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Eine Ebene im dreidimensionalen Raum kann durch drei verschiedene Punkte, die nicht alle auf einer Geraden liegen, vollständig definiert werden: Sind beispielsweise drei Punkte $A(a_1 \mid a_2 \mid a_3)$, $B(b_1 \mid b_2 \mid b_3)$ und $C(c_1 \mid c_2 \mid c_3)$ gegeben, die in der Ebene $E$ liegen sollen, so kann die Gleichung dieser Ebene in Parameterform wie folgt angegeben werden:
$E: \overrightarrow{x}=\overrightarrow{OA}+ t \cdot \overrightarrow{AB} + s \cdot \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{u} + t \cdot \overrightarrow{v} + s \cdot \overrightarrow{w}$
$E: \overrightarrow{x}=\overrightarrow{OA}+ t \cdot \overrightarrow{AB} + s \cdot \overrightarrow{AC} $=$ \overrightarrow{u} + t \cdot \overrightarrow{v} + s \cdot \overrightarrow{w}$
Hierbei versteht man unter
  • $\overrightarrow{u}$ den Stützvektor der Ebene $E$, der die Verschiebung im Raum angibt
  • $\overrightarrow{v}$, $\overrightarrow{w}$ die Spannvektoren der Ebene $E$, die die Ebene aufspannen
  • $t$, $s$ reelle Zahlen, für die die Spannvektoren beliebig lang bzw. kurz werden können und somit alle Punkte auf der Ebene erreicht werden können.

Beispiel

Gegeben sind die Punkte $A(1 \mid 0 \mid 0)$, $B(4 \mid 2 \mid 3)$ und $C(0 \mid 1 \mid 2)$.
Zuerst legen wir fest, dass der Vektor $\overrightarrow{OA}$ Stützvektor und $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ Spannvektoren sein sollen. Du kannst auch $\overrightarrow{OB}$ oder $\overrightarrow{OC}$ als Stützvektor wählen, dadurch erhältst du dieselbe Ebene im Raum.
$\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}  \; $$\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}3\\2\\3\end{pmatrix}; \; $$\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}-1\\1\\2\end{pmatrix}$
Durch Einsetzen erhältst du die Ebenengleichung von $E$ in Parameterform:
$E: \overrightarrow{x}=\overrightarrow{OA} + t \cdot \overrightarrow{AB} + s \cdot \overrightarrow{AC}= \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}3\\2\\3\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}-1\\1\\2\end{pmatrix}$
$E: \overrightarrow{x}=\overrightarrow{OA} + t \cdot \overrightarrow{AB} + …$
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