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Lernbereich Digitales Schulbuch
Analysis
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Logarithmusfunktionen
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Trigonometrische Funk...
Funktionsgleichungen ...
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Ganzrationale Funktio...
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Ganzrationale Funktio...
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Tangente
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Flächeninhalt zwische...
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Stetigkeit
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Geraden
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Spurpunkte
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Gerade - Gerade
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Gerade - Gerade
Gerade - Ebene
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Einführung

Spickzettel
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Eine Zahlenfolge $a_n$ ist, wie der Name schon sagt, eine Reihenfolge von Zahlen. Jedes Glied einer Folge kann anhand einer Formel, dem Bildungsgesetz, bestimmt werden. Dafür gibt es mehrere Möglichkeiten, wie zum Beispiel das Nennen aller Folgeglieder oder durch Angabe einer Funktion, welche die Folge beschreibt.
Zahlenfolgen können durch rekursive oder explizite Bildungsgesetze beschrieben werden.
Bei einer rekursiven Folge kann man immer nur das nächste Folgenglied bestimmen. Will man beispielsweise das Folgenglied $n=5$ bestimmen, so muss man zuvor die Folgenglieder $n=1$, $n=2$, $n=3$ und $n=4$ berechnen.
Bei einer expliziten Folge kann jedes beliebige Folgenglied sofort bestimmt werden.

Beispiele

  1. $a_n=2\cdot a_{n-1}; \; a_1=2$
    Diese Zahlenfolge ist rekursiv, da man immer das Vorgängerglied braucht, um das nächste Glied zu berechnen.
    Die ersten Glieder dieser Folge lauten: $2, 4, 8, 16, …$
  2. $a_n=2^n; \; a_1=2$
    Diese Zahlenfolge ist explizit, durch Einsetzen von $n$ kann man immer sofort das $n$-te Folgenglied bestimmen.
    Die ersten Glieder dieser Folge lauten ebenfalls: $2, 4, 8, 16, …$
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Aufgaben
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1.
Führe die Zahlenfolge fort (5 weitere Glieder).
b)
$2,5,11,23,…$
d)
$1,2,3,5,8,…$
2.
Bestimme die ersten 5 Folgenglieder.
b)
$a_n=\left(n+1\right)^n$
d)
$a_n=-2n+1$
3.
Prüfe, ob folgende Zahlen Glieder der angegebenen Folge sind.
b)
$a_n=\left(n-1\right)^2; 15$
d)
$a_n=2^n; 72$
4.
Beantworte die folgenden Fragen.
b)
Worin unterscheiden sich arithmetische von geometrischen Folgen?
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Lösungen
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1.
b)
$2,5,11,23,…$
$…47,95,191,383,627$
d)
$1,2,3,5,8,…$
$…13,21,44,65,109$
2.
b)
$a_n=\left(n+1\right)^n$
$2,9,64,625,7776$
d)
$a_n=-2n+1$
$-1,-3,-5,-7,-9$
3.
b)
$a_n=\left(n-1\right)^2; 15$
$\begin{array}{r@{ }l@{\hspace{1cm}}l} 15=&\left(n-1\right)^2& \\ 15=&n^2-2n+1& \mid -15 \\ 0=&n^2-2n-14& \\ \end{array}$
$p$-$q$-Formel anwenden:
$\begin{array}{r@{ }l@{\hspace{1cm}}l} n_{1,2}=&1\pm\sqrt{1+14}& \\ =&1\pm\sqrt{15}& \\ \end{array}$
Da der Definitionsbereich von Folgen $\mathbb{D}=\mathbb{N}$ ist, dürfen nur positive, ganze Zahlen für $n$ eingesetzt werden. In diesem Fall handelt es sich beim Ergebnis nicht um eine natürliche Zahl, deshalb ist $15$ kein Glied dieser Folge.
d)
$a_n=2^n; 72$
$\begin{array}{r@{ }l@{\hspace{1cm}}l} 72=&2^n& \mid \log{\left(\;\right)} \\ n=&\log_2{\left(72\right)}& \mid \cdot4 \\ n=&\dfrac{\log{\left(72\right)}}{\log{\left(2\right)}}& \\ n\approx&6,1699& \mid -3n\\ \end{array}$
Da der Definitionsbereich von Folgen $\mathbb{D}=\mathbb{N}$ ist, dürfen nur positive, ganze Zahlen für $n$ eingesetzt werden. In diesem Fall handelt es sich beim Ergebnis nicht um eine natürliche Zahl, deshalb ist $72$ kein Glied dieser Folge.
4.
b)
Worin unterscheiden sich arithmetische von geometrischen Folgen?
Wenn eine arithmetische Folge vorliegt, so ist die Differenz zwischen aufeinanderfolgenden Folgegliedern immer gleich. Die Differenz zwischen z.B. $a_4-a_3$ ist also genauso groß wie die Differenz zwischen $a_7-a_6$.
Wenn eine geometrische Folge vorliegt, so ist der Quotient von aufeinanderfolgenden Folgegliedern immer gleich. $\dfrac{a_4}{a_3}$ z.B. ist also genauso groß wie $\dfrac{a_7}{a_6}$.
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