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Inhaltsverzeichnis
Lernbereich Digitales Schulbuch
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Exponentialfunktionen
Gebrochenrationale Fu...
Logarithmusfunktionen
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Trigonometrische Funk...
Funktionsgleichungen ...
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Ganzrationale Funktio...
Gebrochenrationale Fu...
Exponentialfunktionen
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Tangente
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Flächeninhalt zwische...
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Allgemeine Fragen zu ...
Definitions- und Wert...
Gebrochenrationale Fu...
Wurzelfunktionen
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Stetigkeit und Differ...
Stetigkeit
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Exponentielles Wachst...
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Logistisches Wachstum
Näherungsverfahren
Keplersche Fassregel
Newtonsches Verfahren
Vermischte Aufgaben
Weiterführende Übungs...
Ganzrationale Funktio...
Gebrochenrationale Fu...
Exponentialfunktionen
Analytische Geometrie
Vektoren
Rechnen mit Vektoren
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Geraden
Geraden
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Geraden im Raum
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Normalenform
Koordinatenform
Umrechnen von Ebeneng...
Ebenen im Raum
Ebenen in Körpern
Spurpunkte
Spurgerade
Vermischte Aufgaben
Gegenseitige Lage
Gerade - Gerade
Gerade - Ebene
Ebene - Ebene
Vermischte Aufgaben
Abstände
Punkt - Gerade
Gerade - Gerade
Gerade - Ebene
Punkt - Ebene
Ebene - Ebene
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Zwischen Vektoren
Gerade - Gerade
Gerade - Ebene
Ebene - Ebene
Vermischte Aufgaben
Spiegelungen
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Vermischte Aufgaben
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Geordnete Stichprobe ...
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Einseitiger Test
Zweiseitiger Test

Gerade - Gerade

Spickzettel
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Für die gegenseitige Lage von zwei Geraden gibt es vier Möglichkeiten:
Art der LageAnzahl gemeinsamer PunkteParallelität
identisch
$\infty$
sie schneiden sich
$1$
parallel aber nicht identisch
$0$
windschief
$0$

Vorgehen

  • Überprüfe die Geraden auf Parallelität. Überprüfe dazu, ob die beiden Richtungsvektoren linear abhängig sind.
  • Sind die Geraden parallel, so führe eine Punktprobe durch:
    • Liegt der Stützpunkt der einen Gerade auch auf der anderen Gerade? Dann sind sie identisch
    • Liegt der Stützpunkt der einen Gerade nicht auf der zweiten Gerade? Dann sind sie parallel aber nicht identisch
  • Sind sie nicht parallel, dann bestimme die Schnittpunkte der beiden Geraden durch Gleichsetzen.
    • Das LGS hat keine Lösung: Sie sind windschief.
    • Das LGS hat eine Lösung: Die Geraden schneiden sich.
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1.
Untersuche die gegenseitige Lage der beiden Geraden.
b)
$g:\;\overrightarrow{x} = \left( {\begin{array}{*{20}r} 4 \\ 5 \\ 1 \\ \end{array}} \right)+ r\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 2 \\ 3 \\ \end{array}} \right)$
$h:\;\overrightarrow{x} = \left( {\begin{array}{*{20}r} 3 \\ 4 \\ 2 \\ \end{array}} \right)+ s\left( {\begin{array}{*{20}r} 5 \\ 9 \\ 8 \\ \end{array}} \right)$
d)
$g:\;\overrightarrow{x} = \left( {\begin{array}{*{20}r} 4 \\ 3 \\ 1 \\ \end{array}} \right)+ r\left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ 5 \\ 4 \\ \end{array}} \right)$
$h:\;\overrightarrow{x} = \left( {\begin{array}{*{20}r} 4 \\ 6 \\ 2 \\ \end{array}} \right)+ s\left( {\begin{array}{*{20}r} 6 \\ 15 \\ 12 \\ \end{array}} \right)$
f)
$g:\;\overrightarrow{x} = \left( {\begin{array}{*{20}r} 3 \\ 2 \\ 1 \\ \end{array}} \right)+ r\left( {\begin{array}{*{20}r} 4 \\ 6 \\ 8 \\ \end{array}} \right)$
$h:\;\overrightarrow{x} = \left( {\begin{array}{*{20}r} 7 \\ 3 \\ 3 \\ \end{array}} \right)+ s\left( {\begin{array}{*{20}r} 0 \\ 5 \\ 6 \\ \end{array}} \right)$
2.
Bestimme den Parameter $a$ so, dass die Geraden sich schneiden.
b)
$g:\;\overrightarrow{x} = \left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 3 \\ 2 \\ \end{array}} \right)+ r\left( {\begin{array}{*{20}r} 8 \\ 2 \\ 2a \\ \end{array}} \right)$
$h:\;\overrightarrow{x} = \left( {\begin{array}{*{20}r} 4 \\ 6 \\ 3 \\ \end{array}} \right)+ s\left( {\begin{array}{*{20}r} 9 \\ 6 \\ 5 \\ \end{array}} \right)$
d)
$g:\;\overrightarrow{x} = \left( {\begin{array}{*{20}r} 5 \\ 8 \\ 6 \\ \end{array}} \right)+ r\left( {\begin{array}{*{20}r} 7 \\ a \\ 2a \\ \end{array}} \right)$
$h:\;\overrightarrow{x} = \left( {\begin{array}{*{20}r} 4 \\ 3 \\ 2 \\ \end{array}} \right)+ s\left( {\begin{array}{*{20}r} 5 \\ 2 \\ 1 \\ \end{array}} \right)$
3.
Zeige, dass die drei Geraden jeweils parallel zueinander sind.
$h:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{r} 0\\ 1\\ 2\\ \end{array}\right)+s\cdot\left(\begin{array}{r} -6\\ -3\\ 3\\ \end{array}\right)$
$h:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{r} -2\\ 3\\ 7\\ \end{array}\right)+s\cdot\left(\begin{array}{r} -5\\ 2\\ -3\\ \end{array}\right)$
$h:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{r} 2\\ -2\\ -2\\ \end{array}\right)+s\cdot\left(\begin{array}{r} 0\\ -1\\ -2\\ \end{array}\right)$
$h:\overrightarrow{x}=s\cdot\left(\begin{array}{r} -\frac{5}{2}\\ \frac{5}{3}\\ \frac{25}{6}\\ \end{array}\right)$
4.
Bestimme $k$ so, dass die beiden Geraden parallel sind.
b)
$g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{r} -1\\ 5\\ 0\\ \end{array}\right)+r\cdot\left(\begin{array}{r} 1\\ 2k\\ 2\\ \end{array}\right)$
$h:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{r} 0\\ 2\\ 2\\ \end{array}\right)+s\cdot\left(\begin{array}{r} 3\\ 3\\ 6\\ \end{array}\right)$
d)
$g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{r} 1\\ 0\\ -3\\ \end{array}\right)+r\cdot\left(\begin{array}{r} 2\\ k\\ 0\\ \end{array}\right)$
$h:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{r} 0\\ 2\\ 5\\ \end{array}\right)+s\cdot\left(\begin{array}{r} 1\\ 4\\ 0\\ \end{array}\right)$
5.
Bestimme $m$ so, dass die beiden Geraden senkrecht aufeinander stehen.
b)
$g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{r} -5\\ 4\\ 4\\ \end{array}\right)+r\cdot\left(\begin{array}{r} m\\ 1\\ 4\\ \end{array}\right)$
$h:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{r} -1\\ 0\\ 2\\ \end{array}\right)+s\cdot\left(\begin{array}{r} 2\\ -2\\ -1\\ \end{array}\right)$
d)
$g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{r} 0\\ 1\\ 0\\ \end{array}\right)+r\cdot\left(\begin{array}{r} 2\\ 1\\ -4\\ \end{array}\right)$
$h:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{r} 4\\ 3\\ -8\\ \end{array}\right)+s\cdot\left(\begin{array}{r} m\\ -m\\ 1\\ \end{array}\right)$
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Lösungen
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1.
Die Geraden können sich schneiden, parallel, identisch oder windschief sein.
a)
$\begin{array}[t]{rll} \left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ -2 \\ 1 \\ \end{array}} \right)+ r\left( {\begin{array}{*{20}r} -3 \\ 2 \\ 1 \\ \end{array}} \right)=&\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ -4 \\ 3 \\ \end{array}} \right)+ s\left( {\begin{array}{*{20}r} -2 \\ 1 \\ 1 \\ \end{array}} \right)&\\[5pt] r\left( {\begin{array}{*{20}r} -3 \\ 2 \\ 1 \\ \end{array}} \right)-s\left( {\begin{array}{*{20}r} -2 \\ 1 \\ 1 \\ \end{array}}\right)=&\left( {\begin{array}{*{20}r} 0 \\ -2 \\ 2 \\ \end{array}} \right)&\\ \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ -2 \\ 1 \\ \end{array}} \right)+ r\left( {\begin{array}{*{20}r} -3 \\ 2 \\ 1 \\ \end{array}} \right)=\;… \end{array}$
LGS oder Matrix aufstellen:
$\begin{array}{lrcrcrcrl} Ⅰ &&&-3r&+&2s&=&0&\\[5pt] Ⅱ&&&2r&-&s&=&-2&\\[5pt] Ⅲ&&&r&-&s&=&2&\quad \left(\text{2Ⅲ-Ⅱ}\right)\\[5pt] \hline Ⅰ&&&-3r&-&2s&=&0&\\[5pt] Ⅱ&&&2r&-&s&=&-2&\\[5pt] Ⅲa&&&&&-s&=&6&\\[5pt] \end{array}$
Daraus folgt:
$\begin{array}{rll} s=&-6\\ \end{array}$
$s$ einsetzen in Ⅱ:
$\begin{array}{rll} 2\cdot r+6=&-2&\quad \mid\, -6 &\mid\, :2\\[5pt] r=&-4& \\[5pt] \end{array}$
$r$ und $s$ einsetzen in Ⅰ:
$\begin{array}{rll} -3\cdot(-4)+2\cdot(-6)=&0\\[5pt] 12-12=&0&\quad \\[5pt] 0=&0 \end{array}$
$\begin{array}{lrcrcrcrl} Ⅰ…\\[5pt] Ⅱ…\\[5pt] Ⅲ…\\[5pt] \end{array}$
Die Geraden schneiden sich in $r$ eingesetzt in $g$:
$S(13 \mid -10 \mid -3)$
b)
$\begin{array}[t]{rll} \left( {\begin{array}{*{20}r} 4 \\ 5 \\ 1 \\ \end{array}} \right)+ r\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 2 \\ 3 \\ \end{array}} \right)=&\left( {\begin{array}{*{20}r} 3 \\ 4 \\ 2 \\ \end{array}} \right)+ s\left( {\begin{array}{*{20}r} 5 \\ 9 \\ 8 \\ \end{array}} \right)&\\[5pt] r\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 2 \\ 3 \\ \end{array}} \right)-s\left( {\begin{array}{*{20}r} 5 \\ 9 \\ 8 \\ \end{array}}\right)=&\left( {\begin{array}{*{20}r} -1 \\ -1 \\ 1 \\ \end{array}} \right)&\\ \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} r\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 2 \\ 3 \\ \end{array}} \right)-s\left( {\begin{array}{*{20}r} 5 \\ 9 \\ 8 \\ \end{array}}\right)=&…\\ \end{array}$
LGS oder Matrix aufstellen:
$\begin{array}{lrcrcrcrl} Ⅰ&&&r&-&5s&=&-1&\\[5pt] Ⅱ&&&2r&-&9s&=&-1&\\[5pt] Ⅲ&&&3r&-&8s&=&1&\quad \left(\text{3Ⅰ}-\text{Ⅲ}\right)\\[5pt] \hline Ⅰ&&&r&-&5s&=&-1&\\[5pt] Ⅱ&&&2r&-&9s&=&-1&\\[5pt] Ⅲ&&&&&-7s&=&-4&\\[5pt] \end{array}$
Daraus folgt:
$\begin{array}{rll} -7s=&-4\\[5pt] s=&\dfrac{4}{7}\\[5pt] \end{array}$
$s$ einsetzen in Ⅱ:
$\begin{array}{rll} 2\cdot r-9\cdot \dfrac{4}{7}=&-1& \\[5pt] r=&\dfrac{29}{14}& \\[5pt] \end{array}$
$r$ und $s$ einsetzen in Ⅰ:
$\begin{array}{rll} \dfrac{29}{14}-5\cdot\dfrac{4}{7}=&-1\\[5pt] \dfrac{29}{14}-\dfrac{20}{7}=&-1&\quad \\[5pt] -\dfrac{11}{14}\neq&-1 \end{array}$
Die Geraden schneiden sich nicht. Daher können sie nur noch parallel oder windschief sein.
Schaut man sich die beiden Richtungsvektoren
$s\left( {\begin{array}{*{20}r} 5 \\ 9 \\ 8 \\ \end{array}}\right)$ und $r\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 2 \\ 3 \\ \end{array}} \right)$, so sieht man, dass diese linear unabhängig  sind.
Aus keinem Schnittpunkt und linear unabhängigen Richtungsvektoren folgt somit, dass die Geraden windschief zueinander liegen.
c)
$\begin{array}[t]{rll} \left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ 5 \\ 1 \\ \end{array}} \right)+ r\left( {\begin{array}{*{20}r} 4 \\ 6 \\ 2 \\ \end{array}} \right)=&\left( {\begin{array}{*{20}r} -6 \\ 15 \\ 1 \\ \end{array}} \right)+ s\left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ 3 \\ 1 \\ \end{array}} \right)&\\[5pt] r\left( {\begin{array}{*{20}r} 4 \\ 6 \\ 2 \\ \end{array}} \right)-s\left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ 3 \\ 1 \\ \end{array}}\right)=&\left( {\begin{array}{*{20}r} -8 \\ 10 \\ 0 \\ \end{array}} \right)&\\ \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} r\left( {\begin{array}{*{20}r} 4 \\ 6 \\ 2 \\ \end{array}} \right)-s\left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ 3 \\ 1 \\ \end{array}}\right)=&…\\ \end{array}$
LGS oder Matrix aufstellen:
$\begin{array}{lrcrcrcrl} Ⅰ&&&4r&-&2s&=&-8&\\[5pt] Ⅱ&&&6r&-&3s&=&10&\\[5pt] Ⅲ&&&2r&-&s&=&0&\quad \left(\text{Ⅰ}-\text{2Ⅲ}\right)\\[5pt] \hline Ⅰ&&&4r&-&2s&=&-8&\\[5pt] Ⅱ&&&6r&-&3s&=&10&\\[5pt] Ⅲ&&&&&0&\neq&-8&\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}{lrcrcrcrl} Ⅰ…\\[5pt] Ⅱ…\\[5pt] Ⅲ…\\[5pt] \end{array}$
Aus $0\cdot s$=$-8$ folgt, dass die Gleichung nicht lösbar ist.
Die Geraden schneiden sich also nicht. Somit können sie nur noch parallel oder windschief sein.
Schaut man sich die Richtungsvek- toren an, so sieht man, dass diese linear abhängig  sind: $\left( {\begin{array}{*{20}r} 4 \\ 6 \\ 2 \\ \end{array}} \right)$=$2\cdot\left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ 3 \\ 1 \\ \end{array}} \right)$
Da die Geraden sich nicht schnei- den und ihre Richtungsvektoren linear abhängig  sind, liegen sie parallel zueinander.
d)
$\begin{array}[t]{rll} \left( {\begin{array}{*{20}r} 4 \\ 3 \\ 1 \\ \end{array}} \right)+ r\left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ 5 \\ 4 \\ \end{array}} \right)=&\left( {\begin{array}{*{20}r} 4 \\ 6 \\ 2 \\ \end{array}} \right)+ s\left( {\begin{array}{*{20}r} 6 \\ 15 \\ 12\\ \end{array}} \right)&\\[5pt] r\left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ 5 \\ 4 \\ \end{array}} \right)-s\left( {\begin{array}{*{20}r} 6 \\ 15 \\ 12\\ \end{array}}\right)=&\left( {\begin{array}{*{20}r} 0 \\ 3 \\ 1 \\ \end{array}} \right)&\\ \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \left( {\begin{array}{*{20}r} 4 \\ 3 \\ 1 \\ \end{array}} \right)+ r\left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ 5 \\ 4 \\ \end{array}} \right)=\;…\\ \end{array}$
LGS oder Matrix aufstellen:
$\begin{array}{lrcrcrcrl} Ⅰ&&&2r&-&6s&=&0&\\[5pt] Ⅱ&&&5r&-&15s&=&3&\\[5pt] Ⅲ&&&4r&-&12s&=&1&\quad \left(\text{4Ⅱ}-\text{5Ⅲ}\right)\\[5pt] \hline Ⅰ&&&2r&-&6s&=&0&\\[5pt] Ⅱ&&&5r&-&15s&=&3&\\[5pt] Ⅲ&&&&&0&\neq&7&\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}{lrcrcrcrl} Ⅰ…\\[5pt] Ⅱ…\\[5pt] Ⅲ…\\[5pt] \end{array}$
Aus $0\cdot s=7$ folgt, dass die Glei- chung nicht lösbar ist.
Die Geraden schneiden sich also nicht. Somit können sie nur noch parallel oder windschief sein.
Da die Geraden sich nicht schnei- den und ihre Richtungsvektoren li- near abhängig  sind, liegen sie parallel zueinander.
e)
$\begin{array}[t]{rll} \left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ -5 \\ 1 \\ \end{array}} \right)+ r\left( {\begin{array}{*{20}r} 16 \\ 20 \\ 4\\ \end{array}} \right)=&\left( {\begin{array}{*{20}r} -6 \\ -15 \\ -1 \\ \end{array}} \right)+ s\left( {\begin{array}{*{20}r} 4 \\ 5 \\ 1\\ \end{array}} \right)&\\[5pt] r\left( {\begin{array}{*{20}r} 16 \\ 20 \\ 4 \\ \end{array}} \right)-s\left( {\begin{array}{*{20}r} 4 \\ 5 \\ 1\\ \end{array}}\right)=&\left( {\begin{array}{*{20}r} -8 \\ -10 \\ -2 \\ \end{array}} \right)&\\ \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ -5 \\ 1 \\ \end{array}} \right)+ r\left( {\begin{array}{*{20}r} 16 \\ 20 \\ 4\\ \end{array}} \right)=\;…\\ \end{array}$
LGS oder Matrix aufstellen:
$\begin{array}{lrcrcrcrl} Ⅰ&&&16r&-&4s&=&-8&\\[5pt] Ⅱ&&&20r&-&5s&=&-10&\\[5pt] Ⅲ&&&4r&-&s&=&-2&\quad \left(\text{Ⅰ}-\text{4Ⅲ}\right)\\[5pt] \hline Ⅰ&&&16r&-&4s&=&-8&\\[5pt] Ⅱ&&&20r&-&5s&=&-10&\quad(5\cdot\text{Ⅰ-4Ⅱ})\\[5pt] Ⅲ&&&&&0&=&0&\\[5pt] \hline Ⅰ&&&16r&-&4s&=&-8&\\[5pt] Ⅱ&&&0\cdot r&+&0 \cdot s&=&0&\\[5pt] Ⅲ&&&0\cdot r&+ &0\cdot s&=&0&\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}{lrcrcrcrl} Ⅰ…\\[5pt] Ⅱ…\\[5pt] Ⅲ…\\[5pt] \end{array}$
Aus Ⅱ und Ⅲ folgt, dass es unendlich viele Lösungen gibt. Den Geraden bleibt somit nichts anderes übrig, als identisch zu sein.
f)
$\begin{array}[t]{rll} \left( {\begin{array}{*{20}r} 3 \\ 2 \\ 1 \\ \end{array}} \right)+ r\left( {\begin{array}{*{20}r} 4 \\ 6 \\ 8 \\ \end{array}} \right)=&\left( {\begin{array}{*{20}r} 7 \\ 3 \\ 3 \\ \end{array}} \right)+ s\left( {\begin{array}{*{20}r} 0 \\ 5 \\ 6 \\ \end{array}} \right)&\\[5pt] r\left( {\begin{array}{*{20}r} 4 \\ 6 \\ 8 \\ \end{array}} \right)-s\left( {\begin{array}{*{20}r} 0 \\ 5 \\ 6 \\ \end{array}}\right)=&\left( {\begin{array}{*{20}r} 4 \\ 1 \\ 2 \\ \end{array}} \right)&\\ \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} r\left( {\begin{array}{*{20}r} 4 \\ 6 \\ 8 \\ \end{array}} \right)-s\left( {\begin{array}{*{20}r} 0 \\ 5 \\ 6 \\ \end{array}}\right)=&…\\ \end{array}$
LGS oder Matrix aufstellen:
$\begin{array}{lrcrcrcrl} Ⅰ&&&4r&+&0s&=&4&\\[5pt] Ⅱ&&&6r&-&5s&=&1&\\[5pt] Ⅲ&&&8r&-&6s&=&2&\\[5pt] \end{array}$
Daraus folgt:
$\begin{array}{rll} 4r=&4\\[5pt] r=&1\\[5pt] \end{array}$
$r$ einsetzen in Ⅱ:
$\begin{array}{rll} 6-5s=&1&\quad \mid\, -6&\mid\,:(-5)\\[5pt] s=&1& \\[5pt] \end{array}$
$r$ und $s$ einsetzen in Ⅲ:
$\begin{array}{rll} 8-6=&2\\ \end{array}$
Die Geraden schneiden sich. $r$ eingesetzt in $g$:
$S(7 \mid 8 \mid 9)$
2.
a)
Gleichsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} \left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 0 \\ 4 \\ \end{array}} \right)+ r\left( {\begin{array}{*{20}r} 4 \\ 0 \\ 1 \\ \end{array}} \right)=&\left( {\begin{array}{*{20}r} 7 \\ -1 \\ 1 \\ \end{array}} \right)+ s\left( {\begin{array}{*{20}r} 0 \\ 1 \\ 2a \\ \end{array}} \right)&\\[5pt] r\left( {\begin{array}{*{20}r} 4 \\ 0 \\ 1 \\ \end{array}} \right)-s\left( {\begin{array}{*{20}r} 0 \\ 1 \\ 2a \\ \end{array}}\right)=&\left( {\begin{array}{*{20}r} 6 \\ -1 \\ -3\\ \end{array}} \right)&\\ \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 0 \\ 4 \\ \end{array}} \right)+ r\left( {\begin{array}{*{20}r} 4 \\ 0 \\ 1 \\ \end{array}} \right)=\;…\\ \end{array}$
LGS oder Matrix aufstellen:
$\begin{array}{lrcrcrcrl} Ⅰ&&&4r&-&0s&=&6&\\[5pt] Ⅱ&&&0r&-&1s&=&-1&\\[5pt] Ⅲ&&&1r&-&2a\cdot s&=&-3&\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}{lrcrcrcrl} Ⅰ…\\[5pt] Ⅱ…\\[5pt] Ⅲ…\\[5pt] \end{array}$
Aus Ⅰ folgt $r=\dfrac{3}{2}$ und aus Ⅱ folgt $s=1$
$r$ und $s$ einsetzen in Ⅲ:
$\begin{array}{rll} \dfrac{3}{2}-2a=&-3&\quad \mid\, -\dfrac{3}{2}\\[5pt] -2a=&-\dfrac{9}{2}&\quad \mid\,:(-2)\\[5pt] a=&\dfrac{9}{4}\\[5pt] \end{array}$
b)
Gleichsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} \left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 3 \\ 2 \\ \end{array}} \right)+ r\left( {\begin{array}{*{20}r} 8 \\ 2 \\ 2a \\ \end{array}} \right)=&\left( {\begin{array}{*{20}r} 4 \\ 6 \\ 3 \\ \end{array}} \right)+ s\left( {\begin{array}{*{20}r} 9 \\ 6 \\ 5 \\ \end{array}} \right)&\\[5pt] r\left( {\begin{array}{*{20}r} 8 \\ 2 \\ 2a \\ \end{array}} \right)-s\left( {\begin{array}{*{20}r} 9 \\ 6 \\ 5 \\ \end{array}}\right)=&\left( {\begin{array}{*{20}r} 3 \\ 3 \\ 1\\ \end{array}} \right)&\\ \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} r\left( {\begin{array}{*{20}r} 8 \\ 2 \\ 2a \\ \end{array}} \right)-s\left( {\begin{array}{*{20}r} 9 \\ 6 \\ 5 \\ \end{array}}\right)=&…\\ \end{array}$
LGS oder Matrix aufstellen:
$\begin{array}{lrcrcrcrl} Ⅰ&&&8r&-&9s&=&3&\\[5pt] Ⅱ&&&2r&-&6s&=&3&\quad \left(\text{Ⅰ}-\text{4Ⅱ}\right)\\[5pt] Ⅲ&&&2a\cdot r&-&5s&=&1&\\[5pt] \hline Ⅰ&&&8r&-&9s&=&3&\\[5pt] Ⅱa&&&&+&15s&=&-9&\\[5pt] Ⅲ&&&2a\cdot r&-&5s&=&1&\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}{lrcrcrcrl} Ⅰ…\\[5pt] Ⅱ…\\[5pt] Ⅲ…\\[5pt] \end{array}$
Aus Ⅱ folgt $s=\dfrac{-9}{15}=-\dfrac{3}{5}$
$s$ einsetzen in Ⅰ:
$\begin{array}{rll} 8r+\dfrac{27}{5}=&3& \\[5pt] r=&-\dfrac{3}{10}& \\[5pt] \end{array}$
$r$ und $s$ einsetzen in Ⅲ:
$\begin{array}{rll} -\dfrac{6}{10}a+3=&1\\[5pt] a=&\dfrac{10}{3}\\[5pt] \end{array}$
c)
Gleichsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} \left( {\begin{array}{*{20}r} 3 \\ 2 \\ 4 \\ \end{array}} \right)+ r\left( {\begin{array}{*{20}r} 4 \\ a \\ 7 \\ \end{array}} \right)=&\left( {\begin{array}{*{20}r} 4 \\ 3 \\ 2 \\ \end{array}} \right)+ s\left( {\begin{array}{*{20}r} 6 \\ 4 \\ 6 \\ \end{array}} \right)&\\[5pt] r\left( {\begin{array}{*{20}r} 4 \\ a \\ 7 \\ \end{array}} \right)-s\left( {\begin{array}{*{20}r} 6 \\ 4 \\ 6 \\ \end{array}}\right)=&\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 1 \\ -2\\ \end{array}} \right)&\\ \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} r\left( {\begin{array}{*{20}r} 4 \\ a \\ 7 \\ \end{array}} \right)-s\left( {\begin{array}{*{20}r} 6 \\ 4 \\ 6 \\ \end{array}}\right)=&…\\ \end{array}$
LGS oder Matrix aufstellen:
$\begin{array}{lrcrcrcrl} Ⅰ&&&4r&-&6s&=&1&\\[5pt] Ⅱ&&&ar&-&4s&=&1&\\[5pt] Ⅲ&&&7r&-&6s&=&-2&\quad \left(\text{7Ⅰ}-\text{4Ⅲ}\right)\\[5pt] \hline Ⅰ&&&4r&-&6s&=&1&\\[5pt] Ⅱ&&&ar&-&4s&=&1&\\[5pt] Ⅲa&&&&-&18s&=&15&\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}{lrcrcrcrl} Ⅰ…\\[5pt] Ⅱ…\\[5pt] Ⅲ…\\[5pt] \end{array}$
Aus Ⅲ folgt $s=\dfrac{-15}{18}=-\dfrac{5}{6}$
$s$ einsetzen in Ⅰ:
$\begin{array}{rll} 4r-\dfrac{5}{6}\cdot 6=&1& \\[5pt] r=&-1& \\[5pt] \end{array}$
$r$ und $s$ einsetzen in Ⅱ:
$\begin{array}{rll} -a+\dfrac{10}{3}=&1\\[5pt] a=&\dfrac{7}{3}\\[5pt] \end{array}$
d)
Gleichsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} \left( {\begin{array}{*{20}r} 5 \\ 8 \\ 6 \\ \end{array}} \right)+ r\left( {\begin{array}{*{20}r} 7 \\ a \\ 2a \\ \end{array}} \right)=&\left( {\begin{array}{*{20}r} 4 \\ 3 \\ 2 \\ \end{array}} \right)+ s\left( {\begin{array}{*{20}r} 5 \\ 2 \\ 1 \\ \end{array}} \right)&\\[5pt] r\left( {\begin{array}{*{20}r} 7 \\ a \\ 2a \\ \end{array}} \right)-s\left( {\begin{array}{*{20}r} 5 \\ 2 \\ 1 \\ \end{array}}\right)=&\left( {\begin{array}{*{20}r} -1 \\ -5 \\ -4\\ \end{array}} \right)&\\ \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} r\left( {\begin{array}{*{20}r} 7 \\ a \\ 2a \\ \end{array}} \right)-s\left( {\begin{array}{*{20}r} 5 \\ 2 \\ 1 \\ \end{array}}\right)=&\left( {\begin{array}{*{20}r} -1 \\ -5 \\ -4\\ \end{array}} \right)&\\ \end{array}$
LGS oder Matrix aufstellen:
$\begin{array}{lrcrcrcrl} Ⅰ&&&7r&-&5s&=&-1&\\[5pt] Ⅱ&&&ar&-&2s&=&-5&\\[5pt] Ⅲ&&&2ar&-&s&=&-4&\quad \left(\text{2Ⅱ}-\text{Ⅲ}\right)\\[5pt] \hline Ⅰ&&&7r&-&5s&=&-1&\\[5pt] Ⅱ&&&a&-&2s&=&-5&\\[5pt] Ⅲa&&&&-&3s&=&-6&\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}{lrcrcrcrl} Ⅰ…\\[5pt] Ⅱ…\\[5pt] Ⅲ…\\[5pt] \end{array}$
Aus Ⅲ folgt $s=2$
$s$ einsetzen in Ⅱ:
$\begin{array}{rll} ar-4=&-5& \\[5pt] r=&-\dfrac{1}{a}& \\[5pt] \end{array}$
$r$ und $s$ einsetzen in Ⅰ:
$\begin{array}{rll} -\dfrac{7}{a}-10=&-1\\[5pt] a=&-\dfrac{7}{9}\\[5pt] \end{array}$
3.
Zeige, dass die drei Geraden jeweils parallel zueinander  sind:
Zwei Geraden  sind parallel, wenn ihre Richtungsvektoren linear abhängig  sind.
Zwei Geraden  sind parallel, wenn ihre Richtungsvektoren linear abhängig  sind.
a)
$\blacktriangleright$ Parallelität nachweisen - $g$ und $h$
$\left(\begin{array}{r} 2\\ 1\\ -1\\ \end{array}\right)$=$k\cdot\left(\begin{array}{r} -6\\ -3\\ 3\\ \end{array}\right)\qquad\\$ $\Longrightarrow k$=$-\frac{1}{3}$
$\blacktriangleright$ Parallelität nachweisen - $g$ und $i$
$\left(\begin{array}{r} 2\\ 1\\ -1\\ \end{array}\right)$=$k\cdot\left(\begin{array}{r} 4\\ 2\\ -2\\ \end{array}\right)\qquad$ $\Longrightarrow k$=$\frac{1}{2}$
$\blacktriangleright$ Parallelität nachweisen - $h$ und $i$, gilt durch Transitivität
$\left(\begin{array}{r} -6\\ -3\\ 3\\ \end{array}\right)$=$k\cdot\left(\begin{array}{r} 4\\ 2\\ -2\\ \end{array}\right)\qquad$ $\Longrightarrow k$=$-\frac{3}{2}$
b)
$\blacktriangleright$ Parallelität nachweisen - $g$ und $h$
$\left(\begin{array}{r} 15\\ -6\\ 9\\ \end{array}\right)$=$k\cdot\left(\begin{array}{r} -5\\ 2\\ -3\\ \end{array}\right)\qquad$ $\Longrightarrow k$=$-3$
$\blacktriangleright$ Parallelität nachweisen - $g$ und $i$
$\left(\begin{array}{r} 15\\ -6\\ 9\\ \end{array}\right)$=$k\cdot\left(\begin{array}{r} 10\\ -4\\ 6\\ \end{array}\right)\qquad$ $\Longrightarrow k$=$\frac{3}{2}$
$\blacktriangleright$ Parallelität nachweisen - $h$ und $i$, gilt durch Transitivität
$\left(\begin{array}{r} -5\\ 2\\ -3\\ \end{array}\right)$=$k\cdot\left(\begin{array}{r} 10\\ -4\\ 6\\ \end{array}\right)\qquad$ $\Longrightarrow k$=$-\frac{1}{2}$
c)
$\blacktriangleright$ Parallelität nachweisen - $g$ und $h$
$\left(\begin{array}{r} 0\\ 4\\ 8\\ \end{array}\right)$=$k\cdot\left(\begin{array}{r} 0\\ -1\\ -2\\ \end{array}\right)\qquad$ $\Longrightarrow k$=$-4$
$\blacktriangleright$ Parallelität nachweisen - $g$ und $i$
$\left(\begin{array}{r} 0\\ 4\\ 8\\ \end{array}\right)$=$k\cdot\left(\begin{array}{r} 0\\ 3\\ 6\\ \end{array}\right)\qquad$ $\Longrightarrow k$=$\frac{4}{3}$
$\blacktriangleright$ Parallelität nachweisen - $h$ und $i$, gilt durch Transitivität
$\left(\begin{array}{r} 0\\ -1\\ -2\\ \end{array}\right)$=$k\cdot\left(\begin{array}{r} 0\\ 3\\ 6\\ \end{array}\right)\qquad$ $\Longrightarrow k$=$-\frac{1}{3}$
d)
$\blacktriangleright$ Parallelität nachweisen - $g$ und $h$
$\left(\begin{array}{r} -3\\ 2\\ 5\\ \end{array}\right)$=$k\cdot\left(\begin{array}{r} -\frac{5}{2}\\ \frac{5}{3}\\ \frac{25}{6}\\ \end{array}\right)$
Hier lässt sich der Faktor nicht einfach ablesen. Wir berechnen Ihn:
$\begin{array}{rlcrlcrl} -3=&k\cdot\left(-\dfrac{5}{2}\right)&\Rightarrow& -3\cdot\left(-\dfrac{2}{5}\right)=&k&\Rightarrow& \dfrac{6}{5}=&k \\[5pt] 2=&k\cdot\dfrac{5}{3}&\Rightarrow& 2\cdot\dfrac{3}{5}=&k&\Rightarrow& \dfrac{6}{5}=&k\\[5pt] 5=&k\cdot\dfrac{25}{6}&\Rightarrow& 5\cdot\dfrac{6}{25}=&k&\Rightarrow& \dfrac{6}{5}=&k& \end{array}$
$\begin{array}{rlcrlcrl} -3=&k\cdot\left(…\right) \end{array}$
$\blacktriangleright$ Parallelität nachweisen - $g$ und $i$
$\left(\begin{array}{r} -3\\ 2\\ 5\\ \end{array}\right)$=$k\cdot\left(\begin{array}{r} 6\\ -4\\ -10\\ \end{array}\right)\qquad$ $\Longrightarrow k$=$-\frac{1}{2}$
$\blacktriangleright$ Parallelität nachweisen - $h$ und $i$, gilt durch Transitivität
$\left(\begin{array}{r} -\frac{5}{2}\\ \frac{5}{3}\\ \frac{25}{6}\\ \end{array}\right)$=$k\cdot\left(\begin{array}{r} 6\\ -4\\ -10\\ \end{array}\right)$
Wie oben berechnen wir $k$, da es sich nicht einfach ablesen lässt.
$\begin{array}{rlcrlcrl} -\dfrac{5}{2}=&k\cdot6&\Rightarrow& -\dfrac{5}{2}\cdot\dfrac{1}{6}=&k&\Rightarrow& -\dfrac{5}{12}=&k\\[5pt] \dfrac{5}{3}=&k\cdot\left(-4\right)&\Rightarrow& \dfrac{5}{3}\cdot\left(-\dfrac{1}{4}\right)=&k&\Rightarrow& -\dfrac{5}{12}=&k\\[5pt] \dfrac{25}{6}=&k\cdot\left(-10\right)&\Rightarrow& \dfrac{25}{6}\cdot\left(-\dfrac{1}{10}\right)=&k&\Rightarrow& -\dfrac{5}{12}=&k \end{array}$
$\begin{array}{rlcrlcrl} -\dfrac{5}{2}=&k\cdot\;… \end{array}$
4.
Bestimme $k$ so, dass die beiden Geraden parallel  sind:
Zwei Geraden  sind parallel, wenn ihre Richtungsvektoren linear abhängig  sind.
Zwei Geraden  sind parallel, wenn ihre Richtungsvektoren linear abhängig  sind.
a)
Parameter $k$ bestimmen
$\begin{array}{rll} \left(\begin{array}{r} k\\ 2\\ 4\\ \end{array}\right)=&t\cdot\left(\begin{array}{r} 3\\ 1\\ 2\\ \end{array}\right) \end{array}$
Aus der zweiten und dritten Zeile ergibt sich: $2=t$. Dies eingesetzt in die erste Zeile liefert uns $k=2\cdot3=6$
b)
Parameter $k$ bestimmen
$\begin{array}{rll} \left(\begin{array}{r} 1\\ 2k\\ 2\\ \end{array}\right)=&t\cdot\left(\begin{array}{r} 3\\ 3\\ 6\\ \end{array}\right) \end{array}$
Aus der ersten und dritten Zeile ergibt sich: $\frac{1}{3}=t$. Dies eingesetzt in die zweite Zeile liefert uns $2k=\frac{1}{3}\cdot3=1$ und somit $k=\frac{1}{2}$.
c)
Parameter $k$ bestimmen
$\begin{array}{rll} \left(\begin{array}{r} k\\ 2k\\ 9\\ \end{array}\right)=&t\cdot\left(\begin{array}{r} 2\\ 4\\ 6\\ \end{array}\right) \end{array}$
Aus der dritten Zeile ergibt sich: $9=t\cdot6$, d.h. $t=\frac{3}{2}$. Dies eingesetzt in die erste und zweite Zeile liefert uns $k=\frac{3}{2}\cdot2=3$ bzw. $2k=\frac{3}{2}\cdot4\quad\Longleftrightarrow\quad k=3$.
d)
Parameter $k$ bestimmen
$\begin{array}{rll} \left(\begin{array}{r} 2\\ k\\ 0\\ \end{array}\right)=&t\cdot\left(\begin{array}{r} 1\\ 4\\ 0\\ \end{array}\right) \end{array}$
Aus der ersten Zeile ergibt sich: $2=t$. Dies eingesetzt in die zweite Zeile liefert uns $k=2\cdot4=8$.
5.
Bestimme $m$ so, dass die beiden Geraden senkrecht aufeinander stehen:
Zwei Geraden stehen senkrecht aufeinander, wenn sie sich schneiden und das Skalarprodukt ihrer Richtungsvektoren Null ergibt.
Zwei Geraden stehen senkrecht aufeinander, wenn sie sich schneiden und das Skalarprodukt ihrer Richtungsvektoren Null ergibt.
a)
Parameter $m$ bestimmen
$\begin{array}{rll} 0=&\left(\begin{array}{r} 2\\ m\\ 1\\ \end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{r} 1\\ -1\\ 1\\ \end{array}\right)\\[5pt] 0=&2-m+1\\[5pt] 0=&3-m&\mid\, +m\\[5pt] m=&3 \end{array}$
Überprüfe durch Gleichsetzen, ob die Geraden sich auch schnei- den:
$\begin{pmatrix}0\\-1\\2\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix}-2\\1\\0\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}$
Aus Zeile (1) folgt:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} 2r=&-2+s&\mid\;+2\\[5pt] s=&2r+2 \end{array}$
Einsetzen von $s$ in Zeile (2) liefert:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} (-1)+3r=&1-(2r+2)\\[5pt] -1+3r=&-1-2r&\mid\;+1+2r\\[5pt] 5r=&0&\mid\;:5\\[5pt] r=&0 \end{array}$
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} (-1)+3r=&1-\;… \end{array}$
Damit folgt $s=2\cdot0+2=2$.
Setze $r$ und $s$ zur Kontrolle in Zeile (3) ein:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} 2+0\cdot1=&0+2\cdot1\\[5pt] 2=&2\; \text{(wahre Aussage)} \end{array}$
Die Geraden schneiden sich und stehen somit senkrecht aufeinander.
b)
Parameter $m$ bestimmen
$\begin{array}{rll} 0=&\left(\begin{array}{r} m\\ 1\\ 4\\ \end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{r} 2\\ -2\\ -1\\ \end{array}\right)\\[5pt] 0=&2m-2-4\\[5pt] 0=&2m-6&\mid\, +6\\[5pt] 6=&2m&\mid\, :2\\[5pt] 3=&m \end{array}$
Überprüfe durch Gleichsetzen, ob die Geraden sich auch schneiden:
$\begin{pmatrix}-5\\4\\4\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}3\\1\\4\end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix}-1\\0\\2\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}2\\-2\\-1\end{pmatrix}$
Aus Zeile (2) folgt:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} 4+r=&-2s&\mid\;-4\\[5pt] r=&-2s-4 \end{array}$
Einsetzen von $r$ in Zeile (3) liefert:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} 4+4\cdot\left(-2s-4\right)=&2-s\\[5pt] 4-8s-16=&2-s\\[5pt] -12-8s=&2-s&\mid\;+8s-2\\[5pt] -14=&7s&\mid\;:7\\[5pt] s=&-2 \end{array}$
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} 4+4\cdot\left(-2s-4\right)=\;… \end{array}$
Damit folgt $r=-2\cdot(-2)+4$ $=-4+4=0$.
Setze $r$ und $s$ zur Kontrolle in Zeile (1) ein:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} -5+0\cdot3=&-1-2\cdot2\\[5pt] -5=&-5\; \\ \text{(wahre Aussage)} \end{array}$
Die Geraden schneiden sich und stehen somit senkrecht aufeinander.
c)
Parameter $m$ bestimmen
$\begin{array}{rll} 0=&\left(\begin{array}{r} m\\ 2m\\ 1\\ \end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{r} 4\\ 2\\ -4\\ \end{array}\right)\\[5pt] 0=&4m+4m-4\\[5pt] 0=&8m-4&\mid\, +4\\[5pt] 4=&8m&\mid\, :8\\[5pt] \frac{1}{2}=&m \end{array}$
Überprüfe durch Gleichsetzen, ob die Geraden sich auch schneiden:
$\begin{pmatrix}-6\\0\\4\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}0{,}5\\1\\1\end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix}-2\\2\\0\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}4\\2\\-4\end{pmatrix}$
Aus Zeile (2) folgt:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} r=&2+2s \end{array}$
Einsetzen von $r$ in Zeile (3) liefert:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} 4+(2+2s)=&-4s\\[5pt] 6+2s=&-4s&\mid\;-2s\\[5pt] 6=&-6s&\mid\;:(-6)\\[5pt] s=&-1 \end{array}$
Damit folgt $r=2-2=0$.
Setze $r$ und $s$ zur Kontrolle in Zeile (1) ein:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} -6+\frac{1}{2}\cdot0=&-2+4\cdot(-1)\\[5pt] -6=&-6&\quad \end{array}$ (wahre Aussage)
Die Geraden schneiden sich und stehen somit senkrecht aufeinander.
d)
Parameter $m$ bestimmen
$\begin{array}{rll} 0=&\left(\begin{array}{r} 2\\ 1\\ -4\\ \end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{r} m\\ -m\\ 1\\ \end{array}\right)\\[5pt] 0=&2m-m-4\\[5pt] 0=&m-4&\mid\, +4\\[5pt] 4=&m \end{array}$
Überprüfe durch Gleichsetzen, ob die Geraden sich auch schneiden:
$\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\-4\end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix}4\\3\\-8\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}4\\-4\\1\end{pmatrix}$
Aus Zeile (1) folgt:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} 2r=&4+4s&\mid\;:2\\[5pt] r=&2+2s \end{array}$
Einsetzen von $r$ in Zeile (2) liefert:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} 1+(2+2s)=&3-4s\\[5pt] 3+2s=&3-4s&\mid\;-2s-3\\[5pt] 0=&-6s\\[5pt] 0=&s \end{array}$
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} 1+(2+2s)=\;… \end{array}$
Damit folgt $r=2+2\cdot0=2$.
Setze $r$ und $s$ zur Kontrolle in Zeile (3) ein:
$\begin{array}{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} -4\cdot2=&-8+0\cdot1\\[5pt] -8=&-8&\quad \end{array}$ (wahre Aussage)
Die Geraden schneiden sich und stehen somit senkrecht aufeinander.
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