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Gebrochenrationale Funktionen

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Gebrochenrationale Funktionen besitzen ganzrationale Funktionen im Zähler sowie im Nenner, sind also Funktionen der Form:
$f(x) = \dfrac{a_n\cdot x^n + a_{n-1}\cdot x^{n-1} +… + a_1 \cdot x+a_0}{b_m \cdot x^m +… + b_1 \cdot x+b_0}$
$f(x) = \dfrac{a_n\cdot x^n + …}{b_m \cdot x^m +…}$
Um eine Funktionsgleichung aufzustellen, ist oft folgender Ansatz nützlich, wenn der Graph eine waagerechte Asymptote besitzt:
$f(x)=g(x)+\dfrac{h(x)}{(x-p_1)^m\cdot(x-p_2)^n}$
$f(x)=g(x)+\dfrac{h(x)}{(x-p_1)^m\cdot(x-p_2)^n}$
wobei der Grad von $h$ kleiner als $m+n$ sein muss.
  • Bei einfachen Funktionen ist $h(x)=c$ (also eine Zahl).
  • $g(x)$ ist die Gleichung der waagerechten/schiefen Asymptote oder Näherungskurve.
  • $p_1$ und $p_2$ sind die Polstellen (Nullstellen des Nenners).
• Bei einfachen Funktionen ist $h(x)=c$ (also eine Zahl).
• $g(x)$ ist die Gleichung der waagerechten / schiefen Asymptote oder Näherungskurve.
• $p_1$ und $p_2$ sind die Polstellen (Nullstellen des Nenners).
Wähle für den Ansatz also $g$ entsprechend der waagerechten Asymptote, die dir in der Aufgabenstellung gegeben ist, $h(x) = c$, $p_1$ und $p_2$ entsprechend der Polstellen aus der Aufgabenstellung und $m$, $n$ möglichst klein. Beachte dabei folgendes:
  • Ist $p_1$ eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel, dann ist $m$ ungerade.
  • Ist $p_1$ eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel, dann ist $m$ gerade.
• Ist $p_1$ eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel, dann ist $m$ ungerade.
• Ist $p_1$ eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel, dann ist $m$ gerade.
Gleiches gilt für $p_2$ und $n$.
Bestimme zum Schluss $c$ durch eine Punktprobe.
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