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Normalenform

Spickzettel
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Eine Ebene im dreidimensionalen Raum kann durch einen Punkt und einen Normalenvektor, also einen Vektor, der senkrecht auf der Ebene steht, vollständig definiert werden:
Ist der Stützpunkt $P(p_1 \mid p_2 \mid p_3)$ und der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ gegeben, so kann die Gleichung einer Ebene $E$ in Normalenform wie folgt angegeben werden:
$E: \left( \overrightarrow{x} - \overrightarrow{p} \right)\circ\overrightarrow{n}=0 $
$E: \left( \overrightarrow{x} - \overrightarrow{p} \right)\circ\overrightarrow{n}=0 $
Ebenen: Normalenform
Ebenen: Normalenform
Hast du anstelle des Normalenvektors $\overrightarrow{n}$ zwei Spannvektoren $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$ der Ebene gegeben, so gibt es zwei Möglichkeiten, den Normalenvektor zu bestimmen:
  • Skalarprodukt:
    Löse die Gleichungen $\overrightarrow{n} \circ \overrightarrow{u} = 0$ und $\overrightarrow{n} \circ \overrightarrow{v} = 0$,
  • Kreuzprodukt:
    Berechne $\overrightarrow{n} $=$ \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}$.

Beispiel

Gegeben ist der Punkt $P(1 \mid 1 \mid 7)$ und der Normalenvektor
$\overrightarrow{n}$=$\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}$.
Die Angaben kannst du in die allgemeine Normalenform einer Ebenengleichung einsetzen und erhältst so die Gleichung zur Ebene $E$ in Normalenform:
$E: \overrightarrow{n} \circ \left( \overrightarrow{x} - \overrightarrow{p} \right)$=$ \left( \overrightarrow{x} - \begin{pmatrix}1\\1\\7\end{pmatrix} \right)\circ \begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}$$=0$
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1.
Die Punkte liegen in einer Ebene. Gib eine mögliche Ebenengleichung in Normalenform an.
a)
$R(-1\mid-2\mid3)$, $S(2\mid1\mid0)$, $T(-1\mid3\mid4)$
b)
$A\left(1\mid4\mid2\right)$, $E\left(-2\mid0\mid2\right)$, $F\left(1\mid2\mid0\right)$
2.
Überprüfe, ob der Punkt in der Ebene liegt.
b)
$P\left(-1\mid\frac{3}{4}\mid2\right)$,
$E:\;\left[ {\overrightarrow {x} - \left( {\begin{array}{*{20}r} { 1} \\ { 1} \\ 2 \\ \end{array}} \right) } \right] \cdot \left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ { - 8} \\ 2 \\ \end{array}} \right) = 0$
3.
Bestimme $r$ so, dass der Punkt in der Ebene liegt.
b)
$P\left(-1\mid r\mid2\right)$,
$E:\;\left[ {\overrightarrow {x} - \left( {\begin{array}{*{20}r} { 2} \\ { 1} \\ -1 \\ \end{array}} \right) } \right] \cdot \left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ { 1} \\ 2 \\ \end{array}} \right) = 0$
d)
$Q\left(-1\mid1\mid6\right)$,
$E:\;\left[ {\overrightarrow {x} - \left( {\begin{array}{*{20}r} { 1} \\ {0} \\ 7 \\ \end{array}} \right) } \right] \cdot \left( {\begin{array}{*{20}r} r \\ { 1} \\ 3 \\ \end{array}} \right) = 0$
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1.
Zunächst bestimmt man eine Parametergleichung der Ebene, dann einen Normalenvektor. Nun kann man eine Normalenform der Ebene aufstellen.
a)
$R(-1\mid-2\mid3)$, $S(2\mid1\mid0)$, $T(-1\mid3\mid4)$:
$\begin{array}{lrl} E:&\overrightarrow{x}=&\overrightarrow{R}+s\cdot\overrightarrow{RS}+t\cdot\overrightarrow{RT} \\[5pt] &=& \left( {\begin{array}{*{20}r} -1 \\ -2 \\ 3 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} 2-(-1) \\ 1-(-2) \\ 0-3 \\ \end{array}} \right) + t\left( {\begin{array}{*{20}r} -1-(-1) \\ 3-(-2) \\ 4\;-\;3 \\ \end{array}} \right) \\[5pt] &=& \left( {\begin{array}{*{20}r} -1 \\ -2 \\ 3 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} 3 \\ 3 \\ -3 \\ \end{array}} \right) + t\left( {\begin{array}{*{20}r} 0 \\ 5 \\ 1 \\ \end{array}} \right) \\[5pt] E:&\overrightarrow{x}=& \left( {\begin{array}{*{20}r} -1 \\ -2 \\ 3 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} 3 \\ 3 \\ -3 \\ \end{array}} \right) + t\left( {\begin{array}{*{20}r} 0 \\ 5 \\ 1 \\ \end{array}} \right) \end{array}$
$E:\overrightarrow{x}= \left( {\begin{array}{*{20}r} -1 \\ -2 \\ 3 \\ \end{array}} \right) + \; …$

Den Normalenvektor berechnet man über das Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren.
Kreuzprodukt bilden:
$\left( \begin{array}{r} 3 \\ 3 \\ -3 \\ \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{r} 0 \\ 5 \\ 1 \\ \end{array} \right) $
$= \left( \begin{array}{r} 3\cdot 1 \\ -3 \cdot 0 \\ 3 \cdot 5 \\ \end{array} \right.\begin{array}{*{20}c} - \\ - \\ - \\ \end{array}\left. \begin{array}{r} (-3) \cdot 5 \\ 3\cdot 1\\ 0\cdot 3 \\ \end{array} \right) $ $= \left( \begin{array}{r} 18\\ -3 \\ 15 \\ \end{array} \right)$
Eine mögliche Normalenform ist somit:
$E:\;\left[ {\overrightarrow {x} - \left( {\begin{array}{*{20}r} { - 1} \\ { - 2} \\ 3 \\ \end{array}} \right) } \right] \circ \left( {\begin{array}{*{20}r} 18 \\ { - 3} \\ 15 \\ \end{array}} \right) = 0$
b)
$A\left(1\mid4\mid2\right)$, $E\left(-2\mid0\mid2\right)$, $F\left(1\mid2\mid0\right)$:
$\begin{array}{lrl} E:&\overrightarrow{x}=&\overrightarrow{A}+s\cdot\overrightarrow{AE}+t\cdot\overrightarrow{AF} \\[5pt] &=& \left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 4 \\ 2 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} (-2) \\ 0 \\ 2 \\ \end{array}}{\begin{array}{*{20}r} - \\ - \\ - \\ \end{array}}{\begin{array}{*{20}r} 1 \\ (-4) \\ 2 \\ \end{array}} \right) + t\left( {\begin{array}{*{20}r} 1-1 \\ 2-4 \\ 0\;-\;2 \\ \end{array}} \right)\\[5pt] &=& \left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 4 \\ 2 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} -3 \\ -4 \\ 0 \\ \end{array}} \right) + t\left( {\begin{array}{*{20}r} 0 \\ -2 \\ -2\\ \end{array}} \right) \\[5pt] E:&\overrightarrow{x}=& \left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 4 \\ 2 \\ \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}r} - 3 \\ - 4 \\ 0 \\ \end{array}} \right) + t\left( {\begin{array}{*{20}r} 0 \\ 1 \\ 1 \\ \end{array}} \right) \end{array}$
$ E:\overrightarrow{x}= \left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 4 \\ 2 \\ \end{array}} \right) +\; … $

Den Normalenvektor berechnet man über das Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren.
Kreuzprodukt bilden:
$\left( \begin{array}{r} -3 \\ -4 \\ 0 \\ \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{r} 0 \\ 1 \\ 1 \\ \end{array} \right)$
$= \left( {\begin{array}{*{20}r} -4\cdot1 \\ 0\cdot0 \\ - 3\cdot1 \\ \end{array}}{\begin{array}{*{20}r} - \\ - \\ - \\ \end{array}}{\begin{array}{*{20}r} 0\cdot1 \\ (- 3)\cdot1 \\ (-4)\cdot0 \\ \end{array}} \right)$$=\left( \begin{array}{r} -4 \\ 3 \\ -3 \\ \end{array} \right)$
Eine mögliche Normalenform ist somit:
$E:\;\left[ {\overrightarrow {x} - \left( {\begin{array}{*{20}r} { 1} \\ { 4} \\ 2 \\ \end{array}} \right) } \right] \circ \left( {\begin{array}{*{20}r} -4 \\ { 3} \\ - 3 \\ \end{array}} \right) = 0$
2.
Um zu überprüfen, ob der Punkt in der Ebene liegt, setzt man seine Koordinaten in die Normalenform ein.
a)
$A(1\mid2\mid-5)$,
$E:\;\left[ {\overrightarrow {x} - \left( {\begin{array}{*{20}r} { - 1} \\ { - 2} \\ 3 \\ \end{array}} \right) } \right] \circ \left( {\begin{array}{*{20}r} 6 \\ { - 1} \\ 5 \\ \end{array}} \right) = 0$.
$\begin{array}{lll} E:&\left[ {\left( {\begin{array}{*{20}r} {1} \\ { 2} \\ -5 \\ \end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}r} { - 1} \\ { - 2} \\ 3 \\ \end{array}} \right) } \right] \circ \left( {\begin{array}{*{20}r} 6 \\ { - 1} \\ 5 \\ \end{array}} \right) = 0 \\[5pt] \Leftrightarrow&\left[ {\left( {\begin{array}{*{20}r} {2} \\ { 4} \\ -8 \\ \end{array}} \right) } \right] \circ \left( {\begin{array}{*{20}r} 6 \\ { - 1} \\ 5 \\ \end{array}} \right) = 0 \end{array}$
$\begin{array}{lll} E:&\left[ {\left( {\begin{array}{*{20}r} {1} \\ { 2} \\ -5 \\ \end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}r} { - 1} \\ { - 2} \\ 3 \\ \end{array}} \right) } \right] \circ \left( {\begin{array}{*{20}r} 6 \\ { - 1} \\ 5 \\ \end{array}} \right) \\ &= 0 \\[5pt] \Leftrightarrow&\left[ {\left( {\begin{array}{*{20}r} {2} \\ { 4} \\ -8 \\ \end{array}} \right) } \right] \circ \left( {\begin{array}{*{20}r} 6 \\ { - 1} \\ 5 \\ \end{array}} \right) = 0 \end{array}$
Mit dem Skalarprodukt ergibt sich:
$2\cdot6+4\cdot(-1)+(-8)\cdot5$
$=12-4-40=(-32)\neq0$
Der Punkt $A$ liegt nicht in Ebene $E$.
b)
$P\left(-1\mid\frac{3}{4}\mid2\right)$,
$E:\;\left[ {\overrightarrow {x} - \left( {\begin{array}{*{20}r} { 1} \\ { 1} \\ 2 \\ \end{array}} \right) } \right] \circ \left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ { - 8} \\ 2 \\ \end{array}} \right) = 0$.
$\begin{array}{lll} E:&\left[ {\left( {\begin{array}{*{20}r} {-1} \\ {\frac{3}{4}} \\ 2 \\ \end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}r} { 1} \\ { 1} \\ 2 \\ \end{array}} \right) } \right] \circ \left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ { - 8} \\ 2 \\ \end{array}} \right) = 0 \\[5pt] \Leftrightarrow&\left[ {\left( {\begin{array}{*{20}r} {-2} \\ { -\frac{1}{4}} \\ 0 \\ \end{array}} \right) } \right] \circ \left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ { - 8} \\ 2 \\ \end{array}} \right) = 0 \end{array}$
Mit dem Skalarprodukt ergibt sich:
$(-2)\cdot1+\left(-\dfrac{1}{4}\right)\cdot(-8)+0\cdot2$$=(-2)+2+0=0$
Der Punkt $P$ liegt in der Ebene $E$.
3.
Setzt man die Koordinaten des gegebenen Punktes in die Normalenform ein ergibt sich:
a)
$A(r\mid1\mid0)$,
$E:\;\left[ {\overrightarrow {x} - \left( {\begin{array}{*{20}r} { 1} \\ { 2} \\ 0 \\ \end{array}} \right) } \right] \circ \left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ { 4} \\ -2 \\ \end{array}} \right) = 0$.
$\begin{array}{ll} E:&\left[ {\left( {\begin{array}{*{20}r} {r} \\ {1} \\ 0 \\ \end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}r} { 1} \\ { 2} \\ 0 \\ \end{array}} \right) } \right] \circ \left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ { 4} \\ -2 \\ \end{array}} \right) = 0 \\[5pt] \Leftrightarrow&\left[ {\left( {\begin{array}{*{20}r} {r-1} \\ { -1} \\ 0 \\ \end{array}} \right) } \right] \circ \left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ { 4} \\ -2 \\ \end{array}} \right) = 0 \end{array}$
Mit dem Skalarprodukt ergibt sich:
$r-1-4+0=0 \;\Leftrightarrow\; r=5$
Somit liegt der Punkt für $r=5$ in der Ebene.
b)
$P\left(-1\mid r\mid2\right)$,
$E:\;\left[ {\overrightarrow {x} - \left( {\begin{array}{*{20}r} { 2} \\ { 1} \\ -1 \\ \end{array}} \right) } \right] \circ \left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ { 1} \\ 2 \\ \end{array}} \right) = 0$.
$\begin{array}{ll} E:&\left[ {\left( {\begin{array}{*{20}r} {-1} \\ {r} \\ 2 \\ \end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}r} { 2} \\ { 1} \\ -1 \\ \end{array}} \right) } \right] \circ \left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ { 1} \\ 2 \\ \end{array}} \right) = 0 \\[5pt] \Leftrightarrow&\left[ {\left( {\begin{array}{*{20}r} {-3} \\ { r-1} \\ 3 \\ \end{array}} \right) } \right] \circ \left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ { 1} \\ 2 \\ \end{array}} \right) = 0 \end{array}$
Mit dem Skalarprodukt ergibt sich:
$-6+r-1+6=0 \;\Leftrightarrow\; r=1$
Somit liegt der Punkt für $r=1$ in der Ebene.
c)
$P(2\mid0\mid4)$,
$E:\;\left[ {\overrightarrow {x} - \left( {\begin{array}{*{20}r} {1} \\ { r} \\ 2 \\ \end{array}} \right) } \right] \circ \left( {\begin{array}{*{20}r} 0 \\ { 2} \\ 5 \\ \end{array}} \right) = 0$.
$\begin{array}{ll} E:&\left[ {\left( {\begin{array}{*{20}r} {2} \\ {0} \\ 4 \\ \end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}r} { 1} \\ { r} \\ 2 \\ \end{array}} \right) } \right] \circ \left( {\begin{array}{*{20}r} 0 \\ { 2} \\ 5 \\ \end{array}} \right) = 0 \\[5pt] \Leftrightarrow&\left[ {\left( {\begin{array}{*{20}r} {1} \\ { -r} \\ 2 \\ \end{array}} \right) } \right] \circ \left( {\begin{array}{*{20}r} 0 \\ { 2} \\ 5 \\ \end{array}} \right) = 0 \end{array}$
Mit dem Skalarprodukt ergibt sich:
$0-2r+10=0 \;\Leftrightarrow\; r=5$
Somit liegt der Punkt für $r=5$ in der Ebene.
d)
$Q\left(-1\mid1\mid6\right)$,
$E:\;\left[ {\overrightarrow {x} - \left( {\begin{array}{*{20}r} { 1} \\ {0} \\ 7 \\ \end{array}} \right) } \right] \circ \left( {\begin{array}{*{20}r} r \\ { 1} \\ 3 \\ \end{array}} \right) = 0$.
$\begin{array}{ll} E:&\left[ {\left( {\begin{array}{*{20}r} {-1} \\ {1} \\ 6 \\ \end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}r} { 1} \\ { 0} \\ 7 \\ \end{array}} \right) } \right] \circ \left( {\begin{array}{*{20}r} r \\ { 1} \\ 3 \\ \end{array}} \right) = 0 \\[5pt] \Leftrightarrow&\left[ {\left( {\begin{array}{*{20}r} {-2} \\ { 1} \\ -1 \\ \end{array}} \right) } \right] \circ \left( {\begin{array}{*{20}r} r \\ { 1} \\ 3 \\ \end{array}} \right) = 0 \end{array}$
Mit dem Skalarprodukt ergibt sich:
$-2r+1-3=0 \;\Leftrightarrow\; r=-1$
Somit liegt der Punkt für
$r=-1$
in der Ebene.
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