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Normalenform

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Eine Ebene im dreidimensionalen Raum kann durch einen Punkt und einen Normalenvektor, also einen Vektor, der senkrecht auf der Ebene steht, vollständig definiert werden:
Ist der Stützpunkt $P(p_1 \mid p_2 \mid p_3)$ und der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ gegeben, so kann die Gleichung einer Ebene $E$ in Normalenform wie folgt angegeben werden:
$E: \left( \overrightarrow{x} - \overrightarrow{p} \right)\circ\overrightarrow{n}=0 $
$E: \left( \overrightarrow{x} - \overrightarrow{p} \right)\circ\overrightarrow{n}=0 $
Hast du anstelle des Normalenvektors $\overrightarrow{n}$ zwei Spannvektoren $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$ der Ebene gegeben, so gibt es zwei Möglichkeiten, den Normalenvektor zu bestimmen:
  • Skalarprodukt:
    Löse die Gleichungen $\overrightarrow{n} \circ \overrightarrow{u} = 0$ und $\overrightarrow{n} \circ \overrightarrow{v} = 0$,
  • Kreuzprodukt:
    Berechne $\overrightarrow{n} $=$ \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}$.

Beispiel

Gegeben ist der Punkt $P(1 \mid 1 \mid 7)$ und der Normalenvektor
$\overrightarrow{n}$=$\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}$.
Die Angaben kannst du in die allgemeine Normalenform einer Ebenengleichung einsetzen und erhältst so die Gleichung zur Ebene $E$ in Normalenform:
$E: \overrightarrow{n} \circ \left( \overrightarrow{x} - \overrightarrow{p} \right)$=$ \left( \overrightarrow{x} - \begin{pmatrix}1\\1\\7\end{pmatrix} \right)\circ \begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}$$=0$
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