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Keplersche Fassregel

Spickzettel
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Die Keplersche Fassregel, auch Simpsonregel genannt, ist ein Verfahren, mit Hilfe dessen du das Integral über eine Funktion auf dem Intervall $\left[a,b\right]$ näherungsweise bestimmen kannst. Dies kannst du zum Beispiel dann benutzen, wenn du von der Funktion $f$ keine Stammfunktion bilden kannst.
Zur Annäherung des Integrals mit Hilfe der Kepler'schen Fassregel, benötigst du lediglich die Gleichung der Funktion $f$, sowie die Funktionswerte der Funktion $f$ an den Stellen $a$, $b$ und $\dfrac{a+b}{2}$. Für das Integral über die Funktion $f$ ergibt sich nun:
$\int_{a}^{b}f(x)\,\text{d}x\approx \dfrac{b-a}{6}\cdot \left(f(a)+4\cdot f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right)$
$\int_{a}^{b}f(x)\,\text{d}x$$\approx $$\dfrac{b-a}{6}\cdot \left(f(a) \\ + 4\cdot f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right)$

Beispiel:

Gesucht sei das Integral über die Funktion $f(x)= e^{-x^2}$ auf dem Intervall $[0,2]$. Zu $e^{-x^2}$ kannst du keine Stammfunktion angeben, weshalb du zur näherungsweisen Berechnung von $\int_{0}^{2}e^{-x^2}\,\text{d}x$ die Kepler'sche Fassregel anwenden kannst:
  1. Berechne die Funktionswerte an den Stellen $a$, $b$ und $\frac{a+b}{2}$
  2. Setze die berechneten Funktionswerte in die Simpsonformel ein und berechne das Ergebnis
1. Schritt:
Das Intervall $\left[a,b\right]$ ist in unserem Beispiel $\left[0,2\right]$. Folglich musst du nun die Funktionswerte an den Stellen $x=0$, $x=2$, und $x=\dfrac{0+2}{2}=1$ berechnen:
  • $f(0)=e^{-0^2}=1$
  • $f(2)=e^{-2^2}=e^{-4}$
  • $f(1)=e^{-1^2}=e^{-1}$
2. Schritt:
Einsetzen in die Simpsonformel liefert dir nun:
$\dfrac{b-a}{6}\cdot \left(f(a)+4\cdot f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right)$ $=\dfrac{1}{3}\cdot \left(1+4\cdot e^{-1} + e^{-4}\right)$
Somit ist $\dfrac{1}{3}\cdot \left(1+4\cdot e^{-1} + e^{-4}\right)$ eine näherungsweise Darstellung des Integrals $ \int_{0}^{2}e^{-x^2}\,\text{d}x $
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1.
Bestimme mit der Keplerschen Fassregel näherungsweise den Flächeninhalt zwischen $f$, der $x$-Achse und den beiden Grenzen $a$ und $b$.
a)
$f\left(x\right)=-x^2+3$, $a=-1$, $b=1$
b)
$f\left(x\right)=x^3-4x+3$, $a=-1$, $b=0$
c)
$f\left(x\right)=4\sin{\left(\dfrac{1}{2}x\right)}$, $a=2$, $b=5$
d)
$f\left(x\right)=-3\cos{\left(x\right)}+\pi$, $a=\dfrac{\pi}{2}$, $b=\pi$
2.
Bestimme mit der Keplerschen Fassregel näherungsweise den Flächeninhalt zwischen $f$, der $x$-Achse und den beiden Grenzen $a$ und $b$.
a)
$f\left(x\right)=\dfrac{x+4}{x^2}$, $a=1$, $b=2$
b)
$f\left(x\right)=x+\mathrm e^{x}$, $a=0$, $b=2$
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1.
a)
$f\left(x\right)=-x^2+3$, $a=-1$, $b=1$
Die Keplersche Fassregel lautet:
$\displaystyle\int_{a}^{b}{f\left(x\right)}dx=\dfrac{b-a}{6}\cdot\left[f\left(a\right)+4\cdot f\left(\dfrac{a+b}{2}\right)+f\left(b\right)\right]$
$\displaystyle\int_{a}^{b}{f\left(x\right)}dx=\;…$
Am besten berechnest du zuerst separat $f(a)$, $f(b)$ und $f(\frac{a+b}{2})$.
$\begin{array}{rlllllll} f\left(a\right)&=-\left(-1\right)^2+3\\[3pt] &=-1+3\\[3pt] &=2 \end{array}$
$\begin{array}{rlllllll} f\left(b\right)&=-\left(1\right)^2+3\\[3pt] &=-1+3\\[3pt] &=2 \end{array}$
$\begin{array}{rlllllll} f\left(\dfrac{a+b}{2}\right)&=-\left(\dfrac{-1+1}{2}\right)^2+3\\[5pt] &=-\left(0\right)^2+3\\[5pt] &=3 \end{array}$
Damit ergibt sich:
$\begin{array}{rlllllll} \displaystyle\int_{-1}^{1}{f\left(x\right)}dx&=\dfrac{1-\left(-1\right)}{6}\left[2+4\cdot3+2\right]\\[5pt] &=\dfrac{1}{3}\left(16\right)\\[5pt] &=5,\overline{33} \end{array}$
$\begin{array}{rlllllll} \displaystyle\int_{-1}^{1}{f\left(x\right)}dx& &=5,\overline{33} \end{array}$
b)
$f\left(x\right)=x^3-4x+3$, $a=-1$, $b=0$
Die Keplersche Fassregel lautet:
$\displaystyle\int_{a}^{b}{f\left(x\right)}dx=\dfrac{b-a}{6}\cdot\left[f\left(a\right)+4\cdot f\left(\dfrac{a+b}{2}\right)+f\left(b\right)\right]$
$\displaystyle\int_{a}^{b}{f\left(x\right)}dx=\;…$
Am besten berechnest du zuerst separat $f(a)$, $f(b)$ und $f(\frac{a+b}{2})$.
$\begin{array}{rlllllll} f\left(a\right)&=\left(-1\right)^3-4\cdot\left(-1\right)+3\\[3pt] &=-1+4+3\\[3pt] &=6 \end{array}$
$\begin{array}{rlllllll} f\left(b\right)&=0^3-4\cdot0+3\\[3pt] &=3 \end{array}$
$\begin{array}{rlllllll} f\left(\dfrac{a+b}{2}\right)&=\left(\dfrac{-1+0}{2}\right)^3-4\left(\dfrac{-1+0}{2}\right)+3\\[5pt] &=\left(-\dfrac{1}{2}\right)^3-4\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)+3\\[5pt] &=-\dfrac{1}{8}+2+3\\[5pt] &=4,875 \end{array}$
Damit ergibt sich:
$\begin{array}{rlllllll} \displaystyle\int_{-1}^{0}{f\left(x\right)}dx&=\dfrac{0-\left(-1\right)}{6}\left[6+4\cdot4,875+3\right]\\[5pt] &=\dfrac{1}{6}\left(28,5\right)\\[5pt] &=4,75 \end{array}$
c)
$f\left(x\right)=4\sin{\left(\dfrac{1}{2}x\right)}$, $a=2$, $b=5$
Die Keplersche Fassregel lautet:
$\displaystyle\int_{a}^{b}{f\left(x\right)}dx=\dfrac{b-a}{6}\cdot\left[f\left(a\right)+4\cdot f\left(\dfrac{a+b}{2}\right)+f\left(b\right)\right]$
$\displaystyle\int_{a}^{b}{f\left(x\right)}dx=\;…$
Am besten berechnest du zuerst separat $f(a)$, $f(b)$ und $f(\frac{a+b}{2})$.
$\begin{array}{rlllllll} f\left(a\right)&=4\sin{\left(\dfrac{1}{2}\cdot2\right)}\\[3pt] &=4\cdot\sin{\left(1\right)}\\[3pt] &\approx 3,366 \end{array}$
$\begin{array}{rlllllll} f\left(b\right)&=4\sin{\left(\dfrac{1}{2}\cdot5\right)}\\[3pt] &=4\sin{\left(2,5\right)}\\[3pt] &\approx 2,394 \end{array}$
$\begin{array}{rlllllll} f\left(\dfrac{a+b}{2}\right)&=4\sin{\left(\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{2+5}{2}\right)\right)}\\[5pt] &=4\sin{\left(\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{7}{2}\right)}\\[5pt] &=4\sin{\left(\dfrac{7}{4}\right)}\\[5pt] &\approx 3,936 \end{array}$
Damit ergibt sich:
$\begin{array}{rlllllll} \displaystyle\int_{2}^{5}{f\left(x\right)}dx&=\dfrac{5-2}{6}\left[3,366+4\cdot3,936+2,394\right]\\[5pt] &=\dfrac{1}{2}\left(21,504\right)\\[5pt] &=10,75 \end{array}$
d)
$f\left(x\right)=-3\cos{\left(x\right)}+\pi$, $a=\dfrac{\pi}{2}$, $b=\pi$
Die Keplersche Fassregel lautet:
$\displaystyle\int_{a}^{b}{f\left(x\right)}dx=\dfrac{b-a}{6}\cdot\left[f\left(a\right)+4\cdot f\left(\dfrac{a+b}{2}\right)+f\left(b\right)\right]$
$\displaystyle\int_{a}^{b}{f\left(x\right)}dx=\;…$
Am besten berechnest du zuerst separat $f(a)$, $f(b)$ und $f(\frac{a+b}{2})$.
$\begin{array}{rlllllll} f\left(a\right)&=-3\cos{\left(\dfrac{\pi}{2}\right)}+\pi\\[3pt] &=-3\cdot0+\pi\\[3pt] &=\pi \end{array}$
$\begin{array}{rlllllll} f\left(b\right)&=-3\cos{\left(\pi\right)}+\pi\\[3pt] &=-3\cdot\left(-1\right)+\pi\\[3pt] &=3+\pi \end{array}$
$\begin{array}{rlllllll} f\left(\dfrac{a+b}{2}\right)&=-3\cos{\left(\frac{\pi+\dfrac{\pi}{2}}{2}\right)}+\pi\\[5pt] &=-3\cos{\left(\dfrac{3}{4}\pi\right)}+\pi\\[5pt] &\approx 5,26 \end{array}$
Damit ergibt sich:
$\begin{array}{rlllllll} \displaystyle\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}{f\left(x\right)}dx&\approx\dfrac{\pi-\dfrac{\pi}{2}}{6}\left[\pi+4\cdot 5,26+3+\pi\right]\\[5pt] &\approx 7,94 \end{array}$
2.
a)
$f\left(x\right)=\dfrac{x+4}{x^2}$, $a=1$, $b=2$
Die Keplersche Fassregel lautet:
$\displaystyle\int_{a}^{b}{f\left(x\right)}dx=\dfrac{b-a}{6}\cdot\left[f\left(a\right)+4\cdot f\left(\dfrac{a+b}{2}\right)+f\left(b\right)\right]$
$\displaystyle\int_{a}^{b}{f\left(x\right)}dx=$
Am besten berechnest du zuerst separat $f(a)$, $f(b)$ und $f(\frac{a+b}{2})$.
$\begin{array}{rlllllll} f\left(a\right)&=\dfrac{1+4}{1^2}\\[3pt] &=5 \end{array}$
$\begin{array}{rlllllll} f\left(b\right)&=\dfrac{2+4}{2^2}\\[3pt] &=\dfrac{6}{4}\\[3pt] &=1,5 \end{array}$
$\begin{array}{rlllllll} f\left(\dfrac{a+b}{2}\right)&=\dfrac{\frac{1+2}{2}+4}{\left(\frac{1+2}{2}\right)^2}\\[5pt] &=\dfrac{1,5+4}{\left(1,5\right)^2}\\[5pt] &=\dfrac{5,5}{2,25}\\[5pt] &=2,\overline{44} \end{array}$
Damit ergibt sich:
$\begin{array}{rlllllll} \displaystyle\int_{1}^{2}{f\left(x\right)}dx&=\dfrac{2-1}{6}\left[5+4\cdot2,\overline{44}+1,5\right]\\[5pt] &=\dfrac{1}{6}\left(16,28\right)\\[5pt] &=2,71 \end{array}$
$\begin{array}{rlllllll} \displaystyle\int_{1}^{2}{f\left(x\right)}dx&= \end{array}$
b)
$f\left(x\right)=x+\mathrm e^{x}$, $a=0$, $b=2$
Die Keplersche Fassregel lautet:
$\displaystyle\int_{a}^{b}{f\left(x\right)}dx=\dfrac{b-a}{6}\cdot\left[f\left(a\right)+4\cdot f\left(\dfrac{a+b}{2}\right)+f\left(b\right)\right]$
$\displaystyle\int_{a}^{b}{f\left(x\right)}dx=$
Am besten berechnest du zuerst separat $f(a)$, $f(b)$ und $f(\frac{a+b}{2})$.
$\begin{array}{rlllllll} f\left(a\right)&=0+\mathrm e^0\\[3pt] &=1 \end{array}$
$\begin{array}{rlllllll} f\left(b\right)&=2+\mathrm e^2\\[3pt] & \approx 9,389 \end{array}$
$\begin{array}{rlllllll} f\left(\dfrac{a+b}{2}\right)&=\dfrac{0+2}{2}+\mathrm e^{\frac{0+2}{2}}\\[5pt] &=1+\mathrm e^1\\[5pt] &\approx 3,718 \end{array}$
Damit ergibt sich:
$\begin{array}{rlllllll} \displaystyle\int_{0}^{2}{f\left(x\right)}dx&=\dfrac{2-0}{6}\left[1+4\cdot3,718+9,389\right]\\[5pt] &=\dfrac{1}{3}\left(25,261\right)\\[5pt] &=8,42 \end{array}$
$\begin{array}{rlllllll} \displaystyle\int_{0}^{2}{f\left(x\right)}dx&= \end{array}$
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