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Gerade - Ebene

Spickzettel
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Es gibt drei Möglichkeiten, wie eine Gerade und eine Ebene zueinander liegen können:
Art der LageAnzahl gemeinsamer PunkteParallelitätSkizze
Gerade liegt in der Ebene
$\infty$
Gegenseitige Lage: Gerade - Ebene
Gegenseitige Lage: Gerade - Ebene
Gegenseitige Lage: Gerade - Ebene
Gegenseitige Lage: Gerade - Ebene
sie schneiden sich
$1$
Gegenseitige Lage: Gerade - Ebene
Gegenseitige Lage: Gerade - Ebene
Gegenseitige Lage: Gerade - Ebene
Gegenseitige Lage: Gerade - Ebene
parallel
$0$
Gegenseitige Lage: Gerade - Ebene
Gegenseitige Lage: Gerade - Ebene
Gegenseitige Lage: Gerade - Ebene
Gegenseitige Lage: Gerade - Ebene
Art der LageAnzahl gemeinsamer PunkteParallelität
Gerade liegt in der Ebene
$\infty$
Gegenseitige Lage: Gerade - Ebene
Gegenseitige Lage: Gerade - Ebene
sie schneiden sich
$1$
Gegenseitige Lage: Gerade - Ebene
Gegenseitige Lage: Gerade - Ebene
parallel
$0$
Gegenseitige Lage: Gerade - Ebene
Gegenseitige Lage: Gerade - Ebene

Vorgehen

Um die gegenseitige Lage zu bestimmen, gehe wie bei der Berechnung des Schnittpunkts vor. Je nachdem in welcher Form die Ebenengleichung gegeben ist, folge dazu folgenden Schritten:
  1. Parameterform: Gleichsetzen
    Koordinaten-/Normalenform: Einsetzen der Koordinaten des allgemeinen Geradenpunkts in die Ebenengleichung
  2. Lösen des dadurch entstehenden linearen Gleichungssystems bzw. der Gleichung:
    Das LGS/Die Gleichung hat
    • unendlich viele Lösungen $\Rightarrow$ Die Gerade liegt in der Ebene.
    • keine Lösung $\Rightarrow$ Die Gerade verläuft parallel zur Ebene.
    • eine Lösung $\Rightarrow$ Die Gerade schneidet die Ebene.
  3. Gibt es einen Schnittpunkt, so kannst du die Koordinaten bestimmen, indem du den berechneten Parameterwert für die Gerade in die Geradengleichung einsetzt.
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1.
Untersuche die Lage der Geraden zur Ebene (Ebene in Parameterform).
b)
$g:\;\overrightarrow{x} = \left( {\begin{array}{*{20}r} 5 \\ 7 \\ 9 \\ \end{array}} \right)+ t\left( {\begin{array}{*{20}r} 8 \\ 6 \\ 3 \\ \end{array}} \right)$,
$E:\;\overrightarrow{x} = \left( {\begin{array}{*{20}r} 3 \\ 4 \\ 6 \\ \end{array}} \right) + r\left( {\begin{array}{*{20}r} 5 \\ 3 \\ 9 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} 4 \\ 2 \\ 1 \\ \end{array}} \right)$.
d)
$g:\;\overrightarrow{x} = \left( {\begin{array}{*{20}r} 8 \\ 12 \\ 9 \\ \end{array}} \right)+ t\left( {\begin{array}{*{20}r} -9 \\ 6 \\ 3 \\ \end{array}} \right)$,
$E:\;\overrightarrow{x} = \left( {\begin{array}{*{20}r} 3 \\ 8 \\ 7 \\ \end{array}} \right) + r\left( {\begin{array}{*{20}r} 5 \\ 4 \\ 2 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} 3 \\ 2 \\ 1 \\ \end{array}} \right)$.
2.
Untersuchen Sie die Lage der Geraden zur Ebene (Ebene in Koordinatenform).
b)
$g:\;\overrightarrow{x} = \left( {\begin{array}{*{20}r} 3 \\ 5 \\ 1 \\ \end{array}} \right)+ t\left( {\begin{array}{*{20}r} 3 \\ -4 \\ 5 \\ \end{array}} \right)$,
$E:\;x_1+2x_2+x_3=-6$.
d)
$g:\;\overrightarrow{x} = \left( {\begin{array}{*{20}r} 4 \\ -8 \\ 3 \\ \end{array}} \right)+ t\left( {\begin{array}{*{20}r} 3 \\ 4 \\ 6 \\ \end{array}} \right)$,
$E:\;x_1+2x_2+x_3=-6$.
3.
Bestimme den Parameter $t$ so, dass die Gerade und die Ebene parallel zueinander sind.
a)
$g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{r} -2\\ 3\\ 1\\ \end{array}\right)+r\cdot\left(\begin{array}{r} 1\\ t\\ -2\\ \end{array}\right)$,$\qquad$$E:2x_1+x_2+2x_3=4$.
b)
$g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{r} 0\\ 2\\ -4\\ \end{array}\right)+r\cdot\left(\begin{array}{r} 2\\ 1\\ 4\\ \end{array}\right)$,$\qquad$$E:tx_1+2x_2-x_3=2$.
c)
$g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{r} 4\\ -1\\ 1\\ \end{array}\right)+u\cdot\left(\begin{array}{r} 1\\ 1\\ t\\ \end{array}\right)$,$\qquad$$E:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{r} 1\\ 1\\ 0\\ \end{array}\right)+r\cdot\left(\begin{array}{r} 2\\ 1\\ 1\\ \end{array}\right)+s\cdot\left(\begin{array}{r} 0\\ 1\\ -3\\ \end{array}\right)$.
$g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{r} 4\\ -1\\ 1\\ \end{array}\right)+u\cdot\left(\begin{array}{r} 1\\ 1\\ t\\ \end{array}\right)$$\qquad$
d)
$g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{r} 4\\ -1\\ 1\\ \end{array}\right)+u\cdot\left(\begin{array}{r} -1\\ t\\ 3\\ \end{array}\right)$,$\qquad$$E:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{r} 0\\ 1\\ 5\\ \end{array}\right)+r\cdot\left(\begin{array}{r} 1\\ -2\\ 4\\ \end{array}\right)+s\cdot\left(\begin{array}{r} 3\\ 2\\ -2\\ \end{array}\right)$.
$g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{r} 4\\ -1\\ 1\\ \end{array}\right)+u\cdot\left(\begin{array}{r} -1\\ t\\ 3\\ \end{array}\right)$$\qquad$
4.
Bestimme $t$ so, dass die Gerade und die Ebene orthogonal zueinander sind.
a)
$g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{r} 1\\ 0\\ 1\\ \end{array}\right)+r\cdot\left(\begin{array}{r} -2\\ 1\\ 4\\ \end{array}\right)$,$\qquad$$E:4x_1+tx_2-8x_3=16$.
b)
$g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{r} 3\\ 1\\ 3\\ \end{array}\right)+r\cdot\left(\begin{array}{r} 2\\ 2\\ -t\\ \end{array}\right)$,$\qquad$$E:-3x_1-3x_2+6x_3=12$.
c)
$g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{r} 0\\ 1\\ 0\\ \end{array}\right)+r\cdot\left(\begin{array}{r} -3\\ t\\ -6\\ \end{array}\right)$,$\qquad$$E:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{r} 1\\ 1\\ 0\\ \end{array}\right)+m\cdot\left(\begin{array}{r} 2\\ 0\\ -1\\ \end{array}\right)+n\cdot\left(\begin{array}{r} 4\\ 3\\ 2\\ \end{array}\right)$.
$g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{r} 0\\ 1\\ 0\\ \end{array}\right)+r\cdot\left(\begin{array}{r} -3\\ t\\ -6\\ \end{array}\right)$$\qquad$
d)
$g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{r} 2\\ 1\\ 4\\ \end{array}\right)+r\cdot\left(\begin{array}{r} t\\ 3\\ -9\\ \end{array}\right)$,$\qquad$$E:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{r} -1\\ 0\\ 3\\ \end{array}\right)+m\cdot\left(\begin{array}{r} 4\\ 1\\ 1\\ \end{array}\right)+n\cdot\left(\begin{array}{r} -2\\ 4\\ 1\\ \end{array}\right)$.
$g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{r} 2\\ 1\\ 4\\ \end{array}\right)+r\cdot\left(\begin{array}{r} t\\ 3\\ -9\\ \end{array}\right)$$\qquad$
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1.
Es gibt verschiedene Möglichkeiten in Bezug auf die Lage der Gerade und der Ebene zueinander. Sie können sich in einem Punkt schneiden, parallel sein oder die Gerade kann in der Ebene liegen.
a)
Gleichsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} \left( {\begin{array}{*{20}r} 6 \\ -1 \\ 10 \\ \end{array}} \right)+ t\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ -1 \\ 3 \\ \end{array}} \right)=& \left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ -2 \\ 4 \\ \end{array}} \right) + r\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 3 \\ 5 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ 0 \\ 1 \\ \end{array}} \right)&\quad\mid\,-t\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ -1 \\ 3 \\ \end{array}} \right)-\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ -2 \\ 4 \\ \end{array}} \right)\\[5pt] \left( {\begin{array}{*{20}r} 5 \\ 1 \\ 6 \\ \end{array}} \right)=&r\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 3 \\ 5 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ 0 \\ 1 \\ \end{array}} \right)-t\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ -1 \\ 3 \\ \end{array}} \right)\\ \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \left( {\begin{array}{*{20}r} 6 \\ -1 \\ 10 \\ \end{array}} \right)+ t\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ -1 \\ 3 \\ \end{array}} \right)=\;…\\ \end{array}$
Nun stellt man ein LGS auf.
$\begin{array}{lrcrcrcrl} Ⅰ&r&+&2s&-&t&=&5&\\[5pt] Ⅱ&3r&+&0s&+&t&=&1&\quad \left(3\text{Ⅰ}-\text{Ⅱ}\right)\\[5pt] Ⅲ&5r&+&s&-&3t&=&6&\quad \left(5\text{Ⅰ}-\text{Ⅲ}\right)\\[5pt] \hline Ⅰ&r&+&2s&-&t&=&5&\\[5pt] Ⅱa&&&6s&-&4t&=&14&\\[5pt] Ⅲa&&&9s&-&2t&=&19&\quad \left(\text{3Ⅱa}-\text{2Ⅲa}\right)\\[5pt] \hline Ⅰ&r&+&2s&-&t&=&5&\\[5pt] Ⅱa&&&6s&-&4t&=&14&\quad \\[5pt] Ⅲb&&&&-&8t&=&4&\\[5pt] \hline \end{array}$
$\begin{array}{lrcrcrcrl} Ⅰ&…\\[5pt] Ⅱ&…\\[5pt] Ⅲ&…\\[5pt] \end{array}$
Daraus folgt:
$\begin{array}{rll} -8t=&4\quad \mid\,:(-8)\\[5pt] t=&-\dfrac{1}{2} \end{array}$
$t$ einsetzen in Ⅱa:
$\begin{array}{rll} 6\cdot s-4\cdot(-\dfrac{1}{2})=&14&\quad \\[5pt] 6s=&12&\quad \mid :6\;\\[5pt] s=&2 \end{array}$
$\begin{array}{rll} 6\cdot s-4\cdot(-\dfrac{1}{2})=\;… \end{array}$
$t$ und $s$ einsetzen in Ⅰ:
$\begin{array}{rll} r+2\cdot2-1\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)=&5\\[5pt] r=&\dfrac{1}{2}&\quad \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}{rll} r+2\cdot2-… \end{array}$
Die Gerade $g$ schneidet die Ebene $E$ demnach ($t$ eingesetzt in $g$):
$S\left(\frac{11}{2} \mid -\frac{1}{2} \mid \frac{17}{2}\right)$
b)
Gleichsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} \left( {\begin{array}{*{20}r} 5 \\ 7 \\ 9 \\ \end{array}} \right)+ t\left( {\begin{array}{*{20}r} 8 \\ 6 \\ 3 \\ \end{array}} \right)=& \left( {\begin{array}{*{20}r} 3 \\ 4 \\ 6 \\ \end{array}} \right) + r\left( {\begin{array}{*{20}r} 5 \\ 3 \\ 9 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} 4 \\ 2 \\ 1 \\ \end{array}} \right)&\quad\mid\,-t\left( {\begin{array}{*{20}r} 8 \\ 6 \\ 3 \\ \end{array}} \right)-\left( {\begin{array}{*{20}r} 3 \\ 4 \\ 6 \\ \end{array}} \right)\\[5pt] \left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ 3 \\ 3 \\ \end{array}} \right)=&r\left( {\begin{array}{*{20}r} 5 \\ 3 \\ 9 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} 4 \\ 2 \\ 1 \\ \end{array}} \right)-t\left( {\begin{array}{*{20}r} 8 \\ 6 \\ 3 \\ \end{array}} \right)&\\ \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \left( {\begin{array}{*{20}r} 5 \\ 7 \\ 9 \\ \end{array}} \right)+ t\left( {\begin{array}{*{20}r} 8 \\ 6 \\ 3 \\ \end{array}} \right)=\;… \end{array}$
Nun stellt man ein LGS auf.
$\begin{array}{lrcrcrcrl} Ⅰ&5r&+&4s&-&8t&=&2&\\[5pt] Ⅱ&3r&+&2s&-&6t&=&3&\quad \left(\text{3Ⅰ}-\text{5Ⅱ}\right)\\[5pt] Ⅲ&9r&+&s&-&3t&=&3&\quad \left(9\text{Ⅰ}-\text{5Ⅲ}\right)\\[5pt] \hline Ⅰ&5r&+&4s&-&8t&=&2&\\[5pt] Ⅱa&&&2s&+&6t&=&-9&\\[5pt] Ⅲa&&&31s&-&57t&=&3&\quad \left(\text{31Ⅱa}-\text{2Ⅲa}\right)\\[5pt] \hline Ⅰ&5r&+&4s&-&8t&=&2&\\[5pt] Ⅱa&&&2s&+&6t&=&-9&\quad \\[5pt] Ⅲb&&&&+&300t&=&-285&\\[5pt] \hline \end{array}$
$\begin{array}{lrcrcrcrl} Ⅰ&…\\[5pt] Ⅱ&…\\[5pt] Ⅲ&…\\[5pt] \end{array}$
Daraus folgt:
$\begin{array}{rll} 300t=&-285\quad &\mid :300\\[5pt] t=&-\dfrac{285}{300} &\mid \, \small{\text{ mit } 15\text{ kürzen}}\\[5pt] t=&-\dfrac{19}{20}\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}{rll} 300t=\;… \end{array}$
$t$ einsetzen in Ⅱa:
$\begin{array}{rll} 2\cdot s-6\cdot\left(-\dfrac{19}{20}\right)=&-9&\quad \\[5pt] 2s-\dfrac{57}{10}=&-9&\quad \\[5pt] s=&-\dfrac{33}{20} \end{array}$
$\begin{array}{rll} 2\cdot s-\;… \end{array}$
$t$ und $s$ einsetzen in Ⅰ:
$\begin{array}{rll} 5r+4\cdot\left(-\dfrac{33}{20}\right)-8\cdot\left(-\dfrac{19}{20}\right)=&2\\[5pt] 5r-\dfrac{33}{5}+\dfrac{38}{5}=&2&\quad \\[5pt] 5r+1=&2&\\[5pt] r= &\dfrac{1}{5}&\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}{rll} r= &\dfrac{1}{5}&\\[5pt] \end{array}$
Die Gerade $g$ schneidet die Ebene $E$ demnach ($t$ eingesetzt in $g$):
$S\left(-\frac{13}{5} \mid \frac{13}{10} \mid \frac{123}{20}\right)$
c)
Gleichsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} \left( {\begin{array}{*{20}r} 4 \\ 7 \\ 8 \\ \end{array}} \right)+ t\left( {\begin{array}{*{20}r} 8 \\ 6 \\ 3 \\ \end{array}} \right)=& \left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ 8 \\ 5 \\ \end{array}} \right) + r\left( {\begin{array}{*{20}r} 16 \\ 12 \\ -6 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} 4 \\ 3 \\ 1 \\ \end{array}} \right)&\quad\mid\,-t\left( {\begin{array}{*{20}r} 8 \\ 6 \\ 3 \\ \end{array}} \right)-\left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ 8 \\ 5 \\ \end{array}} \right)\\[5pt] \left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ -1 \\ 3 \\ \end{array}} \right)=&r\left( {\begin{array}{*{20}r} 16 \\ 12 \\ -6 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} 4 \\ 3 \\ 1 \\ \end{array}} \right)-t\left( {\begin{array}{*{20}r} 8 \\ 6 \\ 3 \\ \end{array}} \right)&\\ \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \left( {\begin{array}{*{20}r} 4 \\ 7 \\ 8 \\ \end{array}} \right)+ t\left( {\begin{array}{*{20}r} 8 \\ 6 \\ 3 \\ \end{array}} \right)=\;… \end{array}$
Nun stellt man ein LGS auf.
$\begin{array}{lrcrcrcrl} Ⅰ&16r&+&4s&-&8t&=&2&\\[5pt] Ⅱ&12r&+&3s&-&6t&=&-1&\quad \left(\text{3Ⅰ}-\text{4Ⅱ}\right)\\[5pt] Ⅲ&-6r&+&s&-&3t&=&3&\quad \left(3\text{Ⅰ}+\text{8Ⅲ}\right)\\[5pt] \hline Ⅰ&16r&+&4s&-&8t&=&2&\\[5pt] Ⅱ&&&&&0&\neq&10&\\[5pt] Ⅲ&&&4s&-&48t&=&-21&\quad \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}{lrcrcrcrl} Ⅰ&…\\[5pt] Ⅱ&…\\[5pt] Ⅲ&…\\[5pt] \end{array}$
Dieses LGS ist wegen Ⅱ nicht lösbar. Es gibt also keinen Schnittpunkt. Die Gerade $g$ ist demnach parallel zur Ebene $E$.
d)
Gleichsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} \left( {\begin{array}{*{20}r} 8 \\ 12 \\ 9 \\ \end{array}} \right)+ t\left( {\begin{array}{*{20}r} -9 \\ 6 \\ 3 \\ \end{array}} \right)=& \left( {\begin{array}{*{20}r} 3 \\ 8 \\ 7 \\ \end{array}} \right) + r\left( {\begin{array}{*{20}r} 5 \\ 4 \\ 2 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} 3 \\ 2 \\ 1 \\ \end{array}} \right)&\quad\mid\,-t\left( {\begin{array}{*{20}r} -9 \\ 6 \\ 3 \\ \end{array}} \right)-\left( {\begin{array}{*{20}r} 3 \\ 8 \\ 7 \\ \end{array}} \right)\\[5pt] \left( {\begin{array}{*{20}r} 5 \\ 4 \\ 2 \\ \end{array}} \right)=&r\left( {\begin{array}{*{20}r} 5 \\ 4 \\ 2 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} 3 \\ 2 \\ 1 \\ \end{array}} \right)-t\left( {\begin{array}{*{20}r} -9 \\ 6 \\ 3 \\ \end{array}} \right)&\\ \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \left( {\begin{array}{*{20}r} 8 \\ 12 \\ 9 \\ \end{array}} \right)+ t\left( {\begin{array}{*{20}r} -9 \\ 6 \\ 3 \\ \end{array}} \right)=\;… \end{array}$
Nun stellt man ein LGS auf.
$\begin{array}{lrcrcrcrl} Ⅰ&5r&+&3s&+&9t&=&5&\\[5pt] Ⅱ&4r&+&2s&-&6t&=&4&\quad \left(\text{4Ⅰ}-\text{5Ⅱ}\right)\\[5pt] Ⅲ&2r&+&s&-&3t&=&2&\quad \left(\text{2Ⅰ}-\text{5Ⅲ}\right)\\[5pt] \hline Ⅰ&5r&+&3s&+&9t&=&5&\\[5pt] Ⅱa&&&2s&+&66t&=&0&\\[5pt] Ⅲa&&&1s&+&33t&=&0&\quad \left(\text{Ⅱa}-\text{2Ⅲa}\right)\\[5pt] \hline Ⅰ&5r&+&3s&+&9t&=&5&\\[5pt] Ⅱ&&&2s&+&66t&=&0&\quad \\[5pt] Ⅲ&0r&+&0s&+&0t&=&0&\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}{lrcrcrcrl} Ⅰ&…\\[5pt] Ⅱ&…\\[5pt] Ⅲ&…\\[5pt] \end{array}$
Aus Ⅲ folgt, dass es unendlich viele Lösungen gibt. Die Gerade $g$ liegt demnach in der Ebene $E$.
2.
a)
$g$ in $E$ eingesetzt:
$\begin{array}[t]{rll} 2(2+2t)+(-5-4t)=&-1&\quad\\[5pt] 4+4t-5-4t=&-1 &\\[5pt] -1=&-1&\\[5pt] \end{array}$
Die Gerade $g$ liegt in der Ebene $E$.
b)
$g$ in $E$ eingesetzt:
$\begin{array}[t]{rll} (3+3t)+2(5-4t)+(1+5t)=&-6&\quad\\[5pt] 3+3t+10-8t+1+5t=&-6 &\\[5pt] 14=&-6&\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 14=&-6&\\[5pt] \end{array}$
Die Gerade $g$ liegt parallel zur Ebene $E$.
c)
$g$ in $E$ eingesetzt:
$\begin{array}[t]{rll} 2(3+5t)+3(4-6t)+(2+9t)=&8&\quad\\[5pt] 6+10t+12-18t+2+9t=&8 &\\[5pt] t=&-12&\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} t=&-12&\\[5pt] \end{array}$
Die Gerade $g$ schneidet die Ebene $E$.
$t$ eingesetzt in $g$ liefert: $S\left(-57 \mid 76 \mid -106\right)$.
d)
$g$ in $E$ eingesetzt:
$\begin{array}[t]{rll} (4+3t)+2(-8+4t)+(3+6t)=&-6&\quad\\[5pt] 4+3t-16+8t+3+6t=&-6 &\\[5pt] t=&\dfrac{3}{17}&\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} t=&\dfrac{3}{17}&\\[5pt] \end{array}$
Die Gerade $g$ schneidet die Ebene $E$.
$t$ eingesetzt in $g$ liefert: $S\left(\frac{77}{17} \mid -\frac{124}{17} \mid \frac{69}{17}\right)$.
3.
Bestimme den Parameter $t$ so, dass die Gerade und die Ebene parallel zueinander sind.
Eine Gerade und eine Ebene sind parallel zueinander, wenn der Richtungsvektor der Geraden senkrecht auf dem Normalenvektor der Ebene steht. Das Skalarprodukt von Normalenvektor und Richtungsvektor muss also Null ergeben.
Eine Gerade und eine Ebene sind parallel zueinander, wenn der Richtungsvektor der Geraden senkrecht auf dem Normalenvektor der Ebene steht. Das Skalarprodukt von Normalenvektor und Richtungsvektor muss also Null ergeben.
a)
Parameter $t$ bestimmen
Der Normalenvektor der Ebene lässt sich aus der Gleichung ablesen und lautet $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{r} 2\\ 1\\ 2\\ \end{array}\right)$.
$\begin{array}{rll} 0=&\left(\begin{array}{r} 1\\ t\\ -2\\ \end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{r} 2\\ 1\\ 2\\ \end{array}\right)\\[5pt] 0=&2+t-4\\[5pt] 0=&t-2&\quad\mid\, +2\\[5pt] 2=&t \end{array}$
b)
Parameter $t$ bestimmen
Der Normalenvektor der Ebene lässt sich aus der Gleichung ablesen und lautet $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{r} t\\ 2\\ -1\\ \end{array}\right)$.
$\begin{array}{rll} 0=&\left(\begin{array}{r} 2\\ 1\\ 4\\ \end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{r} t\\ 2\\ -1\\ \end{array}\right)\\[5pt] 0=&2t+2-4\\[5pt] 0=&2t-2&\quad\mid\, +2\\[5pt] 2=&2t&\quad\mid\, :2\\[5pt] 1=&t \end{array}$
c)
Parameter $t$ bestimmen
Den Normalenvektor der Ebene berechnen wir über das Kreuzprodukt der Spannvektoren.
$\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{r} 2\\ 1\\ 1\\ \end{array}\right)\times\left(\begin{array}{r} 0\\ 1\\ -3\\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{r} -3-1\\ 0-(-6)\\ 2-0\\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{r} -4\\ 6\\ 2\\ \end{array}\right)$
$\begin{array}{rll} 0=&\left(\begin{array}{r} 1\\ 1\\ t\\ \end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{r} -4\\ 6\\ 2\\ \end{array}\right)\\[5pt] 0=&-4+6+2t\\[5pt] 0=&2+2t&\quad\mid\, -2\\[5pt] -2=&2t&\quad\mid\, :2\\[5pt] -1=&t \end{array}$
$\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{r} 2\\ 1\\ 1\\ \end{array}\right)\times\left(\begin{array}{r} 0\\ 1\\ -3\\ \end{array}\right)=\;…$
d)
Parameter $t$ bestimmen
Den Normalenvektor der Ebene berechnen wir über das Kreuzprodukt der Spannvektoren.
$\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{r} 1\\ -2\\ 4\\ \end{array}\right)\times\left(\begin{array}{r} 3\\ 2\\ -2\\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{r} 4-8\\ 12-(-2)\\ 2-(-6)\\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{r} -4\\ 14\\ 8\\ \end{array}\right)$
$\overrightarrow{n} = \left(\begin{array}{r} -4\\ 14\\ 8\\ \end{array}\right) $
$\begin{array}{rll} 0=&\left(\begin{array}{r} -1\\ t\\ 3\\ \end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{r} -4\\ 14\\ 8\\ \end{array}\right)\\[5pt] 0=&4+14t+24\\[5pt] 0=&14t+28&\quad\mid\, -28\\[5pt] -28=&14t&\quad\mid\, :14\\[5pt] -2=&t \end{array}$
$ -2=t $
4.
Bestimme $t$ so, dass die Gerade und die Ebene orthogonal zueinander sind.
Eine Gerade und eine Ebene sind orthogonal, wenn der Richtungsvektor und der Normalenvektor parallel, also linear abhängig sind.
Eine Gerade und eine Ebene sind orthogonal, wenn der Richtungsvektor und der Normalenvektor parallel, also linear abhängig sind.
a)
Parameter $t$ bestimmen
Der Normalenvektor der Ebene lässt sich aus der Gleichung ablesen und lautet $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{r} 4\\ t\\ -8\\ \end{array}\right)$
$\begin{array}{rll} \left(\begin{array}{r} -2\\ 1\\ 4\\ \end{array}\right)=&k\cdot\left(\begin{array}{r} 4\\ t\\ -8\\ \end{array}\right) \end{array}$
Aus der ersten und der dritten Zeile ergibt sich: $\quad k=-\frac{1}{2}$
Wird $k=-\frac{1}{2}$ eingesetzt in die zweite Zeile, erhalten wir: $1=-\frac{1}{2}t\quad\Longleftrightarrow\quad t=-2$
b)
Parameter $t$ bestimmen
Der Normalenvektor der Ebene lässt sich aus der Gleichung ablesen und lautet $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{r} -3\\ -3\\ 6\\ \end{array}\right)$
$\begin{array}{rll} \left(\begin{array}{r} 2\\ 2\\ -t\\ \end{array}\right)=&k\cdot\left(\begin{array}{r} -3\\ -3\\ 6\\ \end{array}\right) \end{array}$
Aus der ersten und der zweiten Zeile ergibt sich: $\quad k=-\frac{2}{3}$
Wird $k=-\frac{2}{3}$ eingesetzt in die dritte Zeile, erhalten wir: $-t=-\frac{2}{3}\cdot6\quad\Longleftrightarrow\quad t=4$
c)
Parameter $t$ bestimmen
Den Normalenvektor der Ebene berechnen wir über das Kreuzprodukt der Spannvektoren:
$\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{r} 2\\ 0\\ -1\\ \end{array}\right)\times\left(\begin{array}{r} 4\\ 3\\ 2\\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{r} 0-(-3)\\ -4-4\\ 6-0\\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{r} 3\\ -8\\ 6\\ \end{array}\right)$
$\begin{array}{rll} \left(\begin{array}{r} -3\\ t\\ -6\\ \end{array}\right)=&k\cdot\left(\begin{array}{r} 3\\ -8\\ 6\\ \end{array}\right) \end{array}$
$\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{r} 2\\ 0\\ -1\\ \end{array}\right)\times\left(\begin{array}{r} 4\\ 3\\ 2\\ \end{array}\right)=\;…$
Aus der ersten und der dritten Zeile ergibt sich: $\quad k=-1$
Wird $k=-1$ eingesetzt in die zweite Zeile, erhalten wir: $t=(-1)\cdot(-8)\quad\Longleftrightarrow\quad t=8$
d)
Parameter $t$ bestimmen
Den Normalenvektor der Ebene berechnen wir über das Kreuzprodukt der Spannvektoren:
$\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{r} 4\\ 1\\ 1\\ \end{array}\right)\times\left(\begin{array}{r} -2\\ 4\\ 1\\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{r} 1-4\\ -2-4\\ 16-(-2)\\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{r} -3\\ -6\\ 18\\ \end{array}\right)$
$\begin{array}{rll} \left(\begin{array}{r} t\\ 3\\ -9\\ \end{array}\right)=&k\cdot\left(\begin{array}{r} -3\\ -6\\ 18\\ \end{array}\right) \end{array}$
$\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{r} 4\\ 1\\ 1\\ \end{array}\right)\times\left(\begin{array}{r} -2\\ 4\\ 1\\ \end{array}\right)=\;…$
Aus der zweiten und der dritten Zeile ergibt sich: $\quad k=-\frac{1}{2}$
Wird $k=-\frac{1}{2}$ eingesetzt in die erste Zeile, erhalten wir: $t=-\frac{1}{2}\cdot(-3)\quad\Longleftrightarrow\quad t=\frac{3}{2}$
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