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Gleichungen

Spickzettel
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Eine Gleichung wird durch das $=$ ausgezeichnet, also beispielsweise $x^2 +2 = 0$. Die Lösungsmenge $\mathbb{L}$ bezeichnet die Menge aller Lösungen der Gleichung, also die Menge der Werte, die für die Variablen, wie z.B. x,y,z,… eingesetzt werden können, sodass die rechte und linke Seite vom $=$ gleich sind.

Tipps

Beim Lösen von Gleichungen können dir folgende Dinge helfen:
  • $pq$-Formel bzw. $abc$-Formel
  • Satz vom Nullprodukt
  • Polynomdivision
  • Umformungen mit Hilfe von Umkehrfunktionen, wie zum Beispiel $\ln(x)$ und $\mathrm e^x$
  • binomische Formeln
  • Substitution

Beispiel

$x^2 -4 = 0$ besitzt die Lösungsmenge $\mathbb{L} = \{-2,2\}$
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Aufgaben
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1.
Gib die Lösungsmenge folgender Gleichungen an:
b)  $x^2+3=12$
d)  $x^2+2x+1=0$
f)  $x^2-\dfrac{3}{2}x-1=0$
2.
Löse folgende Gleichungen:
b)  $0,5\cdot x^2=8$
d)  $x^2+2x-8=0$
f)  $\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x-3=0$
3.
Gib die Lösungsmenge folgender Gleichungen an:
b)  $x^4-6x^2+8=0$
d)  $2x^2+6x+4=0$
f)  $x^3-9x^2+15x=7$
4.
Löse folgende Gleichungen:
b)  $x^3+x^2=20x$
d)  $\dfrac{x^6-5x^4}{4x}=-x$
f)  $\dfrac{1}{x^5}-\dfrac{2}{x^3}+\dfrac{1}{x}=0$
5.
Bestimme jeweils die Lösungsmenge der Gleichung:
b)  $x^{\frac{3}{2}}+2x^{\frac{1}{2}}-80x^{-\frac{1}{2}}=0$
d)  $x-\dfrac{5}{36x}-\dfrac{2}{3}=0$
f)  $\dfrac{4x-2}{4x-6}=2+\dfrac{6}{x(4x-6)}$
6.
Gib die Lösungsmenge folgender Gleichungen an:
b)  $x^3+\dfrac{7}{4}x=\dfrac{1}{2x}$
7.
Löse die Gleichung:
b)  $\dfrac{6}{x^4}+\dfrac{1}{x^2}=1$   $(x\neq0)$
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Lösungen
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1.
a)  
$(x+2)\cdot(x-1)=0$
$(x+2)\cdot(x-1)$ ist genau dann Null, wenn entweder $(x+2)=0$ oder $(x-1)=0$ ist.
Im ersten Fall gilt dies für $x=-2$, im zweiten Fall für $x=1$.
Die Lösungsmenge ist also $\mathbb{L}=\left\{-2;1\right\}$.
b) 
$\begin{array}{rlll} x^2+3&=12 &\small\mid\;-3 \\ x^2&=9 &\small\mid√ \\ x_{1,2}&=±3 \\ \end{array}$
Die Lösungsmenge ist somit $\mathbb{L}=\left\{-3;3\right\}$.
c)  
$x^2+x=0$
Die Gleichung $x^2+x=0$ lässt sich durch Ausklammern von x umformen zu
$x(x+1)=0$
Diese Gleichung ist genau dann erfüllt, wenn entweder $ x=0$ oder $ x+1=0$ gilt. Also muss $ x=0$ oder $ x=-1$ sein.
Die Lösungsmenge ist also $\mathbb{L}=\left\{-1;0\right\}$.
d) 
$x^2+2x+1=0$
$\blacktriangleright$ 1. Lösungsweg
Nach der ersten binomischen Formel gilt:
$x^2+2x+1=(x+1)^2$
Die Gleichung $(x+1)^2=0$ hat nur die Lösung $x=-1$, d.h. $\mathbb{L}=\left\{-1\right\}$
$\blacktriangleright$ 2. Lösungsweg
Mit der p-q-Formel kann man direkt die Lösungen der Gleichung berechnen:
$\begin{array}{rlll} x_{1,2}&=-\dfrac{2}{2}± \sqrt{\left(\dfrac{2}{2}\right)^2-1}\\ &=-1 ± \sqrt{0}\\ &=-1\hspace{.1cm} \end{array}$
$\begin{array}{rlll} x_{1,2}&=-1\hspace{.1cm} \end{array}$
Die Lösungsmenge ist daher $\mathbb{L}=\left\{-1\right\}$.
e) 
$x^3-x=0$
$x^3-x=0$ lässt sich durch Ausklammern von x umformen zu $x(x^2-1)=0$.
Diese Gleichung ist erfüllt, wenn entweder $x=0$ oder $x^2-1=0$ ist.
Die Lösungen der Gleichung $x^2-1=0$ müssen noch bestimmt werden:
$\begin{array}{rlll} x^2-1&=0 &\mid +1\\ x^2&=1 &\mid \sqrt{}\\ x&= ± 1 \end{array}$
Die Lösungsmenge ist daher $\mathbb{L}=\left\{-1;0;1\right\}$.
f) 
$x^2-\dfrac{3}{2}x-1=0$
Man erhält die Lösungen der Gleichung durch Anwenden der p-q-Formel:
$\begin{array}{rlll} x_{1,2}&= -\dfrac{\left(-\frac{3}{2}\right)}{2}± \sqrt{\left(\dfrac{(-\frac{3}{2})}{2}\right)^2+1}\\ &= \dfrac{3}{4} ± \sqrt{\dfrac{9}{16}+1}\\ &= \dfrac{3}{4}\pm\sqrt{\dfrac{25}{16}}\\ &= \dfrac{3}{4}\pm\dfrac{5}{4}\\ \end{array}$
$\begin{array}{rlll} x_{1,2}&=\dfrac{3}{4}\pm\dfrac{5}{4}\\ \end{array}$
Also $x_1=2$ und $x_2=-\dfrac{1}{2}$.
$\mathbb{L}=\left\{-\dfrac{1}{2};2\right\}$.
2.
a)  
$2\cdot(x+1)^2=0$
$2\cdot(x+1)^2$ ist genau dann Null, wenn $(x+1)=0$. Dies ist für $x=-1$ der Fall.
Die Lösungsmenge ist daher $\mathbb{L}=\left\{-1\right\}$.
b)  
$\begin{array}{rlll} 0,5\cdot x^2&=8&\mid \cdot2\\ x^2&=16&\mid \sqrt{\;\;\;}\\ x_{1,2}&=\pm4 \end{array}$
c)  
$\begin{array}{rlll} \dfrac{1}{2}x^2-2&=16 &\mid +2\\ \dfrac{1}{2}x^2&=18 &\mid \cdot2\\ x^2&=36&\mid \sqrt{\;\;\;}\\ x_{1,2}&=\pm6 \end{array}$
Die Lösungsmenge ist daher $\mathbb{L}=\left\{-6;6\right\}$.
d)  
$x^2+2x-8=0$
Zum Lösen der Gleichung verwendet man die p-q-Formel:
$\begin{array}{rlll} x_{1,2}&= -\dfrac{2}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{2}{2}\right)^2+8}\\ &= -1 \pm\sqrt{9}\\ &= -1 \pm3\\ \end{array}$
Lösungen der Gleichung sind daher $x_1=2$ und $x_2=-4$.
e)  
$x^3-4x=0$
$x^3-4x=0$ lässt sich durch Ausklammern von x umformen zu $x(x^2-4)=0$.
Diese Gleichung ist erfüllt, wenn entweder $x=0$ oder $x^2-4=0$ ist.
Zu bestimmen sind noch die Lösungen der Gleichung $x^2-4=0$:
$\begin{array}{rlll} x^2-4&=0&\mid +4\\ x^2&=4&\mid \sqrt{\;\;\;}\\ x&=\pm2 \end{array}$
Insgesamt gibt es also drei Lösungen: $\mathbb{L}=\left\{-2;0;2\right\}$.
f)  
$\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{1}{2}x-3=0$
Es ist $\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{1}{2}x-3$= $\dfrac{1}{2}(x^2-x-6)$. Dies wird Null, wenn $x^2-x-6=0$ ist.
Um dies zu lösen, verwendet man die p-q-Formel:
$\begin{array}{rlll} x_{1,2}&= -\dfrac{-1}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{-1}{2}\right)^2+6}&\\ &= \dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\dfrac{25}{4}}&\\ &= \dfrac{1}{2}\pm\dfrac{5}{2}&\\ \end{array}$
Also $x_1=-2$ und $x_2=3$. $\mathbb{L}=\left\{-2;3\right\}$.
3.
a) 
$x^3-5x^2+4x=0$
x ausklammern:
$x(x^2-5x+4)=0$
Nach dem Nullstellensatz erhält man $x_1=0$ als erste Lösung.
Weitere Lösungen:
$x^2-5x+4=0$
$\begin{array}{rlll} x_{2,3}&=\dfrac{5}{2} \pm \sqrt{\left(-\dfrac{5}{2}\right)^2-4}\\ &=\dfrac{5}{2} \pm \sqrt{\dfrac{25}{4}-\dfrac{16}{4}}\\ &=\dfrac{5}{2} \pm \dfrac{3}{2}\\ x_2=4;x_3=1 \end{array}$
$x_{2,3}=\dfrac{5}{2} \pm \dfrac{3}{2},\quad x_2=4,\;x_3=1$
$\mathbb{L}=\left\{0;1;4\right\}$.
b) 
$x^4-6x^2+8=0$
Substitution:
$x^2=a$
$a^2-6a+8=0$
Lösen mit der p-q-Formel:
$\begin{array}{rlll} a_{1/2}&=\dfrac{6}{2} \pm \sqrt{\left(-\dfrac{6}{2}\right)^2-8}\\ &=3 \pm \sqrt{9-8}\\ &=3 \pm 1 \end{array}$ $a_1=4$; $a_2=2$
Rücksubstitution:
$\begin{array}{rlll} 1) & a_1&=x^2\\ &4&=x^2\\ &x_1&=2; x_2=-2\\ 2)&a_2&=x^2\\ &2&=x^2\\ &x_3&=\sqrt{2}; x_4=-\sqrt{2} \end{array}$
$\mathbb{L}=\left\{2; -2; \sqrt{2}; -\sqrt{2}\right\}$
c) 
$x^4-4x^2+5=5$
Umformen:
$\begin{array}{rlll} x^4-4x^2&=0\\ x^2(x^2-4)&=0 \end{array}$
Diese Gleichung wird Null für $x_1=0$ und wenn $x^2-4=0$ gilt.
$\begin{array}{rlll} x^2-4&=0\\ x^2&=4\\ \end{array}$ $x_2=-2; x_3=2$
$\mathbb{L}=\left\{-2;0;2\right\}$.
d) 
$2x^2+6x+4=0$
Durch $2$ geteilt ergibt sich folgende Gleichung:
$x^2+3x+2=0$
p-q-Formel:
$\begin{array}{rlll} x_{1/2}&=-\dfrac{3}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{3}{2}\right)^2-2}\\ &=-\dfrac{3}{2} \pm \sqrt{\dfrac{9}{4}-\dfrac{8}{4}}\\ &=-\dfrac{3}{2} \pm \dfrac{1}{2} \end{array}$
$x_1=-1$; $x_2=-2$
$\mathbb{L}=\left\{-1;-2\right\}$.
e) 
$x^5+5x^3+4x=0$
Ausklammern:
$x(x^4+5x^2+4)=0$
Nach dem Nullstellensatz erhält man $x_1=0$ als erste Lösung.
(Evtl.) weitere Lösungen:
$x^4+5x^2+4=0$
Substitution:
$x_2=a$
$a^2+5a+4=0$
$\begin{array}{rlll} a_{1/2}&=-\dfrac{5}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{5}{2}\right)^2-4}\\ &=-\dfrac{5}{2} \pm \sqrt{\dfrac{25}{4}-\dfrac{16}{4}}\\ &=-\dfrac{5}{2} \pm \dfrac{3}{2} \end{array}$
$a_1=-1;a_2=-4$
Rücksubstitution:
$\begin{array}{rlll} 1)&a_1&=x^2\\ &-1&=x^2 \end{array}$
keine Lösung
$\begin{array}{rlll} 2)&a_2&=x^2\\ &-4&=x^2 \end{array}$
keine Lösung
$\mathbb{L}=\left\{0\right\}$.
f) 
$x^3-9x^2+15x=7$
Aus $(x^3-9x^2+15x-7)$:$(x-1)$=$x^2-8x+7$ folgt, dass $x=1$ eine Nullstelle ist.
Weitere Lösungen:
$\begin{array}{rlll} x_{2,3}&=\dfrac{8}{4} \pm \sqrt{\left(-\dfrac{8}{2}\right)^2-7}\\ &=4 \pm \sqrt{16-7}\\ &=4 \pm 3 \end{array}$
$x_{2,3}=4 \pm 3$
$x_2=7;x_3=1=x_1$
$\mathbb{L}=\left\{1;7\right\}$.
4.
a)  
$\dfrac{36}{x^4}-\dfrac{13}{x^2}+1=0$
Multiplikation der Gleichung mit $x^4$ und Umstellen der Summanden liefert die Gleichung:
$x^4-13x^2+36=0$
Substitution von $x^2=z$ führt zu:
$z^2-13z+36=0$
Lösen der Gleichung mit der p-q-Formel:
$\begin{array}{rlll} z_{1,2}&=-\dfrac{-13}{2}\pm\sqrt{\dfrac{169}{4}-36}\\ &=\dfrac{13}{2}\pm\sqrt{\dfrac{169}{4}-\dfrac{144}{4}}\\ &=\dfrac{13}{2}\pm\sqrt{\dfrac{25}{4}}\\ &=\dfrac{13}{2}\pm\dfrac{5}{2} \end{array}$
Also $z_{1}=4$ und $z_{2}=9$.
Rücksubstitution:
$\begin{array}{rlll} 1)&z_{1}&=x^2\\ &4&=x^2\\ \end{array}$
$x_{1}=-2$ und $x_{2}=2$
$\begin{array}{rlll} 2)&z_{2}&=x^2\\ &9&=x^2\\ \end{array}$
$x_{3}=-3$ und $x_{4}=3$
$\mathbb{L}=\left\{-3;-2;2;3\right\}$
b) 
$x^3+x^2=20x$
Auflösen nach Null und Ausklammern von x:
$x(x^2+x-20)=0$
$x(x^2+x-20)$ ist Null, wenn $x=0$ oder $x^2+x-20=0$ ist.
$x_{1}=0$ ist also die erste Lösung.
Die Lösungen von $x^2+x-20=0$ berechnet man mit der p-q-Formel:
$\begin{array}{rlll} x_{2,3}&=-\dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\dfrac{1}{4}+20}\\ &=-\dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\dfrac{81}{4}}\\ &=-\dfrac{1}{2} \pm \dfrac{9}{2} \end{array}$
Also $x_2=-5$ und $x_3=4$.
$\mathbb{L}=\left\{-5;0;4\right\}$.
c) 
$x^4-3x^2+2=0$
Substitution von $x^2=z$ führt zu:
$z^2-3z+2=0$
Lösen der Gleichung mit der p-q-Formel:
$\begin{array}{rlll} z_{1,2}&=-\dfrac{-3}{2}\pm\sqrt{\dfrac{9}{4}-2}\\ &=\dfrac{3}{2}\pm\sqrt{\dfrac{1}{4}}\\ &=\dfrac{3}{2}\pm\dfrac{1}{2}\\ \end{array}$
Also $z_1=1$ und $z_2=2$.
Rücksubstitution:
$\begin{array}{rlll} 1)&z_{1}&=x^2\\ &1&=x^2\\ \end{array}$
$x_{1}=-1$ und $x_{2}=1$
$\begin{array}{rlll} 2)&z_{2}&=x^2\\ &2&=x^2\\ \end{array}$
$x_{3}=-\sqrt{2}$ und $x_{4}=\sqrt{2}$
$\mathbb{L}=\left\{-\sqrt{2};-1;1;\sqrt{2}\right\}$.
d) 
$\begin{array}{rlll} \dfrac{x^6-5x^4}{4x}&=-x &\mid \cdot(4x)\\ x^6-5x^4&=-4x^2 &\mid + 4x^2\\ x^6-5x^4+4x^2&=0 &\mid x^2 ausklammern\\ x^2(x^4-5x^2+4)&=0 \end{array}$
$\begin{array}{rlll} x^2(x^4-5x^2+4)&=0 \end{array}$
$x^2(x^4-5x^2+4)$ ist Null, wenn $x^2=0$ oder $x^4-5x^2+4=0$ ist.
$x^2=0$ bedeutet aber $x=0$, was nicht sein darf, da sonst im Nenner der ursprünglichen Gleichung eine Null steht. $x=0$ ist deshalb keine Lösung!
Zum Lösen von $x^4-5x^2+4=0$ substituiert man $x^2=z$:
$z^2-5z+4=0$
Lösen der Gleichung mit der p-q-Formel:
$\begin{array}{rlll} z_{1,2}&=-\dfrac{-5}{2}\pm\sqrt{\dfrac{25}{4}-4}\\ &=\dfrac{5}{2}\pm\sqrt{\dfrac{9}{4}}\\ &=\dfrac{5}{2}\pm\dfrac{3}{2} \end{array}$
Also $z_{1}=1$ und $z_{2}=4$.
Rücksubstitution:
$\begin{array}{rlll} 1)&z_{1}&=x^2\\ &1&=x^2\\ \end{array}$
$x_{1}=-1$ und $x_{2}=1$
$\begin{array}{rlll} 2)&z_{2}&=x^2\\ &4&=x^2\\ \end{array}$
$x_{3}=-2$ und $x_{4}=2$
$\mathbb{L}=\left\{-2;-1;1;2\right\}$.
e) 
$x-1=\dfrac{3x-3}{2x}$
$\begin{array}{rlll} x-1&=\dfrac{3x-3}{2x}&\mid \cdot(2x)\\ 2x^2-2x&=3x-3&\mid -(3x-3)\\ 2x^2-5x+3&=0&\mid :2\\ x^2-\dfrac{5}{2}x+\dfrac{3}{2}&=0\\ \end{array}$
$\begin{array}{rlll} x-1&=0\\ \end{array}$
Lösen der Gleichung mit der p-q-Formel:
$\begin{array}{rlll} x_{1,2}&=-\dfrac{-5}{4}\pm\sqrt{\dfrac{25}{16}-\dfrac{3}{2}}\\ &=\dfrac{5}{4}\pm\sqrt{\dfrac{1}{16}}\\ &=\dfrac{5}{4}\pm\dfrac{1}{4} \end{array}$
Also $x_{1}=1$ und $x_{2}=\dfrac{3}{2}$.
$\mathbb{L}=\left\{1;\dfrac{3}{2}\right\}$.
f) 
$\dfrac{1}{x^5}-\dfrac{2}{x^3}+\dfrac{1}{x}=0$
Multiplikation der Gleichung mit $x^5$ und Umstellen der Summanden liefert die Gleichung:
$x^4-2x^2+1=0$
Substitution von $x^2=z$ führt zu:
$z^2-2z+1=0$
Lösen der Gleichung mit der p-q-Formel:
$\begin{array}{rlll} z_{1,2}&=-\dfrac{-2}{2}\pm\sqrt{\dfrac{4}{4}-1}\\ &=1\pm\sqrt{0}\\ &=1\pm0\ \end{array}$
$z=1$ ist die einzige Lösung.
Rücksubstitution:
$\begin{array}{rlll} 1)&z&=x^2\\ &1&=x^2\\ &x&=\pm1\\ \end{array}$
$\mathbb{L}=\left\{-1;1\right\}$.
5.
a)  
$x^5-2x^3=8x$
$x$ ausklammern:
$x(x^4-2x^2-8)=0$
Dies ist erfüllt, wenn entweder $x=0$ oder $x^4-2x^2-8=0$ ist.
$x_{1}=0$ ist die erste Lösung.
Zum Lösen von $x^4-2x^2-8=0$ substituiert man $x^2=z$:
$z^2-2z-8=0$
Lösen der Gleichung mit der p-q-Formel:
$\begin{array}{rlll} z_{1,2}&=-\dfrac{-2}{2}\pm\sqrt{\dfrac{4}{4}+8}\\ &=1\pm\sqrt{9}\\ &=1\pm3\\ \end{array}$
Also $z_{1}=-2$ und $z_{2}=4$.
Rücksubstitution:
$\begin{array}{rlll} 1)&z_{1}&=x^2\\ &-2&=x^2\\ \end{array}$
Dies liefert keine Lösung, da $ \sqrt{-2}$ nicht existiert.
$\begin{array}{rlll} 2)&z_{2}&=x^2\\ &4&=x^2\\ \end{array}$
$x_{2}=-2$ und $x_{3}=2$
$\mathbb{L}=\left\{-2;0;2\right\}$
b) 
$x^{\frac{3}{2}}+2x^{\frac{1}{2}}-80x^{-\frac{1}{2}}=0$
Multiplikation mit $x^{\frac{1}{2}}$:
$x^2+2x-80=0$
Die Lösungen berechnet man mit der p-q-Formel:
$\begin{array}{rlll} x_{1,2}&=-\dfrac{2}{2}\pm\sqrt{\dfrac{4}{4}+80}\\ &=-1\pm\sqrt{81}\\ &=-1\pm9 \end{array}$
Also $x_{1}=-10$ und $x_{2}=8$.
$x_1=-10$ ist jedoch keine Lösung der ursprünglichen Gleichung, da $x_{1}^{\frac{1}{2}}=\sqrt{-10}$ nicht definiert ist.
$\mathbb{L}=\left\{8\right\}$
c) 
$x^7+x^6=12x^5$
Auflösen nach 0 und Ausklammern von $x^5$:
$x^5(x^2+x-12)=0$
Die Gleichung ist erfüllt, wenn entweder $x^5=0$, also $x_{1}=0$, oder $x^2+x-12=0$ ist.
Lösungen der zweiten Gleichung werden mit der p-q-Formel berechnet:
$\begin{array}{rlll} x_{2,3}&=-\dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\dfrac{1}{4}+12}\\ &=-\dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\dfrac{49}{4}}\\ &=-\dfrac{1}{2}\pm\dfrac{7}{2} \end{array}$
Also $x_{2}=-4$ und $x_{3}=3$.
$\mathbb{L}=\left\{-4;0;3\right\}$
d) 
$x-\dfrac{5}{36x}-\dfrac{2}{3}=0$
Multiplikation der Gleichung mit $x$ und Umstellen der Summanden:
$x^2-\dfrac{2}{3}x-\dfrac{5}{36}=0$
Lösen der Gleichung mit der p-q-Formel:
$\begin{array}{rlll} x_{1,2}&=-\dfrac{-2}{6}\pm\sqrt{\dfrac{4}{36}+\dfrac{5}{36}}\\ &=\dfrac{2}{6}\pm\sqrt{\dfrac{9}{36}}\\ &=\dfrac{2}{6}\pm\dfrac{3}{6}\\ \end{array}$
Also $x_{1}=-\dfrac{1}{6}$ und $x_{2}=\dfrac{5}{6}$.
$\mathbb{L}=\left\{-\dfrac{1}{6};\dfrac{5}{6}\right\}$
e) 
$\begin{array}{rlll} 3x&=\dfrac{15}{x+4}&\mid \cdot(x+4)\\ 3x^2+12x&=15&\mid -15\\ 3x^2+12x-15&=0&\mid :3\\ x^2+4x-5&=0 \end{array}$
$\begin{array}{rlll} x^2+4x-5&=0 \end{array}$
Lösen der Gleichung mit der p-q-Formel:
$\begin{array}{rlll} x_{1,2}&=-\dfrac{4}{2}\pm\sqrt{\dfrac{16}{4}+5}\\ &=-2\pm\sqrt{9}\\ &=-2\pm3 \end{array}$
Also $x_{1}=-5$ und $x_{2}=1$.
$\mathbb{L}=\left\{-5;1\right\}$
f) 
$\begin{array}{rlll} \dfrac{4x-2}{4x-6}&=2+\dfrac{6}{x(4x-6)}&\mid \cdot x(4x-6)\\ (4x-2)x&=2x(4x-6)+6\\ 4x^2-2x&=8x^2-12x+6&\mid -(8x^2-12x+6)\\ -4x^2+10x-6&=0&\mid :(-4)\\ x^2-\dfrac{5}{2}x+\dfrac{3}{2}&=0\\ \end{array}$
$\begin{array}{rlll} x^2-\dfrac{5}{2}x+\dfrac{3}{2}&=0\\ \end{array}$
Lösen der Gleichung mit der p-q-Formel:
$\begin{array}{rlll} x_{1,2}&=-\dfrac{-5}{4}\pm\sqrt{\dfrac{25}{16}-\dfrac{3}{2}}\\ &=\dfrac{5}{4}\pm\sqrt{\dfrac{1}{16}}\\ &=\dfrac{5}{4}\pm\dfrac{1}{4}\\ \end{array}$
Also $x_{1}=1$ und $x_{2}=\dfrac{3}{2}$.
$x_2$ ist jedoch keine Lösung, da die Gleichung bei $x_2$ eine Nennernullstelle hat und deshalb dort nicht definiert ist.
$\mathbb{L}=\left\{1\right\}$
6.
a)  
$\begin{array}{rlll} \dfrac{(x-2)(x-3)}{2x}&=x-6-\dfrac{6}{x}&\mid \cdot2x\\ (x-2)(x-3)&=2x^2-12x-12\\ x^2-5x+6&=2x^2-12x-12&\mid -(2x^2-12x-12)\\ -x^2+7x+18&=0&\mid \cdot(-1)\\ x^2-7x-18&=0\\ \end{array}$
$\begin{array}{rlll} x^2-7x-18&=0\\ \end{array}$
Lösen der Gleichung mit der p-q-Formel:
$\begin{array}{rlll} x_{1,2}&=-\dfrac{-7}{2}\pm\sqrt{\dfrac{49}{4}+18}\\ &=\dfrac{7}{2}\pm\sqrt{\dfrac{121}{4}}\\ &=\dfrac{7}{2}\pm\dfrac{11}{2} \end{array}$
Also $x_{1}=-2$ und $x_{2}=9$.
$\mathbb{L}=\left\{-2;9\right\}$
b) 
$\begin{array}{rlll} x^3+\dfrac{7}{4}x&=\dfrac{1}{2x}&\mid -\dfrac{1}{2x}\\ x^3+\dfrac{7}{4}x-\dfrac{1}{2x}&=0&\mid \cdot x\\ x^4+\dfrac{7}{4}x^2-\dfrac{1}{2}&=0\\ \end{array}$
Zum Lösen der Gleichung substituiert man $x^2=z$:
$z^2+\dfrac{7}{4}z-\dfrac{1}{2}=0$
Lösen der Gleichung mit der p-q-Formel:
$\begin{array}{rlll} z_{1,2}&=-\dfrac{7}{8}\pm\sqrt{\dfrac{49}{64}+\dfrac{1}{2}}\\ &=-\dfrac{7}{8}\pm\sqrt{\dfrac{81}{64}}\\ &=-\dfrac{7}{8}\pm\dfrac{9}{8}\\ \end{array}$
Also $z_{1}=-2$ und $z_{2}= \dfrac{1}{4}$.
Rücksubstitution:
$\begin{array}{rlll} 1)&z_{1}&=x^2\\ &-2&=x^2\\ \end{array}$
Dies liefert keine Lösung, da $ \sqrt{-2}$ nicht existiert.
$\begin{array}{rlll} 2)&z_{2}&=x^2\\ &\dfrac{1}{4}&=x^2\\ \end{array}$
$x_{1}=-\dfrac{1}{2}$ und $x_{2}=\dfrac{1}{2}$.
$\mathbb{L}=\left\{-\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\right\}$
c)  
$x^6-6x^3=16$
Löse nach Null auf und substitutiere $x^3=z$:
$z^2-6z-16=0$
Lösen der Gleichung mit der p-q-Formel:
$\begin{array}{rlll} z_{1,2}&=-\dfrac{-6}{2}\pm\sqrt{9+16}\\ &=3\pm\sqrt{25}\\ &=3\pm5\\ \end{array}$
Also $z_{1}=-2$ und $z_{2}=8$.
Rücksubstitution:
$\begin{array}{rlll} 1)&z_{1}&=x^3\\ &-2&=x^3\\ &x_{1}&=\sqrt[3]{-2} \end{array}$
$\begin{array}{rlll} 2)&z_{2}&=x^3\\ &8&=x^3\\ &x_{2}&=\sqrt[3]{8}=2 \end{array}$
$\mathbb{L}=\left\{\sqrt[3]{-2};2\right\}$
7.
a)  
$\begin{array}{rlll} x^5-3x^3-4x&=0&\mid \;\scriptsize x \text{ ausklammern}\\ x\left(x^{4}-3x^{2}-4\right)&=0\\ x_{1}&=0 &\;\;\scriptsize \text{(Ein Produkt ist 0, wenn einer seiner Faktoren 0 ist.)}\\ x^4-3x^2-4&=0 &\mid \;\scriptsize \text{Substitution: } z=x^{2}\\ z^2-2z-4&=0\\ z_{1,2}&=\dfrac{3}{2}\pm\sqrt{\dfrac{9}{4}+4}\\ &=\dfrac{3}{2}\pm\dfrac{5}{2} \end{array}$
$\begin{array}{rlll} x^5-3x^3-4x& … \end{array}$
Rücksubstitution:
$\begin{array}{rlll} 1) & z_{1}&=4\\ &x^2&=4\\ & x_{1,2}&=\pm2 \end{array}$
$\begin{array}{rlll} 2) &z_{2}&=-1\\ &x^{2}&=-1\\ &\text{keine Lösung} \end{array}$
Die Lösungsmenge ist damit $\mathbb{L}=\left\{-2;\,0;\,2\right\}$
b) 
Die Gleichung wird zunächst umgeformt:
$\begin{array}{rlll} \dfrac{6}{x^4}+\dfrac{1}{x^2} &=1 &\mid \cdot x^4\\ 6+x^2&=x^4\\ x^4-x^2-6&=0\\ \end{array}$
Mit Hilfe der Substitution von $x^2=u$ werden für $u$ die Werte berechnet:
$\begin{array}{rlll} u^2-u-6&=0\\ u_{1,2}&=\dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\dfrac{1}{4}+6}\\ u_{1,2}&=\dfrac{1}{2}\pm\dfrac{5}{2}\\ &u_1=3;u_2=-2 \end{array}$
Nach Rücksubstitution erhält man die Werte für x:
$\begin{array}{rlll} u_1&=x^2\\ 3&=x^2\\ x_{1,2}&=\pm\sqrt{3}\\ u_2&=x^2\\ -2&=x^2\\ &\text{keine Lösung} \end{array}$
Die Lösungsmenge beträgt $\mathbb{L}=\{-\sqrt{3}; \sqrt{3}\}$.
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