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Keplersche Fassregel

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Die Keplersche Fassregel, auch Simpsonregel genannt, ist ein Verfahren, mit Hilfe dessen du das Integral über eine Funktion auf dem Intervall $\left[a,b\right]$ näherungsweise bestimmen kannst. Dies kannst du zum Beispiel dann benutzen, wenn du von der Funktion $f$ keine Stammfunktion bilden kannst.
Zur Annäherung des Integrals mit Hilfe der Kepler'schen Fassregel, benötigst du lediglich die Gleichung der Funktion $f$, sowie die Funktionswerte der Funktion $f$ an den Stellen $a$, $b$ und $\dfrac{a+b}{2}$. Für das Integral über die Funktion $f$ ergibt sich nun:
$\int_{a}^{b}f(x)\,\text{d}x\approx \dfrac{b-a}{6}\cdot \left(f(a)+4\cdot f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right)$
$\int_{a}^{b}f(x)\,\text{d}x$$\approx $$\dfrac{b-a}{6}\cdot \left(f(a) \\ + 4\cdot f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right)$

Beispiel:

Gesucht sei das Integral über die Funktion $f(x)= e^{-x^2}$ auf dem Intervall $[0,2]$. Zu $e^{-x^2}$ kannst du keine Stammfunktion angeben, weshalb du zur näherungsweisen Berechnung von $\int_{0}^{2}e^{-x^2}\,\text{d}x$ die Kepler'sche Fassregel anwenden kannst:
  1. Berechne die Funktionswerte an den Stellen $a$, $b$ und $\frac{a+b}{2}$
  2. Setze die berechneten Funktionswerte in die Simpsonformel ein und berechne das Ergebnis
1. Schritt:
Das Intervall $\left[a,b\right]$ ist in unserem Beispiel $\left[0,2\right]$. Folglich musst du nun die Funktionswerte an den Stellen $x=0$, $x=2$, und $x=\dfrac{0+2}{2}=1$ berechnen:
  • $f(0)=e^{-0^2}=1$
  • $f(2)=e^{-2^2}=e^{-4}$
  • $f(1)=e^{-1^2}=e^{-1}$
2. Schritt:
Einsetzen in die Simpsonformel liefert dir nun:
$\dfrac{b-a}{6}\cdot \left(f(a)+4\cdot f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right)$ $=\dfrac{1}{3}\cdot \left(1+4\cdot e^{-1} + e^{-4}\right)$
Somit ist $\dfrac{1}{3}\cdot \left(1+4\cdot e^{-1} + e^{-4}\right)$ eine näherungsweise Darstellung des Integrals $ \int_{0}^{2}e^{-x^2}\,\text{d}x $
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