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Zweiseitiger Test

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Bei zweiseitigen Hypothesentests geht es, wie bei den einseitigen Tests darum aufgrund einer Stichprobe zu entscheiden, ob eine vermutete Wahrscheinlichkeit statistisch gesehen angenommen werden kann. Hierbei haben die Hypothesen allerdings folgende Form:
Nullhypothese: $H_0: p = p_1$ und Alternative: $H_1: p \neq p_1$
Nullhypothese: $H_0:$ $p = p_1$ und Alternative: $H_1:$ $p \neq p_1$
Das Vorgehen ist hier dasselbe. Lediglich der Ablehnungsbereich ist verschieden:
$\overline{A} = \{0,…,k_1-1,k_2+1,…,n\}$ und $A = \{k_1,…,k_2\}$
$\overline{A} $=$ \{0,…,k_1-1,k_2+1,…,n\}$ und $A $=$ \{k_1,…,k_2\}$
Auch hier gibt das Signifikanzniveau $\alpha$ die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass die Nullhypothese fälschlicherweise abgelehnt wird. Daher ist hier folgende Gleichung erfüllt: $P(X \leq k_1-1)+ P(X\geq k_2+1) \approx \alpha$ wobei $k_1$ und $k_2$ gleich weit vom Erwartungswert $\mu$ entfernt sind. Daher kannst du $k_1$ und $k_2$ mit HIlfe der beiden folgenden Gleichungen, wie beim einseitigen Test bestimmen:
$P(X \leq k_1-1) \approx \dfrac{\alpha}{2}$ und $P(X\geq k_2+1) \approx \dfrac{\alpha}{2}$
$P(X \leq k_1-1) \approx \dfrac{\alpha}{2}$ und $P(X\geq k_2+1) \approx \dfrac{\alpha}{2}$

Beispiel

Vorgegeben sind: $H_0: p = 0,5$, $\alpha = 5\,\%$ und der Stichprobenumfang $n = 20$, wobei die betrachtete Größe als binomialverteilt angenommen werden soll.
Anhand der Hypothese $H_0$ kannst du erkennen, dass hier ein zweiseitiger Test durchgeführt wird. Wir suchen also nun den Ablehnungsbereich $\overline{A} = \{0,…,k_1,k_2,…,20\}$. Es sollen also folgende Gleichungen erfüllt sein:
$P(X \leq k_1-1) \approx \dfrac{0,05}{2}$ und $P(X\geq k_2+1) \approx \dfrac{0,05}{2} $ $\Leftrightarrow P(X \leq k_2) \approx 0,975$
Mit Hilfe der Tabelle für die kummulierte Binomialverteilung erhalten wir nun: $P(X \leq 5 ) \approx 0,0207$ $\Rightarrow k_1 = 6$ und $P(X\leq 14) \approx 0,9793 \Rightarrow k_2 = 14$
Sind in der Stichprobe mehr als 14 oder weniger als 6 Treffer enthalten, so kann die Hypothese $H_0: p = 0,5$ auf dem Signifikanzniveau $5\,\%$ verworfen werden. Bei mindestens 6 und höchstens 14 Treffern kann diese Hypothese angenommen werden.
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1.
Für $H_0:$ $p=\dfrac{1}{2}$ und $n=100$ wird der Annahmebereich $A=\left\{46,47,…53,54\right\}$ festgelegt. Berechne die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art.
2.
Für $H_0:$ $p=0,2$ und $n=50$ wird der Annahmebereich $A=\left\{7,8,…14,15\right\}$ festgelegt. Berechne die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art.
3.
Bestimme für $H_0:$ $p=0,3$ und $n=100$ den Annahme- und Ablehnungsbereich, wenn die Irrtumswahrscheinlichkeit (Signifikanzniveau) $\alpha$
  • höchstens $5\%$
  • höchstens $2\%$
  • höchstens $1\%$
betragen soll.
4.
Bestimme bei einem Signifikanzniveau (Irrtumswahrscheinlichkeit) von $\alpha=10\%$ mit $n=100$ den Ablehnungsbereich zur Nullhypothese $H_0$ mit $p=0,3$.
a)
für einen linksseitigen Test
b)
für einen rechtsseitigen Test
c)
für einen zweiseitigen Test
5.
Ein Würfel wird 50mal gewürfelt. Dabei tritt 15 mal eine „Eins“ auf. Kann man mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von $5\%$ darauf schließen, dass der Würfel nicht ideal ist?
6.
$70\%$ der Jugendlichen unter 14 wissen, dass Leonardo Da Vinci die Mona Lisa gemalt hat. Dieser Wert soll nun durch eine neue Umfrage von 100 Jugendlichen unter 14 bestätigt werden. Die $70\%$ sollen nach der Umfrage immer noch gelten, wenn mehr als 63 und weniger als 77 Jugendliche den Maler von Mona Lisa nennen konnten.
a)
Wie groß ist unter diesen Bedingungen die Wahrscheinlichkeit, dass man fälschlicherweise von einer Veränderung der $70\%$ ausgeht?
b)
Wie muss $\overline{A}$ gewählt werden, damit die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art höchstens $5\%$ beträgt?
7.
Mitarbeiter in einer großen Firma mit mehreren Zweigniederlassungen werden über das Essen in den betriebsinternen Kantinen befragt. $80\%$ der gesamten Mitarbeiter waren mit dem Essen zufrieden. In einer Zweigniederlassung wurden nun nochmals $100$ Mitarbeiter zum Essen in der betriebsinternen Kantine auf Zufriedenheit befragt. Es soll überprüft werden, ob in dieser Kantine die Zufriedenheit mit dem Firmendurchschnitt übereinstimmt. Bestimme den Annahmebereich mit einem Signifikanzniveau (Irrtumswahrscheinlichkeit) von $\alpha=5\%$.
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Lösungen
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1.
Fehlerwahrscheinlichkeit bestimmen
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, mit der ein Ereignis aus dem Ablehnungsbereich eintritt.
Der Ablehnungsbereich ist $\overline{A}$=$\left\{1,2,…,44,45\right\}\cup\left\{55,56,…,100\right\}$.
Für die Fehlerwahrscheinlichkeit gilt also:
$ \begin{array}[t]{rll} P(\overline{A})&P(X\leq45)+P(X\geq55\\ =&P(X\leq45)+(1-P(X\leq54))\\ =&P(X\leq45)-P(X\leq54)+1 \end{array} $
Aus der Tabelle für $n=100$ und $p=\frac{1}{2}$ entnimmt man:
$P(X\leq45)$=$0,1841$ und $P(X\leq54)$=$0,8159$.
Die gesamte Fehlerwahrscheinlichkeit beträgt also:
$0,1841-0,8159+1$=$0,3682$=$36,82\%$
2.
Fehlerwahrscheinlichkeit bestimmen
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Ereignis aus dem Ablehnungsbereich eintritt, d.h. $P(\overline{A})$.
Der Ablehnungsbereich ist
$\overline{A}=\left\{0,1,…,6\right\}\cup\left\{16,17,…,50\right\}$.
Es gilt also:
$ \begin{array}[t]{rll} P(\overline{A})=&P\left(X\leq6\right)+P\left(X\geq16\right)\\[5pt] =&P(X\leq6)+(1-P(X\leq15))=P(X\leq6)-P(X\leq15)+1 \end{array} $
$ \begin{array}[t]{rll} P(\overline{A})=&P\left(X\leq6\right)+P\left(X\geq16\right)\\[5pt] \end{array} $
Aus der Tabelle für $n=50$ und $p=0,2$ ergeben sich die Wahrscheinlichkeiten:
$P(X\leq6)$=$0,1034$ und $P(X\leq15)$=$0,9692$
Die gesamte Fehlerwahrscheinlichkeit beträgt also
$0,1034-0,9692+1$=$0,1342$=$13,42\%$.
3.
Annahme- und Ablehnungsbereich bestimmen
Es handelt sich hier um einen zweiseitigen Signifikanztest. Somit wirst du einen mittleren Bereich als Annahmebereich erhalten, während der Ablehnungsbereich sich links und rechts an den Annahmebereich anschließt.
Du erhältst für die beiden Teile des Ablehnungsbereichs also zwei Grenzen $k_1$ und $k_2$:
$\underbrace{1;2;…k_1}_{\text{Ablehnungsbereich}}\underbrace{k_1+1;k_1+2;…k_2-1}_{\text{Annahmebereich}}\underbrace{k_2;k_2+1;k_2+2;…n}_{\text{Ablehnungsbereich}}$
$\underbrace{1;2;…k_1}_{\text{Ablehnungsbereich}}$
Die Wahl von $k_1$ und $k_2$ hängt nun ausschließlich von der Wahl des Signifikanzniveaus $\alpha$ ab. Wähle die beiden Werte so, dass gilt:
$\alpha=P(\overline{A})$$=\underbrace{P(X\leq k_1)}_{\frac{1}{2}\alpha}+\underbrace{P(X\geq k_2)}_{\frac{1}{2}\alpha}$
Aus der Tabelle der kumulierten Binomialverteilung für n=100 und p=0,3 entnimmst du die Werte:
$ \begin{array}[t]{rll} P(X\leq18)=&0,0045\leq0,5\%\\ P(X\leq19)=&0,0089\leq1\%\\ P(X\leq20)=&0,0165\leq2,5\%\\ P(X\leq21)=&0,0288\geq2,5\% \qquad (zu groß) \end{array} $
$ \begin{array}[t]{rll} P(X\leq18)=&0,0045\leq0,5\%\\ P(X\leq19)=&0,0089\leq1\%\\ P(X\leq20)=&0,0165\leq2,5\%\\ P(X\leq21)=&0,0288\geq2,5\% \end{array} $
Es gilt außerdem:
$ \begin{array}[t]{rll} P(X\geq39)=&1-P(X\leq38)=1-0,9660=0,034\geq2,5\% \qquad (zu groß)\\ P(X\geq40)=&1-P(X\leq39)=1-0,9790=0,021\leq2,5\% \\ P(X\geq41)=&1-P(X\leq40)=1-0,9875=0,0125>1\%\\ P(X\geq42)=&1-P(X\leq41)=1-0,9928=0,0072\leq1\% \\ P(X\geq43)=&1-P(X\leq42)=1-0,9960=0,004\leq0,5\% \end{array} $
$ \begin{array}[t]{rll} P(X\geq39)=&…\\ P(X\geq40)=&… \\ P(X\geq41)=&…\\ P(X\geq42)=&… \\ P(X\geq43)=&… \end{array} $
Daraus ergeben sich folgende Ablehnungs- und Annahmebereiche:
$\alpha=5\%; \overline{A}$=$\left\{0,1,…20\right\}\cup\left\{40,…,100\right\}$ und $A=\left\{21,…39\right\} $
$\alpha=2\%; \overline{A}$=$\left\{0,…,19\right\}\cup\left\{42,…,100\right\}$ und $A=\left\{20,…41\right\}$
$\alpha=1\%; \overline{A}$=$\left\{0,…,18\right\}\cup\left\{43,…,100\right\}$ und $A=\left\{19,…42\right\}$
4.
a)
Ablehnungsbereich für linksseitigen Test bestimmen
Bei einem linksseitigen Signifikanztest befindet sich der Ablehnungsbereich $\overline{A}$ auf der linken Seite, d.h. in ihm befinden sich die kleinen Werte.
Bestimme also eine Zahl $k$, welche die obere Grenze des Ablehnungsbereichs $\overline{A}$ darstellt. Aufgrund des Signifikanzniveaus $\alpha=10\%$ weißt du, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Ereignis aus dem Ablehnungsbereich eintritt, bei höchstens $10\%$ liegen darf, d.h. $P(Z\leq k)\leq0,1$.
Betrachte also die Tabelle der kumulierten Binomialverteilung für $n=100$ und $p=0,3$:
$ \begin{array}[t]{rll} P(X\leq22)=&0,0479 < 0,1\\ P(X\leq23)=&0,0755 < 0,1\\ P(X\leq24)=&0,1136 > )0,1 \end{array} $
Daraus folgt $k=23$ und wir erhalten den Ablehnungsbereich $\overline{A}$=$\left\{0;1;2;…23\right\}.$
b)
Ablehnungsbereich für rechtsseitigen Test bestimmen
Beim rechtsseitigen Test befindet sich der Ablehnungsbereich auf der rechten Seite, d.h. er enthält die großen Werte.
Bestimme also eine Zahl $k$, welche die untere Grenze des Ablehnungsbereichs $\overline{A}$ darstellt. Aufgrund des Signifikanzniveaus $\alpha=10\%$ weißt du, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Ereignis aus dem Ablehnungsbereich eintritt, bei höchstens $10\%$ liegen darf, d.h.
$ \begin{array}[t]{rll} P(Z\geq k)=&1-P(Z\leq k-1)\leq0,1&\quad\scriptsize\mid -1 \\ -P(Z\leq k-1)\leq&-0,9&\quad\scriptsize\mid \cdot(-1) \\ P(Z\leq k-1)\geq&0,9 \end{array} $
$ \begin{array}[t]{rll} P(Z\leq k-1)\geq&0,9 \end{array} $
Betrachte also die Tabelle der kumulierten Binomialverteilung für $n=100$ und $p=0,3$:
$ \begin{array}[t]{rll} P(X\leq35)=&0,8839 < 0,9\\ P(X\leq36)=&0,9201 > 0,9 \end{array} $r
Daraus folgt $k-1=36$, also $k=37$ und wir erhalten den Ablehnungsbereich $\overline{A}=\left\{37;…100\right\}$.
c)
Ablehnungsbereich für zweiseitigen Test bestimmen
Beim zweiseitigen Test schließlich befindet sich der Annahmebereich in der „Mitte“, während der Ablehnungsbereich sich links und rechts daran anschließt.
Du erhältst für die beiden Teile des Ablehnungsbereichs also zwei Grenzen $k_1$ und $k_2$:
$\underbrace{1;2;…k_1}_{\text{Ablehnungsbereich}}\underbrace{k_1+1;k_1+2;…k_2-1}_{\text{Annahmebereich}}\underbrace{k_2;k_2+1;k_2+2;…n}_{\text{Ablehnungsbereich}}$
$\underbrace{1;2;…k_1}_{\text{Ablehnungsbereich}}$
Die Wahl von $k_1$ und $k_2$ hängt nun ausschließlich von der Wahl des Signifikanzniveaus $\alpha=10\%=0,1$ ab. Wähle die beiden Werte so, dass gilt:
$\alpha=P(\overline{A})=\underbrace{P(X\leq k_1)}_{\frac{1}{2}\cdot0,1=0,05}+\underbrace{P(X\geq k_2)}_{\frac{1}{2}\cdot0,1=0,05}$
Aus der Tabelle der kumulierten Binomialverteilung für $n=100$ und $p=0,3$ entnimmst du die Werte
$ \begin{array}[t]{rll} P(Z\leq23)=&0,0755 > 0,05 \qquad (zu groß)\\ P(Z\leq22)=&0,0479 < 0,05\\ P(Z\geq37)=1-P(Z\leq36)=&1-0,9201=0,0799 > 0,05 \qquad (zu groß)\\ P(Z\geq38)=1-P(Z\leq37)=&1-0,947=0,053 > 0,05 \qquad (zu groß)\\ P(Z\geq39)=1-P(Z\leq38)=&1-0,966=0,034 < 0,05 \end{array} $
Als Grenzen erhalten wir dadurch $k_1=22$ und $k_2=39$.
Der Ablehnungsbereich $\overline{A}$ ist somit $\overline{A}$=$\left\{0;1;2;…21;22\right\}\cup\left\{39;…99;100\right\}$
5.
Ablehnungsbereich und Entscheidungsregel ermitteln
Die Nullhypothese lautet $H_0:$ $p=\dfrac{1}{6}$ bei Treffer „Eins“ und $n=50$. Es handelt sich hier um einen zweiseitigen Signifikanztest. Somit wirst du einen mittleren Bereich als Annahmebereich erhalten, während der Ablehnungsbereich sich links und rechts an den Annahmebereich anschließt.
erhältst für die beiden Teile des Ablehnungsbereichs also zwei Grenzen $k_1$ und $k_2$:
$\underbrace{1;2;…k_1}_{\text{Ablehnungsbereich}}\underbrace{k_1+1;k_1+2;…k_2-1}_{\text{Annahmebereich}}\underbrace{k_2;k_2+1;k_2+2;…n}_{\text{Ablehnungsbereich}}$
$\underbrace{1;2;…k_1}_{\text{Ablehnungsbereich}}$
Die Wahl von $k_1$ und $k_2$ hängt nun ausschließlich von der Wahl des Signifikanzniveaus $\alpha=0,05$ ab. Wähle die beiden Werte so, dass gilt:
$\alpha=P(\overline{A})=\underbrace{P(X\leq k_1)}_{\frac{1}{2}\cdot0,05=0,025}+\underbrace{P(X\geq k_2)}_{\frac{1}{2}\cdot0,05=0,025}$
Aus der Tabelle der kumulierten Binomialverteilung für $n=50$ und $p=\frac{1}{6}$ entnimmst du die Werte
$ \begin{array}[t]{rll} P(X\leq3)=&0,0238<2,5\%\\ P(X\leq4)=&0,0643 \qquad (zu groß)\\ P(X\geq14)=1-P(X\leq13)=&1-0,9693=0,0307 \qquad (zu groß) \\ P(X\geq15)=1-P(X\leq14)=&1-0,9862=0,0138\leq2,5\% \end{array} $
$ \begin{array}[t]{rll} P(X\leq3)=&0,0238<2,5\% \end{array} $
Also ist der Ablehnungsbereich $\overline{A}=\left\{0,…,3\right\}\cup\left\{15,…,50\right\}$.
Da die $15$ im Ablehnungsbereich liegt, kann man mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von $5\%$ darauf schließen, dass der Würfel nicht ideal ist.
6.
a)
Fehlerwahrscheinlichkeit berechnen
Die Nullhypothese lautet: $H_0$: $p=0,7$ bei Treffer „Jugendlicher kennt Maler von Mona Lisa“ und $n=100$. Der Annahmebereich liegt bei $A$=$\left\{64,65,…,75,76\right\}$. Der Ablehnungsbereich ist demnach $\overline{A}$=$\left\{0,…,63\right\}\cup\left\{77,…,100\right\}$
Gefragt ist nun nach der Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art, d.h. nach der Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Ereignis aus dem Ablehnungsbereich eintritt, obwohl sich der Anteil von $p=0,7$ nicht verändert hat. Bestimme also $P(\overline{A})$:
$ \begin{array}[t]{rll} P(\overline{A})=&P\left(X\leq63\right)+P\left(X\geq77\right)\\ =&P(X\leq63)+\left(1-P(X\leq76\right) \end{array} $
Lies die benötigten Wahrscheinlichkeiten aus der Tabelle der kumulierten Binomialverteilung für $n=100$ und $p=0,7$ ab:
$P(X\leq63)$=$1-0,9201=0,0799$
$P(X\geq77)$=$1-P(X\leq76)$=$1-(1-0,0755)$=$0,0755$
Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art beträgt damit $7,99\%+7,55\%=15,54\%$.
b)
Ablehnungsbereich ermitteln
Es handelt sich hier um einen zweiseitigen Signifikanztest. Somit wirst du einen mittleren Bereich als Annahmebereich erhalten, während der Ablehnungsbereich sich links und rechts an den Annahmebereich anschließt.
Du erhältst für die beiden Teile des Ablehnungsbereichs also zwei Grenzen $k_1$ und $k_2$:
$\underbrace{1;2;…k_1}_{\text{Ablehnungsbereich}}\underbrace{k_1+1;k_1+2;…k_2-1}_{\text{Annahmebereich}}\underbrace{k_2;k_2+1;k_2+2;…n}_{\text{Ablehnungsbereich}}$
$\underbrace{1;2;…k_1}_{\text{Ablehnungsbereich}}$
Die Wahl von $k_1$ und $k_2$ hängt nun ausschließlich von der Wahl des Signifikanzniveaus $\alpha=0,05$ ab. Wähle die beiden Werte so, dass gilt:
$\alpha=P(\overline{A})=\underbrace{P(X\leq k_1)}_{\frac{1}{2}\cdot0,05=0,025}+\underbrace{P(X\geq k_2)}_{\frac{1}{2}\cdot0,05=0,025}$
Aus der Tabelle der kumulierten Binomialverteilung für $n=100$ und $p=0,7$ entnimmst du die Werte
$ \begin{array}[t]{rll} P(X\leq61)=&1-0,9660=0,034>0,025 \qquad (zu groß)\\ P(X\leq60)=&1-0,9790=0,021<0,025 \\ P(X\geq79)=1-P(X\leq78)=&0,0288 > 0,025 \qquad (zu groß)\\ P(X\geq80)=1-P(X\leq79)=0,0165 < 0,025 \end{array} $
$ \begin{array}[t]{rll} P(X\leq61)=0,034>0,025 \end{array} $
Damit ergibt sich der Ablehnungsbereich für $\alpha=5\%$ mit
$\overline{A}$=$\left\{0,…,60\right\}\cup\left\{80,…,100\right\}$
7.
Annahmebereich bestimmen
Insgesamt werden $100$ Personen befragt, ob sie mit dem Essen in der Kantine zufrieden sind. Es soll die Nullhypothese $H_0:p=0,8$ getestet werden.
Es handelt sich hier um einen zweiseitigen Signifikanztest. Somit wirst du einen mittleren Bereich als Annahmebereich erhalten, während der Ablehnungsbereich sich links und rechts an den Annahmebereich anschließt.
Du erhältst für die beiden Teile des Ablehnungsbereichs also zwei Grenzen $k_1$ und $k_2$:
$\underbrace{1;2;…k_1}_{\text{Ablehnungsbereich}}\underbrace{k_1+1;k_1+2;…k_2-1}_{\text{Annahmebereich}}\underbrace{k_2;k_2+1;k_2+2;…n}_{\text{Ablehnungsbereich}}$
$ … $
Die Wahl von $k_1$ und $k_2$ hängt nun ausschließlich von der Wahl des Signifikanzniveaus $\alpha=0,05$ ab. Wähle die beiden Werte so, dass gilt:
$\alpha=P(\overline{A})=\underbrace{P(X\leq k_1)}_{\frac{1}{2}\cdot0,05=0,025}+\underbrace{P(X\geq k_2)}_{\frac{1}{2}\cdot0,05=0,025}$
Aus der Tabelle der kumulierten Binomialverteilung für $n=100$ und $p=0,8$ entnimmst du die Werte
\begin{array}[t]{rll} P(X\leq71)=&0,02 < 0,025\\ P(X\leq72)=&0,0342 > 0,025 \qquad (zu groß)\\ P(X\geq88)=1-P(X\leq87)=&0,0253 > 0,025 \qquad (zu groß)\\ P(X\geq89)=1-P(X\leq88)=&0,01257 < 0,025 \end{array}
$P(X\leq71)=$
Lösungsweg A: Streng unter $0,025$ bleiben
Es ergeben sich nun zwei Möglichkeiten: Zum einen haben wir gesagt, dass die Wahrscheinlichkeiten der jeweiligen Teile des Ablehnungsbereichs kleiner oder gleich $0,025$ sein müssen. Damit ergibt sich der Ablehnungsbereich $\overline{A}=\left\{0;1;…71\right\}\cup\left\{89;90;…100\right\}$ und der Annahmebereich $A=\left\{72,73,…86,87;88\right\}$.
Lösungsweg B: Gesamtwahrscheinlichkeit von $5\%$ betrachten
Andererseits wissen wir, dass die Irrtumswahrscheinlichkeit
$\alpha=P(\overline{A})$ insgesamt bei $5\%$ liegen soll. Da
$P(X\leq71)+P(X\geq88)=0,02+0,0253=0,0453<0,05$
$P(X\leq71)+P(X\geq88)=$
ist, kommt also auch die Möglichkeit in Frage:
$\overline{A}=\left\{0;1;…71\right\}\cup\left\{88;89;90;…100\right\}$
$\overline{A}=$
und der Annahmebereich $A=\left\{72,73,…86,87\right\}$.
Andersherum ist auch:
$P(X\leq 72) + P(X\geq 89) = 0,0342+0,01257 = 0,04677 < 0,05$
Also ist auch der Annahmebereich $A=\left\{73,73,…86,88\right\}$ möglich.
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