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Lernbereich Digitales Schulbuch
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Schaubilder von Funkt...
Ganzrationale Funktio...
Exponentialfunktionen
Gebrochenrationale Fu...
Logarithmusfunktionen
Wurzelfunktionen
Trigonometrische Funk...
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Kurve gegeben
Ganzrationale Funktio...
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Tangente und Normale
Tangente
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Integralrechnung
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Flächeninhalt zwische...
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Arithmetrische und ge...
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Allgemeine Fragen zu ...
Definitions- und Wert...
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Logarithmusfunktionen
Stetigkeit und Differ...
Stetigkeit
Differenzierbarkeit
Wachstum
Exponentielles Wachst...
Beschränktes Wachstum
Logistisches Wachstum
Näherungsverfahren
Keplersche Fassregel
Newtonsches Verfahren
Vermischte Aufgaben
Weiterführende Übungs...
Ganzrationale Funktio...
Gebrochenrationale Fu...
Exponentialfunktionen
Analytische Geometrie
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Rechnen mit Vektoren
Lineare Abhängigkeit ...
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Ortsvektoren und Verb...
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Geraden
Geraden
Punktprobe
Geraden im Raum
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Vermischte Aufgaben
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Parameterform
Normalenform
Koordinatenform
Umrechnen von Ebeneng...
Ebenen im Raum
Ebenen in Körpern
Spurpunkte
Spurgerade
Vermischte Aufgaben
Gegenseitige Lage
Gerade - Gerade
Gerade - Ebene
Ebene - Ebene
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Abstände
Punkt - Gerade
Gerade - Gerade
Gerade - Ebene
Punkt - Ebene
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Zwischen Vektoren
Gerade - Gerade
Gerade - Ebene
Ebene - Ebene
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Punkt, Gerade und Ebe...
Vermischte Aufgaben
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Interpretation von LG...
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Übergangsmatrix
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Relative und absolute...
Laplace-Experiment
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Baumdiagramme und Pfa...
Abhängigkeit und Unab...
Bedingte Wahrscheinli...
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Geordnete Stichprobe ...
Geordnete Stichprobe ...
Ungeordnete Stichprob...
Wahrscheinlichkeitsve...
Erwartungswert
Varianz und Standarda...
Binomialverteilung
Mit Formel und Tasche...
Mit Tabelle
Erwartungswert und St...
Konfidenzintervalle
Normalverteilung
Hypergeometrische Ver...
Signifikanztest
Einseitiger Test
Zweiseitiger Test

Geordnete Stichprobe ohne Zurücklegen

Spickzettel
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null
Bei einer geordneten Stichprobe ohne Zurücklegen wird ein mehrstufiges Zufallsexperiment betrachtet, wie beispielsweise das Ziehen aus einer Urne, wobei die Kugeln nicht wieder zurückgelegt werden. Dabei bedeutet „geordnet“, dass genau beachtet wird, wann welche Kugel gezogen wurde.
Es geht also darum aus einer Menge von $n$ Objekten unter Beachtung der Reihenfolge $k$ Objekte auszuwälen. $k$ ist also die Anzahl der Stufen und $n$ die Möglichkeiten, die zu Beginn des Experimentes zur Verfügung stehen. Dann ergibt sich die Anzahl der möglichen Ergebnisse unter Beachtung der Reihenfolge wie folgt:
$\left|\Omega\right| = n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot … \cdot (n-k+1) = \dfrac{n!}{(n-k)!}$
$\left|\Omega\right| = $$ n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot … $$ \cdot (n-k+1) $$ = \dfrac{n!}{(n-k)!}$

Beispiel

Ein klassisches Beispiel ist das Besetzen einer Stuhlreihe. Stehen 4 Stühle zur Verfügung und aus 10 Personen kann ausgewählt werden, dann gibt es für den ersten Stuhl noch 10 Möglichkeiten diesen zu besetzen, für den zweiten Stuhl noch 9, für den dritten Stuhl noch 8 und für den letzten Stuhl noch 7 Möglichkeiten. Insgesamt also:
$10\cdot 9 \cdot 8\cdot 7 = 5.040$ Möglichkeiten.
Bei einer geordneten Stichprobe ohne Zurücklegen wird ein mehrstufiges Zufallsexperiment betrachtet, wie beispielsweise das Ziehen aus einer Urne, wobei die Kugeln nicht wieder zurückgelegt werden. Dabei bedeutet „geordnet“, dass genau beachtet wird, wann welche Kugel gezogen wurde.
Es geht also darum aus einer Menge von $n$ Objekten unter Beachtung der Reihenfolge $k$ Objekte auszuwälen. $k$ ist also die Anzahl der Stufen und $n$ die Möglichkeiten, die zu Beginn des Experimentes zur Verfügung stehen. Dann ergibt sich die Anzahl der möglichen Ergebnisse unter Beachtung der Reihenfolge wie folgt:
$\left|\Omega\right| = n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot … \cdot (n-k+1) = \dfrac{n!}{(n-k)!}$
$\left|\Omega\right| = $$ n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot … $$ \cdot (n-k+1) $$ = \dfrac{n!}{(n-k)!}$

Beispiel

Ein klassisches Beispiel ist das Besetzen einer Stuhlreihe. Stehen 4 Stühle zur Verfügung und aus 10 Personen kann ausgewählt werden, dann gibt es für den ersten Stuhl noch 10 Möglichkeiten diesen zu besetzen, für den zweiten Stuhl noch 9, für den dritten Stuhl noch 8 und für den letzten Stuhl noch 7 Möglichkeiten. Insgesamt also:
$10\cdot 9 \cdot 8\cdot 7 = 5.040$ Möglichkeiten.
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Aufgaben
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1.
Auf wie viele Arten können sich
a)
vier Menschen in einer Reihe aufstellen?
Einer von ihnen heißt Martin. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Martin an der 2. Position steht?
b)
$12$ Menschen in einer Reihe aufstellen?
Unter diesen $12$ Menschen befinden sich auch Martin und Michael. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Martin an der 1. und Michael an der 5. Position stehen? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Martin und Michael die letzten beiden Positionen einnehmen?
1.
Auf wie viele Arten können sich
a)
vier Menschen in einer Reihe aufstellen?
Einer von ihnen heißt Martin. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Martin an der 2. Position steht?
b)
$12$ Menschen in einer Reihe aufstellen?
Unter diesen $12$ Menschen befinden sich auch Martin und Michael. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Martin an der 1. und Michael an der 5. Position stehen? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Martin und Michael die letzten beiden Positionen einnehmen?
2.
Bei der Quizshow „Wer wird Millionär“ muss ein Kandidat als schnellster vier Antworten in die richtige Reihenfolge bringen, um sich zu qualifizieren.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, durch bloßen Zufall die Reihenfolge zu erraten?
2.
Bei der Quizshow „Wer wird Millionär“ muss ein Kandidat als schnellster vier Antworten in die richtige Reihenfolge bringen, um sich zu qualifizieren.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, durch bloßen Zufall die Reihenfolge zu erraten?
3.
Aus einer Klasse werden $5$ Schüler ausgewählt.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben sie an verschiedenen Wochentagen Geburtstag?
3.
Aus einer Klasse werden $5$ Schüler ausgewählt.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben sie an verschiedenen Wochentagen Geburtstag?
4.
Bei einem Preisausschreiben gewinnen die drei Gewinner aus $10$ verschiedenen Elektroartikeln je zufällig einen.
Einer dieser Elektroartikel ist eine Mikrowelle. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der erste Gewinner nicht die Mikrowelle bekommt?
4.
Bei einem Preisausschreiben gewinnen die drei Gewinner aus $10$ verschiedenen Elektroartikeln je zufällig einen.
Einer dieser Elektroartikel ist eine Mikrowelle. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der erste Gewinner nicht die Mikrowelle bekommt?
5.
$10$ Personen bekommen $4$ Karten für ein Fußballspiel angeboten. Per Zufall werden die $4$ Karten an $4$ der 10 Personen verteilt. Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Karten zu verteilen, wenn es sich dabei um Karten für
a)
nummerierte Sitzplätze
b)
unnummerierte Stehplätze handelt? Gib jeweils das verwendetet Urnenmodell an.
5.
$10$ Personen bekommen $4$ Karten für ein Fußballspiel angeboten. Per Zufall werden die $4$ Karten an $4$ der 10 Personen verteilt. Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Karten zu verteilen, wenn es sich dabei um Karten für
a)
nummerierte Sitzplätze
b)
unnummerierte Stehplätze handelt? Gib jeweils das verwendetet Urnenmodell an.
6.
In einer Urne sind 4 schwarze und 6 weiße Kugeln. Es werden nacheinander 5 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse?
A: Man zieht nur weiße Kugeln.
B: Man zieht zuerst zwei schwarze, dann drei weiße Kugeln.
C: Die erste Kugel ist schwarz.
D: Man zieht abwechselnd schwarze und weiße Kugeln.
6.
In einer Urne sind 4 schwarze und 6 weiße Kugeln. Es werden nacheinander 5 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse?
A: Man zieht nur weiße Kugeln.
B: Man zieht zuerst zwei schwarze, dann drei weiße Kugeln.
C: Die erste Kugel ist schwarz.
D: Man zieht abwechselnd schwarze und weiße Kugeln.
7.
Bei dem Spiel „Reise nach Jerusalem“ scheidet in jeder Runde eine Person aus. Es nehmen 12 Personen teil, unter ihnen befinden sich Martin, Sandra und Lisa.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:
A: Martin bleibt als letzter übrig.
B: Sandra und Lisa sind in der letzten Runde.
C: Martin fliegt in der 5. Runde raus.
7.
Bei dem Spiel „Reise nach Jerusalem“ scheidet in jeder Runde eine Person aus. Es nehmen 12 Personen teil, unter ihnen befinden sich Martin, Sandra und Lisa.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:
A: Martin bleibt als letzter übrig.
B: Sandra und Lisa sind in der letzten Runde.
C: Martin fliegt in der 5. Runde raus.
8.
Die Ziffern der Zahl $1212125$ werden zufällig neu angeordnet.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse?
A: Es entsteht wieder die ursprüngliche Zahl.
B: Die neue Zahl beginnt mit $111$.
C: Es entsteht eine Zahl, in der dreimal hintereinander die $1$ vorkommt.
8.
Die Ziffern der Zahl $1212125$ werden zufällig neu angeordnet.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse?
A: Es entsteht wieder die ursprüngliche Zahl.
B: Die neue Zahl beginnt mit $111$.
C: Es entsteht eine Zahl, in der dreimal hintereinander die $1$ vorkommt.
9.
Anette bekommt die Aufgabe, $n$ Autos nach ihrer Preisklasse zu ordnen. Als erstes soll sie das günstigste nennen und dann in aufsteigender Reihenfolge bis zum teuersten kommen.
Wie groß muss $n$ mindestens sein, damit die Wahrscheinlichkeit dafür, die richtige Reihenfolge ohne Autokenntnisse zufällig zu erraten, kleiner als $0,005\%$ ist?
9.
Anette bekommt die Aufgabe, $n$ Autos nach ihrer Preisklasse zu ordnen. Als erstes soll sie das günstigste nennen und dann in aufsteigender Reihenfolge bis zum teuersten kommen.
Wie groß muss $n$ mindestens sein, damit die Wahrscheinlichkeit dafür, die richtige Reihenfolge ohne Autokenntnisse zufällig zu erraten, kleiner als $0,005\%$ ist?
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Lösungen
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1.
Wahrscheinlichkeiten bestimmen
a)
Es gilt $4!=24$. Dies ist die Anzahl der Möglichkeiten, wie sich 4 Menschen in eine Reihe aufstellen können.
Wenn Martin an der zweiten Position stehen soll, gibt es für die erste Position $3$ Möglichkeiten, für die zweite Position nur eine (da soll ja schließlich Martin stehen), für die dritte Position $2$ und für die letzte schließlich nur noch eine Möglichkeit. Damit insgesamt $3!=6$ Möglichkeiten.
Die Wahrscheinlichkeit, dass Martin an der zweiten Position steht, liegt damit bei
$P(\scriptsize{\text{Martin steht an der 2. Position}}\small)=\dfrac{3!}{4!}=\dfrac{6}{24}=\dfrac{1}{4}=0,25\mathrel{\widehat{=}}25\%$
$P(\scriptsize{\text{Martin steht an der 2. Position}}\small)=25\% $
b)
Insgesamt gibt es $12!=479\,001\,600$ Möglichkeiten.
Sind die 1. und 5. Position fix vergeben, können sich die anderen 10 Menschen noch an den verbleibenden Positionen umstellen. Es bleiben daher noch $10!=3\;628\;800$ Möglichkeiten.
Die Wahrscheinlichkeit beträgt demnach
$P(\scriptsize{\text{Martin steht an der 1. und Michael an der 5. Position}}\small)=\dfrac{10!}{12!}=\dfrac{1}{132}\approx0,0076\mathrel{\widehat{=}}0,76\%$
$P(\scriptsize{\text{Martin steht an… }}\small)=0,76\% $
Die Anzahl der Möglichkeiten, dass Martin und Michael an den letzten zwei Positionen stehen, berechnet sich wie folgt:
$10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 1$
Die ersten 10 Positionen werden hierbei von den 10 anderen Personen belegt. Die letzten beiden Plätze werden von Michael und Martin belegt. Da aber nicht vorgegeben ist, wer den letzten Platz belegt, können auch diese vertauscht werden.
Folglich gilt für die Wahrscheinlichkeit, dass Martin und Michael an den letzten zwei Positionen stehen:
$\dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 1}{12!}=\dfrac{1}{66} \approx 0,0152=1,52\%$
$\dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 1}{12!} $
Dieser Wert ist das Doppelte der errechneten Wahrscheinlichkeit dafür, dass Martin an der 1. und Michael an der 5. Position steht. Das liegt daran, dass nun keine festen Positionen für Martin und Michael gefragt sind (ob Martin oder Michael an 11. Position steht, ist hier egal).
1.
Wahrscheinlichkeiten bestimmen
a)
Es gilt $4!=24$. Dies ist die Anzahl der Möglichkeiten, wie sich 4 Menschen in eine Reihe aufstellen können.
Wenn Martin an der zweiten Position stehen soll, gibt es für die erste Position $3$ Möglichkeiten, für die zweite Position nur eine (da soll ja schließlich Martin stehen), für die dritte Position $2$ und für die letzte schließlich nur noch eine Möglichkeit. Damit insgesamt $3!=6$ Möglichkeiten.
Die Wahrscheinlichkeit, dass Martin an der zweiten Position steht, liegt damit bei
$P(\scriptsize{\text{Martin steht an der 2. Position}}\small)=\dfrac{3!}{4!}=\dfrac{6}{24}=\dfrac{1}{4}=0,25\mathrel{\widehat{=}}25\%$
$P(\scriptsize{\text{Martin steht an der 2. Position}}\small)=25\% $
b)
Insgesamt gibt es $12!=479\,001\,600$ Möglichkeiten.
Sind die 1. und 5. Position fix vergeben, können sich die anderen 10 Menschen noch an den verbleibenden Positionen umstellen. Es bleiben daher noch $10!=3\;628\;800$ Möglichkeiten.
Die Wahrscheinlichkeit beträgt demnach
$P(\scriptsize{\text{Martin steht an der 1. und Michael an der 5. Position}}\small)=\dfrac{10!}{12!}=\dfrac{1}{132}\approx0,0076\mathrel{\widehat{=}}0,76\%$
$P(\scriptsize{\text{Martin steht an… }}\small)=0,76\% $
Die Anzahl der Möglichkeiten, dass Martin und Michael an den letzten zwei Positionen stehen, berechnet sich wie folgt:
$10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 1$
Die ersten 10 Positionen werden hierbei von den 10 anderen Personen belegt. Die letzten beiden Plätze werden von Michael und Martin belegt. Da aber nicht vorgegeben ist, wer den letzten Platz belegt, können auch diese vertauscht werden.
Folglich gilt für die Wahrscheinlichkeit, dass Martin und Michael an den letzten zwei Positionen stehen:
$\dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 1}{12!}=\dfrac{1}{66} \approx 0,0152=1,52\%$
$\dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 1}{12!} $
Dieser Wert ist das Doppelte der errechneten Wahrscheinlichkeit dafür, dass Martin an der 1. und Michael an der 5. Position steht. Das liegt daran, dass nun keine festen Positionen für Martin und Michael gefragt sind (ob Martin oder Michael an 11. Position steht, ist hier egal).
2.
Wahrscheinlichkeit bestimmen
Die Antworten lassen sich auf $4!=24$ Arten in eine Reihenfolge bringen. Es gibt also $24$ mögliche Fälle.
Nur eine Reihenfolge bildet die richtige Lösung, also ist die „Zahl der günstigen Fälle“ eins. Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich
$P(\scriptsize{\text{Reihenfolge durch Zufall erraten}}\small)=\dfrac{1}{24}\approx0,042$.
2.
Wahrscheinlichkeit bestimmen
Die Antworten lassen sich auf $4!=24$ Arten in eine Reihenfolge bringen. Es gibt also $24$ mögliche Fälle.
Nur eine Reihenfolge bildet die richtige Lösung, also ist die „Zahl der günstigen Fälle“ eins. Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich
$P(\scriptsize{\text{Reihenfolge durch Zufall erraten}}\small)=\dfrac{1}{24}\approx0,042$.
3.
Wahrscheinlichkeit bestimmen
Es gibt insgesamt $7^{5}=16807$ Möglichkeiten.
Für die erste Person sind noch alle $7$ Wochentage „frei“, für die zweite $6$, für die dritte $5$, die vierte noch $4$ und für die fünfte $3$, also $7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3=2520$ Möglichkeiten. Somit gilt:
$P(\scriptsize{\text{an verschiedenen Wochentagen Geburtstag haben}}\small)=\dfrac{2520}{16807}\approx0{,}15=15\%$
$P(\scriptsize{\text{an verschiedenen Wochentagen…}}\small)=15\% $
3.
Wahrscheinlichkeit bestimmen
Es gibt insgesamt $7^{5}=16807$ Möglichkeiten.
Für die erste Person sind noch alle $7$ Wochentage „frei“, für die zweite $6$, für die dritte $5$, die vierte noch $4$ und für die fünfte $3$, also $7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3=2520$ Möglichkeiten. Somit gilt:
$P(\scriptsize{\text{an verschiedenen Wochentagen Geburtstag haben}}\small)=\dfrac{2520}{16807}\approx0{,}15=15\%$
$P(\scriptsize{\text{an verschiedenen Wochentagen…}}\small)=15\% $
4.
Wahrscheinlichkeit bestimmen
Stellen wir die Situation in einem Urnenmodell dar: Die 10 Elektroartikel sind die Kugeln. Aus ihnen werden drei ohne Zurücklegen gezogen. Es gibt dafür $10\cdot9\cdot8$ Möglichkeiten.
Betrachte nun das Ereignis „Der erste Gewinner bekommt die Mikrowelle“. Das ist das Gegenereignis zum Ereignis in der Aufgabenstellung. Wenn der erste Gewinner die Mikrowelle bekommt, dann bleiben für Gewinner 2 noch neun mögliche Gewinne, für Gewinner 3 noch acht mögliche Gewinne. Es gibt also $1\cdot9\cdot8$ günstige Kombinationen.
Die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis $\overline{A}:$ „Der erste Gewinner bekommt die Mikrowelle“ ist deshalb:
$P(\overline{A})=\dfrac{1\cdot9\cdot8}{10\cdot9\cdot8}=\dfrac{72}{720}=\dfrac{1}{10}=0{,}1$
Für unser Ereignis $A:$ „Der erste Gewinner bekommt nicht die Mikrowelle“ gilt dann:
$P(A)=1-P(\overline{A})=1-0{,}1=0{,}9$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% bekommt der erste Gewinner nicht die Mikrowelle.
4.
Wahrscheinlichkeit bestimmen
Stellen wir die Situation in einem Urnenmodell dar: Die 10 Elektroartikel sind die Kugeln. Aus ihnen werden drei ohne Zurücklegen gezogen. Es gibt dafür $10\cdot9\cdot8$ Möglichkeiten.
Betrachte nun das Ereignis „Der erste Gewinner bekommt die Mikrowelle“. Das ist das Gegenereignis zum Ereignis in der Aufgabenstellung. Wenn der erste Gewinner die Mikrowelle bekommt, dann bleiben für Gewinner 2 noch neun mögliche Gewinne, für Gewinner 3 noch acht mögliche Gewinne. Es gibt also $1\cdot9\cdot8$ günstige Kombinationen.
Die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis $\overline{A}:$ „Der erste Gewinner bekommt die Mikrowelle“ ist deshalb:
$P(\overline{A})=\dfrac{1\cdot9\cdot8}{10\cdot9\cdot8}=\dfrac{72}{720}=\dfrac{1}{10}=0{,}1$
Für unser Ereignis $A:$ „Der erste Gewinner bekommt nicht die Mikrowelle“ gilt dann:
$P(A)=1-P(\overline{A})=1-0{,}1=0{,}9$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% bekommt der erste Gewinner nicht die Mikrowelle.
5.
Geeignete Urnenmodelle ermitteln
a)
Die zehn Personen identifizieren wir mit den Kugeln einer Urne. Es werden nun nacheinander ohne Zurücklegen 4 Personen ausgewählt. Dies entspricht der zufälligen Vergabe der Karten.
Es handelt sich um nummerierte Karten, folglich macht es einen Unterschied, ob Person A die erste oder die zweite Karte erhält. Deshalb wird beim Ziehen der Kugeln die Reihenfolge berücksichtigt.
Es ergibt sich das Urnenmodell „Ziehen ohne Zurücklegen mit Beachtung der Reihenfolge“.
Die Anzahl der Möglichkeiten ist schnell berechnet: Für den ersten Zug gibt es 10, für den zweiten 9, für den dritten 8 und für den vierten 7 Möglichkeiten, demnach gibt es insgesamt:
$10\cdot9\cdot8\cdot7=5.040$ Möglichkeiten, die nummerierten Sitzplatzkarten auf die 10 Personen zu verteilen.
b)
Die zehn Personen identifizieren wir wieder mit den Kugeln einer Urne. Es werden nun nacheinander ohne Zurücklegen 4 Personen ausgewählt. Dies entspricht der zufälligen Vergabe der Karten.
Es handelt sich dieses Mal um nicht nummerierte Karten, folglich macht es keinen Unterschied, ob Person A die erste oder die zweite Karte erhält. Deshalb wird beim Ziehen der Kugeln die Reihenfolge nicht berücksichtigt.
Es ergibt sich das Urnenmodell „Ziehen ohne Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge“.
Die Anzahl der möglichen Verteilungen wird in diesem Urnenmodell mit dem Binomialkoeffizienten berechnet. Es gibt:
$\dbinom{10}{4}=210$ Möglichkeiten, die nicht nummerierten Stehplatzkarten auf die 10 Personen zu verteilen.
5.
Geeignete Urnenmodelle ermitteln
a)
Die zehn Personen identifizieren wir mit den Kugeln einer Urne. Es werden nun nacheinander ohne Zurücklegen 4 Personen ausgewählt. Dies entspricht der zufälligen Vergabe der Karten.
Es handelt sich um nummerierte Karten, folglich macht es einen Unterschied, ob Person A die erste oder die zweite Karte erhält. Deshalb wird beim Ziehen der Kugeln die Reihenfolge berücksichtigt.
Es ergibt sich das Urnenmodell „Ziehen ohne Zurücklegen mit Beachtung der Reihenfolge“.
Die Anzahl der Möglichkeiten ist schnell berechnet: Für den ersten Zug gibt es 10, für den zweiten 9, für den dritten 8 und für den vierten 7 Möglichkeiten, demnach gibt es insgesamt:
$10\cdot9\cdot8\cdot7=5.040$ Möglichkeiten, die nummerierten Sitzplatzkarten auf die 10 Personen zu verteilen.
b)
Die zehn Personen identifizieren wir wieder mit den Kugeln einer Urne. Es werden nun nacheinander ohne Zurücklegen 4 Personen ausgewählt. Dies entspricht der zufälligen Vergabe der Karten.
Es handelt sich dieses Mal um nicht nummerierte Karten, folglich macht es keinen Unterschied, ob Person A die erste oder die zweite Karte erhält. Deshalb wird beim Ziehen der Kugeln die Reihenfolge nicht berücksichtigt.
Es ergibt sich das Urnenmodell „Ziehen ohne Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge“.
Die Anzahl der möglichen Verteilungen wird in diesem Urnenmodell mit dem Binomialkoeffizienten berechnet. Es gibt:
$\dbinom{10}{4}=210$ Möglichkeiten, die nicht nummerierten Stehplatzkarten auf die 10 Personen zu verteilen.
6.
Wahrscheinlichkeiten bestimmen
Insgesamt gibt es bei diesem Zufallsexperiment $10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6=30240$ mögliche Ausfälle, da zu Beginn 10 Kugeln in der Urne sind.
a)
Wenn man nur weiße Kugeln zieht, gibt es zunächst $6$ dann $5$ dann $4$ usw. mögliche günstige Ausfälle.
$P(A)=\dfrac{6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2}{10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6}=\dfrac{720}{30240}\approx0,024\mathrel{\widehat{=}}2,4\%$
$P(A)=2,4\% $
b)
$P(B)=\dfrac{4\cdot3\cdot6\cdot5\cdot4}{10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6}=\dfrac{1440}{30240}\approx0,048\mathrel{\widehat{=}}4,8\%$
$P(B)=4,8\% $
c)
$P(C)=\dfrac{4\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6}{10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6}=\dfrac{12096}{30240}=0,4\mathrel{\widehat{=}}40\%$
$P(C)=40\% $
d)
$P(D)=P(\text{swsws})+P(\text{wswsw})=\dfrac{6\cdot4\cdot5\cdot3\cdot4}{10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6}+\dfrac{4\cdot6\cdot3\cdot5\cdot2}{10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6}=\dfrac{1}{14}\mathrel{\widehat{=}}7,1\%$
$P(D)=7,1\% $
6.
Wahrscheinlichkeiten bestimmen
Insgesamt gibt es bei diesem Zufallsexperiment $10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6=30240$ mögliche Ausfälle, da zu Beginn 10 Kugeln in der Urne sind.
a)
Wenn man nur weiße Kugeln zieht, gibt es zunächst $6$ dann $5$ dann $4$ usw. mögliche günstige Ausfälle.
$P(A)=\dfrac{6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2}{10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6}=\dfrac{720}{30240}\approx0,024\mathrel{\widehat{=}}2,4\%$
$P(A)=2,4\% $
b)
$P(B)=\dfrac{4\cdot3\cdot6\cdot5\cdot4}{10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6}=\dfrac{1440}{30240}\approx0,048\mathrel{\widehat{=}}4,8\%$
$P(B)=4,8\% $
c)
$P(C)=\dfrac{4\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6}{10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6}=\dfrac{12096}{30240}=0,4\mathrel{\widehat{=}}40\%$
$P(C)=40\% $
d)
$P(D)=P(\text{swsws})+P(\text{wswsw})=\dfrac{6\cdot4\cdot5\cdot3\cdot4}{10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6}+\dfrac{4\cdot6\cdot3\cdot5\cdot2}{10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6}=\dfrac{1}{14}\mathrel{\widehat{=}}7,1\%$
$P(D)=7,1\% $
7.
Wahrscheinlichkeiten bestimmen
Insgesamt gibt es $12!=479\,001\,600$ mögliche Ausfälle.
a)
$P(A)=\dfrac{11\cdot10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1\cdot1}{12\cdot11\cdot10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}=\dfrac{1}{12}\approx0,0833\mathrel{\widehat{=}}8,33\%$
$P(A)=8,33\% $
b)
$P(B)=\dfrac{10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1\cdot2\cdot1}{12\cdot11\cdot10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}=\dfrac{2}{12\cdot11}\approx0,015\mathrel{\widehat{=}1,5\%}$
$P(B)=1,5\%$
c)
$P(C)=\dfrac{11\cdot10\cdot9\cdot8\cdot1\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{12\cdot11\cdot10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}=P(A)=\dfrac{1}{12}\approx0,0833\mathrel{\widehat{=}}8,33\%$
$P(C)=8,33\% $
7.
Wahrscheinlichkeiten bestimmen
Insgesamt gibt es $12!=479\,001\,600$ mögliche Ausfälle.
a)
$P(A)=\dfrac{11\cdot10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1\cdot1}{12\cdot11\cdot10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}=\dfrac{1}{12}\approx0,0833\mathrel{\widehat{=}}8,33\%$
$P(A)=8,33\% $
b)
$P(B)=\dfrac{10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1\cdot2\cdot1}{12\cdot11\cdot10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}=\dfrac{2}{12\cdot11}\approx0,015\mathrel{\widehat{=}1,5\%}$
$P(B)=1,5\%$
c)
$P(C)=\dfrac{11\cdot10\cdot9\cdot8\cdot1\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{12\cdot11\cdot10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}=P(A)=\dfrac{1}{12}\approx0,0833\mathrel{\widehat{=}}8,33\%$
$P(C)=8,33\% $
8.
Wahrscheinlichkeiten bestimmen
Insgesamt gibt es $7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=5040$ mögliche Anordnungen der Ziffern (die Zahl hat sieben Stellen).
a)
Es gibt für das Ereignis $A$ insgesamt $3\cdot3\cdot2\cdot2\cdot1\cdot1\cdot1=36$ günstige Anordnungen. Damit ist
$P(A)=\dfrac{36}{5040}\approx0,00714\mathrel{\widehat{=}}0,714\%$.
b)
Es gibt für das Ereignis $B$ insgesamt $3\cdot2\cdot1\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=144$ günstige Anordnungen. Damit ist
$P(B)=\dfrac{144}{5040}\approx0,0286\mathrel{\widehat{=}}2,86\%$.
c)
$P(C)=5\cdot P(B)\approx0,1429\mathrel{\widehat{=}}14,29\%$
$ P(C)=14,29\% $
, da es für die Anordnung 111 genau fünf verschiedene Möglichkeiten gibt.
8.
Wahrscheinlichkeiten bestimmen
Insgesamt gibt es $7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=5040$ mögliche Anordnungen der Ziffern (die Zahl hat sieben Stellen).
a)
Es gibt für das Ereignis $A$ insgesamt $3\cdot3\cdot2\cdot2\cdot1\cdot1\cdot1=36$ günstige Anordnungen. Damit ist
$P(A)=\dfrac{36}{5040}\approx0,00714\mathrel{\widehat{=}}0,714\%$.
b)
Es gibt für das Ereignis $B$ insgesamt $3\cdot2\cdot1\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=144$ günstige Anordnungen. Damit ist
$P(B)=\dfrac{144}{5040}\approx0,0286\mathrel{\widehat{=}}2,86\%$.
c)
$P(C)=5\cdot P(B)\approx0,1429\mathrel{\widehat{=}}14,29\%$
$ P(C)=14,29\% $
, da es für die Anordnung 111 genau fünf verschiedene Möglichkeiten gibt.
9.
Wahrscheinlichkeit bestimmen
Für die Anordnung der Autos gibt es $n!$ verschiedene Möglichkeiten. Unter dieser Fülle von Möglichkeiten gibt es nur eine richtige Antwort (= eine richtige Reihenfolge).
Will man die Reihenfolge ohne Autokenntnisse erraten, geht man vereinfacht davon aus, dass alle Anordnungen gleichwahrscheinlich sind. Damit liegt ein Laplace-Experiment vor.
$P(\scriptsize{\text{richtige Anordnung}}\small)=\dfrac{\scriptsize{\text{Anzahl der günstigen Anordnungen}}}{{\scriptsize{\text{Anzahl der möglichen Anordnungen}}}}\small=\dfrac{1}{n!}$
$P(\scriptsize{\text{richtige Anordnung}}\small)=\ … $
Damit die Wahrscheinlichkeit kleiner als $0,005\,\%$ ist, muss also gelten:
$\begin{array}{rlllllll} \dfrac{1}{n!} < 0,00005 &\scriptsize{\mid \cdot n! :0,00005}\\[3pt] \dfrac{1}{0,00005} < n! \\[3pt] 20.000< n! \end{array}$
Durch Nachrechnen erhält man $7!=5.040$ und $8!=40.320$. Also muss $n=8$ sein.
Ab $8$ nach ihren Preisen geordneten Autos liegt die Wahrscheinlichkeit, die Reihenfolge zu erraten, deutlich unter $0,005\%$.
9.
Wahrscheinlichkeit bestimmen
Für die Anordnung der Autos gibt es $n!$ verschiedene Möglichkeiten. Unter dieser Fülle von Möglichkeiten gibt es nur eine richtige Antwort (= eine richtige Reihenfolge).
Will man die Reihenfolge ohne Autokenntnisse erraten, geht man vereinfacht davon aus, dass alle Anordnungen gleichwahrscheinlich sind. Damit liegt ein Laplace-Experiment vor.
$P(\scriptsize{\text{richtige Anordnung}}\small)=\dfrac{\scriptsize{\text{Anzahl der günstigen Anordnungen}}}{{\scriptsize{\text{Anzahl der möglichen Anordnungen}}}}\small=\dfrac{1}{n!}$
$P(\scriptsize{\text{richtige Anordnung}}\small)=\ … $
Damit die Wahrscheinlichkeit kleiner als $0,005\,\%$ ist, muss also gelten:
$\begin{array}{rlllllll} \dfrac{1}{n!} < 0,00005 &\scriptsize{\mid \cdot n! :0,00005}\\[3pt] \dfrac{1}{0,00005} < n! \\[3pt] 20.000< n! \end{array}$
Durch Nachrechnen erhält man $7!=5.040$ und $8!=40.320$. Also muss $n=8$ sein.
Ab $8$ nach ihren Preisen geordneten Autos liegt die Wahrscheinlichkeit, die Reihenfolge zu erraten, deutlich unter $0,005\%$.
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