Rechnen mit Vektoren

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Rechenart	Formel	Beispiel
Addition	$ \begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_1+b_1\\a_2+b_2\\a_3+b_3 \end{pmatrix}$	$ \begin{pmatrix}1\\2\\3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}4\\4\\4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5\\6\\7\end{pmatrix}$
Multiplikation mit einem Skalar	$ a\cdot\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a\cdot v_1\\a\cdot v_2\\a \cdot v_3\end{pmatrix}\quad a\in \mathbb{R}$	$ 3\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6\\3\\12\end{pmatrix}$
Skalarprodukt	$ \begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3 \end{pmatrix} = a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$	$ \begin{pmatrix}2\\1\\4 \end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}3\\1\\1 \end{pmatrix} = 6+1+4 = 11$
Kreuzprodukt (Vektorprodukt)	$ \begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_2b_3-a_3b_2\\a_3b_1-a_1b_3\\a_1b_2-a_2b_1 \end{pmatrix}$	$ \begin{pmatrix}2\\1\\4 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}3\\1\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1-4\\12-2\\2-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3\\10\\-1 \end{pmatrix}$

Rechenart
Addition
Multiplikation mit einem Skalar
Skalarprodukt
Kreuzprodukt (Vektorprodukt)

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Aufgaben

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Gegeben sind folgende Vektoren:

$ \vec{a}=\begin{pmatrix}{1}\\{1}\\{1}\end{pmatrix},\ \vec{b}=\begin{pmatrix}{-3}\\{4}\\{2}\end{pmatrix},$

$ \vec{c}=\begin{pmatrix}{1}\\{0}\\{0}\end{pmatrix},\ \vec{d}=\begin{pmatrix}{-4}\\{1}\\{-2}\end{pmatrix}\,$ und

$ \,\vec{e}=\begin{pmatrix}{2}\\{0}\\{-10}\end{pmatrix}$.

Berechne:

$ \vec{a}+\vec{b}$

$ 2\vec{b}+\vec{c}$

$ 3\vec{a}+2\vec{e}$

$ -5\vec{a}+3\vec{d}$

$ 2\vec{c}-3\vec{d}$

$ 4\vec{a}+2\vec{d}$

$ 2\vec{b}-\vec{d}$

$ \vec{a}+2\vec{b}-\vec{d}$

$ 4\vec{b}+3\vec{c}-6\vec{a}$

$ \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}-5\vec{e}$

Gegeben seien folgende Vektoren:

$ \vec{a}=\begin{pmatrix}{2}\\{-2}\\{0}\end{pmatrix},\ \vec{b}=\begin{pmatrix}{2}\\{-4}\\{7}\end{pmatrix}, $

$ \vec{c}=\begin{pmatrix}{1}\\{1}\\{3}\end{pmatrix},\ \vec{d}=\begin{pmatrix}{4}\\{-5}\\{3}\end{pmatrix}$ und

$ \vec{e}=\begin{pmatrix}{-3}\\{8}\\{3}\end{pmatrix}$.

Berechne:

$ r\cdot\vec{a}+(r-1)\cdot\vec{b}$

$ s\cdot(\vec{d}+\vec{c})+2s\cdot\vec{a}$

$ r\cdot(\vec{e}-\vec{b})+(r+s)\cdot(\vec{a}-\vec{c})$

Addiere die angegebenen Vektoren jeweils zeichnerisch:

$ \vec{p}=\begin{pmatrix}{2}\\{1}\end{pmatrix}$; $ \vec{q}=\begin{pmatrix}{0}\\{-2}\end{pmatrix}$

$ \vec{p}=\begin{pmatrix}{3}\\{0}\end{pmatrix}$; $ \vec{q}=\begin{pmatrix}{-4}\\{2}\end{pmatrix}$

$ \vec{p}=\begin{pmatrix}{1}\\{1}\end{pmatrix}$; $ \vec{q}=\begin{pmatrix}{2}\\{3}\end{pmatrix}$

$ \vec{a}=\begin{pmatrix}{1}\\{0}\end{pmatrix}$; $ \vec{b}=\begin{pmatrix}{2}\\{-3}\end{pmatrix}$;

$ \vec{c}=\begin{pmatrix}{-4}\\{-4}\end{pmatrix}$

$ \vec{a}=\begin{pmatrix}{7}\\{4}\end{pmatrix}$; $ \vec{b}=\begin{pmatrix}{0}\\{-8}\end{pmatrix}$;

$ \vec{c}=\begin{pmatrix}{-3}\\{3}\end{pmatrix}$

$ \vec{a}=\begin{pmatrix}{2}\\{3}\end{pmatrix}$; $ \vec{b}=\begin{pmatrix}{3}\\{4}\end{pmatrix}$;

$ \vec{c}=\begin{pmatrix}{-4}\\{-5}\end{pmatrix}$

$ \vec{a}=\begin{pmatrix}{1}\\{2}\end{pmatrix}$; $ \vec{b}=\begin{pmatrix}{-3}\\{1}\end{pmatrix}$;

$ \vec{c}=\begin{pmatrix}{0}\\{-2}\end{pmatrix}$

$ \vec{a}=\begin{pmatrix}{1}\\{2}\end{pmatrix}$; $ \vec{b}=\begin{pmatrix}{-3}\\{1}\end{pmatrix}$; $ \vec{c}=\begin{pmatrix}{0}\\{-2}\end{pmatrix}$.

Addiere zeichnerisch: $ 3\vec{a}+2\vec{b}+4\vec{c}$

$ \vec{a}=\begin{pmatrix}{\frac{1}{2}}\\{1}\end{pmatrix}$; $ \vec{b}=\begin{pmatrix}{1}\\{-\frac{1}{2}}\end{pmatrix}$; $ \vec{c}=\begin{pmatrix}{-3}\\{-2}\end{pmatrix}$.

Addiere zeichnerisch: $ 4\vec{a}+6\vec{b}+2\vec{c}$

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Lösungen

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Addieren von Vektoren

$ \begin{array}[t]{rll} \vec{a}+\vec{b}=&\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-3\\4\\2\end{pmatrix} =&\begin{pmatrix}1+(-3)\\1+4\\2+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\5\\3\end{pmatrix} \end{array}$

$ \begin{array}[t]{rll} \vec{a}+\vec{b}=&\begin{pmatrix}-2\\5\\3\end{pmatrix} \end{array}$

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$ \begin{array}[t]{rll} 2\vec{b}+\vec{c}=&2\cdot\begin{pmatrix}-3\\4\\2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} =&\begin{pmatrix}2\cdot(-3)\\2\cdot4\\2\cdot2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} =&\begin{pmatrix}-6\\8\\4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} =&\begin{pmatrix}-6+1\\8+0\\4+0\end{pmatrix} =&\begin{pmatrix}-5\\8\\4\end{pmatrix} \end{array}$

$ \begin{array}[t]{rll} 2\vec{b}+\vec{c}=&\begin{pmatrix}-5\\8\\4\end{pmatrix} \end{array}$

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$ \begin{array}[t]{rll} 3\vec{a}+2\vec{e}=&3\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+2\cdot\begin{pmatrix}2\\0\\-10\end{pmatrix} =&\begin{pmatrix}3\\3\\3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}4\\0\\-20\end{pmatrix} \\[5pt] =&\begin{pmatrix}3+4\\3+0\\3+(-20)\end{pmatrix} \\[5pt] =&\begin{pmatrix}7\\3\\-17\end{pmatrix} \end{array}$

$ \begin{array}[t]{rll} 3\vec{a}+2\vec{e}=&\begin{pmatrix}7\\3\\-17\end{pmatrix} \end{array}$

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$ \begin{array}[t]{rll} -5\vec{a}+3\vec{d}=&-5\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+3\cdot\begin{pmatrix}-4\\1\\-2\end{pmatrix} =&\begin{pmatrix}-5\\-5\\-5\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-12\\3\\-6\end{pmatrix}\\[5pt] =&\begin{pmatrix}-5+(-12)\\-5+3\\-5+(-6)\end{pmatrix}\\[5pt] =&\begin{pmatrix}-17\\-2\\-11\end{pmatrix} \end{array}$

$ \begin{array}[t]{rll} -5\vec{a}+3\vec{d}=&\begin{pmatrix}-17\\-2\\-11\end{pmatrix} \end{array}$

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$ \begin{array}[t]{rll} 2\vec{c}-3\vec{d}=&2\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}-3\cdot\begin{pmatrix}-4\\1\\-2\end{pmatrix} =&\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-12\\3\\-6\end{pmatrix}\\[5pt] =&\begin{pmatrix}2-(-12)\\0-3\\0-(-6)\end{pmatrix}\\[5pt] =&\begin{pmatrix}14\\-3\\6\end{pmatrix} \end{array}$

$ \begin{array}[t]{rll} 2\vec{c}-3\vec{d}=&\begin{pmatrix}14\\-3\\6\end{pmatrix} \end{array}$

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$ \begin{array}[t]{rlll} 4\vec{a}+2\vec{d}=&4\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+2\cdot\begin{pmatrix}-4\\1\\-2\end{pmatrix} =&\begin{pmatrix}4\\4\\4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-8\\2\\-4\end{pmatrix} =&\begin{pmatrix}4+(-8)\\4+2\\4+(-4)\end{pmatrix}\\[5pt] =&\begin{pmatrix}-4\\6\\0\end{pmatrix} \end{array}$

$ \begin{array}[t]{rlll} 4\vec{a}+2\vec{d}=&\begin{pmatrix}-4\\6\\0\end{pmatrix} \end{array}$

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$ \begin{array}[t]{rlll} 2\vec{b}-\vec{d}=&2\cdot\begin{pmatrix}-3\\4\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-4\\1\\-2\end{pmatrix} =&\begin{pmatrix}-6\\8\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-4\\1\\-2\end{pmatrix}=&\begin{pmatrix}-6-(-4)\\8-1\\4-(-2)\end{pmatrix}\\[5pt] =&\begin{pmatrix}-2\\7\\6\end{pmatrix} \end{array}$

$ \begin{array}[t]{rlll} 2\vec{b}-\vec{d}=&\begin{pmatrix}-2\\7\\6\end{pmatrix} \end{array}$

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$ \begin{array}[t]{rl} \vec{a}+2\vec{b}-\vec{d}=&\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+2\cdot\begin{pmatrix}-3\\4\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-4\\1\\-2\end{pmatrix}\\[5pt] =&\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-6\\8\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-4\\1\\-2\end{pmatrix}\\[5pt] =&\begin{pmatrix}1+(-6)-(-4)\\1+8-1\\1+4-(-2)\end{pmatrix}\\[5pt] =&\begin{pmatrix}-1\\8\\7\end{pmatrix} \end{array}$

$ \begin{array}[t]{rl} \vec{a}+2\vec{b}-\vec{d}=&\begin{pmatrix}-1\\8\\7\end{pmatrix}\end{array}$

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$ \begin{array}[t]{rl} 4\vec{b}+3\vec{c}-6\vec{a}=&4\cdot\begin{pmatrix}-3\\4\\2\end{pmatrix}+3\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}-6\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} \\[5pt] =&\begin{pmatrix}-12\\16\\8\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3\\0\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}6\\6\\6\end{pmatrix}\\[5pt] =&\begin{pmatrix}-12+3-6\\16+0-6\\8+0-6\end{pmatrix}\\[5pt] =&\begin{pmatrix}-15\\10\\2\end{pmatrix} \end{array}$

$ \begin{array}[t]{rl} 4\vec{b}+3\vec{c}-6\vec{a}=&\begin{pmatrix}-15\\10\\2\end{pmatrix} \end{array}$

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$ \begin{array}[t]{rl} \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}-5\vec{e}=&\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-3\\4\\2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-4\\1\\-2\end{pmatrix}-5\cdot\begin{pmatrix}2\\0\\-10\end{pmatrix}\\[5pt] =&\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-3\\4\\2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-4\\1\\-2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}10\\0\\-50\end{pmatrix}\\[5pt] =&\begin{pmatrix}1+(-3)+1+(-4)-10\\1+4+0+1-0\\1+2+0+(-2)-(-50)\end{pmatrix}\\[5pt] =&\begin{pmatrix}-15\\6\\51\end{pmatrix} \end{array}$

$ \begin{array}[t]{rl} \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}-…\end{array}$

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Addieren von Vektoren

$ \begin{array}[t]{rll} r\cdot\vec{a}+(r-1)\cdot\vec{b}=&r\cdot\begin{pmatrix}2\\-2\\0\end{pmatrix}+(r-1)\cdot\begin{pmatrix}2\\-4\\7\end{pmatrix}&\scriptsize\mid\; \text{Ausmultiplizieren} \\[5pt] =&r\cdot\begin{pmatrix}2\\-2\\0\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}2\\-4\\7\end{pmatrix}-1\cdot\begin{pmatrix}2\\-4\\7\end{pmatrix} \\[5pt] =&\begin{pmatrix}2r\\-2r\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2r\\-4r\\7r\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\-4\\7\end{pmatrix} \\[5pt] =&\begin{pmatrix}2r+2r\\-2r+(-4r)\\0+7r\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\-4\\7\end{pmatrix} \\[5pt] =&\begin{pmatrix}4r\\-6r\\7r\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\-4\\7\end{pmatrix} \\[5pt] =&r\cdot\begin{pmatrix}4\\-6\\7\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\-4\\7\end{pmatrix} \end{array}$

$ \begin{array}[t]{rll}r\cdot\vec{a}+(r-1)\cdot\vec{b}=…\end{array}$

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$ \begin{array}[t]{rl} s\cdot(\vec{d}+\vec{c})+2s\cdot\vec{a}=&s\cdot\left(\begin{pmatrix}4\\-5\\3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}\right)+2s\cdot\begin{pmatrix}2\\-2\\0\end{pmatrix} \\[5pt] =&s\cdot\begin{pmatrix}4+1\\-5+1\\3+3\end{pmatrix}+2s\cdot\begin{pmatrix}2\\-2\\0\end{pmatrix} \\[5pt] =&s\cdot\begin{pmatrix}5\\-4\\6\end{pmatrix}+2s\cdot\begin{pmatrix}2\\-2\\0\end{pmatrix} \\[5pt] =&\begin{pmatrix}5s\\-4s\\6s\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}4s\\-4s\\0\end{pmatrix} \\[5pt] =&\begin{pmatrix}5s+4s\\-4s+(-4s)\\6s+0\end{pmatrix} \\[5pt] =&\begin{pmatrix}9s\\-8s\\6s\end{pmatrix} \\[5pt] =&s\cdot\begin{pmatrix}9\\-8\\6\end{pmatrix} \end{array}$

$ \begin{array}[t]{rl}s\cdot(\vec{d}+\vec{c})+2s\cdot\vec{a}=…\end{array}$

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$ \begin{array}[t]{rl} r\cdot(\vec{e}-\vec{b})+(r+s)\cdot(\vec{a}-\vec{c})=&r\cdot\left(\begin{pmatrix}-3\\8\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\-4\\7\end{pmatrix}\right)+(r+s)\cdot\left(\begin{pmatrix}2\\-2\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\1\\3\end{pmatrix}\right) \\ =&r\cdot\begin{pmatrix}-3-2\\8-(-4)\\3-7\end{pmatrix}+(r+s)\cdot\begin{pmatrix}2-1\\-2-1\\0-3\end{pmatrix} \\ =&r\cdot\begin{pmatrix}-5\\12\\-4\end{pmatrix}+(r+s)\cdot\begin{pmatrix}1\\-3\\-3\end{pmatrix}\qquad\scriptsize\mid\;\text{Ausmultiplizieren} \\ =&r\cdot\begin{pmatrix}-5\\12\\-4\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}1\\-3\\-3\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}1\\-3\\-3\end{pmatrix} \\ =&\begin{pmatrix}-5r\\12r\\-4r\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1r\\-3r\\-3r\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1s\\-3s\\-3s\end{pmatrix} \\ =&\begin{pmatrix}-5r+1r\\12r-3r\\-4r-3r\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1s\\-3s\\-3s\end{pmatrix} \\ =&\begin{pmatrix}-4r\\9r\\-7r\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1s\\-3s\\-3s\end{pmatrix} \\ =&r\cdot\begin{pmatrix}-4\\9\\-7\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}1\\-3\\-3\end{pmatrix} \end{array}$

$ r\cdot(\vec{e}-\vec{b})+(r+s)\cdot …$

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