Rechnen mit Vektoren
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1.
Gegeben sind folgende Vektoren:
und
.
Berechne:
und
.
Berechne:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
2.
Gegeben sind folgende Vektoren:
und
.
Berechne:
und
.
Berechne:
a)
b)
c)
3.
Addiere die angegebenen Vektoren jeweils zeichnerisch:
; 
; 
; 
; 
;
; 
;
; 
;
; 
;
; ; .
Addiere zeichnerisch: 
; 
; 
.
Addiere zeichnerisch: 
a)
;
b)
;
c)
;
d)
; ;
e)
; ;
f)
; ;
g)
; ;
h)
; ; .
Addiere zeichnerisch:
i)
; ; .
Addiere zeichnerisch:
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![\( \begin{array}[t]{rll}
\vec{a}+\vec{b}=&\begin{pmatrix}-2\\5\\3\end{pmatrix}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/dc36af0ffa4e3279602148b8b5cee6fd6575d94896b707041dc1cc26e54cb34a_light.svg)
![\( \begin{array}[t]{rll}
\vec{a}+\vec{b}&=&\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-3\\4\\2\end{pmatrix}
\\&=&\begin{pmatrix}1+(-3)\\1+4\\2+1\end{pmatrix}
\\&=&\begin{pmatrix}-2\\5\\3\end{pmatrix}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/aa6b5e65f26e5ee447b0c393955f06bef98e29268b326c09cded78538cb3bd13_light.svg)
![\( \begin{array}[t]{rll} 2\vec{b}+\vec{c}=&\begin{pmatrix}-5\\8\\4\end{pmatrix} \end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/0884b78059a176fd89b982c99611dfd20651ac8066c5670cd94bd75b8d805102_light.svg)
![\( \begin{array}[t]{rll}
2\vec{b}+\vec{c}&=&2\cdot\begin{pmatrix}-3\\4\\2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}
\\&=&\begin{pmatrix}2\cdot(-3)\\2\cdot4\\2\cdot2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}
\\&=&\begin{pmatrix}-6\\8\\4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}
\\&=&\begin{pmatrix}-6+1\\8+0\\4+0\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}-5\\8\\4\end{pmatrix}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/e60732994a5c61846f3df41b847926670ef380e9050b9d805b419ca93c851ccd_light.svg)
![\( \begin{array}[t]{rll} 3\vec{a}+2\vec{e}=&\begin{pmatrix}7\\3\\-17\end{pmatrix} \end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/5ca720011a26a047c769e0b18ea0906d1366172c7250749d635353e69613a498_light.svg)
![\( \begin{array}[t]{rll}
3\vec{a}+2\vec{e}&=&3\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+2\cdot\begin{pmatrix}2\\0\\-10\end{pmatrix}
\\&=&\begin{pmatrix}3\\3\\3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}4\\0\\-20\end{pmatrix}\\[5pt]
\\&=&\begin{pmatrix}3+4\\3+0\\3+(-20)\end{pmatrix}\\[5pt]
\\&=&\begin{pmatrix}7\\3\\-17\end{pmatrix}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/53071ce93b0aa13a44f974498743eabe570049b3f74a0f7ddc5c74e1cc918d82_light.svg)
![\( \begin{array}[t]{rll} -5\vec{a}+3\vec{d}=&\begin{pmatrix}-17\\-2\\-11\end{pmatrix} \end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/fc20be1d704237383183a66714057890f01415365362d104b0dc767f568e0f71_light.svg)
![\( \begin{array}[t]{rll}
-5\vec{a}+3\vec{d}&=&-5\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+3\cdot\begin{pmatrix}-4\\1\\-2\end{pmatrix}
\\&=&\begin{pmatrix}-5\\-5\\-5\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-12\\3\\-6\end{pmatrix}\\[5pt]
\\&=&\begin{pmatrix}-5+(-12)\\-5+3\\-5+(-6)\end{pmatrix}\\[5pt]
\\&=&\begin{pmatrix}-17\\-2\\-11\end{pmatrix}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/8a012a83844ee0e2b18dc60029f4697b6bfe7ecde5d110fd37a3bc8bcae05223_light.svg)
![\( \begin{array}[t]{rll} 2\vec{c}-3\vec{d}=&\begin{pmatrix}14\\-3\\6\end{pmatrix} \end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/79789bda8916a1ef73e37264fe56eb62c2b39e5a1c65a949a79a01e5528c2f69_light.svg)
![\( \begin{array}[t]{rll}
2\vec{c}-3\vec{d}&=&2\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}-3\cdot\begin{pmatrix}-4\\1\\-2\end{pmatrix}
\\&=&\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-12\\3\\-6\end{pmatrix}\\[5pt]
\\&=&\begin{pmatrix}2-(-12)\\0-3\\0-(-6)\end{pmatrix}\\[5pt]
\\&=&\begin{pmatrix}14\\-3\\6\end{pmatrix}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/681c7932bdfc6f3be6181e2ddba9634add3289d7a9d91a25f799e9ae126f980a_light.svg)
![\( \begin{array}[t]{rlll} 4\vec{a}+2\vec{d}=&\begin{pmatrix}-4\\6\\0\end{pmatrix} \end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/73a8806b6026a6400afbec19f00df42dd66781007aa0e33b0d9b6741c3118b50_light.svg)
![\( \begin{array}[t]{rlll}
4\vec{a}+2\vec{d}&=&4\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+2\cdot\begin{pmatrix}-4\\1\\-2\end{pmatrix}
\\&=&\begin{pmatrix}4\\4\\4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-8\\2\\-4\end{pmatrix}
\\&=&\begin{pmatrix}4+(-8)\\4+2\\4+(-4)\end{pmatrix}\\[5pt]
\\&=&\begin{pmatrix}-4\\6\\0\end{pmatrix}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/4e4afdccff85279bb40c7329ea561fb1d6c38f1d4fc14bc0085cdaa4ec83ac08_light.svg)
![\( \begin{array}[t]{rlll} 2\vec{b}-\vec{d}=&\begin{pmatrix}-2\\7\\6\end{pmatrix} \end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/1f23b378da974b808302ce422d5a35665ebbe8cb604f240a80400fa609bb0c1b_light.svg)
![\( \begin{array}[t]{rlll}
2\vec{b}-\vec{d}&=&2\cdot\begin{pmatrix}-3\\4\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-4\\1\\-2\end{pmatrix}
\\&=&\begin{pmatrix}-6\\8\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-4\\1\\-2\end{pmatrix}
\\&=&\begin{pmatrix}-6-(-4)\\8-1\\4-(-2)\end{pmatrix}\\[5pt]
\\&=&\begin{pmatrix}-2\\7\\6\end{pmatrix}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/bb862101c4bbd42f15bedc15ae51d8bd1b7ba6ffac7df33d6993215f9d521dcb_light.svg)
![\( \begin{array}[t]{rl} \vec{a}+2\vec{b}-\vec{d}=&\begin{pmatrix}-1\\8\\7\end{pmatrix}\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/143c871f5b4121594b059b2d273392f26bea82bc4bc0ec2761f852c187e27c18_light.svg)
![\( \begin{array}[t]{rl}
\vec{a}+2\vec{b}-\vec{d}&=&\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+2\cdot\begin{pmatrix}-3\\4\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-4\\1\\-2\end{pmatrix}\\[5pt]
\\&=&\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-6\\8\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-4\\1\\-2\end{pmatrix}\\[5pt]
\\&=&\begin{pmatrix}1+(-6)-(-4)\\1+8-1\\1+4-(-2)\end{pmatrix}\\[5pt]
\\&=&\begin{pmatrix}-1\\8\\7\end{pmatrix}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/1ebb23b5f486bd97fb947f593763a79c12928b0cdebbbfe72d2e2c0644de7114_light.svg)
![\( \begin{array}[t]{rl} 4\vec{b}+3\vec{c}-6\vec{a}=&\begin{pmatrix}-15\\10\\2\end{pmatrix} \end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/60662f65a3db0e470fe8e80ef1187c2d1fc1928a3ee05e8c9ff2a2cb0cb27901_light.svg)
![\( \begin{array}[t]{rl}
4\vec{b}+3\vec{c}-6\vec{a}&=&4\cdot\begin{pmatrix}-3\\4\\2\end{pmatrix}+3\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}-6\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}
\\[5pt]
\\&=&\begin{pmatrix}-12\\16\\8\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3\\0\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}6\\6\\6\end{pmatrix}\\[5pt]
\\&=&\begin{pmatrix}-12+3-6\\16+0-6\\8+0-6\end{pmatrix}\\[5pt]
\\&=&\begin{pmatrix}-15\\10\\2\end{pmatrix}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/293986e26ed39f59f4b7f8c114e552117a71f66672f83df21b969c99097eb40a_light.svg)
![\( \begin{array}[t]{rl} \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}-...\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/c2e26a14edcb65ee4a521188c98aa65c2f28b2d2f7f3d2727bad866dcf55bde6_light.svg)
![\( \begin{array}[t]{rl}
\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}-5\vec{e}&=&\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-3\\4\\2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-4\\1\\-2\end{pmatrix}-5\cdot\begin{pmatrix}2\\0\\-10\end{pmatrix}\\[5pt]
\\&=&\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-3\\4\\2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-4\\1\\-2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}10\\0\\-50\end{pmatrix}\\[5pt]
\\&=&\begin{pmatrix}1+(-3)+1+(-4)-10\\1+4+0+1-0\\1+2+0+(-2)-(-50)\end{pmatrix}\\[5pt]
\\&=&\begin{pmatrix}-15\\6\\51\end{pmatrix}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/d3dcc3259d2205276e97d002397dd2761391231bc68ce51ab64b05fdc6348e45_light.svg)
![\( \begin{array}[t]{rll}r\cdot\vec{a}+(r-1)\cdot\vec{b}=...\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/8899106612ea1b9882ad28d94d0edee777a807b5e85d73ee5fd3a5b594ae0836_light.svg)
![\( \begin{array}[t]{rll}
r\cdot\vec{a}+(r-1)\cdot\vec{b}=&r\cdot\begin{pmatrix}2\\-2\\0\end{pmatrix}+(r-1)\cdot\begin{pmatrix}2\\-4\\7\end{pmatrix}&\scriptsize\mid\; \text{Ausmultiplizieren}
\\[5pt]
=&r\cdot\begin{pmatrix}2\\-2\\0\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}2\\-4\\7\end{pmatrix}-1\cdot\begin{pmatrix}2\\-4\\7\end{pmatrix}
\\[5pt]
=&\begin{pmatrix}2r\\-2r\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2r\\-4r\\7r\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\-4\\7\end{pmatrix}
\\[5pt]
=&\begin{pmatrix}2r+2r\\-2r+(-4r)\\0+7r\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\-4\\7\end{pmatrix}
\\[5pt]
=&\begin{pmatrix}4r\\-6r\\7r\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\-4\\7\end{pmatrix}
\\[5pt]
=&r\cdot\begin{pmatrix}4\\-6\\7\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\-4\\7\end{pmatrix}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/5689b9ce2f70a9e359345a2a7c00f87d162b7cfb1b1c2477fcf3d24fe37eb5b1_light.svg)
![\( \begin{array}[t]{rl}s\cdot(\vec{d}+\vec{c})+2s\cdot\vec{a}=...\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/012611606cde2fe7e045d7c66a2b447258419fbce3b8692eee327e1cec0bf24c_light.svg)
![\( \begin{array}[t]{rl}
s\cdot(\vec{d}+\vec{c})+2s\cdot\vec{a}=&s\cdot\left(\begin{pmatrix}4\\-5\\3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}\right)+2s\cdot\begin{pmatrix}2\\-2\\0\end{pmatrix}
\\[5pt]
=&s\cdot\begin{pmatrix}4+1\\-5+1\\3+3\end{pmatrix}+2s\cdot\begin{pmatrix}2\\-2\\0\end{pmatrix}
\\[5pt]
=&s\cdot\begin{pmatrix}5\\-4\\6\end{pmatrix}+2s\cdot\begin{pmatrix}2\\-2\\0\end{pmatrix}
\\[5pt]
=&\begin{pmatrix}5s\\-4s\\6s\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}4s\\-4s\\0\end{pmatrix}
\\[5pt]
=&\begin{pmatrix}5s+4s\\-4s+(-4s)\\6s+0\end{pmatrix}
\\[5pt]
=&\begin{pmatrix}9s\\-8s\\6s\end{pmatrix}
\\[5pt]
=&s\cdot\begin{pmatrix}9\\-8\\6\end{pmatrix}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/c66f64d3f89cbbf653582358d869faa8af946d7651891e1efeaf868ad9e90e5e_light.svg)
![\( \begin{array}[t]{rl}
r\cdot(\vec{e}-\vec{b})+(r+s)\cdot(\vec{a}-\vec{c})=&r\cdot\left(\begin{pmatrix}-3\\8\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\-4\\7\end{pmatrix}\right)+(r+s)\cdot\left(\begin{pmatrix}2\\-2\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}\right)
\\
=&r\cdot\begin{pmatrix}-3-2\\8-(-4)\\3-7\end{pmatrix}+(r+s)\cdot\begin{pmatrix}2-1\\-2-1\\0-3\end{pmatrix}
\\
=&r\cdot\begin{pmatrix}-5\\12\\-4\end{pmatrix}+(r+s)\cdot\begin{pmatrix}1\\-3\\-3\end{pmatrix}\qquad\scriptsize\mid\;\text{Ausmultiplizieren}
\\
=&r\cdot\begin{pmatrix}-5\\12\\-4\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}1\\-3\\-3\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}1\\-3\\-3\end{pmatrix}
\\
=&\begin{pmatrix}-5r\\12r\\-4r\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1r\\-3r\\-3r\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1s\\-3s\\-3s\end{pmatrix}
\\
=&\begin{pmatrix}-5r+1r\\12r-3r\\-4r-3r\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1s\\-3s\\-3s\end{pmatrix}
\\
=&\begin{pmatrix}-4r\\9r\\-7r\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1s\\-3s\\-3s\end{pmatrix}
\\
=&r\cdot\begin{pmatrix}-4\\9\\-7\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}1\\-3\\-3\end{pmatrix}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/a9e547a4df1ffa04677f53051e73e821ddf44871758f2027bbcd06e8a9d8c91a_light.svg)
, 
und 
.
, etc.
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