämlich $x=0$. Der Logarithmus von 1 ist immer 0.
Für $k<-1$ gibt es genau zwei Nullstellen.
b)
Extrema bestimmen
Ableitungen bilden
$\begin{array}{rlll} f\left(x\right)&=\mathrm e^{2x^2}+k\\[5pt] f'\left(x\right)&=4x\mathrm e^{2x^2}\\[5pt] f''\left(x\right)&=4\mathrm e^{2x^2}+4x\cdot4x\mathrm e^{2x^2}\\[5pt] &=4\mathrm e^{2x^2}+16x^2\mathrm e^{2x^2}\\[5pt] &=\mathrm e^{2x^2}\cdot\left(4+16x^2\right) \end{array}$
$f'\left(x\right)=0$ setzen
$\begin{array}{rllll} 4x\mathrm e^{2x^2}&=0&\scriptsize{\mid\;:4}\\[5pt] x\mathrm e^{2x^2}&=0 \end{array}$
Ein Produkt ist 0, wenn einer der Faktoren 0 ist:
$\begin{array}{rllrllrll} x_1&=0\\ \mathrm e^{2x^2}&=0 \end{array}$
Diese Gleichung hat keine Lösung, da man $\mathrm e$ mit keiner Zahl potenzieren kann, damit es 0 wird.
$f$ hat also nur eine Extremstelle bei $x=0$.
Hinreichende Bedingung überprüfen
$\begin{array}{rllll} f''\left(0\right)&=\mathrm e^{0}\cdot\left(4+16\cdot0\right)\\[5pt] &=1\cdot4 \; \scriptsize{>0: \text{Minimum}} \end{array}$
Das $k$ verschiebt das Schaubild nach oben und nach unten, es verändert also die Lage des Schaubilds.
c)
Skizze zeichnen
Kurvendiskussion: Exponentialfunktionen
Kurvendiskussion: Exponentialfunktionen
d)
Achsensymmetrie nachweisen
Behauptung:
$K_f$ ist achsensymmetrisch zu $x=0$
Zu zeigen:
$f\left(x\right)=f\left(-x\right)$
Beweis:
$\begin{array}{rll} \mathrm e^{2x^2}+k&=\mathrm e^{2\left(-x\right)^2}+k\\[5pt] \mathrm e^{2x^2}+k&=\mathrm e^{2x^2}+k \end{array}$
Dies ist eine wahre Aussage.
Die Achsensymmetrie zu $x=0$ ist also bewiesen.
e)
Verschieben des Funktionsgraphen um $\boldsymbol{a}$ Einheiten
Um die Funktion um $a$ Einheiten in positive $x$-Richtung zu verschieben, muss man direkt beim $x$ eingreifen. Dies lässt sich leicht am Beispiel der Normalparabel verdeutlichen:
$ y=x^2\\ \scriptsize{\text{Schaubild verläuft durch den Ursprung}}\\[5pt] y=\left(x+1\right)^2\\\scriptsize{\text{Schaubild verläuft durch} P\left(-1\middle|0\right)\\\text{Verschiebung um 1 LE in neg. x-Richtung}}\\[5pt] y=\left(x-1\right)^2\\\scriptsize{\text{Schaubild verläuft durch} P\left(1\middle|0\right)\\\text{Verschiebung um 1 LE in pos. x-Richtung}} $
Um das Schaubild der Funktion $f$ also um $a$ Einheiten in positive $x$-Richtung zu verschieben, muss die Funktionsgleichung lauten wie folgt:
$f\left(x\right)=\mathrm e^{2\left(x-a\right)^2}$
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Folge uns auf
SchulLV als App