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Ganzrationale Funktionen

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Ganzrationale Funktionen vom Grad $n$ sind Polynomfunktionen, also Funktionen der Form:
$f(x) = a_n\cdot x^n + a_{n-1}\cdot x^{n-1} +… + a_1 \cdot x+a_0$
$f(x) = a_n\cdot x^n + a_{n-1}…$
Sollst du nun eine Funktionsgleichung einer solchen Funktion anhand von Randbedingungen bestimmen, so benötigst du ausreichend Bedingungen, dass du daraus so viele Gleichungen herleiten kannst, wie es Parameter $a_i$ im Funktionsterm gibt, also $n+1$. So ergibt sich dann ein lineares Gleichungssystem, welches du mit den dir bekannten Methoden lösen kannst. Mögliche Randbedingungen sind zum Beispiel:
  • Punktsymmetrie zum Ursprung: Im Funktionsterm kommen nur ungerade Exponenten vor. Du benötigst dann deutlich weniger Bedingungen, da die Parameter vor den $x$ mit geraden Exponenten automatisch $0$ sind.
  • Achsensymmetrie zur $y$-Achse: Im Funktionsterm kommen nur gerade Exponenten vor. Hier fallen die Parameter vor den ungeraden Potenzen von $x$ weg.
  • Punkte, die auf dem Graphen liegen: Setze die Koordinaten in die allgemeine Funktionsgleichung ein.
  • Hochpunkte bzw. Tiefpunkte des Graphen: Nutze hier einerseits die Koordinaten der Punkte, andererseits auch die notwendige Bedingung für Extrempunkte. Dazu musst du zunächst die erste Ableitungsfunktion der allgemeinen Funktion bilden.

Beispiel

Durch den Punkt $P(1\mid4)$ verläuft der Graph einer ganzrationalen Funktion zweiten Grades mit dem Tiefpunkt $T(0\mid 3)$. Bestimme die Funktionsgleichung.
Es gilt $n=2$, also
$p(x)= a_2\cdot x^2 + a_1\cdot x +a_0$
und damit
$p'(x) = 2a_2\cdot x +a_1$.

Es ergeben sich folgende Gleichungen:
  1. $p(1)=4\quad \Rightarrow 4= a_2\cdot 1^2 + a_1\cdot 1 +a_0$
  2. $p(0) = 3 \quad \Rightarrow 3 = a_2\cdot 0^2 +a_1\cdot 0 + a_0$
  3. $p'(0)=0\quad \Rightarrow 0 = 2a_2\cdot 0 +a_1$
1. $p(1)=4$
$ \Rightarrow 4= a_2\cdot 1^2 + a_1\cdot 1 +a_0$
2. $p(0) = 3 $
$\Rightarrow 3 = a_2\cdot 0^2 +a_1\cdot 0 + a_0$
2. $p'(0)=0$
$\Rightarrow 0 = 2a_2\cdot 0 +a_1$
Aus 3. folgt direkt $a_1 =0$ und aus 2. folgt $a_0 = 3$. Setze dies in 1. ein:
$\begin{array}[t]{rll} 4&=& a_2\cdot 1^2 + a_1\cdot 1 +a_0 &\quad \scriptsize \\[5pt] 4&=& a_2+a_1+a_0&\quad \scriptsize a_0 =3, a_1 =0 \\[5pt] 4&=& a_2+0+3 &\quad \scriptsize \mid\;-3 \\[5pt] 1&=& a_2 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 4&=& a_2\cdot 1^2 + a_1\cdot 1 +a_0 \\[5pt] 4&=& a_2+a_1+a_0\\[5pt] 4&=& a_2+0+3 \\[5pt] 1&=& a_2 \\[5pt] \end{array}$
Damit gilt insgesamt $p(x)= x^2+3$.
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