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Wurzelfunktionen

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Bevor du die Wurzelfunktion ableitest, solltest du sie in die Exponentenschreibweise umschreiben.
$f(x) = \sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}$
Jetzt kannst du die Potenzregel anwenden um die Funktion abzuleiten:
$f(x)=x^{\frac{1}{n}} \quad\Rightarrow f'(x) = \dfrac{1}{n}\cdot x^{\frac{1}{n}-1} = \dfrac{1}{n\cdot \sqrt[n]{x^{n-1}}} $.
$\begin{array}[t]{rll} & f(x)&=& x^{\frac{1}{n}}& \\[5pt] &f'(x)&= &\dfrac{1}{n}\cdot x^{\frac{1}{n}-1} \\[5pt] &&= &\dfrac{1}{n\cdot \sqrt[n]{x^{n-1}}} . \end{array}$
Mit den anderen bekannten Ableitungsregeln, Ketten-, Produkt- und Quotientenregel, kannst du alle Wurzelfunktionen ableiten.

Beispiel

$f(x)= \sqrt{x^2+x}$ $\Rightarrow$ Kettenregel
  • $g(x)= \sqrt{x}= x^{\frac{1}{2}}$ $\Rightarrow$ $g'(x)= \dfrac{1}{2\cdot \sqrt{x}}$
  • $h(x)=x^2+x$ $\Rightarrow$ $h'(x)=2x+1$
$\Rightarrow f'(x) = (2x+1)\cdot \dfrac{1}{2\sqrt{x^2+x}}$
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