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Normalverteilung

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Wir nennen eine Zufallsvariable $Z$ normalverteilt mit den Parametern $\mu=E(Z)$ und $\sigma^2$, wenn ihre Dichte $\varphi$ wie folgt definiert wird:
$\varphi (x)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi \cdot \sigma^2}} \cdot \mathrm{e}^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$
$\varphi (x)$=$ \frac{1}{\sqrt{2 \pi \cdot \sigma^2}} \cdot \mathrm{e}^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$
Bei den beiden Parametern handelt es sich um den Erwartungswert $\mu=E(Z)$ der Zufallsvariable $Z$ und um deren Varianz $\sigma^2$.
Gilt $\mu=0$ und $\sigma^2=1$, so handelt es sich um die Standardnormalverteilung.
Soll die Wahrscheinlichkeit berechnet werden, dass die Zufallsvariable $Z$ in einem Intervall $\left[ a,b\right]$ liegt, d.h. $P(a \leq Z \leq b)$, so kann diese Wahrscheinlichkeit folgendermaßen berechnet werden:
$P(a \leq Z \leq b) = P \left( \frac{a- \mu}{\sigma} \leq \frac{Z-\mu}{\sigma} \leq \frac{b-\mu}{\sigma} \right) =\Phi \left( \frac{b-\mu}{\sigma} \right) - \Phi \left( \frac{a-\mu}{\sigma} \right)$
$P(a \leq Z \leq b) $=$ P \left( \frac{a- \mu}{\sigma} \leq \frac{Z-\mu}{\sigma} \leq \frac{b-\mu}{\sigma} \right) $=$\Phi \left( \frac{b-\mu}{\sigma} \right) - \Phi \left( \frac{a-\mu}{\sigma} \right)$

Beispiel

Die Zufallsgröße $Z$ sei normalverteilt mit den Parametern $\mu = 12$ und $\sigma=3$. Berechne die Wahrscheinlichkeit $P(9 \leq Z \leq 15)$.
Wir können die gegebenen Angaben in die Formel einsetzen und wie folgt berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} P(9 \leq Z \leq 15) = &\Phi \left( \frac{15-12}{3} \right) - \Phi \left( \frac{9-12}{3} \right) =\Phi \left( 1 \right) - \Phi \left( -1 \right)\\[5pt] =&\Phi \left( 1 \right) - (1-\Phi \left( 1 \right)) =2 \cdot \Phi \left( 1 \right) - 1 \approx 0,6827\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(9 \leq Z \leq 15) \approx 0,6827\\[5pt] \end{array}$
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