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Differenzierbarkeit

Spickzettel
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Eine Funktion $f(x)$ ist differenzierbar an der Stelle $x_0$, falls der Grenzwert des Differenzenquotienten existiert. Dieser Grenzwert wird als Differentialquotient bezeichnet.
$\lim\limits_{x \to x_0} \dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}= \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$
$\lim\limits_{x \to x_0} \dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\\ \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$
Der Differentialquotient ist dann die Ableitung von $f$ an der Stelle $x_0$.
Anschaulich bedeutet das, dass du an der Stelle $x_0$ eine eindeutige Tangente an die Funktion anlegen kannst. Die Funktion muss also stetig sein und darf keinen „Knick“ haben.

Funktion auf Differenzierbarkeit überprüfen

Um eine Funktion auf Differenzierbarkeit zu prüfen, betrachte den links– und den rechtsseitigen Grenzwert des Differenzenquotienten. Stimmen die Grenzwerte überein ist die Funktion differenzierbar an der Stelle $x_0$.
$\lim\limits_{x \to x_0^+} \dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}= \lim\limits_{x \to x_0^-} \dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$
$\lim\limits_{x \to x_0^+} \dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$=$ \lim\limits_{x \to x_0^-} \dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$
Falls du die Ableitung der Funktion kennst, kannst du auch folgende Gleichheit überprüfen:
$\lim\limits_{x \to x_0^+} f'(x)= \lim\limits_{x \to x_0^-} f'(x)$
$\lim\limits_{x \to x_0^+} f'(x)= \lim\limits_{x \to x_0^-} f'(x)$

Beispiel 1

Überprüfe ob die Funktion $f(x)$ differenzierbar ist: $ f(x)=\left\{\begin{array}{cl} -x+3, &x \leq 1,5\\ x, & x>1,5 \end{array}\right. $
Allgemeine Fragen zu Funktionen: Differenzierbarkeit
Allgemeine Fragen zu Funktionen: Differenzierbarkeit
1. Schritt: Ableitung bilden
Du kannst die Funktion stückweise ableiten:
$ f'(x)=\left\{\begin{array}{cl} -1, &x \leq 1,5\\ 1, & x>1,5 \end{array}\right. $
2. Schritt: Werte der Ableitungsfunktion überprüfen
Die Funktion $-x+3$, sowie die Funktion $x$ sind differenzierbar. Somit musst du nur die Stelle $x_0=1,5$ auf Differenzierbarkeit prüfen.
$\lim\limits_{x \to 1,5^+} f'(x)= 1$
$ \lim\limits_{x \to 1,5^-} f'(x) = -1$
$\lim\limits_{x \to x_0^+} f'(x)=1\ne -1= \lim\limits_{x \to x_0^-} f'(x)$
Die Funktion $f$ ist an der Stelle $x_0=1,5$ nicht differenzierbar.

Beispiel 2

Überprüfe, mithilfe der $h$ –Methode, ob die Funktion $f(x)$ differenzierbar ist.
$ f(x)=x^2 + 3x-2 $
Allgemeine Fragen zu Funktionen: Differenzierbarkeit
Allgemeine Fragen zu Funktionen: Differenzierbarkeit
$\begin{array}[t]{rll} \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}&=& \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{(x+h)^2+3(x+h)-2-(x^2+3x-2)}{h} \\[5pt] &=& \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{x^2+2xh+h^2+3x+3h-2-x^2-3x+2}{h}\\[5pt] &=& \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{2xh+h^2+3h}{h}\\[5pt] &=&\lim\limits_{h \to 0} 2x+h+3\\[5pt] &=&2x+3\\[5pt] &=&f'(x) \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}&=\;… \end{array}$
Der Differentialquotient existiert, somit ist die Funktion $f$ differenzierbar für $x \in \mathbb{R}$.
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Aufgaben
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1.
Beschreibe in eigenen Worten den Begriff der Differenzierbarkeit.
2.
Untersuche die Funktion auf Differenzierbarkeit. Es gilt $x\in R$ für jede Funktion
a)
$f(x)= \left\{ \begin{array}{l} x-2 \\ -7+x^{2} \\ \end{array} \right.$ $\begin{array}{l} \text{für}\;\; x \le \dfrac{1}{2} \\ \text{für}\;\; x>\dfrac{1}{2} \end{array} $
b)
$f(x)= \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{1}{3}x^3 \\ 2x+3 \\ \end{array} \right.$ $\begin{array}{l} \text{für}\;\; x \le 3 \\ \text{für}\;\; x>3 \end{array}$
c)
$f(x)= \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{1}{2}x+1 \\ x^{2}-3,5x+5 \\ \end{array} \right.$ $\begin{array}{l} \text{für}\;\; x \le 2 \\ \text{für}\;\; x>2 \end{array}$
3.
Bestimme $s$ und $t$ so, dass die Funktion an der Stelle $x=1$ differenzierbar ist. Es gilt $x,s,t\in R$.
$f(x)= \left\{ \begin{array}{l} tx^{2}-x+s \\ -x^{2}+1 \\ \end{array} \right.$ $\begin{array}{l} \text{für}\;\; x \le 1 \\ \text{für}\;\; x>1 \end{array}$
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Lösungen
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1.
Eine kurze Beschreibung fur den Begriff Differenzierbarkeit wiedergeben
Eine differenzierbare Funktion ist zum einen stetig und darf zum anderen keinen Knick enthalten. An einem Knick könnte man nämlich keine Tangenten anlegen, da sich an dieser Stelle keine eindeutige Steigung finden lassen würde.
2.
Die Funktion auf Differenzierbarkeit untersuchen
a)
$\blacktriangleright$ 1. Schritt: Steigung betrachten
$\to$ Ableitungsfunktion bestimmen:
$f'(x)= \left\{ \begin{array}{l} 1\\ 2x \\ \end{array} \right. \begin{array}{l} \text{für}\;\; x \le \dfrac{1}{2} \\ \text{für}\;\; x>\dfrac{1}{2} \end{array} $
für $x=\dfrac{1}{2}$ gilt:
$\begin{array}[t]{p{1cm}rl} & 1 & =1 \\ & 2\cdot\dfrac{1}{2} & =1 \end{array}$
Die Funktion weist an der Stelle $x=\dfrac{1}{2}$ die selbe Steigung auf.
$\blacktriangleright$ 2. Schritt: $y$-Werte betrachten
$f(x)= \left\{ \begin{array}{l} x-2 \\ -7+x^{2} \\ \end{array} \right. \begin{array}{l} \text{für}\;\; x \le \dfrac{1}{2} \\ \text{für}\;\; x>\dfrac{1}{2} \end{array} $
für $x=\dfrac{1}{2}$ gilt:
$\begin{array}[t]{p{1cm}rl} & \dfrac{1}{2}-2 & =-\dfrac{3}{2} \\ & -7+\dfrac{1}{4} & =-\dfrac{27}{4} \end{array}$
Die Funktion weist an der Stelle $x=\dfrac{1}{2}$ verschiedene Y-Werte auf.
$\to$ Die Funktion ist nicht differenzierbar.
b)
$\blacktriangleright$ Steigung betrachten
$\to$ Ableitungsfunktion bestimmen:
$f'(x)= \left\{ \begin{array}{l} x^{2}\\ 2 \\ \end{array} \right. \begin{array}{l} \text{für}\;\; x \le 3 \\ \text{für}\;\; x>3 \end{array} $
für $x=3$ gilt:
$\begin{array}[t]{p{1cm}rl} & 3^{2} & =9 \\ & 2 & =2 \end{array}$
Die Funktion weist an der Stelle $x=3$ nicht die selbe Steigung auf.
$\to$ Die Funktion ist nicht differenzierbar.
c)
$\blacktriangleright$ 1. Schritt: Steigung betrachten
$\to$ Ableitungsfunktion bestimmen:
$f'(x)= \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{1}{2}\\ 2x-3,5 \\ \end{array} \right. \begin{array}{l} \text{für}\;\; x \le 2 \\ \text{für}\;\; x>2 \end{array}$
für $x=2$ gilt:
$\begin{array}[t]{p{1cm}rl} & \dfrac{1}{2} & =\dfrac{1}{2} \\ & 2\cdot2-3,5 & =\dfrac{1}{2} \end{array}$
Die Funktion weist an der Stelle $x=2$ die selbe Steigung auf.
$\blacktriangleright$ 2. Schritt: $y$-Werte betrachten
$f(x)= \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{1}{2}x+1 \\ x^{2}-3,5x+5 \\ \end{array} \right. \begin{array}{l} \text{für}\;\; x \le 2 \\ \text{für}\;\; x>2 \end{array} $
$f(x)= \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{1}{2}x+\;… \\ \end{array} \right. $
für $x=2$ gilt:
$\begin{array}[t]{p{1cm}rl} & \dfrac{1}{2}\cdot2+1 & =2 \\ & 4-7+5 & =2 \end{array}$
Die Funktion weist an der Stelle $x=2$ gleiche Y-Werte auf.
$\to$ Die Funktion ist differenzierbar.
3.
s und t so bestimmen, dass die Funktion an der Stelle $\boldsymbol{x = 1}$ differenzierbar ist
$\blacktriangleright$ 1. Schritt: Steigung betrachten
$\to$ Ableitungsfunktion bestimmen:
$f'(x)= \left\{ \begin{array}{l} 2tx-1\\ -2x \\ \end{array} \right. \begin{array}{l} \text{für}\;\; x \le 1 \\ \text{für}\;\; x>1 \end{array} $
für $x=1$ gilt:
$\begin{array}[t]{p{1cm}rl} & 2t\cdot1-1 & =m \\ & -2\cdot1 & =-2 \end{array}$
Da bei differenzierbaren Funktionen m an der gesuchten Stelle $x$ gleich sein muss gilt:
$\begin{array}[t]{p{1cm}rl} & m & =-2 \\ & 2t\cdot1-1 & =-2 \\ & -\dfrac{1}{2} & =t \end{array}$
$\blacktriangleright$ 2. Schritt: $y$-Werte berachten
$f(x)= \left\{ \begin{array}{l} tx^{2}-x+s \\ -x^{2}+1 \\ \end{array} \right. \begin{array}{l} \text{für}\;\; x \le 1 \\ \text{für}\;\; x>1 \end{array}$
für $x=1$ gilt:
$\begin{array}[t]{p{1cm}rl} & -\dfrac{1}{2}-1+s & =Y \\ & -1+1 & =0 \end{array}$
Da bei differenzierbaren Funktionen der $Y$-Wert an der gesuchten Stelle $x$ gleich sein muss gilt:
$\begin{array}[t]{p{1cm}rl} & Y & =0 \\ & -\dfrac{1}{2}-1+s & =0 \\ & \dfrac{3}{2} & =s \end{array}$
Die Funktion ist für $s=\dfrac{3}{2}$ und für $t=-\dfrac{1}{2}$ differenzierbar.
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