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Gebrochenrationale Funktionen

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Gebrochenrationale Funktionen besitzen ganzrationale Funktionen im Zähler sowie im Nenner, sind also Funktionen der Form:
$f(x) = \dfrac{a_n\cdot x^n + a_{n-1}\cdot x^{n-1} +… + a_1 \cdot x+a_0}{b_m \cdot x^m + b_{m-1}\cdot x^{m-1} +… + b_1 \cdot x+b_0}$
$ f(x) = \dfrac{a_n\cdot x^n + a_{n-1}…}{b_m \cdot x^m + b_{m-1}…}$
Um eine Funktionsgleichung anhand eines gegebenen Schaubildes aufzustellen, ist oft folgender Ansatz nützlich:
$f(x)=\dfrac{a}{(x+b)^n}+c$
$f(x)=\dfrac{a}{(x+b)^n}+c$
  • $-b$: Polstelle
  • Vorzeichenwechsel (VZW) an der Stelle $-b \Rightarrow$ $n=1$; $\quad$kein VZW $\Rightarrow n=2$
  • $c$: Verschiebung in $y$-Richtung (Asymptote)
  • $a$: Setze in die Funktionsgleichung die Koordinaten eines gut ablesbaren Punktes ein

Beispiel

Wähle den Ansatz: $f(x)=\dfrac{a}{(x+b)}+c$
  • VZW $\rightarrow$ $n=1$
  • Polstelle bei $x=0$ $\rightarrow$ $b=0$
  • waagrechte Asymptote bei $y=1$ $\rightarrow$ $c=1$
  • Punkt $P(2 \mid 2)$ einsetzen:
    $\, f(2) = \dfrac{a}{(2+0)^1} + 1 = 2$ $\Rightarrow a=2$
$\Rightarrow$ $f(x)=\dfrac{2}{x}+1$
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