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Arithmetrische und geometrische Folge

Spickzettel
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Man unterscheidet zwischen arithmetischen und geometrischen Zahlenfolgen.
  • Für arithmetische Folgen gilt: Die Differenz $d$ zwischen zwei benachbarten Gliedern ist immer gleich.
    $a_{n+1}-a_n=d$, wobei d konstant ist
    $a_{n+1}-a_n=d$, wobei d konstant ist
  • Geometrische Folgen sind dadurch gekennzeichnet, dass der Quotient $q$ zweier aufeinander folgender Glieder immer gleich ist.
    $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=q$, wobei q konstant ist
    $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=q$, wobei q konstant ist

Beispiele

  • $a_n=-2n+1; \; a_1=1$
    Die ersten Glieder dieser Folge lauten: $-1, -3, -5, -7, -9, …$
    Diese Zahlenfolge ist arithmetisch, da gilt: $a_{n+1}-a_n=-2$
  • $a_n=(-\dfrac{1}{2})^n; \; a_1=1$
    Die ersten Glieder dieser Folge lauten: $-\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, -\frac{1}{8}, \frac{1}{16}, -\frac{1}{32}…$
    Diese Zahlenfolge ist geometrisch, da gilt: $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=-\dfrac{1}{2}$
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1.
Bestimme, ob die angegebenen Folgen geometrisch, arithmetisch oder weder geometrisch noch arithmetisch sind.
b)
$a_n=4+3n$
d)
$a_n=\left(1+n\right)+2$
f)
$a_n=\left(-2\right)^n$
2.
Gib ein explizites Bildungsgesetz dieser Folge an.
 Für geometrische Folgen gilt die allgemeine Gleichung $a_n=a_0\cdot q^n$.
 Für arithmetische Folgen gilt die allgemeine Gleichung $a_n=a_0+d\cdot n$.
b)
$3,5,7,9,11,…$
d)
$41,54,67,80,…$
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1.
a)
$a_n=\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n$
Verdacht: geometrische Folge
Zu zeigen: $\dfrac{a_{3}}{a_2}=\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=q$
$\begin{array}{r@{ }l@{\hspace{1cm}}l} a_3=&-\dfrac{1}{8}& \\ a_2=&\dfrac{1}{4}& \\ \end{array}$
$\begin{array}{r@{ }l@{\hspace{1cm}}l} \dfrac{a_{n+1}}{a_n}=&\dfrac{\left(-\frac{1}{2}\right)^{n+1}}{\left(-\frac{1}{2}\right)^n}& \\ \dfrac{a_{n+1}}{a_n}=&\dfrac{\left(-\frac{1}{2}\right)^n\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)}{\left(-\frac{1}{2}\right)^n}& \\ \dfrac{a_{n+1}}{a_n}=&-\dfrac{1}{2}& \\ \end{array}$
$\begin{array}{r@{ }l@{\hspace{1cm}}l} \dfrac{a_3}{a_2}=&\dfrac{-\frac{1}{8}}{\frac{1}{4}}& \\ =&-\dfrac{1}{8}\cdot\dfrac{4}{1}& \\ \dfrac{a_3}{a_2}=&-\dfrac{1}{2}& \\ \end{array}$
Es handelt sich um eine geometrische Folge, weil der Quotient von aufeinanderfolgenden Folgegliedern immer gleich ist.
b)
$a_n=4+3n$
Verdacht: arithmetische Folge
Zu zeigen: $a_3-a_2=a_{n+1}-a_n=q$
$\begin{array}{r@{ }l@{\hspace{1cm}}l} a_3=&13& \\ a_2=&10& \\ \end{array}$
$\begin{array}{r@{ }l@{\hspace{1cm}}l} a_{n+1}-a_n=&4+3\left(n+1\right)-\left(4+3n\right)& \\ =&4+3n+3-4-3n& \\ =&3& \\ \end{array}$
$a_{n+1}-a_n=3 $
$\begin{array}{r@{ }l@{\hspace{1cm}}l} a_3-a_2=&13-10& \\ =&3& \\ \end{array}$
Es handelt sich um eine arithmetische Folge, weil die Differenz von aufeinanderfolgenden Folgegliedern immer gleich ist.
c)
$a_n=\left(n+1\right)^2$
Verdacht: Weder noch
Zu zeigen: $a_3-a_2\neq a_{n+1}-a_n$ und $\dfrac{a_3}{a_2}\neq\dfrac{a_{n+1}}{a_n}$
$\begin{array}{r@{ }l@{\hspace{1cm}}l} a_3=&16& \\ a_2=&9& \\ \end{array}$
$\begin{array}{r@{ }l@{\hspace{1cm}}l} a_{n+1}-a_n=&\left(n+2\right)^2-\left(n+1\right)^2& \\ =&n^2+4n+4-\left(n^2+2n+1\right)& \\ =&n^2+4n+4-n^2-2n-1& \\ =&2n+3& \\ \end{array}$
$a_{n+1}-a_n=2n+3$
$\begin{array}{r@{ }l@{\hspace{1cm}}l} a_3-a_2=&16-9& \\ =&7& \\ \end{array}$
Es handelt sich nicht um eine arithmetische Folge, weil die Differenz von aufeinanderfolgenden Folgegliedern abhängig von $n$ und nicht immer die selbe Zahl ist.
$\begin{array}{r@{ }l@{\hspace{1cm}}l} \dfrac{a_{n+1}}{a_n}=&\dfrac{\left(n+2\right)^2}{\left(n+1\right)^2}& \\ =&\dfrac{n^2+4n+4}{n^2+2n+1}& \\ \end{array}$
$\begin{array}{r@{ }l@{\hspace{1cm}}l} \dfrac{a_3}{a_2}=&\dfrac{16}{9}& \\ \end{array}$
Es handelt sich nicht um eine geometrische Folge, weil der Quotient von aufeinanderfolgenden Folgegliedern abhängig von $n$ und nicht immer die selbe Zahl ist.
d)
$a_n=\left(1+n\right)+2$
Verdacht: arithmetische Folge
Zu zeigen: $a_3-a_2=a_{n+1}-a_n=q$
$\begin{array}{r@{ }l@{\hspace{1cm}}l} a_3=&6& \\ a_2=&5& \\ \end{array}$
$\begin{array}{r@{ }l@{\hspace{1cm}}l} a_{n+1}-a_n=&\left(1+n+1\right)+2-\left(\left(1+n\right)+2\right)& \\ =&2+n+2-\left(1+n+2\right)& \\ =&4+n-3-n& \\ =&1& \\ \end{array}$
$a_{n+1}-a_n=1$
$\begin{array}{r@{ }l@{\hspace{1cm}}l} a_3-a_2=&6-5& \\ =&1& \\ \end{array}$
Es handelt sich um eine arithmetische Folge, weil die Differenz von aufeinanderfolgenden Folgegliedern immer gleich ist.
e)
$a_n=2\cdot4^n$
Verdacht: geometrische Folge
Zu zeigen: $\dfrac{a_{3}}{a_2}=\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=q$
$\begin{array}{r@{ }l@{\hspace{1cm}}l} a_3=&128& \\ a_2=&32& \\ \end{array}$
$\begin{array}{r@{ }l@{\hspace{1cm}}l} \dfrac{a_{n+1}}{a_n}=&\dfrac{2\cdot4^{n+1}}{2\cdot4^n}& \\ \dfrac{a_{n+1}}{a_n}=&\dfrac{2\cdot4^n\cdot4}{2\cdot4^n}& \\ \dfrac{a_{n+1}}{a_n}=&4& \\ \end{array}$
$\begin{array}{r@{ }l@{\hspace{1cm}}l} \dfrac{a_3}{a_2}=&\dfrac{128}{32}& \\ \dfrac{a_3}{a_2}=&4& \\ \end{array}$
Es handelt sich um eine geometrische Folge, weil der Quotient von aufeinanderfolgenden Folgegliedern immer gleich ist.
f)
$a_n=\left(-2\right)^n$
Verdacht: geometrische Folge
Zu zeigen: $\dfrac{a_{3}}{a_2}=\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=q$
$\begin{array}{r@{ }l@{\hspace{1cm}}l} a_3=&-8& \\ a_2=&4& \\ \end{array}$
$\begin{array}{r@{ }l@{\hspace{1cm}}l} \dfrac{a_{n+1}}{a_n}=&\dfrac{\left(-2\right)^{n+1}}{\left(-2\right)^n}& \\ \dfrac{a_{n+1}}{a_n}=&\dfrac{\left(-2\right)^n\cdot\left(-2\right)}{\left(-2\right)^n}& \\ \dfrac{a_{n+1}}{a_n}=&-2& \\ \end{array}$
$\begin{array}{r@{ }l@{\hspace{1cm}}l} \dfrac{a_3}{a_2}=&\dfrac{-8}{4}& \\ \dfrac{a_3}{a_2}=&-2& \\ \end{array}$
Es handelt sich um eine geometrische Folge, weil der Quotient von aufeinanderfolgenden Folgegliedern immer gleich ist.
g)
$a_n=8-2n$
Verdacht: arithmetische Folge
Zu zeigen: $a_3-a_2=a_{n+1}-a_n=q$
$\begin{array}{r@{ }l@{\hspace{1cm}}l} a_3=&2& \\ a_2=&4& \\ \end{array}$
$\begin{array}{r@{ }l@{\hspace{1cm}}l} a_{n+1}-a_n=&8-2\left(n+1\right)-\left(8-2n\right)& \\ =&8-2n-2-8+2n& \\ =&-2& \\ \end{array}$
$ a_{n+1}-a_n=-2$
$\begin{array}{r@{ }l@{\hspace{1cm}}l} a_3-a_2=&2-4& \\ =&-2& \\ \end{array}$
Es handelt sich um eine arithmetische Folge, weil die Differenz von aufeinanderfolgenden Folgegliedern immer gleich ist.
2.
 Für geometrische Folgen gilt die allgemeine Gleichung $a_n=a_0\cdot q^n$.
 Für arithmetische Folgen gilt die allgemeine Gleichung $a_n=a_0+d\cdot n$.
b)
$3,5,7,9,11,…$
Jedes Folgeglied wird dadurch gebildet, dass sein Vorgänger um 2 erhöht wird. Es handelt sich also um eine arithmetische Folge. Der Anfangswert $a_0$ lautet $1$. Wir können also schreiben:
$a_n=1+2n$
d)
$41,54,67,80,…$
Jedes Folgeglied wird dadurch gebildet, dass sein Vorgänger um 13 erhöht wird. Es handelt sich also um eine arithmetische Folge. Der Anfangswert $a_0$ lautet $28$. Wir können also schreiben:
$a_n=28+13n$
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