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Gerade - Ebene

Spickzettel
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Mit dem Abstand zwischen einer Gerade $g$ und einer Ebene $E$ ist der kürzeste Abstand gemeint. Um diesen bestimmen zu können, ist es zuerst nötig die gegenseitige Lage der Gerade und der Ebene zu kennen.
Für die gegenseitige Lage einer Geraden und einer Ebene gibt es drei Möglichkeiten:
  1. Die Gerade liegt in der Ebene $\Rightarrow$ der Abstand ist null
  2. Die Gerade und die Ebene schneiden sich $\Rightarrow$ der Abstand ist null
  3. Die Ebene und die Gerade sind parallel $\Rightarrow$ der Abstand entspricht dem Abstand eines beliebigen Punktes $P$ auf der Geraden zur Ebene. Dieser kann wie gewohnt mit Hilfe der Hesseschen Normalenform berechnet werden.
Das bedeutet, dass man nur, wenn die Gerade parallel zur Ebene ist, wirklich einen Abstand berechnen muss. Überprüfe also immer zuerst die gegenseitige Lage der Gerade und der Ebene.
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1.
Berechne den Abstand zwischen der Ebene $E$ und der Geraden $g$.
a)
$E:2x_1+2x_2+x_3=-1$,$\quad$ $g:\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}5\\2\\3\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-1\\3\\-4\end{pmatrix}$
b)
$E:x_1-2x_2=-x_3+3$,$\quad$ $g:\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}1\\4\\2\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}$
c)
$E:6x_1-3x_2+6x_3=-3$,$\quad$ $g:\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}2\\3\\4\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}$
d)
$E:3x_2=4x_3+5$,$\quad$ $g:\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}6\\5\\2\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}2\\8\\6\end{pmatrix}$
e)
$E:2x_1+6=4x_2-4x_3$,$\quad$ $g:\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-3\\-2\\-\frac{1}{2}\end{pmatrix}$
f)
$E:-3x_1-6x_2-2x_3=4$,$\quad$ $g:\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}-3\\2\\-4\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}4\\-2\\0\end{pmatrix}$
2.
Berechne den Abstand zwischen
der Ebene $E$ und der Geraden $g$.
a)
$E:\overrightarrow{x}$=$\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}2\\1\\4\end{pmatrix}$,$\quad$ $g:\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}4\\8\\3\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}1\\4\\2\end{pmatrix}$
b)
$E:\overrightarrow{x}$=$\begin{pmatrix}5\\3\\2\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix}$,$\quad$ $g:\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}2\\0\\-1\end{pmatrix}$
c)
$E:\overrightarrow{x}$=$\begin{pmatrix}1\\5\\2\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}2\\0\\4\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}$,$\quad$ $g:\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}4\\-2\\1\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}2\\2\\3\end{pmatrix}$
d)
$E:\overrightarrow{x}$=$\begin{pmatrix}4\\3\\5\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}-1\\-1\\-1\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}4\\3\\2\end{pmatrix}$,$\quad$ $g:\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}2\\1\\4\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}$
3.
Berechne den Abstand zwischen der Ebene $E$ und der Geraden $g$.
a)
$E:\begin{pmatrix}4\\5\\-2\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow{x}-\begin{pmatrix}-3\\1\\4\end{pmatrix}\right]=0$,$\quad$ $g:\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}2\\-4\\-3\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}2\\-2\\-1\end{pmatrix}$
b)
$E:\begin{pmatrix}-5\\5\\-2\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow{x}-\begin{pmatrix}1\\3\\6\end{pmatrix}\right]=0$,$\quad$ $g:\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}1\\3\\5\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-2\\0\\5\end{pmatrix}$
c)
$E:\begin{pmatrix}-2\\2\\1\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow{x}-\begin{pmatrix}3\\0\\2\end{pmatrix}\right]=0$,$\quad$ $g:\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}3\\1\\-4\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}2\\0\\4\end{pmatrix}$
d)
$E:\begin{pmatrix}-3\\0\\-4\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow{x}-\begin{pmatrix}2\\4\\-3\end{pmatrix}\right]=0$,$\quad$ $g:\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}-6\\6\\2\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-8\\2\\6\end{pmatrix}$
4.
Bestimme jeweils eine mögliche Koordinate des Stützvektors der Gerade $g$ so, dass sie
a)
den Abstand $d=4$
b)
den Abstand $d=3$
c)
den Abstand $d=3$
von der Ebene $E$ haben.
a)
$E:3x_2-4x_3=2$,$\quad$ $g:\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}7\\t\\-7\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}3\\4\\3\end{pmatrix}$
b)
$E:-4x_1+2x_2-4x_3=2$,$\quad$ $g:\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}t_1\\t_2\\-1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}$
c)
$E:2x_1-4x_2-4x_3=0$,$\quad$ $g:\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}t_1\\t_2\\t_3\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}$
5.
Die Grundfläche einer quadratischen Pyramide wird durch die Punkte $A(4\mid1\mid1)$, $B(4\mid4\mid1)$, $C(1\mid4\mid1)$ und $D(1\mid1\mid1)$ beschrieben.
Die Spitze der Pyramide liegt auf der Geraden
$g:\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}2\\3\\5\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}4\\5\\0\end{pmatrix}$.
Berechne das Volumen $V$ der Pyramide.
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Lösungen
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1.
Überprüfe zunächst die Lage der Geraden zu der Ebene. Liegt die Gerade in der Ebene so beträgt der Abstand zwischen diesen $0$. Sind Gerade und Ebene parallel, berechnest du den Abstand mit der Hesseschen Normalform.
Gehe also folgendermaßen vor:
  1. Prüfe die Lage der Geraden $g$ zu der Ebene $E$
  2. Stelle die Hessesche Normalform (HNF) auf
  3. Setze die Koordinaten des Stützvektors der Gerade $g$ in die HNF ein
a)
1. Schritt: Lage der Geraden $\boldsymbol g$ zu der Ebene $\boldsymbol E$
Um zu überprüfen, ob die Gerade $g$
und die Ebene $E$ parallel sind, bildest
du das Skalarprodukt des Richtungsvektors der Geraden und dem Normalenvektor der Ebene. Wenn die Gerade und die Ebene parallel sind, steht der Normalenvektor orthogonal auf dem Richtungsvektor der Geraden. Das Skalarprodukt ergibt dann $0$. Den Normalenvektor der Ebene kannst du aus der Koordinatenform der Ebenengleichung ablesen.
$\begin{array}{rl} \begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}-1\\3\\-4\end{pmatrix}=&2\cdot(-1)+2\cdot3+1\cdot(-4) \\[5pt] =&-2+6-4 \\[5pt] =&0 \end{array}$
$\begin{array}{rl} \begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}-1\\3\\-4\end{pmatrix}= \end{array}$
Die Gerade $g$ liegt parallel zu
der Ebene $E$.
2. Schritt: HNF aufstellen
Die allgemeine Form der HNF lautet:
HNF: $\left|\dfrac{n_1\cdot x_1+n_2\cdot x_2+n_3\cdot x_3-c}{\sqrt{{n_1}^2+{n_2}^2+{n_3}^2}}\right|$$=d$
HNF:
$\begin{array}{rl} \left|\dfrac{2x_1+2x_2+x_3+1}{\sqrt{{2}^2+{2}^2+{1}^2}}\right|=&d \\[5pt] \left|\dfrac{2x_1+2x_2+x_3+1}{\sqrt{4+4+1}}\right|=&d \\[5pt] \left|\dfrac{2x_1+2x_2+x_3+1}{\sqrt{9}}\right|=&d \\[5pt] \left|\dfrac{2x_1+2x_2+x_3+1}{3}\right|=&d \end{array}$
3. Schritt: Einsetzen der
Koordinaten des Stützvektors der Gerade $\boldsymbol g$
$\begin{array}{rl} \left|\dfrac{2x_1+2x_2+x_3+1}{3}\right|=&d \\[5pt] \left|\dfrac{2\cdot 5+2\cdot 2+3+1}{3}\right|=&d \\[5pt] \left|\dfrac{10+4+3+1}{3}\right|=&d \\[5pt] \left|\dfrac{18}{3}\right|=&d \\[5pt] d=&6 \end{array}$
Der Abstand zwischen der Geraden $g$ und der Ebene $E$ beträgt $d=6$ LE.
b)
$\begin{array}[t]{lll} E:&x_1-2x_2=-x_3+3&\scriptsize \mid\; +x_3 \\[5pt] E:&x_1-2x_2+x_3=3 \end{array}$
1. Schritt: Lage der Geraden $\boldsymbol g$ zu
der Ebene $\boldsymbol E$
$\begin{array}{rl} \begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}=&1\cdot2+(-2)\cdot2+1\cdot2 \\[5pt] =&2-4+2 \\[5pt] =&0 \end{array}$
$\begin{array}{rl} \begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}= \end{array}$
2. Schritt: HNF aufstellen
HNF:
$\begin{array}{rl} \left|\dfrac{x_1-2x_2+x_3-3}{\sqrt{{1}^2+{(-2)}^2+{1}^2}}\right|=&d \\[5pt] \left|\dfrac{x_1-2x_2+x_3-3}{\sqrt{1+4+1}}\right|=&d \\[5pt] \left|\dfrac{x_1-2x_2+x_3-3}{\sqrt{6}}\right|=&d \end{array}$
3. Schritt: Einsetzen der
Koordinaten des Stützvektors der Gerade $\boldsymbol g$
$\begin{array}{rll} \left|\dfrac{x_1-2x_2+x_3-3}{\sqrt{6}}\right|=&d \\[5pt] \left|\dfrac{1-2\cdot 4+2-3}{\sqrt{6}}\right|=&d \\[5pt] \left|\dfrac{1-8+2-3}{\sqrt{6}}\right|=&d \\[5pt] \left|\dfrac{-8}{\sqrt{6}}\right|=&d&\scriptsize \mid\; \cdot\sqrt{6} \\[5pt] d=&\frac{8}{6}\cdot\sqrt{6} \\[5pt] d=&\frac{4}{3}\cdot\sqrt{6} \end{array}$
$\begin{array}{rll} \left|\dfrac{x_1-2x_2+x_3-3}{\sqrt{6}}\right|=&d \\[5pt] \end{array}$
Der Abstand zwischen der Geraden $g$ und der Ebene $E$ beträgt $d$=$\frac{4}{3}\sqrt{6}$ LE.
c)
1. Schritt: Lage der Geraden $\boldsymbol g$ zu der Ebene $\boldsymbol E$
$\begin{array}{rl} \begin{pmatrix}6\\-3\\6\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}=&6\cdot1+(-3)\cdot2+6\cdot0 \\[5pt] =&6-6+0 \\[5pt] =&0 \end{array}$
$\begin{array}{rl} \begin{pmatrix}6\\-3\\6\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}=0 \end{array}$
2. Schritt: HNF aufstellen
HNF:
$\begin{array}{rl} \left|\dfrac{6x_1-3x_2+6x_3+3}{\sqrt{{6}^2+{(-3)}^2+{6}^2}}\right|=&d \\[5pt] \left|\dfrac{6x_1-3x_2+6x_3+3}{\sqrt{36+9+36}}\right|=&d \\[5pt] \left|\dfrac{6x_1-3x_2+6x_3+3}{\sqrt{81}}\right|=&d \\[5pt] \left|\dfrac{6x_1-3x_2+6x_3+3}{9}\right|=&d \end{array}$
3. Schritt: Einsetzen der
Koordinaten des Stützvektors der Gerade $\boldsymbol g$
$\begin{array}{rl} \left|\dfrac{6x_1-3x_2+6x_3+3}{9}\right|=&d \\[5pt] \left|\dfrac{6\cdot2-3\cdot 3+6\cdot4+3}{9}\right|=&d \\[5pt] \left|\dfrac{12-9+24+3}{9}\right|=&d \\[5pt] \left|\dfrac{30}{9}\right|=&d \\[5pt] d=&\frac{10}{3} \end{array}$
Der Abstand zwischen der Geraden $g$
und der Ebene $E$ beträgt $d=\frac{10}{3}$ LE.
d)
$\begin{array}[t]{rll} 3x_2=&4x_3+5&\scriptsize \mid\; -4x_3 \\[5pt] 3x_2-4x_3=&5 \end{array}$
1. Schritt: Lage der Geraden $\boldsymbol g$ zu
der Ebene $\boldsymbol E$
$\begin{array}{rl} \begin{pmatrix}0\\3\\-4\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}2\\8\\6\end{pmatrix}=&0\cdot2+3\cdot8+(-4)\cdot6 \\[5pt] =&0+24-24 \\[5pt] =&0 \end{array}$
$\begin{array}{rl} \begin{pmatrix}0\\3\\-4\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}2\\8\\6\end{pmatrix}=0 \end{array}$
2. Schritt: HNF aufstellen
HNF:
$\begin{array}{rl} \left|\dfrac{3x_2-4x_3-5}{\sqrt{{3}^2+{(-4)}^2}}\right|=&d \\[5pt] \left|\dfrac{3x_2-4x_3-5}{\sqrt{9+16}}\right|=&d \\[5pt] \left|\dfrac{3x_2-4x_3-5}{\sqrt{25}}\right|=&d \\[5pt] \left|\dfrac{3x_2-4x_3-5}{5}\right|=&d \end{array}$
3. Schritt: Einsetzen der
Koordinaten des Stützvektors
der Gerade $\boldsymbol g$
$\begin{array}{rl} \left|\dfrac{3x_2-4x_3-5}{5}\right|=&d \\[5pt] \left|\dfrac{3\cdot5-4\cdot 2-5}{5}\right|=&d\\ \left|\dfrac{15-8-5}{5}\right|=&d\\ d=&\frac{2}{5} \end{array}$
Der Abstand zwischen der Geraden $g$
und der Ebene $E$ beträgt $d=\frac{2}{5}$ LE.
e)
$\begin{array}[t]{lll} E:&2x_1+6=4x_2-4x_3&\scriptsize \mid\; -2x_1 \\[5pt] E:&6=4x_2-4x_3-2x_1 \\[5pt] E:&-2x_1+4x_2-4x_3=6 \end{array}$
$\begin{array}[t]{lll} E:&2x_1+6=4x_2-4x_3 … \end{array}$
1. Schritt: Lage der Geraden $\boldsymbol g$ zu
der Ebene $\boldsymbol E$
$\begin{array}{rl} \begin{pmatrix}-2\\4\\-4\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}-3\\-2\\-\frac{1}{2}\end{pmatrix}=&(-2)\cdot(-3)+4\cdot(-2)+(-4)\cdot(-\frac{1}{2}) \\[5pt] =&6-8+2 \\[5pt] =&0 \end{array}$
$\begin{array}{rl} \begin{pmatrix}-2\\4\\-4\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}-3\\-2\\-\frac{1}{2}\end{pmatrix} =&0 \end{array}$
2. Schritt: HNF aufstellen
HNF:
$\begin{array}{rl} \left|\dfrac{-2x_1+4x_2-4x_3-6}{\sqrt{{(-2)}^2+{4}^2+{(-4)}^2}}\right|=&d \\[5pt] \left|\dfrac{-2x_1+4x_2-4x_3-6}{\sqrt{4+16+16}}\right|=&d \\[5pt] \left|\dfrac{-2x_1+4x_2-4x_3-6}{\sqrt{36}}\right|=&d \\[5pt] \left|\dfrac{-2x_1+4x_2-4x_3-6}{6}\right|=&d \end{array}$
3. Schritt: Einsetzen der
Koordinaten des Stützvektors der Gerade $\boldsymbol g$
$\begin{array}{ll} \left|\dfrac{-2x_1+4x_2-4x_3-6}{6}\right|=d \\[5pt] \left|\dfrac{-2\cdot1+4\cdot 2-4\cdot(-3)-6}{6}\right|=d \\[5pt] \left|\dfrac{-2+8+12-6}{6}\right|=&d \\[5pt] \left|\dfrac{12}{6}\right|=&d \\[5pt] d=&2 \end{array}$
$\begin{array}{ll} \left|\dfrac{-2x_1+4x_2-4x_3-6}{6}\right|=d \end{array}$
Der Abstand zwischen der Geraden $g$ und der Ebene $E$ beträgt $d=2$ LE.
f)
1. Schritt: Lage der Geraden $\boldsymbol g$ zu der Ebene $\boldsymbol E$
$\begin{array}{rl} \begin{pmatrix}-3\\-6\\-2\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}4\\-2\\0\end{pmatrix}=&(-3)\cdot4+(-6)\cdot(-2)+(-2)\cdot0 \\[5pt] =&-12+12+0 \\[5pt] =&0 \end{array}$
$\begin{array}{rl} \begin{pmatrix}-3\\-6\\-2\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}4\\-2\\0\end{pmatrix}= \end{array}$
2. Schritt: HNF aufstellen
HNF:
$\begin{array}{rl} \left|\dfrac{-3x_1-6x_2-2x_3-4}{\sqrt{{(-3)}^2+{(-6)}^2+{(-2)}^2}}\right|=&d \\[5pt] \left|\dfrac{-3x_1-6x_2-2x_3-4}{\sqrt{9+36+4}}\right|=&d \\[5pt] \left|\dfrac{-3x_1-6x_2-2x_3-4}{\sqrt{49}}\right|=&d \\[5pt] \left|\dfrac{-3x_1-6x_2-2x_3-4}{7}\right|=&d \end{array}$
3. Schritt: Einsetzen der
Koordinaten des Stützvektors
der Gerade $\boldsymbol g$
$\begin{array}{ll} \left|\dfrac{-3x_1-6x_2-2x_3-4}{7}\right|=d \\[5pt] \left|\dfrac{-3\cdot(-3)-6\cdot 2-2\cdot(-4)-4}{7}\right|=d \\[5pt] \left|\dfrac{9-12+8-4}{7}\right|=d \\[5pt] d=\frac{1}{7} \end{array}$
$\begin{array}{ll} \left|\dfrac{-3x_1-6x_2-2x_3-4}{7}\right|=d \end{array}$
Der Abstand zwischen der Geraden $g$ und der Ebene $E$ beträgt $d=\frac{1}{7}$ LE.
2.
Bei der zweiten Aufgabe musst du zunächst die Ebenengleichung in die Koordinatenform umwandeln. Anschließend kannst du genauso wie in Aufgabe $1$ vorgehen.
  1. Wandle die Ebenengleichung in die Koordinatenform um
  2. Prüfe die Lage der Geraden $g$ zu der Ebene $E$
  3. Stelle die Hessesche Normalform (HNF) auf
  4. Setze die Koordinaten des Stützvektors der Gerade $g$ in die HNF ein
a)
1. Schritt: Umwandeln der Ebenengleichung in die Koordinatenform
Um die Ebenengleichung von der Parameterform in die Koordinatenform umzuwandeln, bildest du das Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren der Ebene. Dadurch erhältst du den Normalenvektor der Ebene. Anschließend setzt du den Stützvektor in die allgemeine Koordinatenform ein.
Allgemeine Koordinatenform:
$n_1\cdot x_1+n_2\cdot x_2+n_3\cdot x_3=c$
Vektorprodukt:
$\begin{array}{rl} \begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}2\\1\\4\end{pmatrix}=&\begin{pmatrix}3\cdot4-2\cdot1\\2\cdot2-1\cdot4\\1\cdot1-3\cdot2\end{pmatrix} \\[5pt] =&\begin{pmatrix}12&-&2\\4&-&4\\1&-&6\end{pmatrix} \\[5pt] =&\begin{pmatrix}10\\0\\-5\end{pmatrix} \end{array}$
Einsetzen in die allgemeine Koordinatenform:
$\begin{array}{rll} 10x_1-5x_3=&c&\scriptsize \text{Einsetzen der Koordinaten des Stützvektors der Ebene} \\[5pt] 10\cdot1-5\cdot1=&c \\[5pt] c=&10-5 \\[5pt] c=&5 \end{array}$
$\begin{array}{rll} c=&5 \end{array}$
Die Koordinatenform der Ebenengleichung lautet demnach:
$10x_1-5x_3=5$
2. Schritt: Lage der Geraden $\boldsymbol g$ zu der Ebene $\boldsymbol E$
Um zu überprüfen, ob die Gerade $g$ und die Ebene $E$ parallel sind, bildest du das Skalarprodukt des Richtungsvektors der Geraden und dem Normalenvektor der Ebene. Wenn die Gerade und die Ebene parallel sind, steht der Normalenvektor orthogonal auf dem Richtungsvektor der Geraden. Das Skalarprodukt ergibt dann $0$. Den Normalenvektor der Ebene kannst du aus der Koordinatenform der Ebenengleichung ablesen.
$\begin{array}{rl} \begin{pmatrix}10\\0\\-5\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}1\\4\\2\end{pmatrix}=&10\cdot1+0\cdot4+(-5)\cdot2 \\[5pt] =&10+0-10 \\[5pt] =&0 \end{array}$
$\begin{array}{rl} \begin{pmatrix}10\\0\\-5\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}1\\4\\2\end{pmatrix}=&0 \end{array}$
Die Gerade $g$ liegt parallel zu der Ebene $E$.
3. Schritt: HNF aufstellen
Die allgemeine Form der HNF lautet:
$\text{HNF: }\left|\dfrac{n_1\cdot x_1+n_2\cdot x_2+n_3\cdot x_3-c}{\sqrt{{n_1}^2+{n_2}^2+{n_3}^2}}\right|=d$
$\text{HNF: } …$
HNF:
$\begin{array}{rl} \left|\dfrac{10x_1-5x_3-5}{\sqrt{{10}^2+{0}^2+{(-5)}^2}}\right|=&d \\[5pt] \left|\dfrac{10x_1-5x_3-5}{\sqrt{100+0+25}}\right|=&d \\[5pt] \left|\dfrac{10x_1-5x_3-5}{\sqrt{125}}\right|=&d \\[5pt] \left|\dfrac{10x_1-5x_3-5}{5\sqrt{5}}\right|=&d \end{array}$
4. Schritt: Einsetzen der Koordinaten des Stützvektors der Gerade $\boldsymbol g$
$\begin{array}{rll} \left|\dfrac{10x_1-5x_3-5}{5\sqrt{5}}\right|=&d \\[5pt] \left|\dfrac{10\cdot 4-5\cdot 3-5}{5\sqrt{5}}\right|=&d \\[5pt] \left|\dfrac{40-15-5}{5\sqrt{5}}\right|=&d \\[5pt] \left|\dfrac{20}{5\sqrt{5}}\right|=&d \\[5pt] d=&\frac{4}{\sqrt{5}}&\scriptsize \mid\; \cdot\sqrt{5} \\[5pt] d=&\frac{4}{5}\sqrt{5} \end{array}$
Der Abstand zwischen der Geraden $g$ und der Ebene $E$ beträgt $d=\frac{4}{5}\sqrt{5}$ LE.
b)
1. Schritt: Umwandeln der Ebenengleichung in die Koordinatenform
Vektorprodukt:
$\begin{array}{rl} \begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}0\cdot1-(-2)\cdot3\\(-2)\cdot1-4\cdot1\\4\cdot3-0\cdot1\end{pmatrix} \\[5pt] &=&\begin{pmatrix}0-(-6)\\(-2)-4\\12-0\end{pmatrix} \\[5pt] &=&\begin{pmatrix}6\\-6\\12\end{pmatrix} \\[5pt] &=&3\cdot\begin{pmatrix}2\\-2\\4\end{pmatrix} \end{array}$
$\begin{array}{rl} \begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix}&=\end{array}$
Einsetzen in die allgemeine Koordinatenform:
$\begin{array}{rll} 2x_1-2x_2+4x_3=&c&\scriptsize \text{Einsetzen der Koordinaten des Stützvektors der Ebene} \\[5pt] 2\cdot5-2\cdot3+4\cdot2=&c \\[5pt] c=&10-6+8 \\[5pt] c=&12 \end{array}$
$\begin{array}{rll} c&=&12 \end{array}$
Die Koordinatenform der Ebenengleichung lautet demnach:
$2x_1-2x_2+4x_3=12$
2. Schritt: Lage der Geraden $\boldsymbol g$ zu der Ebene $\boldsymbol E$
$\begin{array}{rl} \begin{pmatrix}2\\-2\\4\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}2\\0\\-1\end{pmatrix}=&2\cdot2+(-2)\cdot0+4\cdot(-1) \\[5pt] =&4+0-4 \\[5pt] =&0 \end{array}$
$\begin{array}{rl} \begin{pmatrix}2\\-2\\4\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}2\\0\\-1\end{pmatrix}&=&0 \end{array}$
Die Gerade $g$ verläuft parallel zu der Ebene $E$.
3. Schritt: HNF aufstellen
HNF:
$\begin{array}{rl} \left|\dfrac{2x_1-2x_2+4x_3-12}{\sqrt{{2}^2+{(-2)}^2+{4}^2}}\right|=&d \\[5pt] \left|\dfrac{2x_1-2x_2+4x_3-12}{\sqrt{4+4+16}}\right|=&d \\[5pt] \left|\dfrac{2x_1-2x_2+4x_3-12}{\sqrt{24}}\right|=&d \\[5pt] \left|\dfrac{2x_1-2x_2+4x_3-12}{2\sqrt{6}}\right|=&d \end{array}$
4. Schritt: Einsetzen der Koordinaten des Stützvektors der Gerade $\boldsymbol g$
$\begin{array}{rll} \left|\dfrac{2x_1-2x_2+4x_3-12}{2\sqrt{6}}\right|=&d \\[5pt] \left|\dfrac{2\cdot 1-2\cdot (-2)+4\cdot1-12}{2\sqrt{6}}\right|=&d \\[5pt] \left|\dfrac{2+4+4-12}{2\sqrt{6}}\right|=&d \\[5pt] \left|\dfrac{-2}{2\sqrt{6}}\right|=&d \\[5pt] d=&\frac{1}{\sqrt{6}}&\scriptsize \mid\; \cdot\sqrt{6} \\[5pt] d=&\frac{1}{6}\sqrt{6} \end{array}$
$\begin{array}{rll} d=&\frac{1}{6}\sqrt{6} \end{array}$
Der Abstand zwischen der Geraden $g$ und der Ebene $E$ beträgt $d=\frac{1}{6}\sqrt{6}$ LE.
c)
1. Schritt: Umwandeln der Ebenengleichung in die Koordinatenform
Vektorprodukt:
$\begin{array}{rl} \begin{pmatrix}2\\0\\4\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}=&\begin{pmatrix}0\cdot3-4\cdot(-2)\\4\cdot1-2\cdot3\\2\cdot(-2)-0\cdot1\end{pmatrix} \\[5pt] =&\begin{pmatrix}0-(-8)\\4-6\\-4-0\end{pmatrix} \\[5pt] =&\begin{pmatrix}8\\-2\\-4\end{pmatrix} \\[5pt] =&2\cdot\begin{pmatrix}4\\-1\\-2\end{pmatrix} \end{array}$
$\begin{array}{rl} \begin{pmatrix}2\\0\\4\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}=\end{array}$
Einsetzen in die allgemeine Koordinatenform:
$\begin{array}{rll} 4x_1-x_2-2x_3=&c&\scriptsize \text{Einsetzen der Koordinaten des Stützvektors der Ebene} \\[5pt] 4\cdot1-5-2\cdot2=&c \\[5pt] c=&4-5-4 \\[5pt] c=&-5 \end{array}$
$\begin{array}{rll} c=&-5 \end{array}$
Die Koordinatenform der Ebenengleichung lautet demnach:
$4x_1-x_2-2x_3=-5$
2. Schritt: Lage der Geraden $\boldsymbol g$ zu der Ebene $\boldsymbol E$
$\begin{array}{rl} \begin{pmatrix}4\\-1\\-2\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}2\\2\\3\end{pmatrix}&=&4\cdot2+(-1)\cdot2+(-2)\cdot3 \\[5pt] &=&8-2-6 \\[5pt] &=&0 \end{array}$
$\begin{array}{rl} \begin{pmatrix}4\\-1\\-2\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}2\\2\\3\end{pmatrix}=&0 \end{array}$
Die Gerade $g$ verläuft parallel zu der Ebene $E$.
3. Schritt: HNF aufstellen
HNF:
$\begin{array}{rl} \left|\dfrac{4x_1-x_2-2x_3+5}{\sqrt{{4}^2+{(-1)}^2+{(-2)}^2}}\right|=&d \\[5pt] \left|\dfrac{4x_1-x_2-2x_3+5}{\sqrt{16+1+4}}\right|=&d \\[5pt] \left|\dfrac{4x_1-x_2-2x_3+5}{\sqrt{21}}\right|=&d \end{array}$
4. Schritt: Einsetzen der Koordinaten des Stützvektors der Gerade $\boldsymbol g$
$\begin{array}{rll} \left|\dfrac{4x_1-x_2-2x_3+5}{\sqrt{21}}\right|=&d \\[5pt] \left|\dfrac{4\cdot 4-1\cdot (-2)-2\cdot1+5}{21}\right|=&d \\[5pt] \left|\dfrac{16+2-2+5}{\sqrt{21}}\right|=&d \\[5pt] \left|\dfrac{21}{\sqrt{21}}\right|=&d&\scriptsize \mid\; \cdot\sqrt{21} \\[5pt] d=&\frac{21}{21}\sqrt{21} \\[5pt] d=&\sqrt{21} \end{array}$
$\begin{array}{rll} d=&\sqrt{21} \end{array}$
Der Abstand zwischen der Geraden $g$ und der Ebene $E$ beträgt $d=\sqrt{21}$ LE.
d)
1. Schritt: Umwandeln der Ebenengleichung in die Koordinatenform
Vektorprodukt:
$\begin{array}{rl} \begin{pmatrix}-1\\-1\\-1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}4\\3\\2\end{pmatrix}=&\begin{pmatrix}-1\cdot2-(-1)\cdot3\\(-1)\cdot4-(-1)\cdot2\\(-1)\cdot3-(-1)\cdot4\end{pmatrix} \\[5pt] =&\begin{pmatrix}-2-(-3)\\-4-(-2)\\-3-(-4)\end{pmatrix} \\[5pt] =&\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix} \end{array}$
$\begin{array}{rl} \begin{pmatrix}-1\\-1\\-1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}4\\3\\2\end{pmatrix} =&\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix} \end{array}$
Einsetzen in die allgemeine Koordinatenform:
$\begin{array}{rll} x_1-2x_2+x_3=&c&\scriptsize \text{Einsetzen der Koordinaten des Stützvektors der Ebene} \\[5pt] 1\cdot4-2\cdot3+1\cdot5=&c \\[5pt] c=&4-6+5 \\[5pt] c=&3 \end{array}$
$\begin{array}{rll} c=&3 \end{array}$
Die Koordinatenform der Ebenengleichung lautet demnach:
$x_1-2x_2+x_3=3$
2. Schritt: Lage der Geraden $\boldsymbol g$ zu der Ebene $\boldsymbol E$
$\begin{array}{rl} \begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}=&1\cdot0+(-2)\cdot1+1\cdot2 \\[5pt] =&0-2+2 \\[5pt] =&0 \end{array}$
$\begin{array}{rl} \begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix} =&0 \end{array}$
Die Gerade $g$ verläuft parallel zu der Ebene $E$.
3. Schritt: HNF aufstellen
HNF:
$\begin{array}{rl} \left|\dfrac{x_1-2x_2+x_3-3}{\sqrt{{1}^2+{(-2)}^2+{1}^2}}\right|=&d \\[5pt] \left|\dfrac{x_1-2x_2+x_3-3}{\sqrt{1+4+1}}\right|=&d \\[5pt] \left|\dfrac{x_1-2x_2+x_3-3}{\sqrt{6}}\right|=&d \end{array}$
4. Schritt: Einsetzen der Koordinaten des Stützvektors der Gerade $\boldsymbol g$
$\begin{array}{rll} \left|\dfrac{x_1-2x_2+x_3-3}{\sqrt{6}}\right|=&d\\ \left|\dfrac{1\cdot 2-2\cdot1+1\cdot4-3}{6}\right|=&d \\[5pt] \left|\dfrac{2-2-4-3}{\sqrt{6}}\right|=&d \\[5pt] \left|\dfrac{1}{\sqrt{6}}\right|=&d&\scriptsize \mid\; \cdot\sqrt{6} \\[5pt] d=&\frac{1}{6}\sqrt{6} \end{array}$
$\begin{array}{rll} d=&\frac{1}{6}\sqrt{6} \end{array}$
Der Abstand zwischen der Geraden $g$ und der Ebene $E$ beträgt $d=\frac{1}{6}\sqrt{6}$ LE.
3.
Bei der dieser Aufgabe musst du zunächst die Ebenengleichung von der Normalenform in die Koordinatenform umwandeln. Anschließend kannst du genauso vorgehen, wie in den vorherigen Aufgaben.
  1. Wandle die Ebenengleichung in die Koordinatenform um
  2. Prüfe die Lage der Geraden $g$ zu der Ebene $E$
  3. Stelle die Hesse'sche Normalform (HNF) auf
  4. Setze die Koordinaten des Stützvektors der Gerade $g$ in die HNF ein
a)
1. Schritt: Umwandeln der Ebenengleichung in die Koordinatenform
Um die Ebenengleichung von der Parameterform in die Koordinatenform umzuwandeln, bildest du das Skalarprodukt des Normalenvektors mit der Klammer.
Allgemeine Koordinatenform:
$n_1\cdot x_1+n_2\cdot x_2+n_3\cdot x_3=c$
Skalarprodukt:
$\begin{array}{rl} E:\quad\begin{pmatrix}4\\5\\-2\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow{x}-\begin{pmatrix}-3\\1\\4\end{pmatrix}\right]=&0 \\[5pt] 4x_1+5x_2-2x_3-\left(\begin{pmatrix}4\\5\\-2\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}-3\\1\\4\end{pmatrix}\right)=&0 \\[5pt] 4x_1+5x_2-2x_3-(4\cdot(-3)+5\cdot1-2\cdot4)=&0 \\[5pt] 4x_1+5x_2-2x_3-(-12+5-8)=&0 \\[5pt] 4x_1+5x_2-2x_3-(-15)=&0 \\[5pt] 4x_1+5x_2-2x_3+15=&0 \end{array}$
$\begin{array}{rl} 4x_1+5x_2-2x_3+15=&0 \end{array}$
Die Koordinatenform der Ebenengleichung lautet demnach:
$4x_1+5x_2-2x_3=-15$
2. Schritt: Lage der Geraden $\boldsymbol g$ zu der Ebene $\boldsymbol E$
Um zu überprüfen, ob die Gerade $g$ und die Ebene $E$ parallel sind, bildest du das Skalarprodukt des Richtungsvektors der Geraden und dem Normalenvektor der Ebene. Wenn die Gerade und die Ebene parallel sind, steht der Normalenvektor orthogonal auf dem Richtungsvektor der Geraden. Das Skalarprodukt ergibt dann $0$. Den Normalenvektor der Ebene kannst du aus der Koordinatenform der Ebenengleichung ablesen.
$\begin{array}{rl} \begin{pmatrix}4\\5\\-2\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}2\\-2\\-1\end{pmatrix}=&4\cdot2+5\cdot(-2)+(-2)\cdot(-1) \\[5pt] =&8-10+2 \\[5pt] =&0 \end{array}$
$\begin{array}{rl} \begin{pmatrix}4\\5\\-2\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}2\\-2\\-1\end{pmatrix}=&0 \end{array}$
Die Gerade $g$ liegt parallel zu der Ebene $E$.
3. Schritt: HNF aufstellen
Die allgemeine Form der HNF lautet:
$\text{HNF: }\left|\dfrac{n_1\cdot x_1+n_2\cdot x_2+n_3\cdot x_3-c}{\sqrt{{n_1}^2+{n_2}^2+{n_3}^2}}\right|=d$
$\text{HNF: }$
HNF:
$\begin{array}{rl} \left|\dfrac{4x_1+5x_2-2x_3+15}{\sqrt{{4}^2+{5}^2+{(-2)}^2}}\right|=&d \\[5pt] \left|\dfrac{4x_1+5x_2-2x_3+15}{\sqrt{16+25+4}}\right|=&d \\[5pt] \left|\dfrac{4x_1+5x_2-2x_3+15}{\sqrt{45}}\right|=&d \\[5pt] \left|\dfrac{4x_1+5x_2-2x_3+15}{3\sqrt{5}}\right|=&d \end{array}$
4. Schritt: Einsetzen der Koordinaten des Stützvektors der Gerade $\boldsymbol g$
$\begin{array}{rll} \left|\dfrac{4x_1+5x_2-2x_3+15}{3\sqrt{5}}\right|=&d \\[5pt] \left|\dfrac{4\cdot 2+5\cdot (-4)-2\cdot(-3)+15}{3\sqrt{5}}\right|=&d \\[5pt] \left|\dfrac{8-20+6+15}{3\sqrt{5}}\right|=&d \\[5pt] \left|\dfrac{9}{3\sqrt{5}}\right|=&d \\[5pt] d=&\frac{3}{\sqrt{5}}&\scriptsize \mid\; \cdot\sqrt{5} \\[5pt] d=&\frac{3}{5}\sqrt{5} \end{array}$
$\begin{array}{rll} d=&\frac{3}{5}\sqrt{5} \end{array}$
Der Abstand zwischen der Geraden $g$ und der Ebene $E$ beträgt $d$=$\frac{3}{5}\sqrt{5}$ LE.
b)
1. Schritt: Umwandeln der Ebenengleichung in die Koordinatenform
Skalarprodukt:
$\begin{array}{rl} E:\begin{pmatrix}-5\\5\\-2\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow{x}-\begin{pmatrix}1\\3\\6\end{pmatrix}\right]=&0 \\[5pt] -5x_1+5x_2-2x_3-\left(\begin{pmatrix}-5\\5\\-2\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}1\\3\\6\end{pmatrix}\right)=&0 \\[5pt] -5x_1+5x_2-2x_3-(-5\cdot1+5\cdot3-2\cdot6)=&0 \\[5pt] -5x_1+5x_2-2x_3-(-5+15-12)=&0 \\[5pt] -5x_1+5x_2-2x_3-(-2)=&0 \\[5pt] -5x_1+5x_2-2x_3+2=&0 \end{array}$
$\begin{array}{rl} -5x_1+5x_2-2x_3+2=&0 \end{array}$
Die Koordinatenform der Ebenengleichung lautet demnach:
$-5x_1+5x_2-2x_3=-2$
2. Schritt: Lage der Geraden $\boldsymbol g$ zu der Ebene $\boldsymbol E$
$\begin{array}{rl} \begin{pmatrix}-5\\5\\-2\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}-2\\0\\5\end{pmatrix}=&-5\cdot(-2)+5\cdot0-2\cdot5 \\[5pt] =&10+0-10 \\[5pt] =&0 \end{array}$
$\begin{array}{rl} \begin{pmatrix}-5\\5\\-2\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}-2\\0\\5\end{pmatrix}=&0 \end{array}$
Die Gerade $g$ verläuft parallel zu der Ebene $E$.
3. Schritt: HNF aufstellen
HNF:
$\begin{array}{rl} \left|\dfrac{-5x_1+5x_2-2x_3+2}{\sqrt{{(-5)}^2+{5}^2+{(-2)}^2}}\right|=&d \\[5pt] \left|\dfrac{-5x_1+5x_2-2x_3+2}{\sqrt{25+25+4}}\right|=&d \\[5pt] \left|\dfrac{-5x_1+5x_2-2x_3+2}{\sqrt{54}}\right|=&d \\[5pt] \left|\dfrac{-5x_1+5x_2-2x_3+2}{3\sqrt{6}}\right|=&d \end{array}$
4. Schritt: Einsetzen der Koordinaten des Stützvektors der Gerade $\boldsymbol g$
$\begin{array}{rll} \left|\dfrac{-5x_1+5x_2-2x_3+2}{3\sqrt{6}}\right|=&d \\[5pt] \left|\dfrac{-5\cdot 1+5\cdot3-2\cdot5+2}{3\sqrt{6}}\right|=&d \\[5pt] \left|\dfrac{-5+15-10+2}{3\sqrt{6}}\right|=&d \\[5pt] \left|\dfrac{2}{3\sqrt{6}}\right|=&d&\scriptsize \mid\; \cdot\sqrt{6} \\[5pt] d=&\dfrac{2}{18}\sqrt{6} \\[5pt] d=&\frac{1}{9}\sqrt{6} \end{array}$
$\begin{array}{rll} d=&\frac{1}{9}\sqrt{6} \end{array}$
Der Abstand zwischen der Geraden $g$ und der Ebene $E$ beträgt $d=\frac{1}{9}\sqrt{6}$ LE.
c)
1. Schritt: Umwandeln der Ebenengleichung in die Koordinatenform
Skalarprodukt:
$\begin{array}{rl} E:\begin{pmatrix}-2\\2\\1\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow{x}-\begin{pmatrix}3\\0\\2\end{pmatrix}\right]=&0 \\[5pt] -2x_1+2x_2+x_3-\left(\begin{pmatrix}-2\\2\\1\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}3\\0\\2\end{pmatrix}\right)=&0 \\[5pt] -2x_1+2x_2+x_3-(-2\cdot3+2\cdot0+1\cdot2)=&0 \\[5pt] -2x_1+2x_2+x_3-(-6+0+2)=&0 \\[5pt] -2x_1+2x_2+x_3-(-4)=&0 \\[5pt] -2x_1+2x_2+x_3+4=&0 \end{array}$
$\begin{array}{rl} -2x_1+2x_2+x_3+4=&0 \end{array}$
Die Koordinatenform der Ebenengleichung lautet demnach:
$-2x_1+2x_2+x_3=-4$
2. Schritt: Lage der Geraden $\boldsymbol g$ zu der Ebene $\boldsymbol E$
$\begin{array}{rl} \begin{pmatrix}-2\\2\\1\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}2\\0\\4\end{pmatrix}=&-2\cdot2+2\cdot0+1\cdot4 \\[5pt] =&-4+0+4 \\[5pt] =&0 \end{array}$
Die Gerade $g$ verläuft parallel zu der Ebene $E$.
3. Schritt: HNF aufstellen
HNF:
$\begin{array}{rl} \left|\dfrac{-2x_1+2x_2+x_3+4}{\sqrt{{(-2)}^2+{2}^2+{1}^2}}\right|=&d \\[5pt] \left|\dfrac{-2x_1+2x_2+x_3+4}{\sqrt{4+4+1}}\right|=&d \\[5pt] \left|\dfrac{-2x_1+2x_2+x_3+4}{\sqrt{9}}\right|=&d \\[5pt] \left|\dfrac{-2x_1+2x_2+x_3+4}{3}\right|=&d \end{array}$
4. Schritt: Einsetzen der Koordinaten des Stützvektors der Gerade $\boldsymbol g$
$\begin{array}{rl} \left|\dfrac{-2x_1+2x_2+x_3+4}{3}\right|=&d \\[5pt] \left|\dfrac{-2\cdot 3+2\cdot 1+1\cdot(-4)+4}{3}\right|=&d \\[5pt] \left|\dfrac{-6+2-4+4}{3}\right|=&d \\[5pt] \left|\dfrac{-4}{3}\right|=&d \\[5pt] d=&\frac{4}{3} \end{array}$
Der Abstand zwischen der Geraden $g$ und der Ebene $E$ beträgt $d=\frac{4}{3}$ LE.
d)
Skalarprodukt:
$\begin{array}{rl} E:\begin{pmatrix}-3\\0\\-4\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow{x}-\begin{pmatrix}2\\4\\-3\end{pmatrix}\right]=&0 \\[5pt] -3x_1-4x_3-\left(\begin{pmatrix}-3\\0\\-4\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}2\\4\\-3\end{pmatrix}\right)=&0 \\[5pt] -3x_1-4x_3-(-3\cdot2+0\cdot4-4\cdot(-3))=&0 \\[5pt] -3x_1-4x_3-(-6+0+12)=&0 \\[5pt] -3x_1-4x_3-6=&0 \end{array}$
$\begin{array}{rl} -3x_1-4x_3-6=&0 \end{array}$
Die Koordinatenform der Ebenengleichung lautet demnach:
$-3x_1-4x_3=6$
2. Schritt: Lage der Geraden $\boldsymbol g$ zu der Ebene $\boldsymbol E$
$\begin{array}{rl} \begin{pmatrix}-3\\0\\-4\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}-8\\2\\6\end{pmatrix}=&-3\cdot(-8)+0\cdot2-4\cdot6 \\[5pt] =&24+0-24 \\[5pt] =&0 \end{array}$
$\begin{array}{rl} \begin{pmatrix}-3\\0\\-4\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}-8\\2\\6\end{pmatrix}=&0 \end{array}$
Die Gerade $g$ verläuft parallel zu der Ebene $E$.
3. Schritt: HNF aufstellen
HNF:
$\begin{array}{rl} \left|\dfrac{-3x_1-4x_3-6}{\sqrt{{(-3)}^2+{0}^2+{(-4)}^2}}\right|=&d \\[5pt] \left|\dfrac{-3x_1-4x_3-6}{\sqrt{9+0+16}}\right|=&d \\[5pt] \left|\dfrac{-3x_1-4x_3-6}{\sqrt{25}}\right|=&d \\[5pt] \left|\dfrac{-3x_1-4x_3-6}{5}\right|=&d \end{array}$
4. Schritt: Einsetzen der Koordinaten des Stützvektors der Gerade $\boldsymbol g$
$\begin{array}{rl} \left|\dfrac{-3x_1-4x_3-6}{5}\right|=&d \\[5pt] \left|\dfrac{-3\cdot (-6)-4\cdot2-6}{5}\right|=&d \\[5pt] \left|\dfrac{18-8-6}{5}\right|=&d \\[5pt] \left|\dfrac{4}{5}\right|=&d \end{array}$
Der Abstand zwischen der Geraden $g$ und der Ebene $E$ beträgt $d=\frac{4}{5}$ LE.
4.
Hier sollst du die Koordinaten des Stützpunktes der Gerade herausfinden. Analog zu den vorherigen Aufgaben prüfst du zunächst die Lage der Gerade und Ebene und bildest dann die Hesse'sche Normalform. Der Unterschied besteht darin, dass du den Abstand gegeben hast und die Koordinaten suchst.
Tipp: Ist mehr als eine Parameter unbekannt, kommst du durch Ausprobieren auf eine Lösung.
  1. Prüfe die Lage der Geraden $g$ zu der Ebene $E$
  2. Stelle die Hesse'sche Normalform (HNF) auf
  3. Setze den Abstand $d$ und die Koordinaten des Stützpunktes von $g$ in die HNF ein
a)
1. Schritt: Lage der Geraden $\boldsymbol g$ zu der Ebene $\boldsymbol E$
Um zu überprüfen, ob die Gerade $g$ und die Ebene $E$ parallel sind, bildest du das Skalarprodukt des Richtungsvektors der Geraden und dem Normalenvektor der Ebene. Wenn die Gerade und die Ebene parallel sind, steht der Normalenvektor orthogonal auf dem Richtungsvektor der Geraden. Das Skalarprodukt ergibt dann $0$. Den Normalenvektor der Ebene kannst du aus der Koordinatenform der Ebenengleichung ablesen.
$\begin{array}{rl} \begin{pmatrix}0\\3\\-4\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}3\\4\\3\end{pmatrix}=&0\cdot3+3\cdot4-4\cdot3 \\[5pt] =&0+12-12 \\[5pt] =&0 \end{array}$
Die Gerade $g$ liegt parallel zu der Ebene $E$.
2. Schritt: HNF aufstellen
Die allgemeine Form der HNF lautet:
$\text{HNF: }\left|\dfrac{n_1\cdot x_1+n_2\cdot x_2+n_3\cdot x_3-c}{\sqrt{{n_1}^2+{n_2}^2+{n_3}^2}}\right|=d$
$\text{HNF: }$
HNF:
$\begin{array}{rl} \left|\dfrac{3x_2-4x_3-2}{\sqrt{{3}^2+{(-4)}^2}}\right|=&d \\[5pt] \left|\dfrac{3x_2-4x_3-2}{\sqrt{9+16}}\right|=&d \\[5pt] \left|\dfrac{3x_2-4x_3-2}{\sqrt{25}}\right|=&d \\[5pt] \left|\dfrac{3x_2-4x_3-2}{5}\right|=&d \end{array}$
3. Schritt: Einsetzen der Koordinaten des Stützpunktes der Geraden $\boldsymbol g$ und dem Abstand $\boldsymbol d$
$\begin{array}{rll} \left|\dfrac{3x_2-4x_3-2}{5}\right|=&d \\[5pt] \left|\dfrac{3t-4\cdot(-7)-2}{5}\right|=&4 \\[5pt] \left|\dfrac{3t+28-2}{5}\right|=&4 \\[5pt] \left|\dfrac{3t+26}{5}\right|=&4&\scriptsize \mid\; \cdot5 \\[5pt] 3t+26=&4\cdot5&\scriptsize \mid\; -26 \\[5pt] 3t=&20-26&\scriptsize \mid\; :3 \\[5pt] t=&\dfrac{-6}{3} \\[5pt] t=&-2 \end{array}$
Der Stützpunkt der Gerade $g$ hat die Koordinaten $(7\mid-2\mid-7)$.
b)
1. Schritt: Lage der Geraden $\boldsymbol g$ zu der Ebene $\boldsymbol E$
$\begin{array}{rl} \begin{pmatrix}-4\\2\\-4\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}=&-4\cdot2+2\cdot2-4\cdot(-1) \\[5pt] =&-8+4+4 \\[5pt] =&0 \end{array}$
$\begin{array}{rl} \begin{pmatrix}-4\\2\\-4\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}=&0 \end{array}$
Die Gerade $g$ liegt parallel zu der Ebene $E$.
2. Schritt: HNF aufstellen
HNF:
$\begin{array}{rl} \left|\dfrac{-4x_1+2x_2-4x_3-2}{\sqrt{{(-4)}^2+{2}^2+{(-4)}^2}}\right|=&d \\[5pt] \left|\dfrac{-4x_1+2x_2-4x_3-2}{\sqrt{16+4+16}}\right|=&d \\[5pt] \left|\dfrac{-4x_1+2x_2-4x_3-2}{\sqrt{36}}\right|=&d \\[5pt] \left|\dfrac{-4x_1+2x_2-4x_3-2}{6}\right|=&d \end{array}$
3. Schritt: Einsetzen der Koordinaten des Stützpunktes der Geraden $\boldsymbol g$ und dem Abstand $\boldsymbol d$
$\begin{array}{rll} \left|\dfrac{-4x_1+2x_2-4x_3-2}{6}\right|=&d \\[5pt] \left|\dfrac{-4t_1+2t_2-4\cdot(-1)-2}{6}\right|=&3 \\[5pt] \left|\dfrac{-4t_1+2t_2+4-2}{6}\right|=&3 \\[5pt] \left|\dfrac{-4t_1+2t_2+2}{6}\right|=&3&\scriptsize \mid\; \cdot6 \\[5pt] -4t_1+2t_2+2=&3\cdot6&\scriptsize \mid\; -2 \\[5pt] -4t_1+2t_2=&18-2 \\[5pt] -4t_1+2t_2=&16 \end{array}$
$\begin{array}{rll} -4t_1+2t_2=&16 \end{array}$
Wähle nun $t_1$ und $t_2$ so, dass die Gleichung erfüllt ist. Eine Möglichkeit wäre, dass $t_1=1$ und $t_2=10$ ist.
Der Stützpunkt der Gerade $g$ hätte dann die Koordinaten $(1\mid10\mid-1)$.
c)
1. Schritt: Lage der Geraden $\boldsymbol g$ zu der Ebene $\boldsymbol E$
$\begin{array}{rl} \begin{pmatrix}2\\-4\\-4\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}=&2\cdot0-4\cdot1-4\cdot(-1) \\[5pt] =&0-4+4 \\[5pt] =&0 \end{array}$
$\begin{array}{rl} \begin{pmatrix}2\\-4\\-4\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}=&0 \end{array}$
Die Gerade $g$ liegt parallel zu der Ebene $E$.
2. Schritt: HNF aufstellen
HNF:
$\begin{array}{rl} \left|\dfrac{2x_1-4x_2-4x_3}{\sqrt{{2}^2+{(-4)}^2+{(-4)}^2}}\right|=&d \\[5pt] \left|\dfrac{2x_1-4x_2-4x_3}{\sqrt{4+16+16}}\right|=&d \\[5pt] \left|\dfrac{2x_1-4x_2-4x_3}{\sqrt{36}}\right|=&d \\[5pt] \left|\dfrac{2x_1-4x_2-4x_3}{6}\right|=&d \end{array}$
3. Schritt: Einsetzen der Koordinaten des Stützpunktes der Geraden $\boldsymbol g$ und dem Abstand $\boldsymbol d$
$\begin{array}{rl} \left|\dfrac{2x_1-4x_2-4x_3}{6}\right|=&d \\[5pt] \left|\dfrac{2t_1-4t_2-4t_3}{6}\right|=3&\scriptsize \mid\; \cdot6 \\[5pt] 2t_1-4t_2-4t_3=&3\cdot6 \\[5pt] 2t_1-4t_2-4t_3=&18 \end{array}$
Wähle nun $t_1$, $t_2$ und $t_3$ so, dass die Gleichung erfüllt ist. Eine Möglichkeit wäre, dass $t_1=2$, $t_2=-3$ und $t_3=-\frac{1}{2}$ ist.
Der Stützpunkt der Gerade $g$ hätte dann die Koordinaten $(2\mid-3\mid-\frac{1}{2})$.
5.
Bei dieser Aufgabe sollst du das Volumen einer quadratischen Pyramide berechnen. Das Volumen einer Pyramide berechnest du mit der Formel $V=\frac{1}{3}G\cdot h$. Dabei entspricht $G$ der Grundfläche der Pyramide und $h$ der Höhe. Die Grundfläche ist hier ein Quadrat, d.h. die Formel lautet:
$V=\frac{1}{3}a^2\cdot h$
Um das Volumen berechnen zu können, brauchst du also die Seitenlänge $a$ der Grundfläche und die Höhe $h$ der Pyramide. Da die Spitze $S$ auf der Geraden $g$ liegt, entspricht die Höhe $h$ dem Abstand zwischen der Grundfläche und der Geraden $g$.
Gehe also folgendermaßen vor:
  1. Bestimme die Seitenlänge $a$ der Grundfläche
  2. Stelle eine Ebenengleichung auf, in der die Grundfläche $G$ liegt
  3. Bestimme den Abstand $d$ zwischen der Ebene $E$ und der Geraden $g$
  4. Berechne das Volumen $V$
1. Schritt: Bestimme die Seitenlänge $\boldsymbol a$
Um die Seitenlänge $a$ zu bestimmen, musst du den Abstand zwischen zwei Eckpunkten, z.B. den Punkten $A$ und $D$ berechnen.
Den Abstand zwischen den Punkten $A$ und $D$ berechnest du mit folgender Formel. In diese kannst du dann die jeweiligen Koordinaten einsetzen.
$\begin{array}{rll} d=&\sqrt{(a_1-d_1)^2+(a_2-d_2)^2+(a_3-d_3)^2}&\scriptsize \text{Einsetzen der Koordinaten} \\[5pt] d=&\sqrt{(4-1)^2+(1-1)^2+(1-1)^2} \\[5pt] d=&\sqrt{3^2} \\[5pt] d=&3 \end{array}$
$\begin{array}{rll} d=&3 \end{array}$
Die Grundfläche hat eine Seitenlänge $a$ von $3$ LE.
2. Schritt: Aufstellen einer Ebenengleichung
Um eine Ebenegleichung aufzustellen, benötigst du drei Punkte. Eine mögliche Ebenengleichung lautet demnach:
$\begin{array}{lrl} E:&\overrightarrow{x}=&\overrightarrow{OD}+s\cdot\overrightarrow{AD}+t\cdot\overrightarrow{BD} \\[5pt] E:&\overrightarrow{x}=&\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}4-1\\1-1\\1-1\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}4-1\\4-1\\1-1\end{pmatrix} \\[5pt] E:&\overrightarrow{x}=&\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}3\\0\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}3\\3\\0\end{pmatrix} \end{array}$
$\begin{array}{lrl} E:&\overrightarrow{x}=&… \end{array}$
3. Schritt: Bestimme den Abstand $\boldsymbol d$
Um den Abstand zwischen der Ebene $E$ und der Geraden $g$ zu bestimmen, musst du zunächst die Ebenengleichung in die Koordinatenform umwandeln. Dazu bildest du das Vektorprodukt der beiden Spannvektoren der Ebene $E$. Setze dann den Stützvektor in die allgemeine Koordinatenform ein.
Die allgemeine Koordinatenform lautet:
$n_1\cdot x_1+n_2\cdot x_2+n_3\cdot x_3=c$
Vektorprodukt:
$\begin{array}{rl} \begin{pmatrix}3\\0\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}3\\3\\0\end{pmatrix}=&\begin{pmatrix}0\cdot0-0\cdot3\\0\cdot3-3\cdot0\\3\cdot3-0\cdot3\end{pmatrix} \\[5pt] =&\begin{pmatrix}0-0\\0-0\\9-0\end{pmatrix} \\[5pt] =&\begin{pmatrix}0\\0\\9\end{pmatrix} \end{array}$
Koordinatenform:
Setze nun in die allgemeine Koordinatenform ein und bestimme das $c$.
$\begin{array}{rll} 9x_3=&c&\scriptsize \text{Einsetzen der Koordinaten des Stützpunktes} \\[5pt] 9\cdot1=&c \\[5pt] c=&9 \end{array}$
$\begin{array}{rll} c=&9 \end{array}$
Eine Koordinatenform der Ebene $E$ ist demnach:
$9x_3=9$
Stelle nun die Hesse'sche Normalform auf und berechne den Abstand $d$.
HNF:
$\begin{array}{rl} \left|\dfrac{n_1\cdot x_1+n_2\cdot x_2+n_3\cdot x_3-c}{\sqrt{{n_1}^2+{n_2}^2+{n_3}^2}}\right|=&d \\[5pt] \left|\dfrac{9 x_3-9}{\sqrt{{9}^2}}\right|=&d \\[5pt] \left|\dfrac{9 x_3-9}{9}\right|=&d&\scriptsize \text{Einsetzen der Koordinaten des Stützpunktes der Gerade} \\[5pt] \left|\dfrac{9 \cdot5-9}{9}\right|=&d \\[5pt] \left|\dfrac{45-9}{9}\right|=&d \\[5pt] \left|\dfrac{36}{9}\right|=&d \\[5pt] d=&4 \end{array}$
$\begin{array}{rl} d=&4 \end{array}$
Der Abstand $d$ und damit die Höhe $h$ der Pyramide beträgt $4$ LE.
3. Schritt: Berechne das Volumen $\boldsymbol V$
Setze nun die Werte für die Seitenlänge $a$ und die Höhe $h$ in die Formel zur Berechnung des Volumens ein.
$\begin{array}{rl} V=&\frac{1}{3}\cdot a^2\cdot h \\[5pt] V=&\frac{1}{3}\cdot 3^2\cdot 4 \\[5pt] V=&\frac{1}{3}\cdot 9\cdot 4 \\[5pt] V=&3\cdot 4 \\[5pt] V=&12 \end{array}$
Das Volumen $V$ der Pyramide beträgt $12$ LE.
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