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Gebrochenrationale Funktionen

Aufgaben
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1.
In einem Gebirge befindet sich eine tiefe Schlucht, die von einem Gebirgsbach ausgespült wurde. Links und rechts davon ragen hohe Wände auf.
Der Querschnitt des Gebirges lässt sich wie folgt skizzieren:
Weiterführende Übungsaufgaben: Gebrochenrationale Funktionen
Weiterführende Übungsaufgaben: Gebrochenrationale Funktionen
a)
Der Querschnitt des Gebirges soll im Folgenden durch den Graphen einer gebrochenationalen Funktion $f$ beschrieben werden. Er soll folgende Eigenschaften besitzen:
  • Eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel (die „Schlucht“ im Querschnitt) bei $x=2$
  • Zwei Nullstellen $x_1=1$ und $x_2=3$
Bestimme eine Funktionsgleichung der Funktion $f$.
b)
Geologen können belegen, dass die Schlucht früher bis zur Höhe $y=-2$ vollständig von einem tiefen Fluss durchspült wurde.
Berechne, wie breit dieser Fluss auf der Höhe $y=-2$ war.
c)
Auf der linken Seite der Schlucht wird bei $x=0$ ein Pfeil abgeschossen, der auf der anderen Seite der Schlucht ankommt. Am höchsten fliegt der Pfeil im Punkt $Q\left(2\mid 4,75\right)$.
Die Flugbahn des Pfeils kann durch eine ganzrationale Funktion $g$ zweiten Grades beschrieben werden.
Bilde eine Funktionsgleichung von $g$. Wo kommt der Pfeil an?
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1.
In einem Gebirge befindet sich eine tiefe Schlucht, die von einem Gebirgsbach ausgespült wurde. Links und rechts davon ragen hohe Wände auf.
a)
Der Graph von $f$ soll eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel bei $x=2$ und die Nullstellen $x_1=1$ und $x_2=3$ besitzen. Weiterhin soll $f$ eine gebrochenrationale Funktion sein.
Betrachte die allgemeine Funktionsgleichung einer gebrochenrationalen Funktion:
$f(x)=\dfrac{(x-x_1)\cdot(x-x_2)}{(x-p_1)\cdot(x-p_2)}$
Sowohl Zähler und Nenner setzen sich aus Linearfaktoren zusammen: Im Zähler stehen die Nullstellen, im Nenner die Polstellen. Unsere Polstelle ist eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel, also eine doppelte Polstelle. Achte darauf, dass eine doppelte Polstelle auch in der Gleichung doppelt berücksichtigt wird:
$f\left(x\right)=\dfrac{\left(x-1\right)\left(x-3\right)}{\left(x-2\right)^2}$
b)
Die Schlucht stand bis zur Höhe $y=-2$ unter Wasser. Gefragt ist nach der Breite des Flusses auf der Höhe $y=-2$. Du kannst die Oberfläche des Flusses durch eine Gerade $y=-2$ beschreiben. Gesucht sind die Schnittpunkte dieser Geraden mit dem Graphen von $f$.
Du kannst sie durch Gleichsetzen der Funktionsterme berechnen.
$\begin{array}{rlll} -2&=\dfrac{\left(x-1\right)\left(x-3\right)}{\left(x-2\right)^2}&\scriptsize{\mid\; \cdot\left(x-2\right)^2}\\[5pt] -2\left(x-2\right)^2&=\left(x-1\right)\left(x-3\right)\\[5pt] -2\left(x^2-4x+4\right)&=x^2-x-3x+3\\[5pt] -2x^2+8x-8&=x^2-4x+3&\scriptsize{\mid\;-x^2+4x-3}\\[5pt] -3x^2+12x-11&=0&\scriptsize{\mid\;:\left(-3\right)}\\[5pt] x^2-4x+\dfrac{11}{3}&=0 \end{array}$
$\begin{array}{rlll} x^2-4x+\dfrac{11}{3}&=0 \end{array}$
p-q-Formel anwenden:
$\begin{array}{rlll} x_{1,2}&=\dfrac{4}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{4}{2}\right)^2-\dfrac{11}{3}}\\[5pt] &=2\pm\sqrt{4-\dfrac{11}{3}}\\[5pt] &=2\pm\sqrt{\dfrac{12}{3}-\dfrac{11}{3}}\\[5pt] x_{1,2}&=2\pm\sqrt{\dfrac{1}{3}} \end{array}$
Die Oberfläche des Flusses liegt also in den Punkten $P_1\left(2+\sqrt{\dfrac{1}{3}}\middle|-2\right)$ und $P_2\left(2-\sqrt{\dfrac{1}{3}}\middle|-2\right)$ an der Schlucht an.
Die Breite dieser Flussoberfläche entspricht dem Abstand dieser beider $x$-Koordinaten:
$\begin{array}{rlll} d&=2+\sqrt{\dfrac{1}{3}}-\left(2-\sqrt{\dfrac{1}{3}}\right)\\ &=2+\sqrt{\dfrac{1}{3}}-2+\sqrt{\dfrac{1}{3}}\\ &=\sqrt{\dfrac{1}{3}}+\sqrt{\dfrac{1}{3}}\\ &=2\cdot\sqrt{\dfrac{1}{3}}\\ d&\approx 1,15 \end{array}$
Die Oberfläche des Flusses war etwa 1,15 LE breit.
c)
Wir haben hier verschiedene Bedingungen gegeben.
An der Stelle $x=0$ hat $g$ einen gemeinsamen Punkt mit $f$, außerdem haben wir einen Hochpunkt mit $Q\left(2\middle|4,75\right)$.
Hochpunkte haben immer eine Tangente mit der Steigung 0. Somit haben wir drei Bedingungen.
Da es sich um eine ganzrationale Funktion zweiten Grades handelt, lautet die allgemeine Funktionsgleichung
$g\left(x\right)=ax^2+bx+c$.
Wir beginnen damit, die Steigung 0 im Hochpunkt in die Ableitung einzusetzen.
Funktionsgleichung bestimmen
Ableitung bilden
$\begin{array}{rlll} g\left(x\right)&=ax^2+bx+c\\[3pt] g'\left(x\right)&=2ax+b \end{array}$
$g'\left(2\right)=0$ einsetzen
$\begin{array}{rlll} 2a\cdot2+b&=0\\[3pt] 4a+b&=0&\scriptsize{\mid\;-4a}\\[3pt] b&=-4a \end{array}$
Unsere „neue“ allgemeine Funktionsgleichung lautet nun
$g\left(x\right)=ax^2-4ax+c$
Nun setzen wir $Q\left(2\middle|4,75\right)$ in $g$ ein:
$g\left(2\right)=4,75$ setzen
$\begin{array}{rlll} 4,75&=a\cdot2^2-4a\cdot2+c\\[3pt] 4,75&=4a-8a+c\\[3pt] 4,75&=-4a+c&\scriptsize{\mid\;+4a}\\[3pt] 4,75+4a&=c \end{array}$
$\begin{array}{rlll} 4,75+4a&=c \end{array}$
Unsere allgemeine Funktionsgleichung lautet also
$g\left(x\right)=ax^2-4ax+4,75+4a$
Zu guter Letzt setzen wir nun den Punkt an der Stelle $x=0$ ein, den $g$ mit $f$ gemeinsam hat.
Hierzu bestimmen wir erst den $y$-Wert von $x=0$.
$f\left(0\right)$ bestimmen
$\begin{array}{rlll} f\left(0\right)&=\dfrac{\left(0-1\right)\left(0-3\right)}{\left(0-2\right)^2}\\[5pt] &=\dfrac{\left(-1\right)\cdot\left(-3\right)}{4}\\[5pt] f\left(0\right)&=\dfrac{3}{4} \end{array}$
$g\left(0\right)=\dfrac{3}{4}$ einsetzen
$\begin{array}{rlll} \dfrac{3}{4}&=a\cdot\left(0\right)^2-4a\cdot0+4,75+4a\\[3pt] \dfrac{3}{4}&=4,75+4a&\scriptsize{\mid\;-4,75}\\[3pt] -4&=4a&\scriptsize{\mid\;:4}\\[3pt] -1&=a \end{array}$
$\begin{array}{rlll} -1&=a \end{array}$
Diesen Wert setzen wir nun in die anderen Gleichungen ein.
$a=-1$ einsetzen in $b$
$\begin{array}{rlll} b&=-4\cdot\left(-1\right)\\ b&=4 \end{array}$
$a=-1$ einsetzen in $c$
$\begin{array}{rlll} c&=4,75+4\cdot\left(-1\right)\\[3pt] c&=4,75-4\\[3pt] c&=0,75 \end{array}$
Daraus ergibt sich die Funktionsgleichung
$g\left(x\right)=-x^2+4x+0,75$
Um den Punkt zu bestimmen, wo der Pfeil ankommt, setzen wir $f$ und $g$ gleich. Somit erhalten wir die Schnittpunkte, d.h. auch den Punkt, an dem der Pfeil das Gebirge trifft.
Schnittpunkte bestimmen
$f$ und $g$ gleichsetzen
$\begin{array}{rlll} \dfrac{\left(x-1\right)\left(x-3\right)}{\left(x-2\right)^2}&=-x^2+4x+0,75&\scriptsize{\mid\;\cdot\left(x-2\right)^2}\\[5pt] \left(x-1\right)\left(x-3\right)&=\left(-x^2+4x+0,75\right)\left(x-2\right)^2\\[5pt] x^2-x-3x+3&=\left(-x^2+4x+0,75\right)\left(x^2-4x+4\right)\\[5pt] x^2-4x+3&=-x^4+4x^3-4x^2+4x^3-16x^2+16x+0,75x^2-3x+3\\[5pt] x^2-4x+3&=-x^4+8x^3-19,25x^2+13x+3&\scriptsize{\mid\;-x^2+4x-3}\\[5pt] 0&=-x^4+8x^3-20,25x^2+17x&\scriptsize{\mid\;\text{x ausklammern}}\\[5pt] 0&=x\left(-x^3+8x^2-20,25x+17\right) \end{array}$
$\begin{array}{rlll} \dfrac{\left(x-1\right)\left(x-3\right)}{\left(x-2\right)^2}&=&… \end{array}$
Die erste Lösung wäre also $x_1=0$, welche wir schon in der Aufgabenstellung gegeben hatten.
$-x^3+8x^2-20,25x+17=0$
Durch Ausprobieren erhält man die Nullstelle $x_2=4$.
Der Pfeil landet bei $x_2=4$.
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