Inhalt
Better Learning!
Inhalt
Bundesland, Schulart & Klasse
Bundesland, Schulart & Klasse
BW, Gymnasium (G9)
Baden-Württemberg
Berufl. Gymnasium (AG)
Berufl. Gymnasium (BTG)
Berufl. Gymnasium (EG)
Berufl. Gymnasium (SGG)
Berufl. Gymnasium (TG)
Berufl. Gymnasium (WG)
Berufskolleg - FH
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Hauptschule
Realschule
Werkrealschule
Bayern
Fachoberschule
Gymnasium
Mittelschule
Realschule
Berlin
Gymnasium
Integrierte Sekundarschule
Brandenburg
Gesamtschule
Gymnasium
Oberschule
Bremen
Gymnasium (G8)
Oberschule (G9)
Hamburg
Gymnasium
Stadtteilschule
Hessen
Berufl. Gymnasium
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Haupt- und Realschule
Hauptschule
Realschule
Mecklenburg-Vorpommern
Gesamtschule
Gymnasium
Niedersachsen
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Integrierte Gesamtschule
Kooperative Gesamtschule
Oberschule
Realschule
NRW
Gesamtschule
Gymnasium
Hauptschule
Realschule
Sekundarschule
Rheinland-Pfalz
Gesamtschule
Gymnasium
Saarland
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Realschule
Sachsen
Gymnasium
Oberschule
Sachsen-Anhalt
Fachgymnasium
Gesamtschule
Gymnasium
Sekundarschule
Schleswig-Holstein
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Thüringen
Berufl. Gymnasium
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Regelschule
Klasse 13
Klasse 13
Klasse 12
Klasse 11
Klasse 10
Klasse 9
Klasse 8
Klasse 7
Klasse 6
Klasse 5
Fach & Lernbereich
Fachauswahl: Mathe
Mathe
Deutsch
Englisch
Bio
Chemie
Physik
Geschichte
Geo
Lernbereich
Digitales Schulbuch
Abitur (GTR)
Abitur (CAS)
Abitur (GTR)
Prüfung
wechseln
Abitur (GTR)
Abitur (CAS)
Better Learning!
Schneller lernen mit deinem SchulLV-Zugang
  • Zugang zu über 1.000 Original-Prüfungsaufgaben mit Lösungen von 2004-2019
  • Alle Bundesländer und Schularten, empfohlen von über 2.300 Schulen in Deutschland
  • Digitales Schulbuch: Über 1.700 Themen mit Aufgaben und Lösungen
  • Monatlich kündbar, lerne solange du möchtest
Jetzt Zugang freischalten!
Inhaltsverzeichnis
Lernbereich Digitales Schulbuch
Analysis
Schaubilder von Funkt...
Ganzrationale Funktio...
Exponentialfunktionen
Gebrochenrationale Fu...
Logarithmusfunktionen
Wurzelfunktionen
Trigonometrische Funk...
Funktionsgleichungen ...
Kurve gegeben
Ganzrationale Funktio...
Gebrochenrationale Fu...
Exponentialfunktionen
Trigonometrische Funk...
Vermischte Aufgaben
Randbedingungen gegeb...
Ganzrationale Funktio...
Gebrochenrationale Fu...
Exponentialfunktionen
Trigonometrische Funk...
Differenzieren (Ablei...
Nach Funktionstyp
Ganzrationale Funktio...
Gebrochenrationale Fu...
Logarithmische Funkti...
Exponentialfunktionen
Wurzelfunktionen
Trigonometrische Funk...
Gebrochene Funktionen
Vermischte Aufgaben
Nach Ableitungsregeln
Faktor- und Summenreg...
Kettenregel
Quotientenregel
Produktregel
Eigenschaften von Kur...
Aussagen bewerten
Ableitung gegeben
Funktion gegeben
Graphisches Ableiten
Interpretation von Ku...
Gleichungslehre
Gleichungen
Lineares Gleichungssy...
Exponentialgleichunge...
Polynomdivision
Trigonometrische Glei...
Kurvendiskussion
Nullstellen und Schni...
Extrem- und Wendepunk...
Symmetrie und Grenzwe...
Funktionen mit Parame...
Ortskurven
Berührpunkte zweier K...
Vollständige Kurvendi...
Ganzrationale Funktio...
Gebrochenrationale Fu...
Exponentialfunktionen
Trigonometrische Funk...
Vermischte Aufgaben
Tangente und Normale
Tangente
Normale
Vermischte Aufgaben
Integralrechnung
Stammfunktionen
Flächeninhalt zwische...
Flächeninhalt zwische...
Mittelwert von Funkti...
Partielle Integration
Lineare Substitution
Uneigentliches Integr...
Rotationskörper
Angewandte Integrale
Vermischte Aufgaben
Weiterführende Übungs...
Zahlenfolgen und Gren...
Einführung
Arithmetrische und ge...
Monotonie und Grenzwe...
Vollständige Induktio...
Vermischte Aufgaben
Extremwertaufgaben
Maximaler Umfang
Maximaler Flächeninha...
Maximales Volumen
Minimaler Abstand Pun...
Vermischte Aufgaben
Allgemeine Fragen zu ...
Definitions- und Wert...
Gebrochenrationale Fu...
Wurzelfunktionen
Logarithmusfunktionen
Stetigkeit und Differ...
Stetigkeit
Differenzierbarkeit
Wachstum
Exponentielles Wachst...
Beschränktes Wachstum
Logistisches Wachstum
Näherungsverfahren
Keplersche Fassregel
Newtonsches Verfahren
Vermischte Aufgaben
Weiterführende Übungs...
Ganzrationale Funktio...
Gebrochenrationale Fu...
Exponentialfunktionen
Analytische Geometrie
Vektoren
Rechnen mit Vektoren
Lineare Abhängigkeit ...
Vektorprodukt
Ortsvektoren und Verb...
Teilverhältnisse
Länge eines Vektors
Vermischte Aufgaben
Geraden
Geraden
Punktprobe
Geraden im Raum
Spurpunkte
Vermischte Aufgaben
Ebenen
Parameterform
Normalenform
Koordinatenform
Umrechnen von Ebeneng...
Ebenen im Raum
Ebenen in Körpern
Spurpunkte
Spurgerade
Vermischte Aufgaben
Gegenseitige Lage
Gerade - Gerade
Gerade - Ebene
Ebene - Ebene
Vermischte Aufgaben
Abstände
Punkt - Gerade
Gerade - Gerade
Gerade - Ebene
Punkt - Ebene
Ebene - Ebene
Vermischte Aufgaben
Schnittwinkel
Zwischen Vektoren
Gerade - Gerade
Gerade - Ebene
Ebene - Ebene
Vermischte Aufgaben
Spiegelungen
Punkt, Gerade und Ebe...
Vermischte Aufgaben
Lineare Gleichungssys...
Interpretation von LG...
Gaußsches Eliminierun...
Matrizen
Rechnen mit Matrizen
Addition und skalare ...
Matrizenmultiplikatio...
Determinante berechne...
Matrix invertieren
Eigenwerte und Eigenv...
Übergangsmatrizen
Übergangsgraphen
Übergangsmatrix
Verteilungen berechne...
Wirtschaftliche Verfl...
Leontief-Modell
Input-Output-Tabelle
Verflechtungsdiagramm
Stochastik
Zufallsexperimente un...
Einstufige Zufallsexp...
Mehrstufige Zufallsex...
Ereignisse
Wahrscheinlichkeiten
Relative und absolute...
Laplace-Experiment
Additionssatz und Vie...
Baumdiagramme und Pfa...
Abhängigkeit und Unab...
Bedingte Wahrscheinli...
Kombinatorik
Geordnete Stichprobe ...
Geordnete Stichprobe ...
Ungeordnete Stichprob...
Wahrscheinlichkeitsve...
Erwartungswert
Varianz und Standarda...
Binomialverteilung
Mit Formel und Tasche...
Mit Tabelle
Erwartungswert und St...
Konfidenzintervalle
Normalverteilung
Hypergeometrische Ver...
Signifikanztest
Einseitiger Test
Zweiseitiger Test

Vermischte Aufgaben

Aufgaben
Download als Dokument:PDF
1.
Gegeben sind die Schaubilder einiger ganzrationaler Funktionen. Bestimme einen möglichen Funktionsterm.
b)
Hinweis: $f(\frac{1}{2})=\frac{7}{8}$
Funktionsgleichungen aufstellen: Vermischte Aufgaben
Funktionsgleichungen aufstellen: Vermischte Aufgaben
d)
Funktionsgleichungen aufstellen: Vermischte Aufgaben
Funktionsgleichungen aufstellen: Vermischte Aufgaben
f)
Funktionsgleichungen aufstellen: Vermischte Aufgaben
Funktionsgleichungen aufstellen: Vermischte Aufgaben
2.
Gegeben sind die Schaubilder einiger gebrochenrationaler Funktionen. Bestimme einen möglichen Funktionsterm.
b)
Funktionsgleichungen aufstellen: Vermischte Aufgaben
Funktionsgleichungen aufstellen: Vermischte Aufgaben
d)
Hinweis: $f(0)=-\frac{1}{4}$
Funktionsgleichungen aufstellen: Vermischte Aufgaben
Funktionsgleichungen aufstellen: Vermischte Aufgaben
f)
Funktionsgleichungen aufstellen: Vermischte Aufgaben
Funktionsgleichungen aufstellen: Vermischte Aufgaben
3.
Ordne jedem Funktionsterm ein Schaubild zu und begründe deine Entscheidung.
b)
$f(x)=(x-1)\cdot\mathrm{e}^{x}$
d)
$f(x)=5x\cdot\mathrm{e}^{-(x+1)}$
f)
$f(x)=(x+2)^2\cdot\mathrm{e}^{-2x}$
(2)
Funktionsgleichungen aufstellen: Vermischte Aufgaben
Funktionsgleichungen aufstellen: Vermischte Aufgaben
(4)
Funktionsgleichungen aufstellen: Vermischte Aufgaben
Funktionsgleichungen aufstellen: Vermischte Aufgaben
(6)
Funktionsgleichungen aufstellen: Vermischte Aufgaben
Funktionsgleichungen aufstellen: Vermischte Aufgaben
4.
Gegeben sind die Schaubilder einiger trigonometrischer Funktionen.
a)
Interpretiere folgende Schaubilder als Sinuskurven und bestimme einen möglichen Funktionsterm.
(2)
Funktionsgleichungen aufstellen: Vermischte Aufgaben
Funktionsgleichungen aufstellen: Vermischte Aufgaben
(4)
Funktionsgleichungen aufstellen: Vermischte Aufgaben
Funktionsgleichungen aufstellen: Vermischte Aufgaben
b)
Interpretiere folgende Schaubilder als Cosinuskurven und bestimme einen möglichen Funktionsterm.
(2)
Funktionsgleichungen aufstellen: Vermischte Aufgaben
Funktionsgleichungen aufstellen: Vermischte Aufgaben
(4)
Funktionsgleichungen aufstellen: Vermischte Aufgaben
Funktionsgleichungen aufstellen: Vermischte Aufgaben
5.
Ordne jedem Funktionsterm ein Schaubild zu und begründe deine Entscheidung.
b)
$f(x)=\log_{\frac{1}{2}}x$
d)
$f(x)=\ln{(3x)}$
(2)
Funktionsgleichungen aufstellen: Vermischte Aufgaben
Funktionsgleichungen aufstellen: Vermischte Aufgaben
(4)
Funktionsgleichungen aufstellen: Vermischte Aufgaben
Funktionsgleichungen aufstellen: Vermischte Aufgaben
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen
Download als Dokument:PDF
1.
Funktionsgleichungen bestimmen
a)
Ansatz: Funktion 2. Grades mit
$f(x)=ax^2+bx+c$.
Aus dem Schaubild liest man z.B.
$f(0)=\frac{3}{2}$, $f(1)=\frac{1}{2}$ und $f(2)=\frac{3}{2}$ ab.
Einsetzen in
$f(x)=ax^2+bx+c$
ergibt:
$\begin{array}{lrll} (1)&\quad\dfrac{3}{2}=&a\cdot0^2+b\cdot0+c & \Longrightarrow c=\dfrac{3}{2} \\ (2)&\quad\dfrac{1}{2}=&a\cdot1^2+b\cdot1+c \\ (3)&\quad\dfrac{3}{2}=&a\cdot2^2+b\cdot2+c \\\hline (2)&\quad\dfrac{1}{2}=&a+b+\dfrac{3}{2}&\scriptsize\mid -\frac{3}{2}-b \\ (3)&\quad\dfrac{3}{2}=&4a+2b+\dfrac{3}{2}&\scriptsize\mid -\frac{3}{2} \\\hline (2a)&\quad a=&-1-b \\ (3a)&\quad0=&4a+2b \end{array}$
$ 0=4a+2b $

Setzt man $a=-1-b$ in (3a) ein,
so erhält man:
$\begin{array}{rll} \quad 0=&4\cdot(-1-b)+2b \\ \quad 0=&-4-4b+2b&\scriptsize\mid +2b \\ \quad 2b=&-4&\scriptsize\mid :2 \\ \quad b=&-2 \end{array}$
Setzt man $b=-2$ in (2a) ein, so erhält man:
$a=-1-(-2) \quad \Longrightarrow a=1$
Die Funktionsgleichung lautet damit:
$f(x)=x^2-2x+\dfrac{3}{2}$.
b)
Ansatz: Funktion 3. Grades, punktsymmetrisch zum Ursprung ( $\Longrightarrow$ nur ungerade Exponenten) mit $f(x)=ax^3+bx$.
Aus dem Schaubild liest man z.B. $f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{7}{8}$ und $f(1)=4$ ab.
Einsetzen in $f(x)=ax^3+bx$ ergibt:
$\begin{array}{lrlll} (1)&\quad\dfrac{7}{8}=&a\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^3+b\cdot\dfrac{1}{2} \\ (2)&\quad4=&a\cdot1^3+b\cdot1 \\[5pt]\hline (1)&\quad\dfrac{7}{8}=&\dfrac{1}{8}a+\dfrac{1}{2}b&\scriptsize\mid \cdot 8 \\ (2)&\quad4=&a+b&\scriptsize\mid -b \\[5pt] (1a)&\quad7=&a+4b \\ (2a)&\quad a=&4-b \end{array}$
$ a=4-b $

Setzt man $a=4-b$ in (1a) ein, so erhält man:
$\begin{array}{rll} \quad 7=&4-b+4b&\scriptsize\mid -4 \\ \quad 3=&3b&\scriptsize\mid \;:3 \\ \quad b=&1 \end{array}$
Setzt man $b=1$ in (2a) ein,
so erhält man:
$a=4-1=3$
Die Funktionsgleichung lautet damit:
$f(x)=3x^3+x$.
c)
Ansatz: Funktion 4. Grades, achsensymmetrisch zur x-Achse ($\Longrightarrow$ nur gerade Exponenten) mit $f(x)=ax^4+bx^2+c$.
Aus dem Schaubild liest man z.B. $f(0)=-1$, $f(-1)=-2$ und $f(\frac{1}{2})=-\frac{13}{8}$ ab.
Einsetzen in $f(x)=ax^4+bx^2+c$ ergibt:
$\begin{array}{lrll} (1)&\quad-1=&a\cdot0^4+b\cdot0^2+c&\Longrightarrow c=-1 \\ (2)&\quad-2=&a\cdot(-1)^4+b\cdot(-1)^2+c \\ (3)&\quad-\dfrac{13}{8}=&a\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^4+b\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+c \\[5pt]\hline (2)&\quad-2=&a+b-1&\mid +1-b \\ (3)&\quad-\dfrac{13}{8}=&\dfrac{1}{16}a+\dfrac{1}{4}b-1&\mid \cdot16 \\[5pt]\hline (2a)&\quad a=&-1-b \\ (3a)&\quad-26=&a+4b-16 \end{array}$
$ -26=a+4b-16 $

Setzt man $a=-1-b$ in (3a) ein, so erhält man:
$\begin{array}{rll} \quad-26=&-1-b+4b-16&\scriptsize\mid +17 \\ \quad-9=&3b&\scriptsize\mid \;:3 \\ \quad b=&-3 \end{array}$
Setzt man $b=-3$ in (2a) ein, so erhält man:
$a=-1-(-3)=2$
Die Funktionsgleichung lautet damit: $f(x)=2x^4-3x^2-1$.
d)
Ansatz: Funktion 4. Grades mit 4 Nullstellen (eine bei $x_0=-1$,eine bei $x_1=2$ und eine doppelte Nullstelle bei $x_2=\frac{1}{2}$) und der Faktorisierung
$f(x)=a\cdot(x-x_0)\cdot(x-x_1)\cdot(x-x_2)^2.$
$f(x)=a(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)^2.$
Damit erhält man:
$\begin{array}{rll} \quad f(x)=&a\cdot(x+1)\cdot(x-2)\cdot\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2 \\ \quad=&a\cdot(x^2-x-2)\cdot\left(x^2-x+\dfrac{1}{4}\right) \\ \quad=&a\cdot\left(x^4-2x^3-\dfrac{3}{4}x^2+\dfrac{7}{4}x-\dfrac{1}{2}\right) \end{array}$
$ a\cdot\left(x^4-2x^3-\dfrac{3}{4}x^2+\dfrac{7}{4}x-\dfrac{1}{2}\right) $

Aus dem Schaubild liest man z.B. $f(0)=-\frac{1}{2}$ ab.
Einsetzen in den Ansatz liefert:
$\begin{array}{rll} \quad-\dfrac{1}{2}=&a\cdot\left(0^4-2\cdot0^3-\dfrac{3}{4}\cdot0^2+\dfrac{7}{4}\cdot0-\dfrac{1}{2}\right) \\ \quad-\dfrac{1}{2}=&a\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)\quad\Longrightarrow a=1 \end{array}$
$ \Longrightarrow a=1 $

Die Funktionsgleichung lautet damit:
$f(x)=x^4-2x^3-\dfrac{3}{4}x^2+\dfrac{7}{4}x-\dfrac{1}{2}$.
e)
Ansatz: Funktion 3. Grades mit 3 Nullstellen (eine bei $x_0=-\frac{3}{2}$, eine bei $x_1=0$ und eine bei $x_2=\frac{1}{2}$) und der Faktorisierung
$f(x)=a\cdot(x-x_0)\cdot(x-x_1)\cdot(x-x_2)$.
$f(x)=a(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)$.
Damit erhält man:
$\begin{array}{rl} \quad f(x)=&a\cdot\left(x+\dfrac{3}{2}\right)\cdot(x-0)\cdot\left(x-\dfrac{1}{2}\right) \\ \quad=&a\cdot x\cdot\left(x^2+x-\dfrac{3}{4}\right) \\ \quad=&a\cdot\left(x^3+x^2-\dfrac{3}{4}x\right) \end{array}$
$ a\cdot\left(x^3+x^2-\dfrac{3}{4}x\right) $

Aus dem Schaubild liest man z.B. $f(-\frac{1}{2})=-\frac{1}{2}$ ab.
Einsetzen in den Ansatz liefert:
$\begin{array}{rll} \quad-\dfrac{1}{2}=&a\cdot\left(\left(-\dfrac{1}{2}\right)^3+\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{3}{4}\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)\right) \\ \quad-\dfrac{1}{2}=&a\cdot\left(-\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{8}\right)&\scriptsize\mid \cdot8 \\ \quad-4=&a\cdot(-1+2+3) \\ \quad-4=&4a&\scriptsize\mid\;:4 \\ \quad a=&-1 \end{array}$
$ a=-1 $

Die Funktionsgleichung lautet damit: $f(x)=-x^3-x^2+\dfrac{3}{4}x$.
f)
Ansatz: Funktion 2. Grades mit zwei Nullstellen (eine bei $x_0=-1$ und eine bei $x_1=0$) und der Faktorisierung $f(x)=a\cdot(x-x_0)\cdot(x-x_1)$.
Damit erhält man:
$\begin{array}{rl} \quad f(x)=&a\cdot(x+1)\cdot x \\ \quad=&a\cdot(x^2+x) \end{array}$
Aus dem Schaubild liest man z.B. $f(-2)=4$ ab.
Einsetzen in den Ansatz liefert:
$\begin{array}{rll} \quad4=&a\cdot((-2)^2-2) \\ \quad4=&a\cdot(4-2) \\ \quad4=&2a&\scriptsize\mid \;:2 \\ \quad a=&2 \end{array}$
Die Funktionsgleichung lautet damit:
$f(x)=2x^2+2x$.
2.
Funktionsgleichungen bestimmen
Prinzipiell braucht man bei solchen Aufgaben einen allgemeinen Ansatz. Mithilfe von Punkten, Polstellen und Asymptoten kann man dann die Funktionsgleichung näher bestimmen.
Der allgemeine Ansatz lautet
$f(x)=\dfrac{a}{(x+b)^n}+c(x)$ mit $n=1$
falls ein VZW vorliegt und
$n=2$
falls kein VZW vorliegt.
Dabei beschreibt $b$ die Verschiebung in $x$-Richtung und $c$ die Verschiebung in $y$-Richtung. Die Werte von $b$ und $c$ müssen anhand von Polstellen und Asymptoten entsprechend bestimmt werden. Die Polstellen sind die Stellen, an denen der Nenner gleich Null ist. Eine Asymptote liegt vor, falls sich die Funktion für $x\rightarrow{ }\pm\infty$ einer Geraden (waagrechte oder schiefe Asymptote) annähert.
a)
Ansatz:
$f(x)=\dfrac{a}{x+b}+c(x)$
Polstelle bei $x=-2 \Longrightarrow b=2$
waagrechte Asymptote bei
$y=-2 \Longrightarrow c(x)=-2$.
Aus dem Schaubild liest man z.B. $f(-1)=-1$ ab. Einsetzen liefert:
$-1=\dfrac{a}{-1+2}-2=a-2 \Longrightarrow a=1$
$-1=\dfrac{a}{-1+2}-2=a-2$
$\Longrightarrow a=1$
Die Funktionsgleichung lautet damit:
$f(x)=\dfrac{1}{x+2}-2$
b)
Ansatz:
$f(x)=\dfrac{a}{(x+b)^2}+c(x)$ (kein VZW)
Polstelle bei $x=1 \Longrightarrow b=-1$
waagrechte Asymptote bei
$y=0 \Longrightarrow c(x)=0$.
Aus dem Schaubild liest man z.B.
$f(0)=3$
ab. Einsetzen liefert:
$3=\dfrac{a}{(0-1)^2}+0=a \Longrightarrow a=3$
Die Funktionsgleichung lautet damit:
$f(x)=\dfrac{3}{(x-1)^2}$
c)
Ansatz:
$f(x)=\dfrac{a}{x+b}+c(x)$
Polstelle bei $x=0 \Longrightarrow b=0$
schiefe Asymptote mit
$y=\frac{1}{2}x+2 \Longrightarrow c(x)=\frac{1}{2}x+2$.
Aus dem Schaubild liest man z.B.
$f(2)=2$
ab. Einsetzen liefert:
$2=\dfrac{a}{2+0}+\dfrac{1}{2}\cdot2+2=\dfrac{a}{2}+3 \Longrightarrow a=-2$
$2=\dfrac{a}{2+0}+\dfrac{1}{2}\cdot2+2=\dfrac{a}{2}+3$
$\Longrightarrow a=-2$
Die Funktionsgleichung lautet damit:
$f(x)=-\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{2}x+2$
d)
Ansatz:
$f(x)=\dfrac{a}{(x+b_1)(x+b_2)}+c(x)$
(zwei Polstellen)
1. Polstelle bei $x=-1 \Longrightarrow b_1=1$
2. Polstelle bei $x=2 \Longrightarrow b_2=-2$
schiefe Asymptote mit
$y=x \Longrightarrow c(x)=x$.
Aus dem Schaubild liest man z.B. $f(0)=-\frac{1}{4}$ ab. Einsetzen liefert:
$-\dfrac{1}{4}=\dfrac{a}{(0+1)(0-2)}+0=-\dfrac{a}{2} \Longrightarrow a=\dfrac{1}{2}$
$-\dfrac{1}{4}=\dfrac{a}{(0+1)(0-2)}+0=-\dfrac{a}{2}$
$\Longrightarrow a=\dfrac{1}{2}$
Die Funktionsgleichung lautet damit:
$f(x)=\dfrac{1}{2(x+1)(x-2)}+x$
e)
Ansatz:
$f(x)=\dfrac{a}{(x+b)^2}+c(x)$
(kein VZW)
Polstelle bei $x=-1 \Longrightarrow b=1$
schiefe Asymptote mit
$y=-\frac{1}{2}x \Longrightarrow c(x)=-\frac{1}{2}x$.
Aus dem Schaubild liest man z.B.
$f(0)=\frac{3}{2}$
ab. Einsetzen liefert:
$\dfrac{3}{2}=\dfrac{a}{(0+1)^2}-\dfrac{1}{2}\cdot0=a \Longrightarrow a=\dfrac{3}{2}$
$\dfrac{3}{2}=\dfrac{a}{(0+1)^2}-\dfrac{1}{2}\cdot0=a$
$\Longrightarrow a=\dfrac{3}{2}$
Die Funktionsgleichung lautet damit:
$f(x)=\dfrac{3}{2(x+1)^2}-\dfrac{1}{2}x$
f)
Ansatz:
$f(x)=\dfrac{a}{(x+b_1)(x+b_2)}+c(x)$
(zwei Polstellen)
1. Polstelle bei $x=-1 \Longrightarrow b_1=1$
2. Polstelle bei $x=\frac{1}{2} \Longrightarrow b_2=-\frac{1}{2}$
waagrechte Asymptote bei
$y=0 \Longrightarrow c(x)=0$.
Aus dem Schaubild liest man z.B.
$f(0)=4$
ab. Einsetzen liefert:
$4=\dfrac{a}{(0+1)(0-\frac{1}{2})}=\dfrac{a}{-\frac{1}{2}}=-2a \Longrightarrow a=-2$
$4=\dfrac{a}{(0+1)(0-\frac{1}{2})}=\dfrac{a}{-\frac{1}{2}}=-2a$
$\Longrightarrow a=-2$
Die Funktionsgleichung lautet damit:
$f(x)=-\dfrac{2}{(x+1)(x-\frac{1}{2})}$
3.
Funktionsgleichungen zuordnen
a)
$f(x)=x\cdot\mathrm{e}^{(x^2)}$ $\longrightarrow$ (5)
Begründung:
$f(x)=x\cdot\mathrm{e}^{(x^2)}\rightarrow\pm\infty\;(x\rightarrow\pm\infty)$.
b)
$f(x)=(x-1)\cdot\mathrm{e}^{x}$ $\longrightarrow{}$ (4)
Begründung:
$f(x)=(x-1)\cdot\mathrm{e}^{x}$ hat als einzige der sechs Funktionen eine Nullstelle bei $x=1$.
c)
$f(x)=2\cdot\mathrm{e}^{-x}-x$ $\longrightarrow{}$ (6)
Begründung:
$f(x)=2\cdot\mathrm{e}^{-x}-x\rightarrow\mp\infty\;(x\rightarrow\pm\infty)$.
$f(x)=2\cdot\mathrm{e}^{-x}-x$
$\rightarrow\mp\infty\;(x\rightarrow\pm\infty)$.
d)
$f(x)=5x\cdot\mathrm{e}^{-(x+1)}$ $\longrightarrow{}$ (3)
Begründung:
$f(x)=5x\cdot\mathrm{e}^{-(x+1)}\rightarrow-\infty\;(x\rightarrow-\infty)$
$f(x)=5x\cdot\mathrm{e}^{-(x+1)}$
$\rightarrow-\infty\;(x\rightarrow-\infty)$
und (5) ist bereits zugeordnet.
e)
$f(x)=-5x\cdot\mathrm{e}^{x}$ $\longrightarrow{}$ (2)
Begründung:
$f(x)=-5x\cdot\mathrm{e}^{x}\rightarrow-\infty\;(x\rightarrow\infty)$ und $f(x)=-5x\cdot\mathrm{e}^{x}$ hat eine Nullstelle bei $x=0$.
f)
$f(x)=(x+2)^2\cdot\mathrm{e}^{-2x}$ $\longrightarrow{}$ (1)
Begründung:
$f(x)=(x+2)^2\cdot\mathrm{e}^{-2x}$
hat als einzige der sechs Funktionen eine Nullstelle bei $x=-2$.
4.
Funktionsgleichungen bestimmen
a)
Für diesen Typ von Aufgaben gibt es einen generellen Ansatz:
$f(x)=a\cdot\sin{(bx+c)}+d$ ($a>0$).
Dabei beschreibt
a die Streckung in $y$-Richtung,
b die Streckung in $x$-Richtung
$p=$ Abstand zwischen zwei Extrema,
$b=\frac{\pi}{p}$,
c die Verschiebung in $x$-Richtung,
d die Verschiebung in $y$-Richtung.
Für den Fall $a<0$ beschreibt $\mid a \mid$ die Streckung in $y$-Richtung und die gesamte Funktion ist mit $c=\pi$ in $x$-Richtung verschoben.
(1) Verschiebung in $y$-Richtung:
$d=-1$.
Streckung in $y$-Richtung:
Hochpunkt liegt bei $(\pi|0)$, allerdings ist die Funktion um 1 nach unten verschoben. Daher ist $a=0-(-1)=1$.
Streckung in $x$-Richtung:
Extrema liegen um $2\pi$ auseinander, daher ist $b=\frac{\pi}{2\pi}=\frac{1}{2}$.
Verschiebung in $x$-Richtung:
keine, $c=0$.
Die Funktionsgleichung lautet damit:
$f(x)=\sin{\left(\dfrac{1}{2}x\right)}-1$.
(2) Verschiebung in $y$-Richtung:
keine, $d=0$.
Streckung in $y$-Richtung:
Tiefpunkt liegt bei $(pi\mid -2)$, daher ist
$a=2$.
Streckung in $x$-Richtung:
Extrema liegen um $2\pi$ auseinander, daher ist
$b=\frac{\pi}{2\pi}=\frac{1}{2}$.
Verschiebung in $x$-Richtung:
Da an der Stelle $x=\pi$ ein Tiefpunkt vorliegt, ist die Funktion um $c=\pi$ in $x$-Richtung verschoben.
Die Funktionsgleichung lautet damit:
$f(x)=2\sin{\left(\dfrac{1}{2}x+\pi\right)}$.
(3) Verschiebung in $y$-Richtung:
$d=\frac{1}{2}$.
Streckung in $y$-Richtung:
Der Funktionswert des Maximums ist $y=\frac{5}{2}$. Da die Funktion aber um $\frac{1}{2}$ nach oben verschoben ist, gilt
$a=\frac{5}{2}-\frac{1}{2}=2$.
Streckung in $x$-Richtung:
Extrema liegen um $\pi$ auseinander,
daher ist $b=\dfrac{\pi}{\pi}=1$.
Verschiebung in $x$-Richtung:
keine, $c=0$.
Die Funktionsgleichung lautet damit:
$f(x)=2\sin{(x)}+\dfrac{1}{2}$.
(4) Verschiebung in $y$-Richtung:
keine, $d=0$.
Streckung in $y$-Richtung:
Hochpunkt liegt bei $(0|1)$, daher ist $a=1$.
Streckung in $x$-Richtung:
Extrema liegen um $\pi$ auseinander,
daher ist $b=\dfrac{\pi}{\pi}=1$.
Verschiebung in $x$-Richtung:
Da an der Stelle $x=0$ ein Hochpunkt vorliegt ist die Funktion um $c=\frac{\pi}{2}$ in $x$-Richtung verschoben.
Die Funktionsgleichung lautet damit:
$f(x)=\sin{\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)}$.
b)
Für diesen Typ von Aufgaben gibt es einen generellen Ansatz:
$f(x)=a\cdot\cos{(bx+c)}+d$ ($a>0$).
Dabei beschreibt
a die Streckung in $y$-Richtung,
b die Streckung in $x$-Richtung
$p=$ Abstand zwischen zwei Extrema,
$b=\frac{\pi}{p}$,
c die Verschiebung in $x$-Richtung,
d die Verschiebung in $y$-Richtung.
Für den Fall $a<0$ beschreibt $|a|$ die Streckung in $y$-Richtung und die gesamte Funktion ist mit $c=\pi$ in $x$-Richtung verschoben.
(1) Verschiebung in $y$-Richtung: $d=-\frac{1}{2}$.
Streckung in $y$-Richtung:
Hochpunkt liegt bei $(0|\frac{1}{2})$, da die Funktion jedoch um $\frac{1}{2}$ nach unten verschoben ist, ist $a=\frac{1}{2}-(-\frac{1}{2})=1$.
Streckung in $x$-Richtung:
Extrema liegen um $\frac{\pi}{2}$ auseinander,
daher ist $b=\dfrac{\pi}{\frac{\pi}{2}}=2$.
Verschiebung in $x$-Richtung:
keine, $c=0$.
Die Funktionsgleichung lautet damit:
$f(x)=\cos{(2x)}-\dfrac{1}{2}$.
(2) Verschiebung in $y$-Richtung:
keine, $d=0$.
Streckung in $y$-Richtung:
Hochpunkt liegt bei $(\frac{\pi}{2}\mid 1)$, daher ist $a=1$.
Streckung in $x$-Richtung:
Extrema liegen um $\pi$ auseinander,
daher ist $b=\dfrac{\pi}{\pi}=1$.
Verschiebung in $x$-Richtung:
$c=\frac{3}{2}\pi$.
Die Funktionsgleichung lautet damit: $f(x)=\cos{\left(x+\dfrac{3}{2}\pi\right)}$.
(3) Verschiebung in $y$-Richtung:
$d=1$.
Streckung in $y$-Richtung:
Hochpunkt liegt bei $(0\mid 2)$, da die Funktion jedoch um 1 nach oben verschoben ist erhält man:
$a=2-1=1$.
Streckung in $x$-Richtung:
Extrema liegen um $\frac{\pi}{2}$ auseinander,
daher ist $b=\dfrac{\pi}{\frac{\pi}{2}}=2$.
Verschiebung in $x$-Richtung:
keine, $c=0$.
Die Funktionsgleichung lautet damit:
$f(x)=\cos{(2x)}+1$.
(4) Verschiebung in $y$-Richtung:
$d=\frac{1}{2}$.
Streckung in $y$-Richtung:
Hochpunkt liegt bei $(0|\frac{5}{2})$, da die Funktion jedoch um $\frac{1}{2}$ nach oben verschoben ist erhält man:
$a=\frac{5}{2}-\frac{1}{2}=2$.
Streckung in $x$-Richtung:
Extrema liegen um $\pi$ auseinander,
daher ist $b=\frac{\pi}{\pi}=1$.
Verschiebung in $x$-Richtung:
keine, $c=0$.
Die Funktionsgleichung lautet damit:
$f(x)=2\cos{(x)}+\dfrac{1}{2}$.
5.
Funktionsgleichungen zuordnen
a)
$f(x)=x\cdot\ln{(x)}$ $\longrightarrow{}$ (3)
Begründung:
$f(x)=x\cdot\ln{(x)}\rightarrow0\;(x\rightarrow0)$
b)
$f(x)=\log_{\frac{1}{2}}{(x)}$ $\longrightarrow{}$ (1)
Begründung:
$f(x)=\log_{\frac{1}{2}}{(x)}=\dfrac{1}{\ln{(\frac{1}{2})}}\cdot\ln{(x)}\rightarrow\infty\;(x\rightarrow0)$
$f(x)=\log_{\frac{1}{2}}{(x)}=\dfrac{1}{\ln{(\frac{1}{2})}}\cdot\ln{(x)}$
$\rightarrow\infty\;(x\rightarrow0)$
c)
$f(x)=\ln{(x+2)}$ $\longrightarrow{}$ (4)
Begründung:
$f(x)=\ln{(x+2)}$ hat als einzige der vier Funktionen eine Nullstelle bei $x=-1$.
d)
$f(x)=\ln{(3x)}$ $\longrightarrow{}$ (2)
Begründung:
$f(x)=\ln{(3x)}\rightarrow-\infty\;(x\rightarrow0)$
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Folge uns auf
SchulLV als App