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Monotonie und Grenzwerte

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Monotonie

Wenn eine Folge monoton ist, so ist sie entweder monoton steigend oder monoton fallend.
  • Eine Folge ist dann monoton steigend, wenn jedes Folgenglied größer oder gleich seinem Vorgänger ist, wenn also gilt:
    $a_{n+1}-a_n≥ 0$ bzw. $a_{n+1}≥a_n$
    $a_{n+1}-a_n≥ 0$ bzw. $a_{n+1}≥a_n$
  • Wenn eine Folge monoton fallend ist, so ist jedes Folgenglied kleiner oder gleich seinem Vorgänger, es gilt:
    $a_{n+1}-a_n≤ 0$ bzw. $a_{n+1}≤a_n$
    $a_{n+1}-a_n≤ 0$ bzw. $a_{n+1}≤a_n$
Ist eine Folge nicht monoton und ihre Glieder sind abwechselnd positiv und negativ, so ist die Folge alternierend.

Beschränktheit

Eine Folge kann nach oben, nach unten oder nach oben und unten beschränkt sein.
  • Ist eine Folge nach oben beschränkt, so gibt es eine Zahl, die größer als jedes Glied der Folge ist, die also nie überschritten wird.
  • Eine Folge ist nach unten beschränkt, wenn es eine Zahl gibt, die kleiner als jedes Folgenglied ist, die also nie unterschritten wird.

Grenzwerte

Ist eine Folge beschränkt, so kann man nachweisen, dass sie einen Grenzwert hat. Der Grenzwert ist bei monoton steigenden Folgen die kleinste obere Schranke und bei monoton fallenden Folgen die größte untere Schranke.
Den Grenzwert einer Funktion schreibt man folgendermaßen:
$\lim\limits_{n\to\infty}{a_n}$
$\lim\limits_{n\to\infty}{a_n}$
Zahlenfolgen, die einen Grenzwert haben, sind konvergent. Hat eine Folge keinen Grenzwert, so ist sie divergent.
Eine konvergente Folge ist beispielsweise die Folge $a_n=\frac{1}{n}$. Geht n gegen Unendlich, so geht der Wert des Bruchs geht gegen Null. Man schreibt dann:
$\lim\limits_{n\to\infty}{\dfrac{1}{n}}=0$
$\lim\limits_{n\to\infty}{\dfrac{1}{n}}=0$
 
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