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Gerade - Ebene

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Den Schnittwinkel $\alpha$ zwischen der Ebene $E:\vec{x}$ und der Geraden $g:\vec{x}$ kannst du mit der Sinus-Formel berechnen:
$\sin\alpha= \dfrac{\left|\vec{n}\cdot\vec{u}\right|}{\left|\vec{n}\right|\cdot\left|\vec{u}\right|}$
$\sin\alpha= \dfrac{\left|\vec{n}\cdot\vec{u}\right|}{\left|\vec{n}\right|\cdot\left|\vec{u}\right|}$
Bei dem Vektor $\vec{n}$ handelt es sich um einen Normalvektor einer Ebene und bei $\vec{u}$ um einen Richtungsvektor einer Geraden.
Zunächst benötigst du einen Normalvektor der Ebenen, also einen Vektor, der senkrecht auf der Ebene steht.
Steht die Ebene in der Normalenform oder Koordinatenform, kannst du den Normalvektor direkt aus der Funktion ablesen. Sonst berechnest du ihn aus dem Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren.
Anschließend kannst du mit der oberen Formel den Schnittwinkel bestimmen.

Beispiel

Winkel zwischen der Ebene
$E: \overrightarrow{n} \cdot \left( \overrightarrow{x} - \overrightarrow{p} \right)= \left( \overrightarrow{x} - \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix} \right)\cdot \begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}=0$
$E: \overrightarrow{n} \cdot \left( \overrightarrow{x} - \overrightarrow{p} \right)=0$
und der Geraden $g:\vec{x}=\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}$ berechnen.
Du kannst nun den Normalvektor aus der Ebenengleichung herauslesen:
$\overrightarrow{n}=\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}$
Anschließend kannst du den Normalvektor der Ebene und den Richtungsvektor der Geraden in die Sinus-Formel einsetzen und erhälst den Schnittwinkel zwischen der Ebene und der Geraden.
$\begin{array}[t]{rl} \sin\alpha=&\dfrac{\left|\left(\begin{array}{r} 2\\ 2\\ 2\\ \end{array}\right)\circ\left(\begin{array}{r} 1\\ 2\\ 1\\ \end{array}\right)\right|}{\left|\left(\begin{array}{r} 2\\ 2\\ 2\\ \end{array}\right)\right|\cdot\left|\left(\begin{array}{r} 1\\ 2\\ 1\\ \end{array}\right)\right|} \\[5pt] =&\dfrac{2+4+2}{\sqrt{4+4+4}\cdot\sqrt{1+4+1}} \\[5pt] =&\dfrac{8}{\sqrt{72}} \\[5pt] \approx&0,94 \end{array}$
$\sin^{-1}\left(0,94\right)\approx70,53°$
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