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Tangente
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Maximales Volumen
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Definitions- und Wert...
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Stetigkeit und Differ...
Stetigkeit
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Beschränktes Wachstum
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Geraden
Geraden
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Ebenen im Raum
Ebenen in Körpern
Spurpunkte
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Gerade - Gerade
Gerade - Ebene
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Gerade - Gerade
Gerade - Ebene
Punkt - Ebene
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Gerade - Ebene
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Vermischte Aufgaben
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Geordnete Stichprobe ...
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Binomialverteilung
Mit Formel und Tasche...
Mit Tabelle
Erwartungswert und St...
Konfidenzintervalle
Normalverteilung
Hypergeometrische Ver...
Signifikanztest
Einseitiger Test
Zweiseitiger Test

Ereignisse

Spickzettel
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Ein Ereignis A ist eine Menge von Ergebnissen, also eine Teilmenge der Ergebnismenge eines Zufallsexperiments. Man spricht davon, dass Ereignis A eintritt, wenn eines der Ergebnisse aus A eintritt.

Gegenereignis

Mit $\overline{A}$ wird das Gegenereignis zu $A$ bezeichnet. Formal gilt: $\overline{A}= \Omega\setminus A$. Das Gegenereignis enthält also alle möglichen Ergebnisse des Zufallsexperiments aus dem Ergebnisraum, die nicht in $A$ enthalten sind. Das Gegenereignis $\overline{A}$ tritt also genau dann ein, wenn das Ereignis $A$ nicht eintritt.
$P(\overline{A}) = 1- P(A) $
Das Ereignis $B= \Omega$ wird als sicheres Ereignis bezeichnet. Das Ereignis $C = \emptyset$ heißt dagegen unmögliches Ereignis.

Beispiel

Betrachtet wird das 2-malige Werfen einer Münze mit Beachtung der Reihenfolge.
Ereignis $A$: Es erscheint mindestens einmal „Zahl“
In Mengenschreibweise: $A = \{\text{Zahl-Kopf, Kopf-Zahl, Zahl-Zahl} \}$
$\Rightarrow$ Ereignis $\overline{A}$: Es erscheint niemals „Zahl“
In Mengenschreibweise: $\overline{A} = \{\text{Kopf-Kopf} \}$
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Aufgaben
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1.
Aus einer Urne mit zwei schwarzen und drei roten Kugeln wird zweimal mit Zurücklegen (und unter Berücksichtigung der Reihenfolge) gezogen.
Gib die Ergebnismenge und folgende Ereignisse in Mengenschreibweise an:
A: „Es wird zweimal eine Kugel der gleichen Farbe gezogen.“
B: „Es wird mindestens einmal eine rote Kugel gezogen.“
Welches der beiden Ereignisse hat die größere Mächtigkeit?
2.
Beim Würfeln mit einem Dodekaeder ist $\Omega=\left\{1;2;3;…11;12\right\}$.
Beschreibe folgende Ereignisse in Worten:
$A=\{2;4;6;8;10;12\}$
$B=\{1;2\}$
$C=\{2;3;5;7;11\}$
3.
Beim Würfeln ist $\Omega=\left\{1;2;3;4;5;6\right\}$
Gib folgende Ereignisse in Mengenschreibweise an:
A: „Die gewürfelte Zahl ist ungerade.“
B: „Die gewürfelte Zahl ist größer als $2$, aber kleiner als $6$.“
C: „Die gewürfelte Zahl ist nicht $3$.“
4.
Beim Würfeln eines Dodekaeders ist $\Omega=\left\{1;2;3;…11;12\right\}$, weiterhin sind folgende Ereignisse gegeben:
$A=\left\{3;4;6;12\right\}$, $B=\left\{1;3;5;7;9;11\right\}$ und $C=\left\{1\right\}$.
Gib folgende Ereignisse in Mengenschreibweise an:
b)
$A\cup B$
d)
$A\cup C$
f)
$B\cup C$
h)
$\overline{C}\cup B$
j)
$(A\cap B) \cup C$
l)
$C\cap \emptyset$
5.
Ein Würfel wird zweimal geworfen.
Verknüpfe die Ereignisse mit den Mengensymbolen ($\cup$ und $\cap$) und gib das gesamte Ereignis in Mengenschreibweise an:
A: „Die Summe der zwei Würfe ist größer oder gleich 9 ($A_1$) und es wird keine 6 gewürfelt ($A_2$).“
B: „Es wird genau eine 5 ($B_1$) oder genau eine 4 gewürfelt ($B_2$).“
C: „Es werden zwei gleiche Zahlen gewürfelt ($C_1$) und die Summe der beiden Würfe ist größer oder gleich 8 ($C_2$).“
D: „Es werden zwei gerade Zahlen ($D_1$) und ein Pasch ($D_2$) gewürfelt.“
Welches der Ereignisse hat die größte Mächtigkeit?
6.
Aus einer Urne mit einer roten und einer schwarzen Kugel wird viermal mit Zurücklegen (und unter Berücksichtigung der Reihenfolge) gezogen.
Gib zu den folgenden Ereignissen jeweils die Gegenereignisse in Worten und in Mengenschreibweise an.
A: „Mindestens zwei rote Kugeln werden gezogen.“
B: „Alle gezogenen Kugeln haben die gleiche Farbe.“
C: „Höchstens drei Kugeln sind rot.“
D: „Die zweite und die dritte Kugel sind schwarz.“
7.
In einer Schule stehen fünf mobile Beamer. Folgende Ereignisse seien festgelegt:
$A_i$: „Der i-te Beamer funktioniert.“ ($i=1,…,5$)
B: „Mindestens ein Beamer funktioniert.“
C: „Alle Beamer funktionieren.“
D: „Kein Beamer funktioniert.“
Beschreibe die Ereignisse $B$, $C$ und $D$ mithilfe der Ereignisse $A_i$.
8.
Die Ergebnismenge des Zufallsexperiments „Roulettespiel“ ist
$\Omega=\left\{0; 1; 2; 3;… 35; 36\right\}$
Zufallsexperimente und Ereignisse: Ereignisse
Zufallsexperimente und Ereignisse: Ereignisse
Wann gewinnt der Spieler?
Schreibe folgende Ereignisse mit den Symbolen der Mengenlehre ($\cup, \cap,\overline{E_1},\emptyset$) und gib die verschiedenen Ergebnismengen an.
A: „Ein Spieler setzt seinen Chip auf das Spielfeld Ungerade und Gerade.“
B: „Ein Spieler setzt seinen Chip auf das Feld $12^P$ (er erwartet also das Fallen einer Zahl aus dem ersten Dutzend) und auf das Feld Gerade.“
C: „Ein Spieler setzt seinen Chip auf $12^P$ und auf die Felder $15;35;0$.“
D: „Ein Spieler setzt jeweils einen Chip auf alle Primzahlen und auf die Zahl $0$.“
E: „Ein Spieler setzt einen Chip auf das Feld $1$, $21$ und $35$.“
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Lösungen
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1.
Mächtigkeit der Ereignisse bestimmen
Ergebnismenge $\Omega=\left\{ss;sr;rs;rr\right\}$
A: „Es wird zweimal eine Kugel der gleichen Farbe gezogen.“
Ereignis $A=\left\{ss;rr\right\}$
B: „Es wird mindestens einmal eine rote Kugel gezogen.“
Ereignis $B=\left\{sr;rs;rr\right\}$
B hat die größere Mächtigkeit, denn: $\left|A\right|=2 < 3=\left|B\right|$
2.
Ereignisse beschreiben
$A=\{2;4;6;8;10;12\}$: „Es werden nur gerade Zahlen gewürfelt.“
$B=\{1;2\}$: „Die gewürfelte Zahl ist kleiner als 3.“
$C=\{2;3;5;7;11\}$: „Die gewürfelte Zahl ist eine Primzahl.“
3.
Ereignisse in Mengenschreibweise angeben
Die Mengenschreibweise für die Ereignisse $A$, $B$ und $C$ ist:
A: „Die gewürfelte Zahl ist ungerade.“ $A=\left\{1;3;5\right\}$
B: „Die gewürfelte Zahl ist größer als $2$, aber kleiner als $6$.“ $B=\left\{3;4;5\right\}$
C: „Die gewürfelte Zahl ist nicht $3$.“ $C=\left\{1;2;4;5;6\right\}$
4.
Ereignisse in Mengenschreibweise angeben
a)
$A\cap B=\left\{3\right\}$
b)
$A\cup B=\left\{1;3;4;5;6;7;9;11;12\right\}$
c)
$A\cap C=\emptyset$
d)
$A\cup C=\left\{1;3;4;6;12\right\}$
e)
$B\cap C=\left\{1\right\}$
f)
$B\cup C=B$
g)
$\overline{A}\cap B=\left\{1;2;5;7;8;9;10;11\right\}\cap B=\left\{1;5;7;9;11\right\}$
$\overline{A}\cap B=\ … $
h)
$\overline{C}\cup B=\left\{2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12\right\}\cup B=\left\{1;2;3…12\right\}=\Omega$
$\overline{C}\cup B=\ … $
i)
$A\cup B\cup C=\left\{1;3;4;5;6;7;9;11;12\right\}$
$ A\cup B\cup C=\ … $
j)
$(A\cap B) \cup C=\left\{3\right\}\cup C=\left\{1;3\right\}$
k)
$A\cup \emptyset=A$
l)
$C\cap \emptyset=\emptyset$
5.
Ereignisse in Mengenschreibweise angeben
A:
Die Summe der zwei Würfe ist größer oder gleich $9$ ($A_1$} und es wurde keine $6$ gewürfelt ($A_2$).
$A_1=\left\{36;45;46;54;55;56;63;64;65;66\right\}$
$A_1=\ … $
$A_2=\left\{11;12;…15;21;…25;31;…35;41;…45;51;…55\right\}$
$A_2=\ … $
$A=A_1\cap A_2=\{45;54;55\}=A_1$
$A=A_1\cap A_2=\ … $
B:
Es wurde genau eine $5$ ($B_1$) oder genau eine $4$ gewürfelt ($B_2$).
$B_1=\left\{15;25;35;45;51;52;53;54;56;65\right\}$
$B_1=\ … $
$B_2=\left\{14;24;34;41;42;43;45;46;54;64\right\}$
$B_2=\ … $
$B=B_1\cup B_2=\left\{14;15;24;25;34;35;41;42;43;45;46;51;52;53;54;56;64;65\right\}$
$B=B_1\cup B_2=\ … $
C:
Es wurden zwei gleiche Zahlen gewürfelt ($C_1$) und die Summe der beiden Würfe ist größer oder gleich $8$ ($C_2$).
$C_1=\left\{11;22;33;44;55;66\right\}$
$C_2=\left\{26;35;36;44;45;46;53;54;55;56;62;63;64;65;66\right\}$
$C_2=\ … $
$C=C_1\cap C_2=\left\{44;55;66\right\}$
D:
Es werden zwei gerade Zahlen ($D_1$) und ein Pasch ($D_2$) gewürfelt.
$D_1=\left\{22;24;26;42;44;46;62;64;66\right\}$
$D_1=\ … $
$D_2=\left\{11;22;33;44;55;66\right\}$
$D=D_1\cup D_2=\left\{22;44;66\right\}$
B hat die größte Mächtigkeit, denn: $\left|A\right|=3$, $\left|B\right|=18$, $\left|C\right|=3$, $\left|D\right|=3$.
6.
Gegenereignisse in Worten und Mengenschreibweise angeben
Ergebnismenge $\Omega=\left\{ss;sr;rs;rr\right\}$
$\overline{A}$: „Höchstens eine rote wird Kugel gezogen.“

$\overline{A}=\left\{rsss;srss;ssrs;sssr;ssss\right\}$
$\overline{A}=\ …$
$\overline{B}$: „Beide Farben werden gezogen.“
$\overline{B}=\left\{rrrs;rrsr;rsrr;srrr;rrss;rsrs;rssr;srrs;srsr;ssrr;rsss;srss;ssrs;sssr\right\}$
$\overline{B}=\ … $
$\overline{C}$: „Alle vier Kugeln sind rot.“
$\overline{C}=\left\{rrrr\right\}$
$\overline{D}$: „Die zweite und die dritte Kugel sind beide nicht schwarz.“ Oder: „Die zweite oder die dritte Kugel ist rot.“
$\overline{D}=\left\{rrrr;rrrs;rrsr;rsrr;srrr;rrss;rsrs;srrs;srsr;ssrr;srss;ssrs\right\}$
$\overline{D}=\ … $
7.
Ereignisse ©SchulLV 2015beschreiben
$B=\;A_1\cup A_2 \cup A_3 \cup A_4 \cup A_5$
$C=\;A_1\cap A_2 \cap A_3 \cap A_4 \cap A_5$
$D=\;\overline{A_1}\cap \overline{A_2} \cap \overline{A_3} \cap \overline{A_4} \cap \overline{A_5}$
oder nach den De Morgan'schen Gesetzen $D=\overline{A_1\cup A_2 \cup A_3 \cup A_4 \cup A_5}$
8.
Eregebnismenge angeben
A:
$A_1=\left\{1;3;5…33;35\right\}$
$A_2=\left\{2;4;6…34;36\right\}$
Gewinn bei dem Ereignis $A=A_1\cup A_2=\left\{1;2;3;4…35;36\right\}$ oder $\Omega\setminus\left\{0\right\}.$
B:
$B_1=\left\{1;2;3…11;12\right\}$
$B_2=\left\{2;4;6…34;36\right\}$
Gewinn bei dem Ereignis
$B=B_1\cup B_2=\left\{1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12;14;16;18;…34;36\right\}.$
$B=B_1\cup B_2=\ … $
C:
$C_1=\left\{1;2;3…11;12\right\}$
$C_2=\left\{15;35;0\right\}$
Gewinn bei dem Ereignis
$C=C_1\cup C_2=\left\{1;2;3…11;12;15;35;0\right\}.$
$C=C_1\cup C_2=\ … $
D:
$D_1=\left\{2;3;5;7;11;13;17;19;23;29;31\right\}$
$D_2=\left\{0\right\}$
Gewinn bei dem Ereignis
$D=D_1\cup D_2=\left\{2;3;5;7;11;13;17;19;23;29;31;0\right\}.$
$D=D_1\cup D_2=\ … $
E:
$E_1=\left\{1\right\}$
$E_2=\left\{21\right\}$
$E_3=\left\{35\right\}$
Gewinn bei dem Ereignis
$E=E_1\cup E_2\cup E_3=\left\{1;21;35\right\}.$
$E=E_1\cup E_2\cup E_3=\ … $
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