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Beschränktes Wachstum

Spickzettel
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Beim beschränkten Wachstum handelt es sich um ein mathematisches Modell, welches durch eine natürliche Schranke nach oben oder unten begrenzt wird, diese wird oft auch als Kapazität oder Sättigung bezeichnet. Dieses Modell wird beispielsweise für Wachstumsprozesse des Marktanteils, die Populationsausbreitung in einem begrenzten Raum oder auch Erwärmungs–/Abkühlprozesse verwendet.

Modell

Das nach oben beschränkte Wachstum mit $S>B$ hat die allgemeine Gleichung:
$ B( t )=S-(S-B(0))\mathrm{e}^{-kt} = S-a\mathrm{e}^{-kt}$
$ B( t )$=$S-(S-B(0))\mathrm{e}^{-kt} $=$ S-a\mathrm{e}^{-kt}$
Das nach unten beschränkte Wachstum mit $S<B$ hat die allgemeine Gleichung:
$ B( t )$=$S+(B(0)-S)\mathrm{e}^{-kt}$ = $S+a\mathrm{e}^{-kt}$
$ B( t )$=$S+(B(0)-S)\mathrm{e}^{-kt} $=$ S+a\mathrm{e}^{-kt}$
Dabei gilt folgendes für die Parameter:
  • t: Zeit
  • $B(0)$: Anfangsbestand
  • $B(t)$: Bestandsgröße nach $t$ Zeitschritten
  • $S$: natürliche Schranke
  • $k$: Wachstumskonstante

Beispiel

Ein Verlag bringt in einer Stadt eine neue Zeitschrift auf den Markt. Die Stadt hat 4000 Haushalte und nach einer Woche sind 1436 Zeitschriften verkauft.
Der Verkauf der Zeitschrift soll als begrenztes Wachstum modelliert werden.
Zu Beginn ($t=0$) des Verkaufs hat noch niemand diese Zeitschrift, ist $B(0)=0$. Die Schranke (Sättigung) entspricht der Anzahl der Haushalte: $S = 4000$. Für die Anzahl der verkauften Zeitschriften wird folgende Funktion aufgestellt.
$B( t )=S-(S-B(0))\mathrm{e}^{-kt} \\= 4000-4000\mathrm{e}^{-kt}$
Dabei ist $t$ die Zeit in Wochen nach Verkaufsbeginn. Die Wachstumskonstante $k$ kannst du mit der Anzahl der nach $t = 1$ Woche verkauften Zeitschriften berechnen:
\begin{array}{rlll} 1436 &=&4000-4000\mathrm{e}^{-k\cdot 1}& \scriptsize{\mid\; +4000\mathrm{e}^{-kt};\ -1436} \\[5pt] 4000\mathrm{e}^{-k} &=&2564& \scriptsize{\mid\; :4000} \\[5pt] \mathrm{e}^{-k} &= &0,641& \scriptsize{\ln}\\[5pt] -k &\approx&-0,445& \scriptsize{\mid\; : (-1)}\\[5pt] k& \approx&0,445 \end{array}
\begin{array}{rlll} k& \approx&0,445 \end{array}
Die Wachstumsfunktion lautet somit: $4000-4000\mathrm{e}^{-0,445t}$.
Der Verlag möchte gerne wissen, wann in 75% der Haushalte die Zeitschrift zu finden ist.
75% der Haushalte entspricht 3000 Haushalte. Es ist also der Zeitpunkt $t$ gesucht, für den $B(t) = 3000$ gilt.
$\begin{array}[t]{rlll} B(t)&=&3000 \\[5pt] 3000&=&4000-4000\mathrm{e}^{-0,445t}& \scriptsize \mid\; +4000\mathrm{e}^{-0,445t};\ -3000\\[5pt] 4000\mathrm{e}^{-0,445t}&=&1000& \scriptsize \mid\; :4000\\[5pt] \mathrm{e}^{-0,445t}&=&0,25& \scriptsize \ln\\[5pt] -0,445t&\approx&-1,386& \scriptsize \mid :(-0,445)\\[5pt] t&\approx&3,11 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rlll} t&\approx&3,11 \end{array}$
Nach ungefähr drei Wochen haben 75% der Haushalte die Zeitschrift gekauft.
#wachstum
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Aufgaben
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1.
Vor zehn Jahren wurden auf einem Waldstück, das Platz für 12000 Bäume bietet, 500 Bäume angepflanzt. Es handelt sich hier nicht um ein Unternehmen, sondern um eine Forschergruppe, die untersuchen will, wie schnell sich Bäume ohne menschlichen Einfluss ausbreiten. Heute befinden sich 3100 Bäume auf diesem Waldstück.
a)
Ermittle anhand der gegebenen Werte eine Funktionsgleichung, mit der sich das Ausbreiten der Bäume beschreiben lässt.
b)
Wann werden sich 8000 Bäume auf dem Waldstück befinden? Wann 11000?
c)
Auf einer Plantage in der Nähe dieses Waldstückes werden Bäume für den Verkauf aufgezogen. Hier haben auch 12000 Bäume Platz und es wurde mit 500 Bäumen begonnen. Nach 10 Jahren stehen hier allerdings schon 3600 Bäume.
Gibt es einen Zeitpunkt (außer $t=0$), zu dem auf beiden Waldstücken gleich viele Bäume stehen?
2.
In der Wüste von Dubai wird ein neuer Rennwagen getestet, der eine Spitzengeschwindigkeit von 468 Stundenkilometern fährt. Nach 3 Sekunden hat er bei optimalen Verhältnissen 100 Stundenkilometer erreicht.
a)
Ermittle anhand dieser Daten eine Funktionsgleichung, mit der sich die Geschwindigkeitsentwicklung des Wagens beschreiben lässt.
b)
Wann hat er 300 Stundenkilometer erreicht? Wann 400?
c)
Zu welchem Zeitpunkt hat die erste Ableitung den Wert 10? Wie ist dies in diesem Kontext zu interpretieren?
d)
Eine Konkurrenzfirma hat einen Wagen gebaut, der eine Spitzengeschwindigkeit von 500 Stundenkilometer erreicht, die 100 Stundenkilometer allerdings erst nach 3,2 Sekunden fährt.
Ein Rennen wird ausgetragen, das 8 Sekunden dauert. Wer von den beiden erreicht im Rennen die höhere Geschwindigkeit?
3.
Onkel Dagobert hat es satt, dass dauernd jemand versucht, seinen Geldspeicher zu überfallen. Er hat vor, immer nur 100000 Taler im Geldspeicher zu lagern und den Rest in einem unterirdischen Lager unterzubringen. Beim Start des Transports befinden sich 120 Mio. Taler im Geldspeicher, nach einer Stunde sind es 5% weniger.
a)
Ermittle anhand dieser Daten eine Wachstumsgleichung, mit der sich die Entwicklung des Geldbestandes im Geldspeicher beschreiben lässt ($t$ in Stunden, $B\left(t\right)$ in Mio.).
b)
Wann wurde die Hälfte des Geldes abtransportiert? Wann 75%?
c)
Daniel Düsentrieb hat einen Weg gefunden, den Geldspeicher so zu entleeren, dass pro Stunde 8 Mio. Taler transportiert werden. Er hat dies mit einem linearen Wachstumsmodell geplant. Nach welchem Modell wäre nach 10 Stunden am wenigsten Geld im Geldspeicher? Was wird bei Düsentriebs Modell nicht berücksichtigt?
4.
Ein Mann hat im Lotto 10 Mio.€ gewonnen. Da er mit so viel Geld nicht umgehen kann, gibt er seiner Bank in Auftrag das Konto zu sperren, sobald nur noch 2 Mio.€ übrig sind.
Obwohl er sich vornimmt sparsam zu leben, schmeißt er das Geld zum Fenster raus.
a)
Es wird von beschränktem Wachstum ausgegangen. Die Abnahme des Geldes lässt sich mit der Differenzialgleichung $f'\left(t\right)=0,033\cdot\left(S-f\left(t\right)\right)$ beschreiben.
Löse diese Differenzialgleichung mit Hilfe der oben genannten Werte. Auf der $x$-Achse wird die Zeit in Wochen, auf der $y$-Achse Geld in Mio.€ abgetragen.
b)
Wann hat der Mann noch die Hälfte seines Gewinns übrig?
c)
Nach einem Jahr will sich der Mann eine Villa für 3,2 Mio.€ kaufen. Hat er noch genügend Geld?
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Lösungen
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1.
a)
Da es sich um beschränktes Wachstum handelt, lautet die allgemeine Wachstumsgleichung:
$B\left(t\right)=S-a\mathrm e^{-kt}$
1. Schritt: S bestimmen
Da $S$ die obere Schranke darstellt, muss $S=12000$ sein. Dieser Wert wird nie überschritten.
Die vorläufige Funktionsgleichung lautet somit $B(t)=a\cdot 1{,}5^t$. Mit dem Startwert 5.000 folgt:
2. Schritt: a bestimmen
Setze t=0 und B(0)=500 ein:
$\begin{array}{rlllllll} 500&=12000-a\mathrm e^{-k\cdot0}\\[3pt] 500&=12000-a\cdot1&\mid\; -12000\\[3pt] -11500&=-a&\mid\; \cdot\left(-1\right)\\[3pt] 11500&=a \end{array}$
$\begin{array}{rlllllll} 11500&=a \end{array}$
3. Schritt: k bestimmen
Setze a=11.500, S=12.000, t=10 und B(10)=3.100 ein:
$\begin{array}{rlllllll} 3100&=12000-11500\mathrm e^{-10k}&\mid\; -12000\\[5pt] -8900&=-11500\mathrm e^{-10k}&\mid\; :\left(-11500\right)\\[5pt] \dfrac{89}{115}&=\mathrm e^{-10k}&\mid\; \ln{\left(\;\right)}\\[5pt] \ln{\left(\dfrac{89}{115}\right)}&=\ln{\left(\mathrm e^{-10k}\right)}\\[5pt] \ln{\left(\dfrac{89}{115}\right)}&=-10k&\mid\; :\left(-10\right)\\[5pt] \dfrac{\ln{\left(\dfrac{89}{115}\right)}}{-10}&=k\\[5pt] 0,0256&\approx k \end{array}$
$\begin{array}{rlllllll} 0,0256&\approx k \end{array}$
Daraus ergibt sich die Wachstumsgleichung:
$B\left(t\right)=12000-11500\mathrm e^{-0,0256t}$
b)
$\blacktriangleright$ Bestimmen, wann sich 8000 Bäume auf dem Waldstück befinden
$B\left(t\right)=8000$ setzen und nach $t$ auflösen:
$\begin{array}{rlllllll} 8000&=12000-11500\mathrm e^{-0,0256t}&\mid\; -12000\\[5pt] -4000&=-11500\mathrm e^{-0,0256t}&\mid\; :\left(-11500\right)\\[5pt] \dfrac{8}{23}&=\mathrm e^{-0,0256t}&\mid\; \ln{\left(\;\right)}\\[5pt] \ln{\left(\dfrac{8}{23}\right)}&=\ln{\left(\mathrm e^{-0,0256t}\right)}\\[5pt] \ln{\left(\dfrac{8}{23}\right)}&=-0,0256t&\mid\; :\left(-0,0256\right)\\[5pt] \dfrac{\ln{\left(\dfrac{8}{23}\right)}}{-0,0256}&=t\\[5pt] 41,25 &\approx t \end{array}$
$\begin{array}{rlllllll} 41,25 &\approx t \end{array}$
Nach etwa 41 Jahren befinden sich 8000 Bäume auf dem Waldstück.
$\blacktriangleright$ Bestimmen, wann sich 11000 Bäume auf dem Waldstück befinden
$B\left(t\right)=11000$ setzen und nach $t$ auflösen:
$\begin{array}{rlllllll} 11000&=12000-11500\mathrm e^{-0,0256t}&\mid\; -12000\\[5pt] -1000&=-11500\mathrm e^{-0,0256t}&\mid\; :\left(-11500\right)\\[5pt] \dfrac{2}{23}&=\mathrm e^{-0,0256t}&\mid\; \ln{\left(\;\right)}\\[5pt] \ln{\left(\dfrac{2}{23}\right)}&=\ln{\left(\mathrm e^{-0,0256t}\right)}\\[5pt] \ln{\left(\dfrac{2}{23}\right)}&=-0,0256t&\mid\; :\left(-0,0256\right)\\[5pt] \dfrac{\ln{\left(\dfrac{2}{23}\right)}}{-0,0256}&=t\\[5pt] 95,40 &\approx t \end{array}$
$\begin{array}{rlllllll} 95,40 &\approx t \end{array}$
Nach etwa 41 Jahren befinden sich 8000 Bäume auf dem Waldstück.
c)
1. Schritt: Funktionsgleichung aufstellen
S bestimmen:
Da $S$ die obere Schranke darstellt, muss $S=12000$ sein. Dieser Wert wird nie überschritten.
a bestimmen: t=0 und B(0)=500 einsetzen:
$\begin{array}{rlllllll} 500&=12000-a\mathrm e^{-k\cdot0}\\[3pt] 500&=12000-a\cdot1&\mid\; -12000\\[3pt] -11500&=-a&\mid\; \cdot\left(-1\right)\\[3pt] 11500&=a \end{array}$
$\begin{array}{rlllllll} 11500&=a \end{array}$
k bestimmen: a=11500, S=12000, t=10 und B(10)=3600 einsetzen:
$\begin{array}{rlllllll} 3600&=12000-11500\mathrm e^{-10k}&\mid\; -12000\\[5pt] -8400&=-11500\mathrm e^{-10k}&\mid\; :\left(-11500\right)\\[5pt] \dfrac{84}{115}&=\mathrm e^{-10k}&\mid\; \ln{\left(\;\right)}\\[5pt] \ln{\left(\dfrac{84}{115}\right)}&=\ln{\left(\mathrm e^{-10k}\right)}\\[5pt] \ln{\left(\dfrac{84}{115}\right)}&=-10k&\mid\; :\left(-10\right)\\[5pt] \dfrac{\ln{\left(\dfrac{84}{115}\right)}}{-10}&=k\\[5pt] 0,0314 &\approx k \end{array}$
$\begin{array}{rlllllll} 0,0314 &\approx k \end{array}$
Daraus ergibt sich die Wachstumsgleichung:
$B\left(t\right)=12000-11500\mathrm e^{-0,0314t}$
2. Schritt: Funktionsgleichungen gleichsetzen und nach t auflösen
$\begin{array}{rlllllll} 12000-11500\mathrm e^{-0,0256t}&=12000-11500\mathrm e^{-0,0314t}&\mid\; -12000\\[5pt] -11500\mathrm e^{-0,0256t}&=-11500\mathrm e^{-0,0314t}&\mid\; :\left(-11500\right)\\[5pt] \mathrm e^{-0,0256t}&=\mathrm e^{-0,0314t}&\mid\; \ln{\left(\;\right)}\\[5pt] \ln{\left(\mathrm e^{-0,0256t}\right)}&=\ln{\left(\mathrm e^{-0,0314t}\right)}\\[5pt] -0,0256t&=-0,0314t&\mid\; +0,0314t\\[5pt] 0,057t&=0&\mid\;\;:0,057\\[5pt] t&=0 \end{array}$
$\begin{array}{rlllllll} t&=0 \end{array}$
Als einzige Lösung ergibt sich der Zeitpunkt $t=0$. Die Antwort lautet also:
Außer dem Zeitpunkt $t=0$ gibt es keinen weiteren Zeitpunkt, zu dem auf beiden Waldstücken gleich viele Bäume stehen.
2.
a)
Da es sich um beschränktes Wachstum handelt, lautet die allgemeine Wachstumsgleichung:
$B\left(t\right)=S-a\mathrm e^{-kt}$
1. Schritt: S bestimmen
Da $S$ die obere Schranke darstellt, muss $S=468$ sein. Dieser Wert wird nie überschritten.
Die vorläufige Funktionsgleichung lautet somit $B(t)=a\cdot 1{,}5^t$. Mit dem Startwert 5.000 folgt:
2. Schritt: a bestimmen
Setze t=0 und B(0)=0 ein:
$\begin{array}{rlllllll} 0&=468-a\mathrm e^{-k\cdot0}\\[3pt] 0&=468-a\cdot1&\mid\; -468\\[3pt] -468&=-a&\mid\; \cdot\left(-1\right)\\[3pt] 468&=a \end{array}$
$\begin{array}{rlllllll} 468&=a \end{array}$
3. Schritt: k bestimmen
Setze a=468, S=468, t=3 und B(3)=100 ein:
$\begin{array}{rlllllll} 100&=468-468\mathrm e^{-3k}&\mid\; -468\\[5pt] -368&=-468\mathrm e^{-3k}&\mid\; :\left(-468\right)\\[5pt] \dfrac{92}{117}&=\mathrm e^{-3k}&\mid\; \ln{\left(\;\right)}\\[5pt] \ln{\left(\dfrac{92}{117}\right)}&=\ln{\left(\mathrm e^{-3k}\right)}\\[5pt] \ln{\left(\dfrac{92}{117}\right)}&=-3k&\mid\; :\left(-3\right)\\[5pt] \dfrac{\ln{\left(\dfrac{92}{117}\right)}}{-3}&=k\\[5pt] 0,0801 &\approx k \end{array}$
$\begin{array}{rlllllll} 0,0801 &\approx k \end{array}$
Daraus ergibt sich die Wachstumsgleichung:
$B\left(t\right)=468-468\mathrm e^{-0,0801t}$
b)
$\blacktriangleright$ Bestimmen, wann der Wagen 300 Stundenkilometer erreicht hat
$B\left(t\right)=300$ setzen und nach $t$ auflösen:
$\begin{array}{rlllllll} 300&=468-468\mathrm e^{-0,0801t}&\mid\; -468\\[5pt] -168&=-468\mathrm e^{-0,081t}&\mid\; :\left(-468\right)\\[5pt] \dfrac{14}{39}&=\mathrm e^{-0,0801t}&\mid\; \ln{\left(\;\right)}\\[5pt] \ln{\left(\dfrac{14}{39}\right)}&=\ln{\left(\mathrm e^{-0,0801t}\right)}\\[5pt] \ln{\left(\dfrac{14}{39}\right)}&=-0,0801t&\mid\; :\left(-0,0801\right)\\[5pt] \dfrac{\ln{\left(\dfrac{14}{39}\right)}}{-0,0801}&=t\\[5pt] 12,79 &\approx t \end{array}$
$\begin{array}{rlllllll} 12,79 &\approx t \end{array}$
Nach etwa 12,79 Sekunden hat der Wagen 300 Stundenkilometer erreicht.
$\blacktriangleright$ Bestimmen, wann der Wagen 400 Stundenkilometer erreicht hat
$B\left(t\right)=400$ setzen und nach $t$ auflösen:
$\begin{array}{rlllllll} 400&=468-468\mathrm e^{-0,0801t}&\mid\;-468\\[5pt] -68&=-468\mathrm e^{-0,0801t}&\mid\;:\left(-468\right)\\[5pt] \dfrac{17}{117}&=\mathrm e^{-0,0801t}&\mid\;\ln{\left(\;\right)}\\[5pt] \ln{\left(\dfrac{17}{117}\right)}&=\ln{\left(\mathrm e^{-0,0801t}\right)}\\[5pt] \ln{\left(\dfrac{17}{117}\right)}&=-0,0801t&\mid\;:\left(-0,0801\right)\\[5pt] \dfrac{\ln{\left(\dfrac{17}{117}\right)}}{-0,0801}&=t\\[5pt] 24,08 &\approx t \end{array}$
$\begin{array}{rlllllll} 24,08 &\approx t \end{array}$
Nach etwa 24,08 Sekunden hat der Wagen 400 Stundenkilometer erreicht.
c)
Gesucht ist der Zeitpunkt, zu dem die erste Ableitung den Wert 10 hat. Anschließend soll dieser Wert im Kontext interpretiert werden.
1. Schritt: Ableitung bilden
$B'\left(t\right)\\=0,0801\cdot468\mathrm e^{-0,0801t}\\=B'\left(t\right)\\=37,44\mathrm e^{-0,0801t}$
2. Schritt: B'(t)=10 setzen und nach t auflösen
$\begin{array}[t]{rlllllll} 10&=37,44\mathrm e^{-0,0801t}&\mid\;:37,44\\[5pt] \dfrac{10}{37,44}&=\mathrm e^{-0,0801t}&\mid\;\ln{\left(\;\right)}\\[5pt] \ln{\left(\dfrac{10}{37,44}\right)}&=\ln{\left(\mathrm e^{-0,0801t}\right)}\\[5pt] \ln{\left(\dfrac{10}{37,44}\right)}&=-0,0801t&\mid\;:\left(-0,0801\right)\\[5pt] \dfrac{\ln{\left(\dfrac{10}{37,44}\right)}}{-0,0801}&=t\\[5pt] 16,48 &\approx t \end{array}$
$\begin{array}[t]{rlllllll} 16,48 &\approx t \end{array}$
Nach etwa 16,48 Sekunden beträgt die erste Ableitung 10.
3. Schritt: Wert interpretieren
Die Ableitung gibt immer die Änderungsrate an. Die Änderungsrate der Geschwindigkeit ist die Beschleunigung. Wenn die erste Ableitung 10 beträgt, beschleunigt der Wagen in dieser Sekunde also um 10 Stundenkilometer.
d)
1. Schritt: Funktionsgleichung aufstellen
S bestimmen:
Da $S$ die obere Schranke darstellt, muss $S=500$ sein. Dieser Wert wird nie überschritten.
a bestimmen: t=0 und B(0)=0 einsetzen:
$\begin{array}{rlllllll} 0&=500-a\mathrm e^{-k\cdot0}\\[3pt] 0&=500-a\cdot1&\mid\;-500\\[3pt] -500&=-a&\mid\;\cdot\left(-1\right)\\[3pt] 500&=a \end{array}$
$\begin{array}{rlllllll} 500&=a \end{array}$
k bestimmen: a=500, S=500, t=3,2 und B(3,2)=100 einsetzen:
$\begin{array}{rlllllll} 100&=500-500\mathrm e^{-3,2k}&\mid\;-500\\[5pt] -400&=-500\mathrm e^{-3,2k}&\mid\;:\left(-500\right)\\[5pt] \dfrac{4}{5}&=\mathrm e^{-3,2k}&\mid\;\ln{\left(\;\right)}\\[5pt] \ln{\left(\dfrac{4}{5}\right)}&=\ln{\left(\mathrm e^{-3,2k}\right)}\\[5pt] \ln{\left(\dfrac{4}{5}\right)}&=-3,2k&\mid\;:\left(-3,2\right)\\[5pt] \dfrac{\ln{\left(\dfrac{4}{5}\right)}}{-3,2}&=k\\[5pt] 0,0697 &\approx k \end{array}$
$\begin{array}{rlllllll} 0,0697 &\approx k \end{array}$
Daraus ergibt sich die Wachstumsgleichung:
$B\left(t\right)=500-500\mathrm e^{-0,0697t}$
2. Schritt:Geschwindigkeit der beiden Wagen nach 8 Sekunden berechnen
Wagen 1:
$\begin{array}{rlllllll} B\left(8\right)&=468-468\mathrm e^{-0,0801\cdot8}\\[3pt] &=468-468\cdot0,53\\[3pt] &=468-246,8\\[3pt] &=221,2 \end{array}$
Dieser Wagen hat nach 8 Sekunden etwa 221,2 Stundenkilometer erreicht.
Wagen 2:
$\begin{array}{rlllllll} B\left(8\right)&=500-500\mathrm e^{-0,0697\cdot8}\\[3pt] &=500-500\cdot0,57\\[3pt] &=500-285\\[3pt] &=215 \end{array}$
Dieser Wagen hat nach 8 Sekunden etwa 215 Stundenkilometer erreicht.
Somit ist der Wagen der Konkurrenzfirma in diesem kurzen Rennen langsamer. Er hat zwar eine höhere Höchstgeschwindigkeit, aber eine geringere Beschleunigung.
3.
a)
Da es sich um beschränkten Zerfall handelt, lautet die allgemeine Wachstumsgleichung:
$B\left(t\right)=S-a\mathrm e^{-kt}$
1. Schritt: S bestimmen
Da $S$ die Schranke darstellt, muss $S=0,1$ sein. Dieser Wert wird nie überschritten.
2. Schritt: a bestimmen
Setze t=0 und B(0)=120 ein:
$\begin{array}{rlllllll} 120&=0,1-a\mathrm e^{-k\cdot0}\\[3pt] 120&=0,1-a\cdot1&\mid\;-0,1\\[3pt] 119,9&=-a&\mid\;\cdot\left(-1\right)\\[3pt] -119,9&=a \end{array}$
$\begin{array}{rlllllll} -119,9&=a \end{array}$
3. Schritt: k bestimmen
5% von 120 Mio. Taler sind 6 Mio. Taler, d.h. es sind noch 114 Mio. Taler im Speicher.
Setze a=-119,9, S=0,1, t=1 und B(1)=114 ein:
$\begin{array}{rlllllll} 114&=0,1-\left(-119,9\right)\mathrm e^{-k}&\mid\;-0,1\\[5pt] 113,9&=119,9\mathrm e^{-k}&\mid\;:\left(119,9\right)\\[5pt] \dfrac{1139}{1199}&=\mathrm e^{-k}&\mid\;\ln{\left(\;\right)}\\[5pt] \ln{\left(\dfrac{1139}{1199}\right)}&=\ln{\left(\mathrm e^{-k}\right)}\\[5pt] \ln{\left(\dfrac{1139}{1199}\right)}&=-k&\mid\;\cdot\left(-1\right)\\[5pt] -\ln{\left(\dfrac{1139}{1199}\right)}&=k\\[5pt] 0,0513 &\approx k \end{array}$
$\begin{array}{rlllllll} 0,0513 &\approx k \end{array}$
Daraus ergibt sich die Wachstumsgleichung:
$B\left(t\right)=0,1+119,9\mathrm e^{-0,0513t}$
b)
$\blacktriangleright$ Berechnen, wann die Hälfte des Geldes abtransportiert wurde
Die Hälfte von 120 Mio. sind 60 Mio., d.h. es sind noch 60 Mio. Taler im Speicher.
$B\left(t\right)=60$ setzen und nach $t$ auflösen:
$\begin{array}{rlllllll} 60&=0,1+119,9\mathrm e^{-0,0513t}&\mid\;-0,1\\[5pt] 59,9&=119,9\mathrm e^{-0,0513t}&\mid\;:119,9\\[5pt] \dfrac{599}{1199}&=\mathrm e^{-0,0513t}&\mid\;\ln{\left(\;\right)}\\[5pt] \ln{\left(\dfrac{599}{1199}\right)}&=\ln{\left(\mathrm e^{-0,0513t}\right)}\\[5pt] \ln{\left(\dfrac{599}{1199}\right)}&=-0,0513t&\mid\;:\left(-0,0513\right)\\[5pt] \dfrac{\ln{\left(\dfrac{599}{1199}\right)}}{-0,0513}&=t\\[5pt] 13,53 &\approx t \end{array}$
$\begin{array}{rlllllll} 13,53 &\approx t \end{array}$
Nach etwa 14 Stunden ist die Hälfte des Geldes abtransportiert.
$\blacktriangleright$ Berechnen, wann 75% des Geldes abtransportiert wurden
75% von 120 Mio. sind 90 Mio., d.h. es sind noch 30 Mio. Taler im Speicher.
$B\left(t\right)=30$ setzen und nach $t$ auflösen:
$\begin{array}{rlllllll} 30&=0,1+119,9\mathrm e^{-0,0513t}&\mid\;-0,1\\[5pt] 29,9&=119,9\mathrm e^{-0,0513t}&\mid\;:119,9\\[5pt] \dfrac{299}{1199}&=\mathrm e^{-0,0513t}&\mid\;\ln{\left(\;\right)}\\[5pt] \ln{\left(\dfrac{299}{1199}\right)}&=\ln{\left(\mathrm e^{-0,0513t}\right)}\\[5pt] \ln{\left(\dfrac{299}{1199}\right)}&=-0,0513t&\mid\;:\left(-0,0513\right)\\[5pt] \dfrac{\ln{\left(\dfrac{299}{1199}\right)}}{-0,0513}&=t\\[5pt] 27,07 &\approx t \end{array}$
$\begin{array}{rlllllll} 27,07 &\approx t \end{array}$
Nach etwa 27,07 Stunden sind 75% des Geldes abtransportiert.
c)
1. Schritt: Berechnen, wie viel Geld sich nach Dagoberts Modell noch im Speicher befindet
$t=10$ setzen und ausrechnen:
$\begin{array}{rlllllll} B\left(10\right)&=0,1+119,9\mathrm e^{-0,05\cdot10}\\[3pt] &=0,1+119,9\cdot0,6\\[3pt] &=0,1+71,94\\[3pt] &=72,04 \end{array}$
Nach Dagoberts Modell würden sich nach 10 Stunden noch 72,04 Mio. Taler im Speicher befinden.
2. Schritt: Berechnen, wie viel Geld sich nach Düsentriebs Modell noch im Speicher befindet
Zuerst musst du die Funktionsgleichung für Düsentriebs Modell bestimmen.
Linearer Zerfall wird beschrieben durch: $B\left(t\right)=mt+c$
$c$ bestimmen:
$t=0$ und $B\left(0\right)=120$ setzen und ausrechnen:
$\begin{array}{rlllllll} 120&=m\cdot0+c\\[3pt] 120&=c\\ \end{array}$
Wenn nach einer Stunde 8 Mio. Taler abtransportiert wurde, befinden sich danach noch 112 Mio. Taler im Speicher.
$m$ bestimmen:
$t=1$ und $B\left(1\right)=112$ setzen und ausrechnen:
$\begin{array}{rlllllll} 112&=m\cdot1+120&\mid\;-120\\[3pt] -8&=m \end{array}$
Daraus ergibt sich die Funktionsgleichung:
$B\left(t\right)=-8t+120$
Um herauszufinden, wieviel Geld sich nach Düsentriebs Modell nach 10 Stunden noch im Speicher befindet, setzt du $t=10$:
$\begin{array}{rlllllll} B\left(10\right)&=-8\cdot10+120\\[3pt] &=-80+120\\[3pt] &=40 \end{array}$
Nach Düsentriebs Modell würden sich nach 10 Stunden noch 40 Mio. Taler im Speicher befinden.
Bei Düsentriebs Modell wird nicht berücksichtigt, dass immer 100000 Taler im Speicher bleiben sollen.
4.
a)
Wir wissen, dass die Differenzialgleichung $f'\left(t\right)=0,033\cdot\left(S-f\left(t\right)\right)$ lautet und dass von beschränktem Wachstum ausgegangen wird.
Die allgemeine Differenzialgleichung des beschränkten Wachstums lautet
$f'\left(t\right)=k\cdot\left(S-f\left(t\right)\right)$
Somit ist unser $k=0,033$.
Sehen wir uns nun die allgemeine Wachstumsgleichung des beschränkten Wachstums an:
$f\left(t\right)=S-a\cdot\mathrm e^{-kt}$
k kennen wir schon: k=0,033. S können wir herausfinden, wenn wir uns den Aufgabentext durchlesen. Da der Betrag auf dem Konto nie kleiner wird als 2 Mio.€, ist dies die Schranke, an die sich das Schaubild annähert. Also ist unser S=2.
Was uns fehlt, ist das a. Um diese Unbekannte zu bestimmen, müssen wir die Koordinaten eines Punktes in die Gleichung einsetzen, um nach a auflösen zu können. Es ist zwar kein Punkt explizit angegeben, wir wissen aber dennoch, dass der Mann zum Zeitpunkt t=0 10 Mio.€ auf seinem Konto verzeichnen konnte.
Daraus ergibt sich der Punkt $P\left(0\middle|10\right)$.
$a$ bestimmen: $t=0$ und $f\left(0\right)=10$ einsetzen
$\begin{array}{rlllllll} 10&=2-a\cdot\mathrm e^{-0,033\cdot0}\\[3pt] 10&=2-a\cdot1&\mid\;-2\\[3pt] 8&=-a&\mid\;\cdot\left(-1\right)\\[3pt] -8&=a \end{array}$
$\begin{array}{rlllllll} -8&=a \end{array}$
Daraus ergibt sich die Wachstumsgleichung:
$f\left(t\right)\\=2-\left(-8\right)\mathrm e^{-0,033t}\\=2+8\mathrm e^{-0,033t}$
b)
Die Hälfte©SchulLV 2015 des Gewinns sind 5 Mio.€. Um herauszufinden, zu welchem Zeitpunkt der Mann nur noch 5 Mio.€ übrig hat, setzen wir $f\left(t\right)=5$ und lösen nach $t$ auf.
$\begin{array}{rlllllll} 5&=2+8\mathrm e^{-0,033t}&\mid\;-2\\[5pt] 3&=8\mathrm e^{-0,033t}&\mid\;:8\\[5pt] \dfrac{3}{8}&=\mathrm e^{-0,033t}&\mid\;\ln{\left(\;\right)}\\[5pt] \ln\left(\dfrac{3}{8}\right)&=\ln\left(\mathrm e^{-0,033t}\right)\\[5pt] \ln\left(\dfrac{3}{8}\right)&=-0,033t&\mid\;:\left(-0,033\right)\\[5pt] \dfrac{\ln\left(\frac{3}{8}\right)}{-0,033}&=t\\[5pt] 29,72 &\approx t \end{array}$
$\begin{array}{rlllllll} 29,72 &\approx t \end{array}$
Nach etwa 30 Wochen hat der Mann noch die Hälfte seines Gewinns übrig.
c)
Ein Jahr entspricht 52 Wochen. Wir bestimmen zunächst $f\left(52\right)$, um herauszufinden, wie viel von seinem Gewinn zu diesem Zeitpunkt noch übrig ist. Diesen Betrag vergleichen wir dann mit 3,2.
$\begin{array}{rlllllll} f\left(52\right)&=2+8\mathrm e^{-0,033\cdot52}\\[5pt] &=2+8\mathrm e^{-1,716}\\[5pt] &=2+8\cdot0,18\\[5pt] &=2+1,44\\[5pt] &=3,44 \end{array}$
Nach einem Jahr hat der Mann noch $3,44$ Mio.€ von seinem Gewinn übrig. Das Haus für $3,2$ Mio.€ kann er sich also kaufen.
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