Inhalt
Inhalt
Bundesland, Schulart & Klasse
Bundesland, Schulart & Klasse
BW, Gymnasium (G9)
Baden-Württemberg
Berufl. Gymnasium (AG)
Berufl. Gymnasium (BTG)
Berufl. Gymnasium (EG)
Berufl. Gymnasium (SGG)
Berufl. Gymnasium (TG)
Berufl. Gymnasium (WG)
Berufskolleg - FH
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Hauptschule
Realschule
Werkrealschule
Bayern
Fachoberschule
Gymnasium
Mittelschule
Realschule
Berlin
Gymnasium
Integrierte Sekundarschule
Brandenburg
Gesamtschule
Gymnasium
Oberschule
Bremen
Gymnasium (G8)
Oberschule (G9)
Hamburg
Gymnasium
Stadtteilschule
Hessen
Berufl. Gymnasium
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Haupt- und Realschule
Hauptschule
Realschule
Mecklenburg-Vorpommern
Gesamtschule
Gymnasium
Niedersachsen
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Integrierte Gesamtschule
Kooperative Gesamtschule
Oberschule
Realschule
NRW
Gesamtschule
Gymnasium
Hauptschule
Realschule
Sekundarschule
Rheinland-Pfalz
Gesamtschule
Gymnasium
Saarland
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Realschule
Sachsen
Gymnasium
Oberschule
Sachsen-Anhalt
Fachgymnasium
Gesamtschule
Gymnasium
Sekundarschule
Schleswig-Holstein
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Thüringen
Berufl. Gymnasium
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Regelschule
Klasse 13
Klasse 13
Klasse 12
Klasse 11
Klasse 10
Klasse 9
Klasse 8
Klasse 7
Klasse 6
Klasse 5
Fach & Lernbereich
Fachauswahl: Mathe
Mathe
Deutsch
Englisch
Bio
Chemie
Physik
Geschichte
Geo
Lernbereich
Digitales Schulbuch
Abitur (GTR)
Abitur (CAS)
Abitur (GTR)
Prüfung
wechseln
Abitur (GTR)
Abitur (CAS)
Mach dich schlau mit SchulLV!
Schneller lernen mit deinem SchulLV-Zugang
  • Zugang zu über 1.000 Original-Prüfungsaufgaben mit Lösungen von 2004-2019
  • Alle Bundesländer und Schularten, empfohlen von über 2.300 Schulen in Deutschland
  • Digitales Schulbuch: Über 1.700 Themen mit Aufgaben und Lösungen
  • Monatlich kündbar, lerne solange du möchtest
Jetzt Zugang freischalten!
Inhaltsverzeichnis
Lernbereich Digitales Schulbuch
Analysis
Schaubilder von Funkt...
Ganzrationale Funktio...
Exponentialfunktionen
Gebrochenrationale Fu...
Logarithmusfunktionen
Wurzelfunktionen
Trigonometrische Funk...
Funktionsgleichungen ...
Kurve gegeben
Ganzrationale Funktio...
Gebrochenrationale Fu...
Exponentialfunktionen
Trigonometrische Funk...
Vermischte Aufgaben
Randbedingungen gegeb...
Ganzrationale Funktio...
Gebrochenrationale Fu...
Exponentialfunktionen
Trigonometrische Funk...
Differenzieren (Ablei...
Nach Funktionstyp
Ganzrationale Funktio...
Gebrochenrationale Fu...
Logarithmische Funkti...
Exponentialfunktionen
Wurzelfunktionen
Trigonometrische Funk...
Gebrochene Funktionen
Vermischte Aufgaben
Nach Ableitungsregeln
Faktor- und Summenreg...
Kettenregel
Quotientenregel
Produktregel
Eigenschaften von Kur...
Aussagen bewerten
Ableitung gegeben
Funktion gegeben
Graphisches Ableiten
Interpretation von Ku...
Gleichungslehre
Gleichungen
Lineares Gleichungssy...
Exponentialgleichunge...
Polynomdivision
Trigonometrische Glei...
Kurvendiskussion
Nullstellen und Schni...
Extrem- und Wendepunk...
Symmetrie und Grenzwe...
Funktionen mit Parame...
Ortskurven
Berührpunkte zweier K...
Vollständige Kurvendi...
Ganzrationale Funktio...
Gebrochenrationale Fu...
Exponentialfunktionen
Trigonometrische Funk...
Vermischte Aufgaben
Tangente und Normale
Tangente
Normale
Vermischte Aufgaben
Integralrechnung
Stammfunktionen
Flächeninhalt zwische...
Flächeninhalt zwische...
Mittelwert von Funkti...
Partielle Integration
Lineare Substitution
Uneigentliches Integr...
Rotationskörper
Angewandte Integrale
Vermischte Aufgaben
Weiterführende Übungs...
Zahlenfolgen und Gren...
Einführung
Arithmetrische und ge...
Monotonie und Grenzwe...
Vollständige Induktio...
Vermischte Aufgaben
Extremwertaufgaben
Maximaler Umfang
Maximaler Flächeninha...
Maximales Volumen
Minimaler Abstand Pun...
Vermischte Aufgaben
Allgemeine Fragen zu ...
Definitions- und Wert...
Gebrochenrationale Fu...
Wurzelfunktionen
Logarithmusfunktionen
Stetigkeit und Differ...
Stetigkeit
Differenzierbarkeit
Wachstum
Exponentielles Wachst...
Beschränktes Wachstum
Logistisches Wachstum
Näherungsverfahren
Keplersche Fassregel
Newtonsches Verfahren
Vermischte Aufgaben
Weiterführende Übungs...
Ganzrationale Funktio...
Gebrochenrationale Fu...
Exponentialfunktionen
Analytische Geometrie
Vektoren
Rechnen mit Vektoren
Lineare Abhängigkeit ...
Vektorprodukt
Ortsvektoren und Verb...
Teilverhältnisse
Länge eines Vektors
Vermischte Aufgaben
Geraden
Geraden
Punktprobe
Geraden im Raum
Spurpunkte
Vermischte Aufgaben
Ebenen
Parameterform
Normalenform
Koordinatenform
Umrechnen von Ebeneng...
Ebenen im Raum
Ebenen in Körpern
Spurpunkte
Spurgerade
Vermischte Aufgaben
Gegenseitige Lage
Gerade - Gerade
Gerade - Ebene
Ebene - Ebene
Vermischte Aufgaben
Abstände
Punkt - Gerade
Gerade - Gerade
Gerade - Ebene
Punkt - Ebene
Ebene - Ebene
Vermischte Aufgaben
Schnittwinkel
Zwischen Vektoren
Gerade - Gerade
Gerade - Ebene
Ebene - Ebene
Vermischte Aufgaben
Spiegelungen
Punkt, Gerade und Ebe...
Vermischte Aufgaben
Lineare Gleichungssys...
Interpretation von LG...
Gaußsches Eliminierun...
Matrizen
Rechnen mit Matrizen
Addition und skalare ...
Matrizenmultiplikatio...
Determinante berechne...
Matrix invertieren
Eigenwerte und Eigenv...
Übergangsmatrizen
Übergangsgraphen
Übergangsmatrix
Verteilungen berechne...
Wirtschaftliche Verfl...
Leontief-Modell
Input-Output-Tabelle
Verflechtungsdiagramm
Stochastik
Zufallsexperimente un...
Einstufige Zufallsexp...
Mehrstufige Zufallsex...
Ereignisse
Wahrscheinlichkeiten
Relative und absolute...
Laplace-Experiment
Additionssatz und Vie...
Baumdiagramme und Pfa...
Abhängigkeit und Unab...
Bedingte Wahrscheinli...
Kombinatorik
Geordnete Stichprobe ...
Geordnete Stichprobe ...
Ungeordnete Stichprob...
Wahrscheinlichkeitsve...
Erwartungswert
Varianz und Standarda...
Binomialverteilung
Mit Formel und Tasche...
Mit Tabelle
Erwartungswert und St...
Konfidenzintervalle
Normalverteilung
Hypergeometrische Ver...
Signifikanztest
Einseitiger Test
Zweiseitiger Test

Monotonie und Grenzwerte

Spickzettel
Download als Dokument:PDF

Monotonie

Wenn eine Folge monoton ist, so ist sie entweder monoton steigend oder monoton fallend.
  • Eine Folge ist dann monoton steigend, wenn jedes Folgenglied größer oder gleich seinem Vorgänger ist, wenn also gilt:
    $a_{n+1}-a_n≥ 0$ bzw. $a_{n+1}≥a_n$
    $a_{n+1}-a_n≥ 0$ bzw. $a_{n+1}≥a_n$
  • Wenn eine Folge monoton fallend ist, so ist jedes Folgenglied kleiner oder gleich seinem Vorgänger, es gilt:
    $a_{n+1}-a_n≤ 0$ bzw. $a_{n+1}≤a_n$
    $a_{n+1}-a_n≤ 0$ bzw. $a_{n+1}≤a_n$
Ist eine Folge nicht monoton und ihre Glieder sind abwechselnd positiv und negativ, so ist die Folge alternierend.

Beschränktheit

Eine Folge kann nach oben, nach unten oder nach oben und unten beschränkt sein.
  • Ist eine Folge nach oben beschränkt, so gibt es eine Zahl, die größer als jedes Glied der Folge ist, die also nie überschritten wird.
  • Eine Folge ist nach unten beschränkt, wenn es eine Zahl gibt, die kleiner als jedes Folgenglied ist, die also nie unterschritten wird.

Grenzwerte

Ist eine Folge beschränkt, so kann man nachweisen, dass sie einen Grenzwert hat. Der Grenzwert ist bei monoton steigenden Folgen die kleinste obere Schranke und bei monoton fallenden Folgen die größte untere Schranke.
Den Grenzwert einer Funktion schreibt man folgendermaßen:
$\lim\limits_{n\to\infty}{a_n}$
$\lim\limits_{n\to\infty}{a_n}$
Zahlenfolgen, die einen Grenzwert haben, sind konvergent. Hat eine Folge keinen Grenzwert, so ist sie divergent.
Eine konvergente Folge ist beispielsweise die Folge $a_n=\frac{1}{n}$. Geht n gegen Unendlich, so geht der Wert des Bruchs geht gegen Null. Man schreibt dann:
$\lim\limits_{n\to\infty}{\dfrac{1}{n}}=0$
$\lim\limits_{n\to\infty}{\dfrac{1}{n}}=0$
 
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt Einzellizenz freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Aufgaben
Download als Dokument:PDF
1.
Entscheide, ob die Folgen nach oben bzw. nach unten beschränkt sind und gib gegebenenfalls die kleinste bzw. die größte Grenze an.
b)
$a_n=\dfrac{3}{n}$
d)
$a_n=3n-9$
2.
Bestimme, ob die angegebenen Folgen monoton steigend oder fallend sind.
b)
$a_n=n^{-1}$
d)
$a_n=\left(-1\right)^{n^2}$
3.
Entscheide, ob die Folgen nach oben bzw. nach unten beschränkt sind und gib gegebenenfalls die obere bzw. die untere Grenze an.
b)
$a_n=\dfrac{n+1}{n+2}$
4.
Gib den Grenzwert der Folge $a_n$ an.
b)
$a_n=\dfrac{-4}{n^2}$
d)
$a_n=-2+\left(\dfrac{1}{10}\right)^n$
5.
Entscheide, ob die Folgen monoton wachsend oder fallend sind.
b)
$a_n=-\dfrac{3}{n}$
d)
$a_n=4n-n^2$
f)
$a_n=\left(-1\right)^{n+1}$
h)
$a_n=n^3-2n$
6.
Gegeben ist eine konvergente Folge $a_n$. Für welche n liegen alle Glieder der Folge in der jeweils angegebenen Umgebung?
b)
$a_n=\dfrac{4}{n-2}; \varepsilon=0,01$
d)
$a_n=2+\dfrac{2}{n}; \varepsilon=0,2$
7.
Versuche herauszufinden, ob die Folge konvergent ist. Wie heißt dann der Grenzwert?
b)
$a_n=\dfrac{1}{10^{n-2}}+4$
d)
$a_n=-3\cdot\dfrac{1}{n^2-4}$
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt Einzellizenz freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen
Download als Dokument:PDF
1.
a)
$a_n=3-\dfrac{2}{n}$ Von $3$ werden Zahlen abgezogen. Somit könnte $3$ eine obere Grenze sein.
Für $n=1$ wird die $2$ von $3$ abgezogen; für jedes $n>1$ wird der Bruch $\frac{2}{n}$ kleiner, d.h. es werden immer kleinere Zahlen von $3$ abgezogen. Somit könnte $1$ die untere Schranke sein.
Behauptung: obere Schranke bei $\boldsymbol{S_o=3}$, untere Schranke bei $\boldsymbol{S_u=1}$
Zu zeigen: $3\geq a_n$
$\begin{array}{rlll} 3&\geq a_n\\[5pt] 3&\geq 3-\dfrac{2}{n}&\scriptsize{\mid\;-3}\\[5pt] 0&\geq-\dfrac{2}{n}&\scriptsize{\mid\;\cdot n}\\[5pt] 0&\geq-2 \end{array}$
Das ist eine wahre Aussage, $S_o=3$ ist eine obere Schranke.
Zu zeigen: $1\leq a_n$
$\begin{array}{rlll} 1&\leq a_n\\[5pt] 1&\leq 3-\dfrac{2}{n}&\scriptsize{\mid\;-3}\\[5pt] -2&\leq -\dfrac{2}{n} \end{array}$
Das ist ebenfalls eine wahre Aussage:
Für $n=1$ heißt die Gleichung $-2=-2$.
Für $n>1$ wird die rechte Seite immer größer: $-\dfrac{2}{2}<-\dfrac{2}{3}<-\dfrac{2}{4}<-\dfrac{2}{5}$…
$-2$ ist also immer kleiner als $-\dfrac{2}{n}$, deshalb ist $S_u=1$ eine untere Schranke von $a_n$.
$a_n$ ist nach oben und nach unten beschränkt.
b)
$a_n=\dfrac{3}{n}$ $3$ wird durch immer größer werdende Zahlen geteilt, die Folgeglieder werden also immer kleiner. Somit könnte $3$ eine obere Grenze sein.
Der Bruch $\frac{3}{n}$ wird zwar immer kleiner und nähert sich der 0, diese wird er jedoch nie erreichen. Somit könnte $0$ eine untere Grenze sein.
Behauptung: obere Schranke bei $\boldsymbol{S_o=3}$, untere Schranke bei $\boldsymbol{S_u=0}$
Zu zeigen: $3\geq a_n$
$\begin{array}{rlll} 3&\geq a_n\\[5pt] 3&\geq \dfrac{3}{n}&\scriptsize{\mid\;\cdot n}\\[5pt] 3n&\geq 3&\scriptsize{\mid\;:3}\\[5pt] n&\geq 1 \end{array}$
Das ist eine wahre Aussage, $S_o=3$ ist eine obere Schranke.
Zu zeigen: $0\leq a_n$
$\begin{array}{rlll} 0&\leq a_n\\[5pt] 0&\leq \dfrac{3}{n}&\scriptsize{\mid\;\cdot n}\\[5pt] 0&\leq 3 \end{array}$
Das ist eine wahre Aussage, deshalb ist $S_u=0$ eine untere Schranke von $a_n$.
$a_n$ ist nach oben und nach unten beschränkt.
c)
$a_n=\dfrac{1}{2}n^2-n$ Die Folgeglieder von $a_n$ werden immer größer und laufen gegen unendlich. Nach oben ist diese Folge also nicht beschränkt.
Der kleinste Wert, den sie annehmen kann, ist allerdings fest:
Für $n=1$ ist der Funktionswert der Folge $a_1=-\frac{1}{2}$. Somit könnte $-\frac{1}{2}$ die untere Grenze sein.
Behauptung: untere Grenze bei $\boldsymbol{S_u=-\frac{1}{2}}$
Zu zeigen: $-\dfrac{1}{2}\leq a_n$
$\begin{array}{rlll} -\dfrac{1}{2}&\leq a_n\\[5pt] -\dfrac{1}{2}&\leq \dfrac{1}{2}n^2-n&\scriptsize{\mid\;+n}\\[5pt] -\dfrac{1}{2}+n&\leq \dfrac{1}{2}n^2&\scriptsize{\mid\;\cdot 2}\\[5pt] -1+2n&\leq n^2 \end{array}$
Das ist eine wahre Aussage, deshalb ist $S_u=-\dfrac{1}{2}$ eine untere Schranke von $a_n$.
$a_n$ ist nach unten beschränkt.
d)
$a_n=3n-9$ Für $n=1$ nimmt die Folge den Wert $a_1=-6$ an, dann steigt der Wert von Folgeglied zu Folgeglied. Für $n\to\infty$ läuft die Folge gegen unendlich.
Somit gibt es keine obere Schranke, allerdings könnte $-6$ die untere Schranke der Folge sein.
Behauptung: untere Schranke bei $\boldsymbol{S_u=-6}$
Zu zeigen: $-6\leq a_n$
$\begin{array}{rlll} -6&\leq a_n\\[5pt] -6&\leq 3n-9&\scriptsize{\mid\;+9}\\[5pt] 3&\leq 3n&\scriptsize{\mid\;:3}\\[5pt] 1&\leq n \end{array}$
Dies ist eine wahre Aussage, deshalb ist $S_u=-6$ eine untere Schranke von $a_n$.
$a_n$ ist nach unten beschränkt.
2.
a)
$a_n=-n^3+\dfrac{p}{n}$; $p\geq1$
Behauptung: monoton fallend
Zu zeigen: $a_{n+1}-a_n≤0$
$\begin{array}{rlll} a_{n+1}-a_n&=-\left(n+1\right)^3+\dfrac{p}{n+1}-\left(-n^3+\dfrac{p}{n}\right)\\[5pt] &=-\left(n^2+2n+1\right)\left(n+1\right)+\dfrac{p}{n+1}+n^3-\dfrac{p}{n}\\[5pt] &=-\left(n^3+n^2+2n^2+2n+n+1\right)+n^3+\dfrac{p}{n+1}-\dfrac{p}{n}&\scriptsize{\mid\;\text{Brüche erweitern}}\\[5pt] &=-n^3-3n^2-3n-1+n^3+\dfrac{pn-p\left(n+1\right)}{n\left(n+1\right)}\\[5pt] &=-3n^2-3n+\dfrac{pn-pn-p}{n\left(n+1\right)}-1\\[5pt] &=-3n^2-3n+\dfrac{p}{n^2+n}-1&\scriptsize{\mid\;\text{alles auf einen Bruch}}\\[5pt] &=\dfrac{\left(-3n^2-3n\right)\left(n^2+n\right)}{n^2+n}+\dfrac{p}{n^2+n}-1\\[5pt] &=\dfrac{-3n^4-3n^3-3n^3-3n^2+p}{n^2+n}-1\\[5pt] &=\dfrac{n^2\left(-3n^2-6n-3\right)+p}{n^2+n}-1 \end{array}$
${a_{n+1}-a_n=\dfrac{n^2(-3n^2…)+p}{n^2+n}}$
Wir betrachten nun den Zähler: $n^2$ bleibt immer positiv. Die Klammer jedoch wird immer negativ sein, da die Variable nur negativ auftritt. Daher ist der Zähler immer negativ.
Der Nenner bleibt immer positiv. Somit ist der Bruch insgesamt negativ.
Diese Folge ist monoton fallend.
b)
$a_n=n^{-1}$
Behauptung: monoton fallend
Zu zeigen: $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}≤1$
$\begin{array}{rlll} \dfrac{a_{n+1}}{a_n}&=\dfrac{\left(n+1\right)^{-1}}{n^{-1}}&\scriptsize{\mid\;n^{-1}=\dfrac{1}{n}}\\[5pt] &=\dfrac{\frac{1}{n+1}}{\frac{1}{n}}\\[5pt] &=\dfrac{1}{n+1}\cdot n\\[5pt] &=\dfrac{n}{n+1} \end{array}$
Wenn eine Zahl durch eine größere Zahl geteilt wird, wie es hier der Fall ist, dann ist der Quotient immer kleiner als 1.
Diese Folge ist monoton fallend.
c)
$a_n=x-n$; $x\geq1$
Behauptung: monoton fallend
Zu zeigen: $a_{n+1}-a_n≤0$
$\begin{array}{rlll} a_{n+1}-a_n&=x-\left(n+1\right)-\left(x-n\right)\\[5pt] &=x-n-1-x+n\\[5pt] &=-1 \end{array}$
$a_{n+1}-a_1=-1$
Diese Folge ist monoton fallend.
d)
$a_n=\left(-1\right)^{n^2}$
Behauptung: weder noch
Von Folgeglied zu Folgeglied ändert sich das Vorzeichen, abhängig davon, ob der Exponent eine gerade oder eine ungerade Zahl ist.
Auch, wenn der Exponent $n^2$ ist, treten gerade und ungerade Zahlen in regelmäßigen Abständen auf: $4$, $9$, $16$, $25$, $36$, …
Die Folgeglieder heißen also nur $-1$ und $1$ und wechseln sich ab. Die Folge ist somit weder monoton steigend, noch fallend, sondern alternierend.
3.
a)
$a_n=\sqrt[n]{3}$
Von Folgeglied zu Folgeglied werden die Werte immer kleiner, sie erreichen jedoch niemals die 0. Somit könnte $0$ eine untere Schranke sein.
Für $n=1$ ergibt sich das Folgeglied $a_1=3$. Da die nachfolgenden Glieder alle kleiner sind, könnte $3$ eine obere Schranke sein.
Behauptung: obere Schranke bei $\boldsymbol{S_o=3}$, untere Schranke bei $\boldsymbol{S_u=0}$
Zu zeigen: $3\geq a_n$
$\begin{array}{rlll} 3&\geq a_n\\[5pt] 3&\geq \sqrt[n]{3}&\mid\;\sqrt[n]{3}=3^{\frac{1}{n}}\\[5pt] 3&\geq 3^{\frac{1}{n}}&\scriptsize{\mid\;\log{\left(\;\right)}}\\[5pt] \log{\left(3\right)}&\geq \log{\left(3^{\frac{1}{n}}\right)}&\scriptsize{\mid\;\text{Logarithmusgesetze}}\\[5pt] \log{\left(3\right)}&\geq \dfrac{1}{n}\cdot\log{\left(3\right)}&\scriptsize{\mid\;:\log{\left(3\right)}}\\[5pt] 1&\geq \dfrac{1}{n} \end{array}$
Das ist eine wahre Aussage.
Das ist eine wahre Aussage.
$S_o=3$ ist eine obere Schranke.
Zu zeigen: $0\leq a_n$
$\begin{array}{rlll} 0&\leq a_n\\[5pt] 0&\leq \sqrt[n]{3}&\scriptsize{\mid\;\left(\;\right)^n}\\[5pt] 0&\leq 3 \end{array}$
Dies ist eine wahre Aussage, deshalb ist $S_u=0$ eine untere Schranke von $a_n$.
$a_n$ ist nach oben und nach unten beschränkt.
b)
$a_n=\dfrac{n+1}{n+2}$
Da die Exponenten der Variable im Zähler und im Nenner gleich sind, bestimmt man den Grenzwert der Folge, indem man die Koeffizienten vor der Variablen durcheinander teilt. In diesem Falle ergibt sich der Grenzwert von $1$.
Für $n=1$ nimmt die Folge den Wert $\frac{2}{3}$ an.
Somit könnte $1$ die obere Schranke und $\frac{2}{3}$ die untere Schranke sein.
Behauptung: obere Schranke bei $\boldsymbol{S_o=1}$, untere Schranke bei $\boldsymbol{S_u=\frac{2}{3}}$
Zu zeigen: $1\geq a_n$
$\begin{array}{rlll} 1&\geq a_n\\[5pt] 1&\geq \dfrac{n+1}{n+2}&\mid\;\cdot\left(n+2\right)\\[5pt] n+2&\geq n+1&\scriptsize{\mid -n}\\[5pt] 2&\geq 1 \end{array}$
Das ist eine wahre Aussage, $S_o=1$ ist eine obere Schranke.
Zu zeigen:$\dfrac{2}{3}\leq a_n$
$\begin{array}{rlll} \dfrac{2}{3}&\leq a_n\\[5pt] \dfrac{2}{3}&\leq \dfrac{n+1}{n+2}&\scriptsize{\mid\;\cdot\left(n+2\right)}\\[5pt] \dfrac{2n+4}{3}&\leq n+1&\scriptsize{\mid\;\cdot3}\\[5pt] 2n+4&\leq 3\cdot (n+1)\\[5pt] 2n+4&\leq 3n+3&\scriptsize{\mid\;-3}\\[5pt] 2n+1&\leq 3n&\scriptsize{\mid\;-2n}\\[5pt] 1&\leq n \end{array}$
Das ist eine wahre Aussage.
Das ist eine wahre Aussage.
$S_u=\dfrac{2}{3}$ ist eine untere Schranke von $a_n$.
$a_n$ ist nach oben und nach unten beschränkt.
c)
$a_n=n\cdot4^{-n}$
Zunächst wollen wir die Folge umschreiben, damit sie leichter zu lesen ist:
$a_n=n\cdot\dfrac{1}{4^n}$
Für $n=1$ nimmt die Folge also den Wert $a_1=\frac{1}{4}$ an.
Für $n\to\infty$ läuft die Folge gegen 0. Der Nenner des Bruchs wächst sehr viel schneller als das $n$ an sich. Somit wid $n$ durch immer größere Zahlen geteilt.
Somit könnte $\frac{1}{4}$ eine obere Schranke und $0$ eine untere Schranke sein.
Behauptung: obere Schranke bei $\boldsymbol{S_o=\frac{1}{4}}$, untere Schranke bei $\boldsymbol{S_u=0}$
Zu zeigen: $\dfrac{1}{4}\geq a_n$
$\begin{array}{rlll} \dfrac{1}{4}&\geq a_n\\[5pt] \dfrac{1}{4}&\geq n\cdot\dfrac{1}{4^n}&\scriptsize{\mid\;\cdot\left(4^n\right)}\\[5pt] \dfrac{4^n}{4}&\geq n&\scriptsize{\mid\;\dfrac{1}{4}=4^{-1}}\\[5pt] 4^n\cdot4^{-1}&\geq n\\[5pt] 4^{n-1}&\geq n \end{array}$
Das ist eine wahre Aussage.
Für $n=1$ stimmt die Gleichung, weil $4^0=1$ ergibt.
Für alle $n>1$ stimmt sie auch, weil $4^{n-1}$ sehr viel schneller wächst als $n$ selbst und somit immer größer ist.
Deshalb ist $S_o=\frac{1}{4}$ eine obere Schranke von $a_n$.
Zu zeigen: $0\leq a_n$
$\begin{array}{rlll} 0&\leq a_n\\[5pt] 0&\leq n\cdot\dfrac{1}{4^n}&\scriptsize{\mid\;\cdot4^n}\\[5pt] 0&\leq n \end{array}$
Dies ist eine wahre Aussage, deshalb ist $S_u=0$ eine untere Schranke von $a_n$.
$a_n$ ist nach oben und nach unten beschränkt.
4.
a)
$a_n=1+\dfrac{1}{n}$ Wir stellen uns vor, wie sich die Funktionswerte der Folge $a_n$ entwickeln, wenn $n\to\infty$ läuft:
Die $1$ vor dem Bruch ist nicht betroffen, sie bleibt immer gleich. Der Nenner des Bruchs geht gegen unendlich, d.h. insgesamt wird der Bruch sehr klein, weil die $1$ durch eine sehr große Zahl geteilt wird. Der Bruch läuft also gegen 0:
$\lim\limits_{n\to\infty}{\dfrac{1}{n}}=0$
Wenn also der Bruch gegen $0$ läuft und die $1$ stehen bleibt, so nähert sich die Folge für $n\to\infty$ dem Wert $1$.
Wir können also schreiben:
$\lim\limits_{n\to\infty}{1+\dfrac{1}{n}}=1$
Der Grenzwert der Folge $a_n$ ist $1$.
b)
$a_n=\dfrac{-4}{n^2}$ Wir stellen uns vor, wie sich die Funktionswerte der Folge $a_n$ entwickeln, wenn $n\to\infty$ läuft:
Der Nenner des Bruchs geht gegen unendlich, d.h. insgesamt wird der Bruch sehr klein, weil die $-4$ durch eine sehr große Zahl geteilt wird. Der Bruch, und somit auch die Folge, läuft also gegen 0:
$\lim\limits_{n\to\infty}{\dfrac{-4}{n}}=0$
Der Grenzwert der Folge $a_n$ ist $0$.
c)
$a_n=2-\dfrac{1}{n+1}$ Wir stellen uns vor, wie sich die Funktionswerte der Folge $a_n$ entwickeln, wenn $n\to\infty$ läuft:
Die $2$ vor dem Bruch ist nicht betroffen, sie bleibt immer gleich. Der Nenner des Bruchs geht gegen unendlich, d.h. insgesamt wird der Bruch sehr klein, weil die $1$ durch eine sehr große Zahl geteilt wird. Der Bruch läuft also gegen 0:
$\lim\limits_{n\to\infty}{\dfrac{1}{n+1}}=0$
Wenn also der Bruch gegen $0$ läuft und die $2$ stehen bleibt, so nähert sich die Folge für $n\to\infty$ dem Wert $2$.
Wir können also schreiben:
$\lim\limits_{n\to\infty}{2-\dfrac{1}{n+1}}=2$
Der Grenzwert der Folge $a_n$ ist $2$.
d)
$a_n=-2+\left(\dfrac{1}{10}\right)^n$ Wir stellen uns vor, wie sich die Funktionswerte der Folge $a_n$ entwickeln, wenn $n\to\infty$ läuft:
Die $-2$ vor dem potenzierten Bruch ist nicht betroffen, sie bleibt immer gleich.
Was den Bruch mit der Hochzahl $n$ angeht, so wird dieser für $n\to\infty$ unendlich mal mit sich selbst multipliziert. Der Zähler bleibt dabei immer gleich $\left(1\cdot1=1\right)$.
Der Nenner jedoch wird immer größer, d.h. insgesamt wird der Bruch sehr klein, weil die $1$ durch eine sehr große Zahl geteilt wird. Der Bruch läuft also gegen 0:
$\lim\limits_{n\to\infty}{\left(\dfrac{1}{10}\right)^n}=0$
Wenn also der Bruch gegen $0$ läuft und die $-2$ stehen bleibt, so nähert sich die Folge für $n\to\infty$ dem Wert $-2$.
Wir können also schreiben:
$\lim\limits_{n\to\infty}{-2+\left(\dfrac{1}{10}\right)^n}=-2$
Der Grenzwert der Folge $a_n$ ist $-2$.
5.
a)
$a_n=4n+1$
Behauptung: monoton steigend
Zu zeigen: $a_{n+1}-a_n≥0$
$\begin{array}{rlll} a_{n+1}-a_n&=4\left(n+1\right)+1-\left(4n+1\right)\\[5pt] &=4n+4+1-4n-1\\[5pt] &=4>0 \end{array}$
Die Folge ist monoton steigend.
$\begin{array}{rlll} 4>0 \end{array}$
b)
$a_n=-\dfrac{3}{n}$
Behauptung: monoton steigend
Zu zeigen: $a_{n+1}≥a_n$
$\begin{array}{rlll} a_{n+1}& ≥a_n\\[5pt] -\dfrac{3}{n+1}& ≥-\dfrac{3}{n}&\scriptsize{\mid\; :(-3)}\\[5pt] \dfrac{1}{n+1}& ≤\dfrac{1}{n} \end{array}$
Beachte, dass sich das Ungleichzeichen in der 2. Zeile umdreht, da wir durch $-3$ teilen.
$\frac{1}{n+1}≤\frac{1}{n}$ ist eine wahre Aussage, also stimmt unsere Annahme und die Folge ist monoton steigend.
Diese Folge ist monoton steigend.
c)
$a_n=n+2^{-n}$
Behauptung: monoton steigend
Zu zeigen: $a_{n+1}-a_n≥0$
$\begin{array}{rlll} a_{n+1}-a_n&=n+1+2^{-\left(n+1\right)}-\left(n+2^{-n}\right)\\[3pt] &=n+1+2^{-\left(n+1\right)}-n-2^{-n}\\[3pt] &=2^{-\left(n+1\right)}-2^{-n}+1\\[3pt] &=\dfrac{1}{2^{n+1}}-\dfrac{1}{2^n}+1\\[5pt] &=\dfrac{1}{2^n}\cdot\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2^n}+1\\[5pt] &=\dfrac{1}{2^n}\left(\dfrac{1}{2}-1\right)+1\\[5pt] &=-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2^n}+1 \end{array}$
$ a_{n+1}-a_n=-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2^n}+1$
Den kleinsten Wert, den $n$ annehmen kann, ist $n=1$. Für $n=1$ wäre die obige Gleichung immer noch positiv.
Für alle weiteren Werte von $n$ ($n=2$, $n=3$,…) wird der Teil $\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2^n}$ immer kleiner, weil der Nenner immer größer wird.
Somit kann dieser Term nicht 0 werden und ist immer positiv.
Diese Folge ist monoton steigend.
d)
$a_n=4n-n^2$
Behauptung: monoton fallend
Zu zeigen: $a_{n+1}-a_n≤0$
$\begin{array}{rlll} a_{n+1}-a_n&=4\left(n+1\right)-\left(n+1\right)^2-\left(4n-n^2\right)\\[5pt] &=4n+4-\left(n^2+2n+1\right)-4n+n^2\\[5pt] &=4n+4-n^2-2n-1-4n+n^2\\[5pt] &=-2n+3 \end{array}$
$ a_{n+1}-a_n=-2n+3 $
Für $n=1$: $ > 0$: monoton steigend.
Für $n > 1$: $ < 0$: monoton fallend.
e)
$a_n=\sqrt[n]{3}$
Behauptung: monoton fallend
Zu zeigen: $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}≤1$
$\begin{array}{rlll} \dfrac{a_{n+1}}{a_n}&=\dfrac{\sqrt[n+1]{3}}{\sqrt[n]{3}}\\[5pt] &=\dfrac{3^{\frac{1}{n+1}}}{3^{\frac{1}{n}}} \end{array}$
$3^{\frac{1}{n+1}}$ wird immer kleiner sein als $3^{\frac{1}{n}}$, weil bei letzterem die Hochzahl größer ist.
Somit ist der oben bestimmte Quotient immer kleiner als $1$, weil eine Zahl durch eine andere, größere Zahl geteilt wird.
Diese Folge ist monoton fallend.
f)
$a_n=\left(-1\right)^{n+1}$
Behauptung: weder noch
Die Funktionswerte dieser Folge sind nur $-1$ und $1$, je nachdem, ob $n+1$ gerade oder ungerade ist.
Somit ist die Folge weder monoton steigend ©SchulLV 2015noch fallend, sondern alternierend.
g)
$a_n=n+\dfrac{1}{n}$
Behauptung: monoton steigend
Zu zeigen: $a_{n+1}-a_n≥0$
$\begin{array}{rlll} a_{n+1}-a_n&=n+1+\dfrac{1}{n+1}-\left(n+\dfrac{1}{n}\right)\\[5pt] &=n+1+\dfrac{1}{n+1}-n-\dfrac{1}{n}\\[5pt] &=\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n}+1&\scriptsize{\mid\;\text{Brüche erweitern}}\\[5pt] &=\dfrac{n}{n\left(n+1\right)}-\dfrac{n+1}{n\left(n+1\right)}+1\\[5pt] &=\dfrac{n-n+1}{n\left(n+1\right)}+1\\[5pt] &=\dfrac{1}{n\left(n+1\right)}+1 \end{array}$
$ a_{n+1}-a_n=\dfrac{1}{n\left(n+1\right)}+1 $
Beide Summanden sind immer größer als 0.
Diese Folge ist monoton steigend.
h)
$a_n=n^3-2n$
Behauptung: monoton steigend
Zu zeigen: $a_{n+1}-a_n≥0$
$\begin{array}{rlll} a_{n+1}-a_n&=\left(n+1\right)^3-2\left(n+1\right)-\left(n^3-2n\right)\\[5pt] &=\left(n^2+2n+1\right)\left(n+1\right)-2n-2-n^3+2n\\[5pt] &=n^3+2n^2+n+n^2+2n+1-2n-2-n^3+2n\\[5pt] &=3n^2+3n-1 \end{array}$
$ a_{n+1}-a_n=3n^2+3n-1$
Der kleinste Wert, der für $n$ eingesetzt werden kann, ist $n=1$. Selbst für $n=1$ ist diese Gleichung größer 0, für alle anderen $n$ ($n=2$, $n=3$,…) auch.
Diese Folge ist monoton steigend.
6.
a)
$a_n=\dfrac{1}{n};\;\varepsilon=\dfrac{1}{20}$
Grenzwert bestimmen:
Wir stellen uns vor, wie sich die Funktionswerte der Folge $a_n$ entwickeln, wenn $n\to\infty$ läuft:
Der Nenner des Bruchs geht gegen unendlich, d.h. insgesamt wird der Bruch sehr klein, weil die $1$ durch eine sehr große Zahl geteilt wird. Der Bruch, und somit auch die Folge, läuft also gegen 0:
$\lim\limits_{n\to\infty}{\dfrac{1}{n}}=0$
Der Grenzwert der Folge $a_n$ ist $0$.
Folgenglieder im Bereich $\varepsilon=\dfrac{1}{20}$ bestimmen:
Wir haben herausgefunden, dass der Grenzwert der Folge $a_n$ bei $0$ liegt. Der Bereich $\varepsilon=\dfrac{1}{20}$ beginnt also bei $\dfrac{1}{20}$:
$\begin{array}{rlll} \dfrac{1}{20}&=\dfrac{1}{n}&\scriptsize{\mid\;\cdot n}\\[5pt] \dfrac{n}{20}&=1&\scriptsize{\mid\;\cdot20}\\[5pt] n&=20 \end{array}$
Das 20. Folgeglied liegt also direkt auf der Grenze zu $\varepsilon$, d.h. alle Folgeglieder ab $n=21$ liegen im Bereich $\varepsilon=\dfrac{1}{20}$.
b)
$a_n=\dfrac{4}{n-2};\;\varepsilon=0,01$
Grenzwert bestimmen:
Wir stellen uns vor, wie sich die Funktionswerte der Folge $a_n$ entwickeln, wenn $n\to\infty$ läuft:
Der Nenner des Bruchs geht gegen unendlich, d.h. insgesamt wird der Bruch sehr klein, weil die $4$ durch eine sehr große Zahl geteilt wird. Der Bruch, und somit auch die Folge, läuft also gegen 0:
$\lim\limits_{n\to\infty}{\dfrac{4}{n-2}}=0$
Der Grenzwert der Folge $a_n$ ist $0$.
Folgenglieder im Bereich $\varepsilon=0,01$ bestimmen:
Wir haben herausgefunden, dass der Grenzwert der Folge $a_n$ bei $0$ liegt. Der Bereich $\varepsilon=0,01$ beginnt also bei $0,01$:
$\begin{array}{rlll} 0,01&=\dfrac{4}{n-2}&\scriptsize{\mid\;\cdot \left(n-2\right)}\\[5pt] \left(n-2\right)\cdot0,01&=4&\scriptsize{\mid\;:0,01}\\[5pt] n-2&=400&\scriptsize{\mid\;+2}\\[5pt] n&=402 \end{array}$
$n=402$
Das 402. Folgeglied liegt also direkt auf der Grenze zu $\varepsilon$, d.h. alle Folgeglieder ab $n=403$ liegen im Bereich $\varepsilon=0,01$.
c)
$a_n=1+\dfrac{1}{n^2};\;\varepsilon=\dfrac{1}{3}$
Grenzwert bestimmen:
Wir stellen uns vor, wie sich die Funktionswerte der Folge $a_n$ entwickeln, wenn $n\to\infty$ läuft:
Die $1$ vor dem Bruch ist nicht betroffen, sie bleibt immer gleich. Der Nenner des Bruchs geht gegen unendlich, d.h. insgesamt wird der Bruch sehr klein, weil die $1$ durch eine sehr große Zahl geteilt wird. Der Bruch läuft also gegen 0:
$\lim\limits_{n\to\infty}{\dfrac{1}{n^2}}=0$
Wenn also der Bruch gegen $0$ läuft und die $1$ stehen bleibt, so nähert sich die Folge für $n\to\infty$ dem Wert $1$.
Wir können also schreiben:
$\lim\limits_{n\to\infty}{1+\dfrac{1}{n^2}}=1$
Der Grenzwert der Folge $a_n$ ist $1$.
Folgenglieder im Bereich $\varepsilon=\dfrac{1}{3}$ bestimmen:
Wir haben herausgefunden, dass der Grenzwert der Folge $a_n$ bei $1$ liegt. Da sich die Folge aus dem positiven Bereich an den Grenzwert annähert, beginnt $\varepsilon=\dfrac{1}{3}$ also bei $\dfrac{4}{3}$.
$(Grenzwert=1+\varepsilon=\dfrac{1}{3}=\dfrac{4}{3})$
$\begin{array}{rlll} \dfrac{4}{3}&=1+\dfrac{1}{n^2}&\scriptsize{\mid\;\cdot n^2}\\[5pt] \dfrac{4n^2}{3}&=n^2+1&\scriptsize{\mid\;\cdot3}\\[5pt] 4n^2&=3n^2+3&\scriptsize{\mid\;-3n^2}\\[5pt] n^2&=3&\scriptsize{\mid\;\sqrt{\;}}\\[5pt] n&=\pm\sqrt{3}\\[5pt] n&\approx \pm1,73 \end{array}$
Die negative Lösung ist für uns nicht interessant, weil Folgen nur über einen Definitionsbereich $\mathbb{D}=\mathbb{N}$ verfügen.
Somit geht aus der Lösung hervor, dass alle Folgeglieder ab $n=2$ im Bereich $\varepsilon=\dfrac{1}{3}$ liegen.
d)
$a_n=2+\dfrac{2}{n};\;\varepsilon=0,2$
Grenzwert bestimmen:
Wir stellen uns vor, wie sich die Funktionswerte der Folge $a_n$ entwickeln, wenn $n\to\infty$ läuft:
Die $2$ vor dem Bruch ist nicht betroffen, sie bleibt immer gleich. Der Nenner des Bruchs geht gegen unendlich, d.h. insgesamt wird der Bruch sehr klein, weil die $2$ durch eine sehr große Zahl geteilt wird. Der Bruch läuft also gegen 0:
$\lim\limits_{n\to\infty}{\dfrac{2}{n}}=0$
Wenn also der Bruch gegen $0$ läuft und die $2$ stehen bleibt, so nähert sich die Folge für $n\to\infty$ dem Wert $2$.
Wir können also schreiben:
$\lim\limits_{n\to\infty}{2+\dfrac{2}{n}}=2$
Der Grenzwert der Folge $a_n$ ist $2$.
Folgenglieder im Bereich $\varepsilon=0,2$ bestimmen:
Wir haben herausgefunden, dass der Grenzwert der Folge $a_n$ bei $2$ liegt. Da sich die Folge aus dem positiven Bereich an den Grenzwert annähert beginnt $\varepsilon=0,2$ also bei $2,2$:
$\begin{array}{rlll} 2,2&=2+\dfrac{2}{n}&\scriptsize{\mid\;\cdot n}\\[5pt] 2,2n&=2n+2&\scriptsize{\mid\;-2n}\\[5pt] 0,2n&=2&\scriptsize{\mid\;:0,2}\\[5pt] n&=10 \end{array}$
Aus der Lösung geht hervor, dass alle Folgeglieder ab $n=11$ im Bereich $\varepsilon=0,2$ liegen.
7.
a)
$a_n=-6+\left(n-1\right)\cdot2$
Wir stellen uns vor, wie sich die Funktionswerte der Folge $a_n$ entwickeln, wenn $n\to\infty$ läuft:
$n$ selbst geht gegen unendlich. Die Zahlen, die von $n$ abgezogen bzw. zu $n$ addiert werden, spielen in der Unendlichkeit keine Rolle mehr; die Funktionswerte laufen gegen unendlich. Wir können also schreiben:
$\lim\limits_{n\to\infty}{-6+\left(n-1\right)\cdot2}=\infty$
Diese Folge besitzt keinen Grenzwert, ist also nicht konvergent, sondern divergent.
b)
$a_n=\dfrac{1}{10^{n-2}}+4$
Wir stellen uns vor, wie sich die Funktionswerte der Folge $a_n$ entwickeln, wenn $n\to\infty$ läuft:
Die $4$ hinter dem Bruch ist nicht betroffen, sie bleibt immer gleich.
Der Nenner des Bruchs geht gegen unendlich, d.h. insgesamt wird der Bruch sehr klein, weil die $1$ durch eine sehr große Zahl geteilt wird. Der Bruch läuft also gegen 0:
$\lim\limits_{n\to\infty}{\dfrac{1}{10^{n-1}}}=0$
Wenn also der Bruch gegen $0$ läuft und die $4$ stehen bleibt, so nähert sich die Folge für $n\to\infty$ dem Wert $4$.
Wir können also schreiben:
$\lim\limits_{n\to\infty}{\dfrac{1}{10^{n-2}}}=4$
Der Grenzwert der Folge $a_n$ ist $4$, sie ist also konvergent.
c)
$a_n=-2n^2+12n-18$
Wir stellen uns vor, wie sich die Funktionswerte der Folge $a_n$ entwickeln, wenn $n\to\infty$ läuft:
$n$ selbst geht gegen unendlich. Da $n^2$ aber schneller wächst als $n$, laufen die Funktionswerte wegen $-2n^2$ gegen minus unendlich. Wir können also schreiben:
$\lim\limits_{n\to\infty}{-2n^2+12n-18}=-\infty$
Diese Folge besitzt keinen Grenzwert, ist also nicht konvergent, sondern divergent.
d)
$a_n=-3\cdot\dfrac{1}{n^2-4}$
Wir stellen uns vor, wie sich die Funktionswerte der Folge $a_n$ entwickeln, wenn $n\to\infty$ läuft:
Der Nenner des Bruchs geht gegen unendlich, d.h. insgesamt wird der Bruch sehr klein, weil die $1$ durch eine sehr große Zahl geteilt wird. Der Bruch läuft also gegen 0:
$\lim\limits_{n\to\infty}{\dfrac{1}{10^{n-1}}}=0$
Die $-3$ wird mit dem Bruch multipliziert. Wenn eine Zahl mit einer sehr kleinen Zahl multipliziert wird, ist auch das Produkt dieser Zahlen sehr klein. Wir können also schreiben:
$\lim\limits_{n\to\infty}{3\cdot\dfrac{1}{n^2-4}}=0$
Der Grenzwert der Folge $a_n$ ist $0$, sie ist also konvergent.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt Einzellizenz freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Folge uns auf
SchulLV als App